【学霸笔记】周测21 三角函数的图象与性质（教师版）人教A版(2019)数学必修第一册--高中同步周周测

周测21　三角函数的图象与性质
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.在区间上单调递减，且为奇函数的是(　　)
A.y=sin x B.y=sin 2x
C.y=cos x D.y=cos 2x
答案　B
解析　由函数为奇函数，可得C，D错误；因为函数y=sin x在上单调递增，
且x∈，2x∈，易知函数y=sin 2x在上单调递减，故A错误，B正确.
2.若|cos α|=-cos α，则(　　)
A.2kπ-≤α≤2kπ+，k∈Z
B.2kπ+≤α≤2kπ+π，k∈Z
C.2kπ≤α≤2kπ+π，k∈Z
D.α是第二或第三象限角
答案　B
解析　由|cos α|=-cos α，
则cos α≤0，作出余弦函数在一个周期内的图象并观察，
得2kπ+≤α≤2kπ+π，k∈Z，故B正确，A，C错误；当α=时，|cos α|=-cos α成立，此时α既不是第二象限角，也不是第三象限角，故D错误.
3.函数f(x)=-cos在区间上的最大值为(　　)
A.-1 B.-
C. D.0
答案　C
解析　因为x∈，所以-≤2x-≤，
所以当2x-=时，函数f(x)取得最大值，所以f(x)max=-cos=.
4.函数f(x)=sin|x|在[-π，0)∪(0，π]上的图象大致是(　　)
答案　B
解析　∵f(x)的定义域为[-π，0)∪(0，π]，f(-x)=sin|x|=-f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除C，D选项；
在区间(0，1)上，x-<0，sin|x|>0，则有f(x)<0，
在区间(1，π)上，x->0，sin|x|>0，则有f(x)>0，故排除A选项.
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在区间上单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f等于(　　)
A.- B.-
C. D.
答案　D
解析　因为f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在区间上单调递增，
又直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，
所以=-=，T=π，
又ω>0，则ω==2，
当x=时，f(x)取得最小值，则2·+φ=2kπ-，k∈Z，则φ=2kπ-，k∈Z，
所以f(x)=sin=sin，
所以f=sin=sin=sin=.
6.若函数f(x)=6cos(x+φ)在上单调递减，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　令2kπ≤x+φ≤2kπ+π(k∈Z)，
解得2kπ-φ≤x≤2kπ+π-φ(k∈Z)，
因为f(x)在上单调递减，
所以(k∈Z)，
解得2kπ≤φ≤+2kπ(k∈Z)，
又-<φ<，
故k=0，0≤φ≤，
则φ的取值范围是.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列不等式中成立的是(　　)
A.sin 80°>sin 10°
B.cos 400°>cos(-50°)
C.sin 3>sin 2
D.sin>cos
答案　ABD
解析　因为y=sin x在上单调递增，
所以sin 80°>sin 10°，故A正确；
cos 400°=cos(360°+40°)=cos 40°，cos(-50°)=cos 50°，
又y=cos x在上单调递减，
所以cos 40°>cos 50°，
所以cos 400°>cos(-50°)，故B正确；
因为y=sin x在上单调递减，
所以sin 3sin=sin=-sin，cos=cos=-cos，
又0则-又=cos则-1所以sin>cos，故D正确.
8.已知函数f(x)=tan+1，则(　　)
A.f(x)的一个周期为2
B.f(x)的定义域是
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在区间[1，2]上单调递增
答案　ACD
解析　对于A，由f(x)=tan+1可知其最小正周期T==2，故A正确；
对于B，令x+≠+kπ，k∈Z，则x≠+2k，k∈Z，则f(x)的定义域是，故B错误；
对于C，当x=时，x+=，
又y=tan x的图象关于点对称，
则f(x)=tan+1的图象关于点对称，故C正确；
对于D，当x∈[1，2]时，x+∈，
又y=tan x在上单调递增，显然 ，则f(x)在[1，2]上单调递增，故D正确.
9.定义min{A，B}=设函数f(x)=min{sin x，cos x}，给出f(x)以下四个论断，其中正确的是(　　)
A.是最小正周期为2π的奇函数
B.图象关于直线x=对称，最大值为
C.是最小值为-1的偶函数
D.在区间上单调递增，且f(x)是周期函数
答案　BD
解析　由题意知，函数f(x)=min{sin x，cos x}图象如下，
由图象可知f(x)是非奇非偶函数，并且周期为2π，函数图象关于直线x=对称，最大值为，在区间上单调递增.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.已知函数f(x)=cos是奇函数，且φ∈，则φ的值为　　　　.
答案　
解析　由已知，得+φ=kπ+(k∈Z)，
所以φ=kπ+(k∈Z)，
又因为φ∈，
所以当k=0时，φ=符合题意.
11.不等式-1≤tan≤的解集是　　　　　　　　　.
答案　，k∈Z
解析　因为函数y=tan x在，k∈Z上单调递增，
则由-1≤tan≤得，-+kπ≤x+≤+kπ，k∈Z，
解得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
所以不等式-1≤tan≤的解集是，k∈Z.
12.函数f(x)=cos2x+sin x+，x∈的最大值是　　　　.
答案　2
解析　∵f(x)=cos2x+sin x+
=-sin2x+sin x+，x∈，
令sin x=t，t∈[0，1]，∴g(t)=-t2+t+，t∈[0，1]，对称轴为t=，
故函数g(t)在上单调递增，在上单调递减，又g=-++=2，
∴函数f(x)=cos2x+sin x+，x∈的最大值是2.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知函数f(x)=1-2sin x.
(1)用“五点法”作出函数f(x)在[0，2π]上的简图；(5分)
(2)若关于x的方程f(x)=a在上有两个实根，求实数a的取值范围.(7分)
解　(1)列表.
x 0 π 2π
f(x) 1 -1 1 3 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来.
(2)因为关于x的方程f(x)=1-2sin x=a，即sin x=在上有两个实根，
则y=sin x与y=的图象在上有两个不同的交点，
因为x∈，所以sin x∈[-1，1]，
作出函数y=sin x在上的图象，如图所示.
又sin=-，sin=-1，sin=，sin=1，
由图象可得，-1<≤-或≤<1，
解得1+≤a<3或-1故实数a的取值范围是(-1，0]∪[1+，3).
14.(12分)已知函数f(x)=cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(5分)
(2)若关于x的方程f(x)=m在区间上有实数解，求实数m的取值范围，并求出m取得最小值时x的值.(7分)
解　(1)由已知得，函数f(x)=cos的最小正周期T==π，
令2kπ≤2x-≤π+2kπ，k∈Z，得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)当-≤x≤时，-≤2x-≤，
所以-≤cos≤1，
即f(x)∈，因为方程f(x)=m在区间上有解，
所以m的取值范围是[-1，]，当m取得最小值-1时，2x-=，得x=.
即当x=时，m取得最小值.
15.(13分)已知函数f(x)=sin-，g(x)=2cos-2-m，
(1)求函数f(x)的单调递减区间；(4分)
(2)求函数g(x)的最大值、最小值及对应x值的集合；(4分)
(3)若对任意x1∈，存在x2∈，使得f(x1)=g(x2)，求实数m的取值范围.(5分)
解　(1)因为f(x)=sin-=-sin-，
若函数f(x)单调递减，则2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)当2x+=2kπ，即x=kπ-，k∈Z时， g(x)max=-m；
当2x+=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z 时，g(x)min=-m-4.
故函数g(x)的最大值为-m，对应的x值的集合为；
函数g(x)的最小值为-m-4，对应的x值的集合为.
(3)当x1∈时，-≤-2x1≤，
所以-≤f(x1)≤，
当x2∈时，-≤2x2+≤，
所以-m-2-≤g(x2)≤-m，
因为对任意x1∈，存在x2∈，使得f(x1)=g(x2)，
则
即--≤m≤-，
所以m的取值范围是.