人教版九年级数学上册第二十四章 圆 教案（11个课时）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学上册第二十四章 圆 教案（11个课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-25 22:01:11 | ||
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文档简介
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
1.理解圆的定义及表示方法.（重点）
2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点）
一、新课导入
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
二、新知探究
（一）圆的定义
我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了.大约在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆的木轮.很早之前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样就成了最初的车子.2000多年前，墨子给出圆的定义“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早很多年.
【思考】如何得到一个圆？
【思考】观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
【归纳总结】
1.圆的动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.
2.有关概念：圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”.
3.确定一个圆的两个要素：一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.
【思考】圆上的点都具有什么特征？
圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）.
同一个圆上所有的半径都相等.
【深入思考】从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长（半径r） .
（2）到定点的距离等于定长的点都在 同一个圆上 .
【归纳总结】圆的静态定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
三、新知应用
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD.
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.
（二）与圆有关的概念
1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.如图中的AB，AC都是弦，AB是直径.
特别注意： ①弦和直径都是线段. ②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
劣弧与优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的.
3.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.
容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
【思考】长度相等的弧是等弧吗？
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
实际上这两条弧弯曲程度不同，这两条弧 不可能 完全重合.
注意：“等弧”要区别于“长度相等的弧”.
结论：等弧仅存在于同圆或等圆中.
四、课堂小结
圆
五、课堂训练
1.判断下列说法的正误.
（1）直径是弦.（ √ ）
（2）弦是直径.（ ）
（3）直径是最长的弦.（ √ ）
（4）半圆是弧.（ √ ）
（5）弧是半圆.（ ）
（6）半圆是最长的弧.（ ）
（7）过圆心的线段是直径.（ ）
（8）过圆心的直线是直径.（ ）
（9）长度相等的弧是等弧.（ ）
（10）半径相等的两个半圆是等弧.（ √ ）
2.一点和☉O上的最近点距离为4cm，最远的距离为10cm，则这个圆的半径是 7cm或3cm .
3.如图：
（1）请写出以点A为端点的优弧及劣弧.
解：劣弧：，，，；
优弧：，，，.
（2）请写出以点A为端点的弦及直径.
解：以点A为端点的弦是AF，AB，AC，其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
解：答案不唯一，如：弦AF，它所对的劣弧是，优弧是.
六、布置作业
教学过程中，强调学生自己动手画圆，了解圆形成的过程，同时讨论、交流各自发现的圆的有关的性质.
24.1.2 垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂径定理的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
一、新课导入
你知道赵州桥吗？它距今约有1400年的历史，是我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
二、新知探究
（一）垂径定理
【探究】剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.
【思考】你能证明你的结论吗？
证明：如图，设CD是☉O的任意一条直径，A为☉O上点C，D以外的任意一点.过点A作AB⊥CD，交☉O于点B，垂足为E，连接OA，OB.
在△OAB中，∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形.
又AB⊥CD，∴AE＝BE，即CD是AB的垂直平分线.因此，☉O关于直线CD对称.
【思考】如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E.因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把☉O折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：AE＝BE.
相等的弧：＝，＝.
即直径CD平分弦AB，并且平分，.
【归纳总结】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE，＝，＝.
（二）垂径定理的推论
【思考】分析下列图形是否具备垂径定理的条件？
是 不是
是 不是
【深入思考】如图，当直径CD平分弦AB时，CD与AB垂直吗？与，与相等吗？如果弦AB也是直径，上述结论是否成立？
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【归纳总结】根据垂径定理与其推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备下述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
【思考】你能任选一种情况证明吗？
如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使AE＝BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）与相等吗？与相等吗？为什么？
解：（1）连接AO，BO，则AO＝BO，
又AE＝BE，∴△AOE≌△BOE，
∴∠AEO＝∠BEO＝90°.
∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得＝，＝.
【思考】根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗？
解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.
由题设可知AB＝37，CD＝7.23，
∴AD＝AB＝18.5，OD＝OC－CD＝R－7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，
即R2＝18.52＋（R－7.23）2.解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
三、新知应用
例1 如图，☉O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于点D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA.∵CE⊥AB于点D，
∴AD＝AB＝×8＝4（cm）.
设OC＝xcm，则OD＝（x－2）cm.根据勾股定理，得x2＝42＋（x－2）2.
解得x＝5，即半径OC的长为5cm.
例2 已知：☉O中的弦AB∥CD，求证：＝.
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD，
则＝，＝.
∴－＝－.
∴＝.
【归纳总结】解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
四、课堂小结
垂径定理
五、课堂训练
1.判断下列说法的正误.
（1）平分弧的直径必平分弧所对的弦.（ √ ）
（2）平分弦的直线必垂直弦.（ ）
（3）垂直于弦的直径平分这条弦.（ √ ）
（4）平分弦的直径垂直于这条弦.（ ）
（5）弦的垂直平分线是圆的直径.（ ）
（6）平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦.（ √ ）
（7）在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧.（ ）
2.已知☉O中，弦AB＝8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 5cm .
3.如图，OE⊥AB于点E，若☉O的半径为10cm，OE＝6cm，则AB＝ 16 cm.
4.一弓形弦长为4cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为 2cm或12cm .
六、布置作业
教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关.在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.
24.1.3 弧、弦、圆心角
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）
一、新课导入
问题1 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
问题2 圆除了旋转180°后能与自身重合外，旋转的角度是多少的时候也能与原图形重合？
圆是特殊的中心对称图形，圆心是它的对称中心.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
二、新知探究
（一）圆心角、弧、弦
圆心角的定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
如图，∠AOB为圆心角，圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为.
（二）圆心角、弧、弦之间的关系
【探究】那么圆心角、弧、弦这三个量之间会有什么关系呢？
【思考】在☉O中，如果圆心角∠AOB＝∠COD，那么，弦AB与CD，弧与有怎样的数量关系？
由圆的旋转的性质，可以得到：
在☉O中，如果∠AOB＝∠COD，
那么，AB＝CD，＝.
【思考】如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A1O1B1，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB＝∠A1O1B1，那么，AB＝A1B1，＝.
【归纳总结】弧、弦与圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
几何语言：∵∠AOB＝∠A'OB'，∴AB＝A'B'，＝.
【深入思考】
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，它们所对的圆心角和弦有什么关系？
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，它们所对的圆心角和弧有什么关系？
【归纳总结】
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
【思考】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
三、新知应用
例1 如图，在☉O中，＝，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
证明：∵＝，∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形.又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，AB＝BC＝CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2 如图所示，AB是☉O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB交圆于点C，DN⊥AB交圆于点D，求证：＝.
证明：连接OC，OD.
∵M，N分别是AO，BO的中点，OA＝OB，∴OM＝ON.
在Rt△COM和Rt△DON中，
∵OC＝OD，OM＝ON，
∴Rt△COM≌Rt△DON（HL）.
∴∠AOC＝∠BOD.∴＝.
四、课堂小结
弧、弦、圆心角
五、课堂训练
1.如图，AB，CD是☉O的两条弦.
（1）如果AB＝CD，那么 ＝ ， ∠AOB＝∠COD .
（2）如果＝，那么 AB＝CD ， ∠AOB＝∠COD .
（3）如果∠AOB＝∠COD，那么 AB＝CD ， ＝ .
（4）如果AB＝CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE与OF相等吗？为什么？
解：OE＝OF.因为三角形全等或全等三角形同一边上的高相等.
2.在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为＝ 60° .
3.如图，在☉O中，AD＝BC，求证：＝.
证明：∵AD＝BC.∴＝.
∴＋＝＋，
即＝.∴＝.
六、布置作业
教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.
24.1.4 圆周角
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
一、新课导入
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫做圆心角，图中∠BOC为圆心角.
【思考】如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点？
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，C两点.
二、新知探究
（一）圆周角的概念
如前图中的∠BAC，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
注意：两个条件必须同时具备，缺一不可.
判断下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（1）是；（2）不是，顶点不在圆上；（3）不是，边AC没有和圆相交；（4）不是，顶点不在圆上；（5）是；（6）是.
（二）圆周角定理及其推论
【思考】如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.可以发现∠BAC与∠BOC对着同一条弧，试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系？
∠BAC＝∠BOC.
【合作探究】为了证明上面猜想的结论，在☉O上任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会出现三种情况：
在∠BAC的一边上 在∠BAC的内部 在∠BAC的外部
分析第一种情况：圆心O在∠BAC的一边上.
∠BAC＝∠BOC.
分析第二种情况：当圆心O在∠BAC的内部时，可以添加辅助线，转化为第一种情况.
∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝（∠BOD＋∠DOC）＝∠BOC.
分析第三种情况：当圆心O在∠BAC的外部时，同理可证.
∠BAC＝∠DAC－∠BAD＝（∠DOC－∠BOD）＝∠BOC.
【归纳总结】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
进一步，还可以得到圆周角定理的推论（请你自己完成证明）：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
三、新知应用
例1 如图，☉O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交☉O于点D，求BC，AD，BD的长.
解：连接OD.∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝＝＝8（cm）.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD＝BD＝AB＝×10＝5（cm）.
例2 如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD＝60°，∠ADC＝70°.求∠APC的度数.
解：连接BC，则∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°.
又∠BAD＝∠DCB＝30°，
∴∠APC＝∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
（三）圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.
【猜想】∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系是什么？
∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
【思考】如何证明你的猜想呢？
证明：如图，连接OB，OD.∵∠A所对的弧为，
∠C所对的弧为.又和所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝＝180°.同理∠B＋∠D＝180°.
【归纳总结】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
四、课堂小结
圆周角
五、课堂训练
1.如图，BD是☉O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为（ C ）
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.在☉O中，弦AB所对圆心角为40°，则弦AB所对的圆周角为 20°或160° .
3.如图，AB为☉O的直径，CF⊥AB于点E，交☉O于点D，AF交☉O于点G.求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于☉O，∴∠C＋∠AGD＝180°.又∠AGD＋∠FGD＝180°，∴∠FGD＝∠C.
∵AB为☉O的直径，CF⊥AB于点E，
∴AB垂直平分CD.∴AC＝AD.
∴∠ADC＝∠C.∴∠FGD＝∠ADC.
4.在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比是2∶3∶6.求这个四边形各角的度数.
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x，3x，6x.
∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°.∴2x＋6x＝180°.∴x＝22.5°.
∴∠A＝45°，∠B＝67.5°，∠C＝135°，∠D＝180°－67.5°＝112.5°.
六、布置作业
教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用.在圆中，利用圆周角定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑.
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.（难点）
3.了解反证法的证明思想.
一、新课导入
问题 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
二、新知探究
（一）点和圆的三种位置关系
观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外.
【思考】设☉O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系.
OA＜r，OB＝r，OC＞r.
【思考】反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？
设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
点和圆的位置关系
符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
三、新知应用
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝4.
（1）以点A为圆心，4为半径作☉A，则点B，C，D与☉A的位置关系如何？
解：AD＝4＝r，故点D在☉A上；
AB＝3＜r，故点B在☉A内；
AC＝5＞r，故点C在☉A外.
（2）若以点A为圆心作☉A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求☉A的半径r的取值范围.（直接写出答案）
解：3＜r＜5.
（二）不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆和外心
回顾：过一点可作几条直线？过两点呢？
经过一点可以作无数条直线；过两点有且只有一条直线（直线公理）.
【思考】确定一个圆需要多少个点？一个点、两个点还是三个点呢？
探究1 平面上有一点A，经过已知点A的圆有几个？圆心在哪里？
结论：过一点可以画无数个圆.圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.
探究2 平面上有两点A，B，经过已知点A，B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？
结论：过两点可以画无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，以这点到点A或点B的距离为半径作圆.
探究3 平面上有不在同一条直线上的三个点A，B，C，经过A，B，C三点的圆有几个？圆心在哪里？
（1）经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
（2）经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
（3）经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【归纳总结】不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
注意：
①三点不在同一直线上；
②有且只有一个圆.
外接圆与外心：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
【深入探究】分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内部；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外部.
（三）反证法
例2 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A，B，C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学应建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？（自己独立完成）
【思考】经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.
反证法的定义：先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾（常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾），由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
【归纳总结】反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：
（1）命题的结论是否定型的；
（2）命题的结论是无限型的；
（3）命题的结论是“至多”或“至少”型的.
例3 用反证法求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ，
则 ∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° .
∴ ∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180° ，
即 ∠A＋∠B＋∠C＞180° .
这与 三角形的内角和为180度 矛盾，假设不成立.
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60° .
四、课堂小结
1.点和圆的位置关系（OP＝d）：
（1）点P在圆内 d＜r
（2）点P在圆上 d＝r
（3）点P在圆外 d＞r
2.不在同一直线上的三点确定一个圆.
3.反证法的定义及步骤.
五、课堂训练
1.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（ B ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ D ）
A.第①块 B.第④块
C.第③块 D.第②块
3.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则它的外接圆半径＝ 5 .
【拓展提高】
4.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的点P有几个？直接写出点P的坐标.
解：满足条件的点P有4个.点P的坐标为P1（，0），
P2（－，0），P3（4，0），
P4.
六、布置作业
教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂直平分线的交点.在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
1.了解直线和圆的位置关系.
2.了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念.
3.理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系.（重点）
4.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算和证明.（难点）
一、新课导入
回顾：点和圆的位置关系有几种？（令OP＝d）
（1）点P在圆内 d＜r
（2）点P在圆上 d＝r
（3）点P在圆外 d＞r
二、新知探究
（一）直线和圆的三种位置关系
问题 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
【归纳总结】
1.直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个点叫交点.
2.直线和圆只有一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个点叫切点.
3.直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离.
（二）直线和圆的三种位置关系的判定方法
【思考】上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？类比点和圆的关系，你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？
【思考】怎样用d（圆心与直线的距离）来判别直线与圆的位置关系呢？
【归纳总结】用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分：
直线和圆相交 d＜r；
直线和圆相切 d＝r；
直线和圆相离 d＞r.
【归纳总结】判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
（2）根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.
在实际应用中，常采用第二种方法判定.
三、新知应用
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r＝2cm；（2）r＝2.4cm；（3）r＝3cm.
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在△ABC中，AB＝＝＝5（cm）.
根据三角形的面积公式有CD×AB＝AC×BC.
∴CD＝＝＝2.4（cm），即圆心C到AB的距离d＝2.4cm.
∴（1）当r＝2cm时，有d＞r，因此☉C和AB相离.
（2）当r＝2.4cm时，有d＝r，因此☉C和AB相切.
（3）当r＝3cm时，有d＜r，因此☉C和AB相交.
四、课堂小结
直线与 圆的位 置关系
五、课堂训练
1.看图判断直线l与☉O的位置关系.
解：（1）相离；（2）相交；（3）相切；（4）相交；（5）相交.
2.已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d：
（1）若d＝4.5cm，则直线与圆 相交 ，直线与圆有 2 个公共点.
（2）若d＝6.5cm，则直线与圆 相切 ，直线与圆有 1 个公共点.
（3）若d＝8cm，则直线与圆 相离 ，直线与圆有 0 个公共点.
3.☉O的半径为5，直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（ A ）
A.相交或相切 B.相交或相离
C.相切或相离 D.上三种情况都有可能
六、布置作业
教学过程中，强调学生从实际生活中感受，体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程.
第2课时 切线的判定与性质
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）
一、新课导入
设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，
（1） d＞r ，直线l和圆O相离；
（2） d＝r ，直线l和圆O相切；
（3） d＜r ，直线l和圆O相交.
下面，我们重点研究直线和圆相切的情况.
二、新知探究
（一）切线的判定方法
【思考】在☉O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和☉O有什么位置关系？
可以看出，圆心O到直线l的距离就是☉O的半径，直线l就是☉O的切线.
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何语言：如图，∵OA是☉O的半径，OA⊥l，
∴直线l是☉O的切线.
在生活中，有许多直线和圆相切的实例.例如，下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠，用砂轮打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的.
【归纳总结】判断一条直线是一个圆的切线的方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d＝r）时，直线与圆相切.
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【思考】已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
作法：
（1）作射线OP；
（2）以点P为圆心，小于OP的长为半径作弧交射线OP于A，B两点；
（3）分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点；
（4）作直线MN.
直线MN就是所求作的切线，如图.
（二）切线的性质
【思考】在☉O中，如果直线l是☉O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直？
切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
几何语言：如图，∵直线l是☉O的切线，切点为A，∴OA⊥l.
用反证法证明切线的性质定理：
假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD，垂足为M，则OM＜OA，即圆心到直线CD的距离小于☉O的半径，因此，CD与☉O相交.这与已知条件“直线与☉O相切”相矛盾.所以AB与CD垂直.
三、新知应用
例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与☉O相切于点D.求证：AC是☉O的切线.
证明：连接OD，OA，过点O作OE⊥AC，垂足为E.
∵☉O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE＝OD，即OE是☉O半径.
∴AC是☉O的切线.
例2 已知：如图，直线AB经过☉O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是☉O的切线.
证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.又OC是☉O的半径，∴AB是☉O的切线.
例3 如图，☉O切PB于点B，PB＝4，PA＝2，则☉O的半径是多少？
解：连接OB，则∠OBP＝90°.设☉O的半径为r，则OA＝OB＝r，OP＝OA＋PA＝（2＋r）.在Rt△OBP中，OB2＋PB2＝OP2，即r2＋42＝（2＋r）2.
解得r＝3，即☉O的半径是3.
【归纳总结】
1.证切线时辅助线的添加方法：
（1）无交点，作垂直，证半径；
（2）有交点，连半径，证垂直.
2.有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.
四、课堂小结
1.切线的判定方法
2.切线的性质 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
3.证切线时常用的辅助线添加方法：
（1）有交点，连半径，证垂直；
（2）无交点，作垂直，证半径.
4.有切线时常用的辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.
五、课堂训练
1.判断下列命题是否正确.
（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）
（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（ ）
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ √ ）
（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（ √ ）
2.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过点D的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ C ）
A.40° B.35° C.30° D.45°
3.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.求证：CD与☉O相切.
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.
∵☉O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.
又ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，∴CD与☉O相切.
六、布置作业
教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思维.
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
1.会作三角形的内切圆，理解三角形内心的含义和性质.
2.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）
3.能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.（难点）
一、新课导入
1.切线的判定定理是什么？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理是什么？
圆的切线垂直于过切点的半径.
二、新知探究
（一）切线长定理
【思考】上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
注意：切线和切线长是两个不同的概念：
①切线是直线，不能度量；
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
【思考】如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言表示：
∵PA，PB分别切☉O于点A，B，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
【思考】如图PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点.求证：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
证明：连接OA和OB.
∵PA是☉O的切线，
∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.又OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP.∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
【归纳总结】我们学过的切线，常有以下性质：
1.切线和圆只有一个公共点；
2.切线和圆心的距离等于圆的半径；
3.切线垂直于过切点的半径；
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
三、新知应用
例1 PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点，直线OP交☉O于点D，E，交AB于点C.
（1）写出图中所有的垂直关系.
解：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC相等的角.
解：∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC.
（3）写出图中所有的全等三角形.
解：△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
解：△ABP，△AOB.
（二）三角形的内切圆
【思考】如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面裁下一块圆形的用料，并且使裁下的圆与三角形的三条边相切？
【交流讨论】如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
（1）如果半径为r的☉I与三角形的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
（2）在三角形的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
【自主学习】已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
（1）作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O；
（2）过点O作OD⊥BC，垂足为D；
（3）以O为圆心，OD为半径作☉O.
☉O就是所求的圆.
【归纳总结】
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
如图：☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边垂直平分线的交点 1. OA＝OB＝OC 2.外心不一定在三角形的内部
内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1.到三边的距离相等 2.内心在三角形内部
例2 △ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长.
解：设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得（13－x）＋（9－x）＝14.解得x＝4.∴AF＝4，BD＝5，CE＝9.
四、课堂小结
切线长定理
三角形的内切圆
五、课堂训练
1.如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别是A，B，如果AP＝4，∠APB＝40°，则∠APO＝ 20° ，PB＝ 4 .
2.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，则∠BOC＝ 110° .
3.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为C，求△ABC的面积S.
解：如图，记△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，分别作OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，垂足分别为F，E，D，则OF＝OE＝OD＝r.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△COA＝AB·r＋BC·r＋CA·r＝r＝Cr.
六、布置作业
教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题.明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.
24.3 正多边形和圆
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.（重点）
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
一、新课导入
什么样的图形是正多边形？
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
二、新知探究
日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案.
【思考】正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
【思考】正多边形和圆的关系非常密切，正多边形和圆之间有什么关系呢？
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
接下来，以圆内接正五边形为例证明.
如图，把☉O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
∵＝＝＝＝，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝3＝.∴∠A＝∠B.
同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在☉O上，
∴五边形ABCDE是☉O的内接正五边形，☉O是正五边形ABCDE的外接圆.
【归纳总结】
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径：外接圆的半径.
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
【思考】完成下面的表格：
正多边形边数 内角 中心角 外角
3 60° 120° 120°
4 90° 90° 90°
6 120° 60° 60°
n
正多边形的外角＝中心角
三、新知应用
例 有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
解：过点O作OM⊥BC于点M，连接OB，OC.△OBC为等边三角形，所以正六边形的边长等于它的半径.因此，亭子地基的周长l＝6×4＝24（m）.
在Rt△OMB中，OB＝4m，MB＝＝＝2（m），
利用勾股定理，可得边心距r＝＝2（m）.
亭子地基的面积S＝lr＝×24×2≈41.6（m2）.
【归纳总结】圆内接正多边形的辅助线：
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
【思考】怎样画一个正多边形呢？
问题1 已知☉O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
以2cm为半径作一个☉O，用量角器画一个120°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的3个等分点，顺次连接各等分点，即可得到正三角形.
问题2 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
四、课堂小结
正多边形和圆
五、课堂训练
1.如图所示，正五边形ABCDE内接于☉O，则∠ADE的度数是（ C ）
A.60° B.45° C.36° D.30°
2.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（ A ）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜b D. c＜b＜a
3.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P为六边形内任一点，则点P到各边距离之和是多少？
解：过点P作AB，DE的垂线，分别交AB，DE于点H，K，连接BD，作CG⊥BD于点G.
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，BD∥HK.∴点P到AF与CD的距离之和，及点P到EF与BC的距离之和均为HK的长，且HK＝BD.∵BC＝CD＝2，∠BCD＝＝120°，∴∠CBD＝30°，CG＝，BG＝DG.由勾股定理，得BG＝3. BD＝2BG＝6.∴点P到各边距离之和是3BD＝3×6＝18.
六、布置作业
教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.（重点）
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（难点）
一、新课导入
生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？
圆的周长公式：2πr或πd.（r表示圆的半径，d表示圆的直径）
圆的面积公式：πr2.
二、新知探究
（一）弧长
【思考】弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分；扇形是圆的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？
问题1 如图所示，在半径为R的☉O上，有两动点A，B，当A，B两点在圆上运动时，想一想弧AB的长度与什么因素有关？
与∠AOB的大小有关.
当∠AOB＝360°时，弧AB的长表示什么意思？
☉O的周长，即l＝2πR.
当∠AOB＝1°时呢？弧AB的长与整个圆的周长是什么关系？
此时弧AB的长是整个圆的周长的，即l＝×2πR.
当∠AOB＝2°时，弧AB的长呢？
弧AB的长是整个圆的周长的，即l＝×2πR.
当∠AOB＝n°时，弧AB的长呢？
弧AB的长是整个圆的周长的，即l＝×2πR.
【归纳总结】弧AB的长l＝×2πR＝，这就是弧长的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径.
弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长：l＝×2πR＝.
注意：①在应用弧长公式l＝进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②区分弧、弧的度数、弧长三概念.度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧.
三、新知应用
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度L.（结果取整数）
解：由弧长公式，得的长l＝＝500π≈1570（mm）.因此所要求的展直长度L≈2×700＋1570＝2970（mm）.
答：管道的展直长度L为2970mm.
（二）扇形面积
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
如图，阴影部分是一个扇形，记作扇形OAB.
问题2 你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？
类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形AOB的面积也与圆心角∠AOB的大小有关.
当∠AOB＝360°时，扇形AOB的面积就是整个圆的面积，即S＝πR2.
当∠AOB＝1°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即S＝×πR2.
当∠AOB＝2°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即S＝×πR2.
当∠AOB＝n°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即S＝×πR2.
【归纳总结】扇形AOB的面积S＝×πR2，这就是扇形面积的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径.
【思考】现在我们用从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式l＝和扇形面积的计算公式S＝，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？
都含有π；都与圆心角度数n有关；都与圆的半径R有关……
实际上，扇形的面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？
因为S＝＝××R，而l＝，所以S＝lR.
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（精确到0.01m）.
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC.
∵OC＝0.6m，DC＝0.3m，∴OD＝OC－DC＝0.3（m），∴OD＝DC.
又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
有水部分的面积：S＝S扇形OAB－S△OAB＝×0.62－AB·OD＝0.12π－×0.6×0.3≈0.22（m2）.
【归纳总结】弓形的面积公式
S弓形＝S扇形－S三角形 S弓形＝S扇形＋S三角形
四、课堂小结
1.弧长 计算公式：l＝
2.扇形 计算公式
五、课堂训练
1.运用弧长计算公式解决下列各题：
（1）半径为3cm，圆心角为30°的弧长为 cm；
（2）半径为6cm，圆心角为120°的弧长为 4π cm；
（3）半径为4cm，长度为2π的弧所对的圆心角是 90 度；
（4）圆心角为150°，长度为5π的弧所在圆的半径是 6 .
2.运用扇形面积计算公式解决下列各题：
（1）半径为3cm，圆心角为30°的扇形面积为 cm2 ；
（2）半径为6cm，圆心角为120°的扇形面积为 12πcm2 ；
（3）半径为4cm，面积为4π的扇形所对应的圆心角是 90° ；
（4）圆心角为150°，面积为π的扇形所在圆的半径是 2 .
3.（1）如图①，以△ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 π ；
（2）如图②，若将三角形改为四边形，其他条件不变，则阴影部分的面积是 π ；
（3）若改为n边形，其他条件不变，则阴影部分的面积是 π .
六、布置作业
教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活运用割补法、转换法等.
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
1.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积的计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题.（重点）
2.探索圆锥侧面积和全面积的计算公式并应用它们解决现实生活中的一些实际问题.（难点）
一、新课导入
上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得它们是怎样的吗？
弧长l＝.（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的半径）
扇形面积S＝.（其中n表示扇形的圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）
二、新知探究
（一）圆锥的概念
下面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？
【思考】它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面.我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
【思考】一个圆锥有多少条母线呢？它们是相等的吗？
有无数条，它们是相等的.
【归纳总结】从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高.
如果用r表示圆锥底面的半径，h表示圆锥的高线长，l表示圆锥的母线长，那么r，h，l之间数量关系由勾股定理，得r2＋h2＝l2.
（二）圆锥的侧面积
【思考】圆锥的侧面展开图是什么图形？
圆锥的侧面展开图是扇形.
【思考】沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？
如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.
（1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为 l ；
（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为 2πr ；
（3）因此圆锥的侧面积为 πrl ，圆锥的全面积为 πr（l＋r） .
三、新知应用
例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20π的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
解：设该圆锥底面的半径为r，母线的长为a.
2πr＝20π.可得r＝10.
又20π＝，可得a＝30.
∴该圆锥底面的半径为10，母线的长为30.
例2 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？（π取3.142，结果取整数）
解：如图是一个蒙古包的示意图.
依题意，下部圆柱的底面积为12m2，高h2＝1.8m；
上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4（m）.
圆柱的底面圆的半径r＝≈1.954（m），
侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10（m2）.
圆锥的母线长l≈≈2.404（m），
侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28（m），
圆锥的侧面积为×2.404×12.28≈14.76（m2）.
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×（22.10＋14.76）≈738（m2）.
四、课堂小结
圆锥的侧面积和全面积
五、课堂训练
1.圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 180° .
2.用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则该圆锥的底面半径是 20 cm.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ D ）
A.30π B.40π C.50π D.60π
4.如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到点B，请问它爬行的最短距离是多少？
解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB'，连接BB'，则BB'为蚂蚁走过的最短路径，设∠BAB'＝n°.∵AB＝AB'＝6，∴＝×π×6＝.又＝底面圆的周长＝2πr＝2π，∴＝2π.解得n＝60°，即∠BAB'＝60°.∵AB＝AB'＝6，∴△ABB'为等边三角形.∴BB'＝AB＝AB'＝6，即蚂蚁爬行的最短距离是6.
六、布置作业
教学过程中，强调学生应熟练掌握相关公式并会灵活运用.要充分发挥空间想象力，把立体图形与展开后的平面图形各个量准确对应起来.
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
1.理解圆的定义及表示方法.（重点）
2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点）
一、新课导入
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
二、新知探究
（一）圆的定义
我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了.大约在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆的木轮.很早之前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样就成了最初的车子.2000多年前，墨子给出圆的定义“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早很多年.
【思考】如何得到一个圆？
【思考】观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
【归纳总结】
1.圆的动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.
2.有关概念：圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”.
3.确定一个圆的两个要素：一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.
【思考】圆上的点都具有什么特征？
圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）.
同一个圆上所有的半径都相等.
【深入思考】从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长（半径r） .
（2）到定点的距离等于定长的点都在 同一个圆上 .
【归纳总结】圆的静态定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
三、新知应用
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD.
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.
（二）与圆有关的概念
1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.如图中的AB，AC都是弦，AB是直径.
特别注意： ①弦和直径都是线段. ②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
劣弧与优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的.
3.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.
容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
【思考】长度相等的弧是等弧吗？
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
实际上这两条弧弯曲程度不同，这两条弧 不可能 完全重合.
注意：“等弧”要区别于“长度相等的弧”.
结论：等弧仅存在于同圆或等圆中.
四、课堂小结
圆
五、课堂训练
1.判断下列说法的正误.
（1）直径是弦.（ √ ）
（2）弦是直径.（ ）
（3）直径是最长的弦.（ √ ）
（4）半圆是弧.（ √ ）
（5）弧是半圆.（ ）
（6）半圆是最长的弧.（ ）
（7）过圆心的线段是直径.（ ）
（8）过圆心的直线是直径.（ ）
（9）长度相等的弧是等弧.（ ）
（10）半径相等的两个半圆是等弧.（ √ ）
2.一点和☉O上的最近点距离为4cm，最远的距离为10cm，则这个圆的半径是 7cm或3cm .
3.如图：
（1）请写出以点A为端点的优弧及劣弧.
解：劣弧：，，，；
优弧：，，，.
（2）请写出以点A为端点的弦及直径.
解：以点A为端点的弦是AF，AB，AC，其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
解：答案不唯一，如：弦AF，它所对的劣弧是，优弧是.
六、布置作业
教学过程中，强调学生自己动手画圆，了解圆形成的过程，同时讨论、交流各自发现的圆的有关的性质.
24.1.2 垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂径定理的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
一、新课导入
你知道赵州桥吗？它距今约有1400年的历史，是我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
二、新知探究
（一）垂径定理
【探究】剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.
【思考】你能证明你的结论吗？
证明：如图，设CD是☉O的任意一条直径，A为☉O上点C，D以外的任意一点.过点A作AB⊥CD，交☉O于点B，垂足为E，连接OA，OB.
在△OAB中，∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形.
又AB⊥CD，∴AE＝BE，即CD是AB的垂直平分线.因此，☉O关于直线CD对称.
【思考】如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E.因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把☉O折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：AE＝BE.
相等的弧：＝，＝.
即直径CD平分弦AB，并且平分，.
【归纳总结】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE，＝，＝.
（二）垂径定理的推论
【思考】分析下列图形是否具备垂径定理的条件？
是 不是
是 不是
【深入思考】如图，当直径CD平分弦AB时，CD与AB垂直吗？与，与相等吗？如果弦AB也是直径，上述结论是否成立？
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【归纳总结】根据垂径定理与其推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备下述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
【思考】你能任选一种情况证明吗？
如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使AE＝BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）与相等吗？与相等吗？为什么？
解：（1）连接AO，BO，则AO＝BO，
又AE＝BE，∴△AOE≌△BOE，
∴∠AEO＝∠BEO＝90°.
∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得＝，＝.
【思考】根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗？
解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.
由题设可知AB＝37，CD＝7.23，
∴AD＝AB＝18.5，OD＝OC－CD＝R－7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，
即R2＝18.52＋（R－7.23）2.解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
三、新知应用
例1 如图，☉O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于点D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA.∵CE⊥AB于点D，
∴AD＝AB＝×8＝4（cm）.
设OC＝xcm，则OD＝（x－2）cm.根据勾股定理，得x2＝42＋（x－2）2.
解得x＝5，即半径OC的长为5cm.
例2 已知：☉O中的弦AB∥CD，求证：＝.
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD，
则＝，＝.
∴－＝－.
∴＝.
【归纳总结】解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
四、课堂小结
垂径定理
五、课堂训练
1.判断下列说法的正误.
（1）平分弧的直径必平分弧所对的弦.（ √ ）
（2）平分弦的直线必垂直弦.（ ）
（3）垂直于弦的直径平分这条弦.（ √ ）
（4）平分弦的直径垂直于这条弦.（ ）
（5）弦的垂直平分线是圆的直径.（ ）
（6）平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦.（ √ ）
（7）在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧.（ ）
2.已知☉O中，弦AB＝8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 5cm .
3.如图，OE⊥AB于点E，若☉O的半径为10cm，OE＝6cm，则AB＝ 16 cm.
4.一弓形弦长为4cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为 2cm或12cm .
六、布置作业
教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关.在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.
24.1.3 弧、弦、圆心角
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）
一、新课导入
问题1 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
问题2 圆除了旋转180°后能与自身重合外，旋转的角度是多少的时候也能与原图形重合？
圆是特殊的中心对称图形，圆心是它的对称中心.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
二、新知探究
（一）圆心角、弧、弦
圆心角的定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
如图，∠AOB为圆心角，圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为.
（二）圆心角、弧、弦之间的关系
【探究】那么圆心角、弧、弦这三个量之间会有什么关系呢？
【思考】在☉O中，如果圆心角∠AOB＝∠COD，那么，弦AB与CD，弧与有怎样的数量关系？
由圆的旋转的性质，可以得到：
在☉O中，如果∠AOB＝∠COD，
那么，AB＝CD，＝.
【思考】如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A1O1B1，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB＝∠A1O1B1，那么，AB＝A1B1，＝.
【归纳总结】弧、弦与圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
几何语言：∵∠AOB＝∠A'OB'，∴AB＝A'B'，＝.
【深入思考】
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，它们所对的圆心角和弦有什么关系？
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，它们所对的圆心角和弧有什么关系？
【归纳总结】
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
【思考】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
三、新知应用
例1 如图，在☉O中，＝，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
证明：∵＝，∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形.又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，AB＝BC＝CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2 如图所示，AB是☉O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB交圆于点C，DN⊥AB交圆于点D，求证：＝.
证明：连接OC，OD.
∵M，N分别是AO，BO的中点，OA＝OB，∴OM＝ON.
在Rt△COM和Rt△DON中，
∵OC＝OD，OM＝ON，
∴Rt△COM≌Rt△DON（HL）.
∴∠AOC＝∠BOD.∴＝.
四、课堂小结
弧、弦、圆心角
五、课堂训练
1.如图，AB，CD是☉O的两条弦.
（1）如果AB＝CD，那么 ＝ ， ∠AOB＝∠COD .
（2）如果＝，那么 AB＝CD ， ∠AOB＝∠COD .
（3）如果∠AOB＝∠COD，那么 AB＝CD ， ＝ .
（4）如果AB＝CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE与OF相等吗？为什么？
解：OE＝OF.因为三角形全等或全等三角形同一边上的高相等.
2.在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为＝ 60° .
3.如图，在☉O中，AD＝BC，求证：＝.
证明：∵AD＝BC.∴＝.
∴＋＝＋，
即＝.∴＝.
六、布置作业
教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.
24.1.4 圆周角
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
一、新课导入
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫做圆心角，图中∠BOC为圆心角.
【思考】如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点？
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，C两点.
二、新知探究
（一）圆周角的概念
如前图中的∠BAC，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
注意：两个条件必须同时具备，缺一不可.
判断下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（1）是；（2）不是，顶点不在圆上；（3）不是，边AC没有和圆相交；（4）不是，顶点不在圆上；（5）是；（6）是.
（二）圆周角定理及其推论
【思考】如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.可以发现∠BAC与∠BOC对着同一条弧，试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系？
∠BAC＝∠BOC.
【合作探究】为了证明上面猜想的结论，在☉O上任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会出现三种情况：
在∠BAC的一边上 在∠BAC的内部 在∠BAC的外部
分析第一种情况：圆心O在∠BAC的一边上.
∠BAC＝∠BOC.
分析第二种情况：当圆心O在∠BAC的内部时，可以添加辅助线，转化为第一种情况.
∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝（∠BOD＋∠DOC）＝∠BOC.
分析第三种情况：当圆心O在∠BAC的外部时，同理可证.
∠BAC＝∠DAC－∠BAD＝（∠DOC－∠BOD）＝∠BOC.
【归纳总结】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
进一步，还可以得到圆周角定理的推论（请你自己完成证明）：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
三、新知应用
例1 如图，☉O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交☉O于点D，求BC，AD，BD的长.
解：连接OD.∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝＝＝8（cm）.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD＝BD＝AB＝×10＝5（cm）.
例2 如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD＝60°，∠ADC＝70°.求∠APC的度数.
解：连接BC，则∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°.
又∠BAD＝∠DCB＝30°，
∴∠APC＝∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
（三）圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.
【猜想】∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系是什么？
∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
【思考】如何证明你的猜想呢？
证明：如图，连接OB，OD.∵∠A所对的弧为，
∠C所对的弧为.又和所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝＝180°.同理∠B＋∠D＝180°.
【归纳总结】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
四、课堂小结
圆周角
五、课堂训练
1.如图，BD是☉O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为（ C ）
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.在☉O中，弦AB所对圆心角为40°，则弦AB所对的圆周角为 20°或160° .
3.如图，AB为☉O的直径，CF⊥AB于点E，交☉O于点D，AF交☉O于点G.求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于☉O，∴∠C＋∠AGD＝180°.又∠AGD＋∠FGD＝180°，∴∠FGD＝∠C.
∵AB为☉O的直径，CF⊥AB于点E，
∴AB垂直平分CD.∴AC＝AD.
∴∠ADC＝∠C.∴∠FGD＝∠ADC.
4.在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比是2∶3∶6.求这个四边形各角的度数.
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x，3x，6x.
∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°.∴2x＋6x＝180°.∴x＝22.5°.
∴∠A＝45°，∠B＝67.5°，∠C＝135°，∠D＝180°－67.5°＝112.5°.
六、布置作业
教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用.在圆中，利用圆周角定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑.
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.（难点）
3.了解反证法的证明思想.
一、新课导入
问题 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
二、新知探究
（一）点和圆的三种位置关系
观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外.
【思考】设☉O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系.
OA＜r，OB＝r，OC＞r.
【思考】反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？
设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
点和圆的位置关系
符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
三、新知应用
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝4.
（1）以点A为圆心，4为半径作☉A，则点B，C，D与☉A的位置关系如何？
解：AD＝4＝r，故点D在☉A上；
AB＝3＜r，故点B在☉A内；
AC＝5＞r，故点C在☉A外.
（2）若以点A为圆心作☉A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求☉A的半径r的取值范围.（直接写出答案）
解：3＜r＜5.
（二）不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆和外心
回顾：过一点可作几条直线？过两点呢？
经过一点可以作无数条直线；过两点有且只有一条直线（直线公理）.
【思考】确定一个圆需要多少个点？一个点、两个点还是三个点呢？
探究1 平面上有一点A，经过已知点A的圆有几个？圆心在哪里？
结论：过一点可以画无数个圆.圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.
探究2 平面上有两点A，B，经过已知点A，B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？
结论：过两点可以画无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，以这点到点A或点B的距离为半径作圆.
探究3 平面上有不在同一条直线上的三个点A，B，C，经过A，B，C三点的圆有几个？圆心在哪里？
（1）经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
（2）经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
（3）经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【归纳总结】不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
注意：
①三点不在同一直线上；
②有且只有一个圆.
外接圆与外心：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
【深入探究】分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内部；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外部.
（三）反证法
例2 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A，B，C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学应建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？（自己独立完成）
【思考】经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.
反证法的定义：先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾（常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾），由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
【归纳总结】反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：
（1）命题的结论是否定型的；
（2）命题的结论是无限型的；
（3）命题的结论是“至多”或“至少”型的.
例3 用反证法求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ，
则 ∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° .
∴ ∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180° ，
即 ∠A＋∠B＋∠C＞180° .
这与 三角形的内角和为180度 矛盾，假设不成立.
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60° .
四、课堂小结
1.点和圆的位置关系（OP＝d）：
（1）点P在圆内 d＜r
（2）点P在圆上 d＝r
（3）点P在圆外 d＞r
2.不在同一直线上的三点确定一个圆.
3.反证法的定义及步骤.
五、课堂训练
1.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（ B ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ D ）
A.第①块 B.第④块
C.第③块 D.第②块
3.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则它的外接圆半径＝ 5 .
【拓展提高】
4.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的点P有几个？直接写出点P的坐标.
解：满足条件的点P有4个.点P的坐标为P1（，0），
P2（－，0），P3（4，0），
P4.
六、布置作业
教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂直平分线的交点.在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
1.了解直线和圆的位置关系.
2.了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念.
3.理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系.（重点）
4.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算和证明.（难点）
一、新课导入
回顾：点和圆的位置关系有几种？（令OP＝d）
（1）点P在圆内 d＜r
（2）点P在圆上 d＝r
（3）点P在圆外 d＞r
二、新知探究
（一）直线和圆的三种位置关系
问题 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
【归纳总结】
1.直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个点叫交点.
2.直线和圆只有一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个点叫切点.
3.直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离.
（二）直线和圆的三种位置关系的判定方法
【思考】上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？类比点和圆的关系，你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？
【思考】怎样用d（圆心与直线的距离）来判别直线与圆的位置关系呢？
【归纳总结】用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分：
直线和圆相交 d＜r；
直线和圆相切 d＝r；
直线和圆相离 d＞r.
【归纳总结】判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
（2）根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.
在实际应用中，常采用第二种方法判定.
三、新知应用
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r＝2cm；（2）r＝2.4cm；（3）r＝3cm.
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在△ABC中，AB＝＝＝5（cm）.
根据三角形的面积公式有CD×AB＝AC×BC.
∴CD＝＝＝2.4（cm），即圆心C到AB的距离d＝2.4cm.
∴（1）当r＝2cm时，有d＞r，因此☉C和AB相离.
（2）当r＝2.4cm时，有d＝r，因此☉C和AB相切.
（3）当r＝3cm时，有d＜r，因此☉C和AB相交.
四、课堂小结
直线与 圆的位 置关系
五、课堂训练
1.看图判断直线l与☉O的位置关系.
解：（1）相离；（2）相交；（3）相切；（4）相交；（5）相交.
2.已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d：
（1）若d＝4.5cm，则直线与圆 相交 ，直线与圆有 2 个公共点.
（2）若d＝6.5cm，则直线与圆 相切 ，直线与圆有 1 个公共点.
（3）若d＝8cm，则直线与圆 相离 ，直线与圆有 0 个公共点.
3.☉O的半径为5，直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（ A ）
A.相交或相切 B.相交或相离
C.相切或相离 D.上三种情况都有可能
六、布置作业
教学过程中，强调学生从实际生活中感受，体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程.
第2课时 切线的判定与性质
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）
一、新课导入
设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，
（1） d＞r ，直线l和圆O相离；
（2） d＝r ，直线l和圆O相切；
（3） d＜r ，直线l和圆O相交.
下面，我们重点研究直线和圆相切的情况.
二、新知探究
（一）切线的判定方法
【思考】在☉O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和☉O有什么位置关系？
可以看出，圆心O到直线l的距离就是☉O的半径，直线l就是☉O的切线.
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何语言：如图，∵OA是☉O的半径，OA⊥l，
∴直线l是☉O的切线.
在生活中，有许多直线和圆相切的实例.例如，下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠，用砂轮打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的.
【归纳总结】判断一条直线是一个圆的切线的方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d＝r）时，直线与圆相切.
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【思考】已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
作法：
（1）作射线OP；
（2）以点P为圆心，小于OP的长为半径作弧交射线OP于A，B两点；
（3）分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点；
（4）作直线MN.
直线MN就是所求作的切线，如图.
（二）切线的性质
【思考】在☉O中，如果直线l是☉O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直？
切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
几何语言：如图，∵直线l是☉O的切线，切点为A，∴OA⊥l.
用反证法证明切线的性质定理：
假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD，垂足为M，则OM＜OA，即圆心到直线CD的距离小于☉O的半径，因此，CD与☉O相交.这与已知条件“直线与☉O相切”相矛盾.所以AB与CD垂直.
三、新知应用
例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与☉O相切于点D.求证：AC是☉O的切线.
证明：连接OD，OA，过点O作OE⊥AC，垂足为E.
∵☉O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE＝OD，即OE是☉O半径.
∴AC是☉O的切线.
例2 已知：如图，直线AB经过☉O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是☉O的切线.
证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.又OC是☉O的半径，∴AB是☉O的切线.
例3 如图，☉O切PB于点B，PB＝4，PA＝2，则☉O的半径是多少？
解：连接OB，则∠OBP＝90°.设☉O的半径为r，则OA＝OB＝r，OP＝OA＋PA＝（2＋r）.在Rt△OBP中，OB2＋PB2＝OP2，即r2＋42＝（2＋r）2.
解得r＝3，即☉O的半径是3.
【归纳总结】
1.证切线时辅助线的添加方法：
（1）无交点，作垂直，证半径；
（2）有交点，连半径，证垂直.
2.有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.
四、课堂小结
1.切线的判定方法
2.切线的性质 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
3.证切线时常用的辅助线添加方法：
（1）有交点，连半径，证垂直；
（2）无交点，作垂直，证半径.
4.有切线时常用的辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.
五、课堂训练
1.判断下列命题是否正确.
（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）
（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（ ）
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ √ ）
（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（ √ ）
2.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过点D的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ C ）
A.40° B.35° C.30° D.45°
3.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.求证：CD与☉O相切.
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.
∵☉O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.
又ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，∴CD与☉O相切.
六、布置作业
教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思维.
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
1.会作三角形的内切圆，理解三角形内心的含义和性质.
2.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）
3.能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.（难点）
一、新课导入
1.切线的判定定理是什么？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理是什么？
圆的切线垂直于过切点的半径.
二、新知探究
（一）切线长定理
【思考】上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
注意：切线和切线长是两个不同的概念：
①切线是直线，不能度量；
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
【思考】如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言表示：
∵PA，PB分别切☉O于点A，B，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
【思考】如图PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点.求证：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
证明：连接OA和OB.
∵PA是☉O的切线，
∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.又OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP.∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
【归纳总结】我们学过的切线，常有以下性质：
1.切线和圆只有一个公共点；
2.切线和圆心的距离等于圆的半径；
3.切线垂直于过切点的半径；
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
三、新知应用
例1 PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点，直线OP交☉O于点D，E，交AB于点C.
（1）写出图中所有的垂直关系.
解：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC相等的角.
解：∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC.
（3）写出图中所有的全等三角形.
解：△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
解：△ABP，△AOB.
（二）三角形的内切圆
【思考】如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面裁下一块圆形的用料，并且使裁下的圆与三角形的三条边相切？
【交流讨论】如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
（1）如果半径为r的☉I与三角形的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
（2）在三角形的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
【自主学习】已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
（1）作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O；
（2）过点O作OD⊥BC，垂足为D；
（3）以O为圆心，OD为半径作☉O.
☉O就是所求的圆.
【归纳总结】
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
如图：☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边垂直平分线的交点 1. OA＝OB＝OC 2.外心不一定在三角形的内部
内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1.到三边的距离相等 2.内心在三角形内部
例2 △ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长.
解：设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得（13－x）＋（9－x）＝14.解得x＝4.∴AF＝4，BD＝5，CE＝9.
四、课堂小结
切线长定理
三角形的内切圆
五、课堂训练
1.如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别是A，B，如果AP＝4，∠APB＝40°，则∠APO＝ 20° ，PB＝ 4 .
2.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，则∠BOC＝ 110° .
3.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为C，求△ABC的面积S.
解：如图，记△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，分别作OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，垂足分别为F，E，D，则OF＝OE＝OD＝r.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△COA＝AB·r＋BC·r＋CA·r＝r＝Cr.
六、布置作业
教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题.明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.
24.3 正多边形和圆
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.（重点）
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
一、新课导入
什么样的图形是正多边形？
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
二、新知探究
日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案.
【思考】正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
【思考】正多边形和圆的关系非常密切，正多边形和圆之间有什么关系呢？
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
接下来，以圆内接正五边形为例证明.
如图，把☉O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
∵＝＝＝＝，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝3＝.∴∠A＝∠B.
同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在☉O上，
∴五边形ABCDE是☉O的内接正五边形，☉O是正五边形ABCDE的外接圆.
【归纳总结】
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径：外接圆的半径.
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
【思考】完成下面的表格：
正多边形边数 内角 中心角 外角
3 60° 120° 120°
4 90° 90° 90°
6 120° 60° 60°
n
正多边形的外角＝中心角
三、新知应用
例 有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
解：过点O作OM⊥BC于点M，连接OB，OC.△OBC为等边三角形，所以正六边形的边长等于它的半径.因此，亭子地基的周长l＝6×4＝24（m）.
在Rt△OMB中，OB＝4m，MB＝＝＝2（m），
利用勾股定理，可得边心距r＝＝2（m）.
亭子地基的面积S＝lr＝×24×2≈41.6（m2）.
【归纳总结】圆内接正多边形的辅助线：
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
【思考】怎样画一个正多边形呢？
问题1 已知☉O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
以2cm为半径作一个☉O，用量角器画一个120°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的3个等分点，顺次连接各等分点，即可得到正三角形.
问题2 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
四、课堂小结
正多边形和圆
五、课堂训练
1.如图所示，正五边形ABCDE内接于☉O，则∠ADE的度数是（ C ）
A.60° B.45° C.36° D.30°
2.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（ A ）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜b D. c＜b＜a
3.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P为六边形内任一点，则点P到各边距离之和是多少？
解：过点P作AB，DE的垂线，分别交AB，DE于点H，K，连接BD，作CG⊥BD于点G.
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，BD∥HK.∴点P到AF与CD的距离之和，及点P到EF与BC的距离之和均为HK的长，且HK＝BD.∵BC＝CD＝2，∠BCD＝＝120°，∴∠CBD＝30°，CG＝，BG＝DG.由勾股定理，得BG＝3. BD＝2BG＝6.∴点P到各边距离之和是3BD＝3×6＝18.
六、布置作业
教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.（重点）
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（难点）
一、新课导入
生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？
圆的周长公式：2πr或πd.（r表示圆的半径，d表示圆的直径）
圆的面积公式：πr2.
二、新知探究
（一）弧长
【思考】弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分；扇形是圆的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？
问题1 如图所示，在半径为R的☉O上，有两动点A，B，当A，B两点在圆上运动时，想一想弧AB的长度与什么因素有关？
与∠AOB的大小有关.
当∠AOB＝360°时，弧AB的长表示什么意思？
☉O的周长，即l＝2πR.
当∠AOB＝1°时呢？弧AB的长与整个圆的周长是什么关系？
此时弧AB的长是整个圆的周长的，即l＝×2πR.
当∠AOB＝2°时，弧AB的长呢？
弧AB的长是整个圆的周长的，即l＝×2πR.
当∠AOB＝n°时，弧AB的长呢？
弧AB的长是整个圆的周长的，即l＝×2πR.
【归纳总结】弧AB的长l＝×2πR＝，这就是弧长的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径.
弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长：l＝×2πR＝.
注意：①在应用弧长公式l＝进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②区分弧、弧的度数、弧长三概念.度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧.
三、新知应用
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度L.（结果取整数）
解：由弧长公式，得的长l＝＝500π≈1570（mm）.因此所要求的展直长度L≈2×700＋1570＝2970（mm）.
答：管道的展直长度L为2970mm.
（二）扇形面积
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
如图，阴影部分是一个扇形，记作扇形OAB.
问题2 你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？
类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形AOB的面积也与圆心角∠AOB的大小有关.
当∠AOB＝360°时，扇形AOB的面积就是整个圆的面积，即S＝πR2.
当∠AOB＝1°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即S＝×πR2.
当∠AOB＝2°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即S＝×πR2.
当∠AOB＝n°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即S＝×πR2.
【归纳总结】扇形AOB的面积S＝×πR2，这就是扇形面积的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径.
【思考】现在我们用从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式l＝和扇形面积的计算公式S＝，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？
都含有π；都与圆心角度数n有关；都与圆的半径R有关……
实际上，扇形的面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？
因为S＝＝××R，而l＝，所以S＝lR.
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（精确到0.01m）.
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC.
∵OC＝0.6m，DC＝0.3m，∴OD＝OC－DC＝0.3（m），∴OD＝DC.
又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
有水部分的面积：S＝S扇形OAB－S△OAB＝×0.62－AB·OD＝0.12π－×0.6×0.3≈0.22（m2）.
【归纳总结】弓形的面积公式
S弓形＝S扇形－S三角形 S弓形＝S扇形＋S三角形
四、课堂小结
1.弧长 计算公式：l＝
2.扇形 计算公式
五、课堂训练
1.运用弧长计算公式解决下列各题：
（1）半径为3cm，圆心角为30°的弧长为 cm；
（2）半径为6cm，圆心角为120°的弧长为 4π cm；
（3）半径为4cm，长度为2π的弧所对的圆心角是 90 度；
（4）圆心角为150°，长度为5π的弧所在圆的半径是 6 .
2.运用扇形面积计算公式解决下列各题：
（1）半径为3cm，圆心角为30°的扇形面积为 cm2 ；
（2）半径为6cm，圆心角为120°的扇形面积为 12πcm2 ；
（3）半径为4cm，面积为4π的扇形所对应的圆心角是 90° ；
（4）圆心角为150°，面积为π的扇形所在圆的半径是 2 .
3.（1）如图①，以△ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 π ；
（2）如图②，若将三角形改为四边形，其他条件不变，则阴影部分的面积是 π ；
（3）若改为n边形，其他条件不变，则阴影部分的面积是 π .
六、布置作业
教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活运用割补法、转换法等.
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
1.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积的计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题.（重点）
2.探索圆锥侧面积和全面积的计算公式并应用它们解决现实生活中的一些实际问题.（难点）
一、新课导入
上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得它们是怎样的吗？
弧长l＝.（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的半径）
扇形面积S＝.（其中n表示扇形的圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）
二、新知探究
（一）圆锥的概念
下面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？
【思考】它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面.我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
【思考】一个圆锥有多少条母线呢？它们是相等的吗？
有无数条，它们是相等的.
【归纳总结】从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高.
如果用r表示圆锥底面的半径，h表示圆锥的高线长，l表示圆锥的母线长，那么r，h，l之间数量关系由勾股定理，得r2＋h2＝l2.
（二）圆锥的侧面积
【思考】圆锥的侧面展开图是什么图形？
圆锥的侧面展开图是扇形.
【思考】沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？
如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.
（1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为 l ；
（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为 2πr ；
（3）因此圆锥的侧面积为 πrl ，圆锥的全面积为 πr（l＋r） .
三、新知应用
例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20π的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
解：设该圆锥底面的半径为r，母线的长为a.
2πr＝20π.可得r＝10.
又20π＝，可得a＝30.
∴该圆锥底面的半径为10，母线的长为30.
例2 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？（π取3.142，结果取整数）
解：如图是一个蒙古包的示意图.
依题意，下部圆柱的底面积为12m2，高h2＝1.8m；
上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4（m）.
圆柱的底面圆的半径r＝≈1.954（m），
侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10（m2）.
圆锥的母线长l≈≈2.404（m），
侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28（m），
圆锥的侧面积为×2.404×12.28≈14.76（m2）.
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×（22.10＋14.76）≈738（m2）.
四、课堂小结
圆锥的侧面积和全面积
五、课堂训练
1.圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 180° .
2.用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则该圆锥的底面半径是 20 cm.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ D ）
A.30π B.40π C.50π D.60π
4.如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到点B，请问它爬行的最短距离是多少？
解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB'，连接BB'，则BB'为蚂蚁走过的最短路径，设∠BAB'＝n°.∵AB＝AB'＝6，∴＝×π×6＝.又＝底面圆的周长＝2πr＝2π，∴＝2π.解得n＝60°，即∠BAB'＝60°.∵AB＝AB'＝6，∴△ABB'为等边三角形.∴BB'＝AB＝AB'＝6，即蚂蚁爬行的最短距离是6.
六、布置作业
教学过程中，强调学生应熟练掌握相关公式并会灵活运用.要充分发挥空间想象力，把立体图形与展开后的平面图形各个量准确对应起来.
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