人教版九年级数学上册第二十三章 旋转 教案（6个课时）

第二十三章　旋　转
23.1　图形的旋转
第1课时　旋转的概念及性质
1.认识旋转这一图形变换并了解其相关概念.
2.探索并发现旋转的性质，并能利用性质证明线段相等或角相等，能解决一些实际问题.（重点、难点）
一、新课导入
这些运动有什么共同的特点？
二、新知探究
（一）旋转的概念
【思考】下述图形中，从△ABC到△A'B'C'的运动，有什么特点？
【归纳总结】在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.转动的方向分为顺时针与逆时针.
【思考】根据上图填空.
旋转中心是点　O　.
图中对应点有　点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'　.
图中对应线段有　线段CA与C'A'，CB与C'B'，AB与A'B'　.
每对对应线段的长度有怎样的关系？　相等　.
图中旋转角等于　115°　.
（二）旋转的性质
【思考】
1. A，B，C，D，E，F到点O的距离是否相等？
2.∠AOD，∠BOE，∠COF有什么关系？
3.△OAB，△OBC，△OAC，△ODE，△OEF，△ODF全等吗？
【归纳总结】旋转的性质：
1.对应点到旋转中心的距离相等.
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3.旋转前、后的图形全等.
4.旋转中心是唯一不动的点.
几何语言表示，如图.
性质1：对应点到旋转中心的距离相等.由旋转得OA＝OA'，OB＝OB'，OC＝OC'.
性质2：旋转角相等.由旋转得∠AOA'＝∠BOB'＝∠COC'.
性质3：旋转前、后的图形全等.由旋转得△ABC≌△A'B'C'.
【思考】借助上图，如何确定它们的旋转中心位置？
找到两条对应点连线段的垂直平分线的交点.
三、新知应用
例1　如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
【提示】关键是确定△ADE三个顶点的对应点，即它们旋转后的位置.
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身.在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋转后点D与点B重合.设点E的对应点为点E'.
因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，
所以∠ABE'＝∠ADE＝90°，BE'＝DE.
因此，在CB的延长线上取点E'，使BE'＝DE，
则△ABE'为旋转后的图形.
例2　如图，将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.
求证：△BCF≌△BA1D.
证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C.由旋转的性质，可得A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBF.
在△BCF与△BA1D中，∴BCF≌△BA1D（ASA）.
四、课堂小结
旋转
五、课堂训练
1.下列现象中属于旋转的有（　C　）
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；
④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.如图，△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC＝4，AC＝3，则下列说法正确的是（　D　）
A. DE＝3B. AE＝4
C.∠CAB是旋转角D.∠CAE是旋转角
3.如图，E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE'C的度数.
解：连接EE'，由旋转性质知BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
∴∠BE'E＝45°，EE'＝2.
在△EE'C中，E'C＝1，EC＝3，EE'＝2，由勾股定理逆定理可知∠EE'C＝90°，
∴∠BE'C＝∠BE'E＋∠EE'C＝135°.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、归纳和动手操作，体会图形变换思想.
第2课时　旋转作图
1.掌握旋转作图的一般步骤.（重点）
2.会利用简单的旋转作图.（难点）
一、新课导入
旋转的性质：
1.对应点到旋转中心的距离相等.
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3.旋转前、后的图形全等.
4.旋转中心是唯一不动的点.
二、新知探究
选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果.
（一）不同的旋转中心
把以下图形进行旋转：
（1）选择不同的旋转中心，看看旋转的效果.
（2）两个旋转中，旋转角不变，　旋转中心　改变了，产生了　不同　的旋转效果.
（二）不同的旋转角
把以下图形进行旋转：
（1）选择不同的旋转角，看看旋转的效果.
（2）两个旋转中，旋转中心不变，　旋转角　改变了，产生了　不同　的旋转效果.
三、新知应用
【动手操作】下面的图形（左图）是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O顺时针依次旋转90°，180°，270°，依次画出旋转后的图形，你会得到一个美丽的图案，涂色部分不要涂错，否则不能出现理想的效果，你来试一试吧！
和同桌分享一下你的成果吧！
【归纳总结】旋转作图的基本步骤：
①明确旋转三要素：
旋转中心、旋转方向和旋转角度.
②找出关键点.
③将关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此点的对应点.
④作出新图形.
四、课堂小结
旋转作图
五、课堂训练
1.将下面图形绕点O顺时针旋转90°，得到图形是（　B　）
第1题图
A. B.
C. D.
2.将如图所示图形沿MN翻折180°，再旋转180°，所得图形是（　D　）
第2题图
A. B.
C. D.
3.画出下图所示的四边形ABCD以点O为中心，旋转角为60°的旋转图形.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，应重点关注：
（1）点评的针对性、典型性；
（2）给学生相对充足的时间与空间.
23.2　中心对称
23.2.1　中心对称
1.理解中心对称的定义.
2.探究中心对称的性质.（重点）
3.掌握中心对称的性质及其应用.（难点）
一、新课导入
以点O为中心，把点A顺时针旋转180°，请画出旋转后的点A'.
前面我们研究了旋转及其性质，今天研究一类特殊的旋转——中心对称及其性质.
二、新知探究
（一）中心对称的概念
【思考】观察下列图形的运动，说一说它们有什么共同点.
共同点：旋转角为180°，其中一个图形绕点O旋转180°后与另一个图形重合.
【归纳总结】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.
这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.
注意：
1.中心对称是一种特殊的旋转.其旋转角是180°.
2.中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.
（二）中心对称的性质
【探究】如图，三角尺的一个顶点是O，旋转三角尺，按下面过程作图：
第一步，画出△ABC；
第二步，以点O为中心，把三角尺旋转180°，画出△A'B'C'；
第三步，移开三角尺.
【思考】这样画出的△ABC与△A'B'C'关于点O对称吗？
分别连接线段OA，OA'，OB，OB'，OC，OC'.猜想中心对称的性质是什么？
【归纳总结】中心对称的性质：
1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
2.中心对称的两个图形是全等图形.
注意：中心对称的两个图形，对称中心是对称点所连线段的中点.
旋转的性质 中心对称的性质
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分
对应点到旋转中心的距离相等
旋转前、后的图形全等 中心对称的两个图形是全等图形
（三）中心对称与轴对称的异同
轴对称　　　　　　中心对称
中心对称 轴对称
有一条对称轴——直线 有一个对称中心——点
图形沿轴对折（翻转180°） 图形绕中心旋转180°
翻转后和另一个图形重合 旋转后和另一个图形重合
三、新知应用
例1　请你判断下面几何图形中的两个三角形中心对称吗？
（1）如图1，平行四边形ABCD对角线交于点O.
（2）如图2，等边△ABC，D，E，F为三边中点.
（3）如图3，等腰梯形ABCD，对角线交于点O.
图1 图2 图3
解：（1）是.（2）否.（3）否.
例2　（1）选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A'.
解：连接AO并延长，在AO的延长线上截取OA'＝OA，点A'即为所求的点.
（2）如图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.
解：①作出A，B，C三点关于点O的对称点A'，B'，C'；
②依次连接A'B'，C'A'，B'C'各点；
③△A'B'C'为所求的三角形.
四、课堂小结
中心对称
五、课堂训练
1.判断正误：
（1）轴对称的两个图形一定是全等形，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形.（　√　）
（2）成中心对称的两个图形一定是全等图形.但全等的两个图形不一定是中心对称图形.（　√　）
（3）全等的两个图形，不是中心对称图形，就是轴对称图形.（　 　）
2.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（　B　）
A.2 B.4 C.6 D.8
3.如图，选择点O为对称中心，画出与线段AB关于点O对称的线段A'B'.
解：①连接AO并延长，截取OA'＝OA，得到点A的对称点A'；
②同样画点B的对称点B'；
③连接A'B'.线段A'B'为所求的线段.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，结合图形的旋转学习中心对称，体会图形变换思想方法.
23.2.2　中心对称图形
1.会识别中心对称图形.
2.会运用中心对称图形的性质解决实际问题.（重点、难点）
一、新课导入
什么叫做轴对称图形？轴对称图形有哪些性质？
二、新知探究
（一）中心对称图形的定义
【思考】将下面的图形绕点O旋转，你有什么发现？
共同点：（1）都绕一点旋转了180°；（2）都与原图形完全重合.
【归纳总结】中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
注意：中心对称图形是指一个图形.
【思考】判断下列图形是否是中心对称图形？
【思考】观察图形，并回答下面的问题：
（1）哪些只是轴对称图形？　（3）（4）（6）　.
（2）哪些只是中心对称图形？　（1）　.
（3）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？　（2）（5）　.
（二）中心对称图形的性质
【归纳总结】中心对称图形与轴对称图形有什么区别与联系？
中心对称图形 轴对称图形
有一条对称轴——直线 有一个对称中心——点
图形沿轴对折（翻转180°） 图形绕对称中心（旋转180°）
翻转前、后的图形完全重合 旋转前、后的图形完全重合
轴对称图形和中心对称图形都是指一个图形
【思考】
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形.
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形.
（3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形.
三、新知应用
例　请你用无刻度的直尺画一条直线把它们分成面积相等的两部分，你怎样画？
【归纳总结】对于这种由两个中心对称图形组成的复合图形，平分面积时，关键找到它们的对称中心，再过对称中心作直线.
四、课堂小结
中心对称图形
五、课堂训练
1.下列图案都是由字母“m”经过变形、组合而成的，其中不是中心对称图形的是（　B　）
A. B.
C. D.
2.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，已知AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为　3　.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，结合图形多观察、多归纳，体会认识中心对称图形的方法，认识中心对称图形的特征.
23.2.3　关于原点对称的点的坐标
1.掌握两点关于原点对称时，横纵坐标的关系.（重点、难点）
2.会在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形.（重点）
一、新课导入
在平面内，两条线互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.
在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.
点（x，y）关于x轴的对称点的坐标为　（x，－y）　.
在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.
点（x，y）关于y轴的对称点的坐标为　（－x，y）　.
二、新知探究
（一）关于原点对称的点的坐标特征
【思考】如何确定平面直角坐标系中点P（a，b）关于原点对称的点P'的坐标？
【探究】在直角坐标系中，作出下列点关于原点的对称点，并写出它们的坐标.
A（4，0），B（0，－3），C（2，1），D（－1，2），E（－3，－4）
【思考】关于原点对称的两个点的坐标之间有什么关系？
点 关于原点对称的点
A（4，0） A'（－4，0）
B（0，－3） B'（0，3）
C（2，1） C'（－2，－1）
D（－1，2） D'（1，－2）
E（－3，－4） E'（3，4）
关于原点对称的点的坐标关系特点：
横坐标、纵坐标的符号相反.
【归纳总结】点P（a，b）关于原点对称的点的坐标为P'（－a，－b）；
点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为P'（a，－b）；
点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为P'（－a，b）.
简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”.
（二）作关于原点对称的点
问题　如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形.
解：△ABC的三个顶点A（－4，1），B（－1，－1），C（－3，2）关于原点的对称点分别为A'（4，－1），B'（1，1），C'（3，－2）.依次连接A'B'，B'C'，C'A'，就可得到与△ABC关于原点对称的△A'B'C'.
【归纳总结】作关于原点对称的图形的步骤：
①写出图形顶点坐标；
②写出图形顶点关于原点的对称点的坐标；
③描点；
④顺次连接；
⑤得到对应图形.
三、新知应用
例　如图所示，AB∥CD∥x轴，且AB＝CD＝3，点A坐标为（－1，1），若C（1，－1），
（1）写出点B，D坐标.
（2）你发现点A，B，C，D坐标之间有何特征？
解：（1）∵AB∥CD∥x轴，点A坐标为（－1，1），点C（1，－1），∴点B，D的纵坐标分别是1，－1.
∵AB＝CD＝3，∴B（2，1），
D（－2，－1）.
（2）点A，C关于原点对称.同理，点B，D关于原点对称.
四、课堂小结
关于原 点对称 的点的 坐标
五、课堂训练
1.点P（1，3）关于x轴的对称点的坐标是　（1，－3）　，关于y轴的对称点的坐标是　（－1，3）　，关于原点的对称点的坐标是　（－1，－3）　.
2.若点A（m，－2），B（1，n）关于原点对称，则m＝　－1　，n＝　2　.
3.点G（4，0）与点H（－4，0）关于　y轴或原点　对称.
【拓展提高】
4.试写出直线y＝3x－5关于原点对称的直线的函数解析式.
解：y＝3x＋5.
六、布置作业
　　本节课利用课件展示图片，激发学生学习兴趣，调动学生的积极性，使学生以最佳状态投入到学习中去.通过动手绘图培养学生动手操作能力，同时也加深了学生对两点关于原点对称时，横纵坐标的关系的掌握，使学生在学习交流的基础上会在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历探究关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，将实际问题转化为数学问题，体会数形结合思想.
23.3　课题学习　图案设计
1.利用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计.（重点）
2.认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用.
3.观察图案，能将基本图形从组合图案中辨析出来，并说出基本图形的变换过程.（难点）
一、新课导入
定义 基本性质
平移 是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移 1.图形平移前后的形状和大小没有变化（全等），只是位置发生变化； 2.图形平移前后，对应点之间的连线平行（或在同一直线上）且相等； 3.对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等
轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称 1.成轴对称的两个图形全等； 2.如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线
旋转 在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转 1.对应点到旋转中心的距离相等； 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3.旋转前、后的图形全等
二、新知探究
（一）分析图案设计
观察下面的图案，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？
图形“”经过旋转、轴对称和平移得到的.
【思考】
1.想一想这三种图形变换有什么共性.
三种图形变换的共性：
①形状不变、大小不变；
②变换前后，两个图形全等，对应线段、对应角相等.
2.图形变换的本质是什么？
图形变换的本质是“简单图形的复杂变换”，将三种变换结合可以构造更为复杂的优美图案.
【思考】在日常生活中我们经常能看到各种美丽的图案，这些美丽的图案是怎么设计出来的？
（二）设计图案
【合作探究】
1.分析图案的形成过程要注意些什么？
分析图案的形成过程，应注意运用平移、轴对称、旋转进行描述，只要合理就行.
2.图案设计的关键是什么？
选取简单的基本几何图形，然后通过不同的变换组合出美丽的图案.
【动手操作】你能利用平移、轴对称和旋转的组合设计图案吗？试一试，并与同学互相交流.
三、新知应用
例1　分析下列图案的形成过程.
基本图案 图案的形成过程
例2　如图，已知△ABC、直线l及点A2.
（1）请画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
（2）如果点A1与A2关于某点成中心对称，请标出这个对称中心O，并画出与△A1B1C1关于点O成中心对称的△A2B2C2.
解：（1）作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可，△A1B1C1即为所求.
（2）连接A1A2，则线段A1A2的中点即为点O，再画出△A1B1C1关于点O成中心对称的图形，△A2B2C2即为所求.
四、课堂小结
图案的设计
五、课堂训练
用直尺、圆规、三角尺再设计一个新颖的（课堂上未见过的）美丽图案.
六、布置作业
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历运用平移、旋转、轴对称的组合进行简单的图案设计的过程，体会图形的分析与设计过程.