【学霸笔记】周测10 函数图象和性质的综合应用（教师版）人教A版(2019)数学必修第一册--高中同步周周测

周测10　函数图象和性质的综合应用
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.已知函数f(x)=x2+2kx-5在[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围为(　　)
A.(-∞，-4]
B.[2，+∞)
C.(-∞，-4]∪[2，+∞)
D.(-∞，-4]∪(2，+∞)
答案　C
解析　函数f(x)=x2+2kx-5的对称轴为直线x=-k，
因为函数f(x)=x2+2kx-5在[-2，4]上具有单调性，
所以-k≥4或-k≤-2，解得k≤-4或k≥2.
2.已知min{a，b}表示a，b中较小的数，设h(x)=min{f(x)，g(x)}，若f(x)=|x|，g(x)=x2，则函数h(x)的大致图象是(　　)
答案　D
解析　当f(x)≥g(x)时，即|x|≥x2，解得-1≤x≤1，
所以h(x)=
故D选项为函数h(x)的大致图象.
3.已知函数f(x)是定义在(-3，0)∪(0，3)上的奇函数，当0A.(-1，0)∪(1，3)
B.(-3，-1)∪(1，3)
C.(-1，0)∪(0，1)
D.(-3，-1)∪(0，1)
答案　B
解析　f(x)是定义在(-3，0)∪(0，3)上的奇函数，f(x)的图象关于坐标原点对称，
结合图象可知当x∈(-3，-1)时，f(x)<0；
f(-1)=0；当x∈(-1，0)时，f(x)>0；
由xf(-x)=-xf(x)<0得xf(x)>0，则当x∈(-3，-1)∪(1，3)时，xf(x)>0，即原不等式的解集为(-3，-1)∪(1，3).
4.函数f(x)=的大致图象为(　　)
答案　B
解析　函数f(x)=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，f(-x)==-f(x)，即f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A；当00，即f(x)<0，当x>时，3x2-1>0，x3>0，即f(x)>0，排除C；当x>3时，0<<=，函数y=在(3，+∞)上单调递减，趋近于0，排除D，所以B符合题意.
5.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)=f(2-x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则当2≤x≤3时，函数f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=x-1 B.f(x)=1-x
C.f(x)=x-2 D.f(x)=2-x
答案　D
解析　因为函数f(x)是奇函数，所以f(2-x)=-f(x-2)，因为f(x)=f(2-x)，所以f(x)=-f(x-2)，当2≤x≤3时，0≤x-2≤1；因为当0≤x≤1时，f(x)=x，所以f(x-2)=x-2，所以f(x)=-f(x-2)=2-x.
6.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)=x(x-1)，若对任意x∈(-∞，m]，都有f(x)≥-，则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　当x∈(0，1]时，f(x)=x(x-1)，由f(x+1)=2f(x)，得f(x)=2f(x-1)，
即函数f(x)的图象每向右平移1个单位长度，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图，
当2令4(x-2)(x-3)=-，整理得9x2-45x+56=0，解得x1=，x2=，
观察图象知，当m≤时，对任意x∈(-∞，m]，都有f(x)≥-成立，
所以m的取值范围是.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f(-x)=f(x)；② x1，x2∈(0，+∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f(-1)=0.则下列选项成立的是(　　)
A.f(3)>f(-4)
B.若f(m-1)C.若>0，则x∈(-1，0)∪(1，+∞)
D. x∈R， M∈R，使得f(x)≥M
答案　BCD
解析　由条件①得f(x)是偶函数，由条件②得f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以f(3)若f(m-1)若>0，则或
因为f(-1)=f(1)=0，所以x>1或-1因为定义在R上的偶函数f(x)的图象是连续不断的，且在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(0)，所以只需M≤f(0)即可，故D正确.
8.存在定义域为R的函数f(x)满足(　　)
A.f(x)是增函数，f(f(x))也是增函数
B.f(x)是减函数，f(f(x))也是减函数
C.f(x)是奇函数，但f(f(x))是偶函数
D.对任意的a≠0，f(a)≠a，但f(f(a))=a
答案　AD
解析　对于A，根据复合函数的单调性可知，因为f(x)是增函数，所以f(f(x))也是增函数，A正确；
对于B，根据复合函数的单调性可知，因为f(x)是减函数，所以f(f(x))是增函数，B错误；
对于C，因为f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，所以f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x))，所以f(f(x))是奇函数，C错误；
对于D，令f(x)=当a≠0时，满足f(a)=-≠a，但是f(f(a))=f=-=a，故D正确.
9.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x-y)=f(x)+f(y)+2xy，则(　　)
A.f(1)=-1
B.f(2)=-4
C.y=f(x)+x2既是奇函数又是偶函数
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 026)=2 024
答案　ABC
解析　令x=y=0，得f(0)=0；令x=y=1，则f(0)=2f(1)+2=0，得f(1)=-1，A正确；
令x=y=2，则f(0)=2f(2)+8=0，得f(2)=-4，B正确；
由于f(x-y)+(x-y)2=f(x)+x2+f(y)+y2，令g(x)=f(x)+x2，则其定义域为R，g(x-y)=g(x)+g(y)，令x=y=0，得g(0)=0，令y=x，得g(x)=0，所以g(x)=f(x)+x2既是奇函数又是偶函数，且f(x)=-x2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 026)≠2 024，C正确，D错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.f(x)=的单调递增区间是　　　　.
答案　[5，+∞)
解析　由题知f(x)=，由x2-2x-15≥0解得x≤-3或x≥5，
故函数的定义域为(-∞，-3]∪[5，+∞)，因为y=x2-2x-15的图象开口向上，对称轴为直线x=1，
故y=x2-2x-15在(-∞，-3]上单调递减，在[5，+∞)上单调递增，因为y=是增函数，
根据复合函数的单调性可知，f(x)=的单调递增区间为[5，+∞).
11.已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(-2)=0，则f(2)=　　　　.
答案　-16
解析　令g(x)=x5+ax3+bx，
则g(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-g(x)，
由f(x)=x5+ax3+bx-8得f(x)=g(x)-8，
由f(-2)=0得f(-2)=g(-2)-8=0，
所以g(-2)=8，则g(2)=-8，
所以f(2)=g(2)-8=-8-8=-16.
12.函数f(x)为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且f(3)=1，对于任意x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都有>0成立，则f(x)≤的解集为　　　　　　.
答案　(-∞，-3]∪(0，3]
解析　设函数g(x)=xf(x)，因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数.
因为对任意x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，>0，
所以>0，即g(x)在(0，+∞)上单调递增，
因为g(3)=3f(3)=3，g(x)为偶函数，所以g(-3)=3，且g(x)在(-∞，0)上单调递减，
当x>0时，f(x)≤等价于g(x)≤3=g(3)，所以0当x<0时，f(x)≤等价于g(x)≥3=g(-3)，所以x≤-3.
综上所述，f(x)≤的解集为(-∞，-3]∪(0，3].
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值；(5分)
(2)若函数f(x)在区间[-2，a-1]上单调递增，求实数a的取值范围.(7分)
解　(1)由题意，当x<0 时，-x>0，
所以f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+4(-x)]=x2+4x，所以m=4.
(2)由(1)知f(x)=函数的大致图象如图所示，
当x<0 时，二次函数y=x2+4x 的对称轴是直线x=-2；
当x>0时，函数y=-x2+4x 的对称轴为直线x=2.
所以-214.(12分)设函数f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，f(2)=1，对任意m，n∈(0，+∞)总有f(mn)=f(m)+f(n)成立.
(1)求f(1)与f(4)的值；(5分)
(2)求使f(a)+f(a-1)≤1成立的a的取值范围.(7分)
解　(1)因为对任意的m，n∈(0，+∞)总有f(mn)=f(m)+f(n)成立，
令m=n=1，可得f(1)=f(1)+f(1)，则f(1)=0，
又f(2)=1，令m=n=2，则f(4)=f(2)+f(2)=2.
(2)因为f(a)+f(a-1)=f(a(a-1))，f(2)=1，
所以不等式f(a)+f(a-1)≤1即f(a(a-1))≤f(2)，
又函数f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，
所以解得1即a的取值范围为(1，2].
15.(13分)已知函数f(x)=是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1.
(1)求a，b的值；(3分)
(2)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；(5分)
(3)求使f(m-1)+f(2m-1)<0成立的实数m的取值范围.(5分)
解　(1)因为函数f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，所以f(0)=0，即b=0；
又f(1)=1，即=1，解得a=2.
经检验a=2，b=0时，f(x)=是定义在[-1，1]上的奇函数.
(2)函数f(x)在[-1，1]上单调递增，证明如下：
设 x1，x2∈[-1，1]且x1则f(x1)-f(x2)=-
=
=，
因为-1≤x10，x1x2-1<0，(+1)(+1)>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)(3)由(1)(2)知f(x)=在[-1，1]上单调递增，因为f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，由f(m-1)+f(2m-1)<0，得f(m-1)<-f(2m-1)=f(1-2m)，
所以即
解得0≤m<.
所以所求实数m的取值范围是.