【学霸笔记】周测25 三角函数图象及性质的综合应用（教师版）人教A版(2019)数学必修第一册--高中同步周周测

周测25　三角函数图象及性质的综合应用
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1. 下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为π的是(　　)
A.y=-sin x B.y=|cos x|
C.y=|sin x| D.y=sin
答案　B
解析　y=-sin x的最小正周期是2π，y=sin的最小正周期是T==4π，故排除A，D；
B，C项两个函数的最小正周期都是π，当x∈时，y=|cos x|=-cos x单调递增，y=|sin x|=sin x单调递减，故排除C，选B.
2.在内正弦曲线与正切曲线的交点个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.5
答案　A
解析　当x∈时，sin x>tan x；
当x=0时，sin x=tan x；
当x∈时，tan x>sin x，
所以在内正弦曲线与正切曲线的交点个数为1.
3.若函数f(x)=sin 2x+2cos2x+m在区间上的最大值为6，则常数m的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　f(x)=sin 2x+2cos2x+m
=sin 2x+cos 2x+m+1
=2sin+m+1，当0≤x≤时，≤2x+≤，则函数的最大值为2+m+1=m+3=6，解得m=3.
4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两相邻对称轴之间的距离为，且f为偶函数，则φ等于(　　)
A. B.-
C.- D.
答案　B
解析　因为f(x)图象的两相邻对称轴之间的距离为，所以最小正周期T=π=，
则ω=2，所以f=sin，
因为f为偶函数，所以φ+=+kπ，k∈Z，
解得φ=-+kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ=-.
5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为，且f(x)的图象经过点，则关于x的方程f(x)=sin x在[0，2π]上的不同解的个数为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.8
答案　C
解析　因为函数f(x)的最小正周期为，
所以=，解得ω=3.
因为f(x)的图象经过点，
所以2sin(π+φ)=-2sin φ=1，即sin φ=-.
又|φ|<，
所以φ=-，
所以f(x)=2sin.
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=2sin及y=sin x在[0，2π]上的图象，
如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.
6.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx，其中ω>0.若f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A.(0，4] B.
C. D.∪
答案　D
解析　由题意得，函数f(x)=sin ωx+cos ωx=sin，
∵函数f(x)在区间上单调递增，
∴-=≤=，∴0<ω≤4，
∵x∈，∴+<ωx+<+.
若函数f(x)在区间上单调递增，
则k∈Z，解得-+4k≤ω≤+，k∈Z，
当k=0时，0<ω≤；当k=1时，≤ω≤3；
当k取其他值时不满足0<ω≤4.综上，ω的取值范围为∪.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知函数f(x)=cos x(sin x-cos x)，则下列说法不正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在区间上单调
C.f(x)的图象关于直线x=-对称
D.f(x)的图象关于点对称
答案　ABD
解析　f(x)=cos x(sin x-cos x)=cos xsin x-cos2x=sin 2x-cos 2x-=sin-，函数f(x)的最小正周期T==π，A错误；
由-+kπ≤2x-≤+kπ，k∈Z，解得-+≤x≤+，k∈Z，所以f(x)的单调区间为，k∈Z，显然不是其子集，B错误；
由2x-=k'π+(k'∈Z)，解得x=+(k'∈Z)，当k'=-1时，x=-，所以函数f(x)的图象关于直线x=-对称，C正确；
由2x-=k1π(k1∈Z)，解得x=+(k1∈Z)，当k1=0时，x=，f=-，所以函数f(x)的图象关于点对称，D错误.
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.f(x)的最小正周期为6
B.f(x+5)=f(5-x)
C.将f(x)的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称
D.f(x)在区间[3，5]上单调递增
答案　ABD
解析　由图可知A=2，f(0)=2sin φ=1，
所以sin φ=，因为|φ|<，所以φ=，
则f(x)=2sin，
又f=2sin=0，ω<0，
所以+=2kπ，k∈Z，则ω=-+4kπ，k∈Z，
又=->，所以-π<ω<0，故ω=-，
则f(x)=2sin，则T==6，故A正确；
f(5)=2sin=2，
所以直线x=5是f(x)=2sin的一条对称轴，故B正确；
f=2sin，图象不关于原点对称，故C错误；
当x∈[3，5]时，-x+∈，
此时f(x)在区间[3，5]上单调递增，故D正确.
9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点A(0，1)和B(x0，-2)(x0>0)，且满足|AB|min=，则下列结论正确的是(　　)
A.φ=
B.ω=
C.当x∈时，函数f(x)的值域为
D.函数y=x-f(x)有三个零点
答案　ABD
解析　点A(0，1)代入解析式得，2sin(ω×0+φ)=1，即sin φ=，
又∵|φ|<，∴φ=，故A项正确；
由|AB|min==，解得x0=±2，
又∵x0>0，∴x0=2，
由A项可知f(x)=2sin，则f(2)=2sin=-2，
因此sin=-1，∴2ω+=+2kπ(k∈N)，解得ω=+kπ(k∈N)，又∵A(0，1)，B(2，-2)和|AB|min=，∴<2<，解得<ω<π，∴ω=，故B项正确；
由AB选项可知，f(x)=2sin，则当x∈时，x+∈，此时函数f(x)的值域为，故C项错误；
由五点作图法作出f(x)=2sin的图象及y=x的图象，如图所示，
通过图象可知f(x)=2sin与y=x的图象有3个交点，
因此函数y=x-f(x)有三个零点，故D项正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.已知函数f(x)=tan(x+φ)的图象关于点中心对称，则φ的一个值可以是　　　　.
答案　-(答案不唯一)
解析　因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以+φ=，k∈Z，则φ=-+，k∈Z，令k=0，则φ=-.
11.若函数f(x)=sin 2x-cos 2x在[0，t]上的值域为[-，2]，则t的取值范围为　　　　.
答案　
解析　由题意得，f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin，
因为x∈[0，t]，所以2x-∈，
令2x-=，解得x=；令2x-=，解得x=，
所以当x=0时，函数值是-；
当x=时，函数值是2；
当x=时，函数值是-，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且值域为，
所以t的取值范围为.
12.函数f(x)=1+cosπ+xsin(1+x)π在区间上的所有零点之和为　　　　　.
答案　8
解析　由题意可得，f(x)=1+cosπ+xsin(1+x)π =1+cos+xsin(π+πx)=1+sin πx-xsin πx，
令f(x)=0，且f(1)=1≠0，可得sin πx=(x≠1)，
因为y=sin πx与y=(x≠1)的图象均关于点(1，0)对称，且区间也关于点(1，0)对称，作出y=sin πx与y=的函数图象如图所示，
由图可设y=sin πx与y=在上的交点横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，
根据对称性可得x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，
故函数f(x)在区间上的所有零点之和为2×4=8.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知函数f(x)=sin(2x+φ).
(1)求函数f(x)的解析式；(6分)
(2)求函数f(x)在上的值域.(6分)
请从①函数f(x)的图象关于直线x=对称；②函数y=f的图象关于原点对称；③函数f(x)在上单调递减，在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解　(1)若选①.因为函数f(x)的图象关于直线x=对称，
所以2×+φ=+kπ，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ=，
所以f(x)=sin.
若选②.因为函数y=f
=sin的图象关于原点对称，
所以-+φ=kπ，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z，
又|φ|<，
所以φ=，所以f(x)=sin.
若选③.因为函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以函数f(x)在x=-处取得最小值，
则f=sin=-1，
则2×+φ=-+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，
又|φ|<，
所以φ=，所以f(x)=sin.
(2)由(1)可得，函数f(x)=sin，
因为x∈，所以2x+∈，
所以当2x+=-，即x=-时，f(x)min=sin=-1；
当2x+=，即x=时，f(x)max=sin=.
综上，函数f(x)在上的值域为.
14.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；(5分)
(2)函数y=f(x)-k在上有两个不同的零点x1，x2，求实数k的取值范围及f(x1+x2)的值.(7分)
解　(1)由题图知，A=2，=-=，
所以T=π，ω==2，
因为图象过点，所以2×+φ=+2kπ，k∈Z，
解得φ=+2kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ=，
所以f(x)=2sin.
(2)列表得，
x 0
f(x) 2 0 -2 -1
作出函数f(x)在上的图象，如图所示，
函数y=f(x)-k的零点，即函数y=f(x)与y=k图象交点的横坐标，
由图可得，k∈(-2，-1]∪[，2)，
当k∈[，2)时，x1+x2=2×=，则f(x1+x2)=f=；
当k∈(-2，-1]时，x1+x2=2×=，则f(x1+x2)=f=.
综上，f(x1+x2)的值为.
15.(13分)已知函数f(x)=2sin2-cos 2x.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(6分)
(2)若存在x∈，使得f(x)>m2+m成立，求实数m的取值范围.(7分)
解　(1)因为f(x)=1-cos-cos 2x=sin 2x-cos 2x+1=sin+1，
令2x-=kπ+(k∈Z)，解得x=+(k∈Z).
所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)因为x∈，
所以2x-∈，
当2x-=-，即x=-时，f(x)取最大值，即f=+1.
因为存在x∈，使得f(x)>m2+m成立，
所以m2+m<+1，解得--1故实数m的取值范围为(--1，1).