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第3章 图形的初步认识
3.6 角
华师大版-数学-七年级上册
2.角的运算和比较
学习目标
1.会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义.【重点】
2.掌握角平分线的概念，能够利用角平分线的定义解决相关计算问题，会用量角器画角的平分线. 【重点】
3.经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的过程，积累活动经验，培养动手操作能力.【难点】
新课导入
有一天学生张亮和王帅各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:
张:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.
王:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
新课导入
同学们，你们有办法帮他们进行判断吗
A
B
C
D
E
F
怎样比较
∠ABC和
∠DEF的
大小
新知探究
知识点 角的比较
1
线段长短的比较
AB>CD
ABAB=CD
温故知新
新知探究
AB=BC+AC
BC=AB－AC
AC=AB－BC
线段的和、差
线段中点
若点 C 是线段 AB 的中点，则
AC = BC
AC = BC = AB
AB = 2 AC = 2 BC
新知探究
探究1：类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
55°
40°
1
2
因为 55°＞40°，所以∠1＞∠2.
1.度量法
新知探究
A
B
O
(O' )
B'
(A' )
A
B
O
A
B
O
想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗 (两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )？
(O' )
B'
(A' )
∠AOB =∠A'O'B'
∠AOB＞∠A'O'B'
(O' )
(B' )
(A' )
2.叠合法
∠AOB＜∠A'O'B'
新知探究
知识点 尺规作图
2
探究2 ：如图，借助三角尺画出 15°，75° 的角．
用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试．
还能画出 105°、120°、150°、180° 的角.
75°
15°
快来动手画一画吧！
新知探究
归纳总结
1.用三角尺画特殊角，关键在于把它写成 30°，45°，60°，90° 角的和或差.
2.凡是 15 的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于这样的角.
前面我们曾用直尺和圆规准确地作出了一条线段等于已知线段，那么我们能否用直尺和圆规准确地作出一个角等于已知角呢
新知探究
如图，∠AOB为已知角，试用直尺和圆规按下列步骤准确地作一个角等于∠AOB.
A
O
B
做一做
新知探究
A
O
B
O′
A′
（1）作射线O′A′；
作法：
（2）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D；
C
D
新知探究
A
O
B
O′
A′
C
D
（3）以点O′为圆心、线段OC长为半径作弧，交射线O′A′于点C′；
（4）以点C′为圆心、线段CD长为半径作弧，交前一条弧于点D′；
C′
D′
（5）经过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所要求作的角.
B′
新知探究
人们将利用没有刻度的直尺和圆规这两种工具作几何图形的方法称为“尺规作图”.
A
A
B
O
过点A作直线
过点A、B作直线
以点O为圆心作圆
新知探究
知识点 角的和差运算
3
探究3：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，
记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
它们之间的关系：
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，
记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB=∠BOC.
A
B
O
C
总结：共顶点，可加减
新知探究
例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，
求∠BOC 的度数.
解：由题意可知∠AOB 是平角，
∠AOB＝ ∠AOC+∠BOC，
所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC
＝180°－53°17′
＝179°60′－53°17′
＝126°43′.
O
C
B
A
如何计算？
可以向 180 借
1 ，化为60′.
典型例题
分析：AB是直线 ，∠AOB 是平角，
∠BOC与∠AOC的和是∠AOB.
新知探究
方法总结：进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分、秒相加时逢60要进位；相减时，如果不够减要借1作60.
新知探究
1.如图所示：
(1) ∠AOC是哪两个角的和？
(2) ∠AOB是哪两个角的差？
(3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD
的大小关系如何？
B
A
O
C
D
∠AOC =∠AOB +∠BOC.
∠AOB =∠AOC －∠BOC =∠AOD－∠BOD.
∠AOC =∠BOD.
针对训练
新知探究
(2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则
∠AOC＝ °．
(1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则
∠AOB＝ °．
75
20
A
B
O
C
A
B
O
C
图① 图②
2.填空：
新知探究
(3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC
＝ °．
90或30
提示：无图条件下要分情况讨论.
O
B
A
C
C
新知探究
例2 把一个周角 7 等分，每份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7
= 51° + 180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是约 51°26′ 的角.
典型例题
分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分．
新知探究
针对训练
（1） 120°－38°41′；
（2）67°31′+48°49′;
解：原式 = 119°60′－38°41′
= 81°19′ .
解：原式 = (67+48)°+(31+49)′
= 115°97′
= 116°37′ .
1.计算：
新知探究
（3）20°30′×8；
（4）106°6′÷5.
解：原式 = (106÷5)°+(6÷5)′
= 21°+1°÷5+(6÷5)′
= 21°+(66÷5)′
=21°+13′+1′÷5
=21°+13′+60″÷5
=21°13′12″
解：原式 = 20°×8+30′×8
= 160°240′
= 164°
新知探究
2. 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，
∠DOC = 18°44' ，∠AOD = 102°46' ，求∠BOC 的大小.
A
B
O
D
C
解：由题意可知，∠AOB 是平角，
= 180° - 102°46′ = 77°14′,
所以∠BOD =∠AOB -∠AOD
∠AOB =∠AOD +∠BOD.
∠BOC =∠BOD +∠DOC
= 77°14′ + 18°44′ = 95°58′.
新知探究
知识点 角的平分线及等分线
4
B
A
O
C
探究4 ：动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：
∠AOC_____∠COB;
∠AOB=_____∠AOC.
=
2
新知探究
定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
几何语言：
O
B
A
C
∵ OC 是∠AOB 的平分线，
∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
新知探究
类比：仿照角平分线的结论，你能写出角的三等分线的结论吗？
A
B
O
C
D
∵射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，
∴
∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，
∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD.
新知探究
例3 如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．
O
A
B
解：分以下两种情况：
设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，解得x=8°，
∴∠AOC=2x=2×8°=16°.
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°；
C
D
如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
典型例题
新知探究
设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，
∴3x-2x=40°，解得x=40°，
∴∠AOC=2x=2×40°=80°，
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
O
A
B
C
D
如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
新知探究
方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
课堂小结
角的比较
度量法
叠合法
角的运算
加与减
乘与除
角的和差倍分关系
角的计算
课堂训练
1. 如图，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，则
∠BOC=____.
2. 已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC
的度数是 .
34°
13°或63°
O
A
B
C
D
课堂训练
3. 如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
解：由题意，得
∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°.
所以∠COD=180°-∠AOB=10°.
O
A
B
C
D
课堂训练
(1) 12°36′+45°24′；
(2) 79°45′+61°48′49″；
(3) 62°24′17″×4；
(4) 102°43′÷3.
4. 计算：
解：(1)58°；(2)141°33′49″；(3)249°37′8″；
(4)34°14′20″.
课堂训练
5.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
解：设∠DOC=x，
∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，
∴∠AOD=∠AOC-∠DOC=60°-x.
∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=
90°+60°-x=150°-x.
∵∠AOB是∠DOC的3倍，
∴∠AOB=3∠DOC，即150°-x=3x.解得x=37.5°.
∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．
O
A
D
C
B第3章 图形的初步认识
3.6角
2.角的比较和运算
※教学目标※
1.会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义.（重点）
2.掌握角平分线的概念，能够利用角平分线的定义解决相关计算问题，会用量角器画角的平分线.（重点）
3.经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的过程，积累活动经验，培养动手操作能力.（难点）
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]
有一天学生张亮和王帅各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:
张:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.
王:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
同学们，你们有办法帮他们进行判断吗 怎样比较∠ABC和∠DEF的大小
二、新知探究
（一）角的比较
[课件展示]教师带领学生复习旧知：
1.线段长短的比较
2.线段的和、差关系
AB=BC+AC；BC=AB－AC；AC=AB－BC.
3.线段的中点
若点C是线段AB的中点，则AC=BC；AC=BC=AB；AB=2AC=2BC.
[课件展示]探究1 类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
1.度量法
因为 55°＞40°，所以∠1＞∠2.
2.叠合法
易得∠1＞∠2.
想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗(两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B')？
（二）角的和差运算
[课件展示]探究2 如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？
解：图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
它们之间的关系：∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；类似地，∠AOC－∠AOB=∠BOC.
总结：共顶点，可加减.
[典型例题]
例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.
分析：AB是直线 ，∠AOB 是平角，∠BOC与∠AOC的和是∠AOB.
解：由题意可知∠AOB 是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC
＝180°－53°17′
＝179°60′－53°17′
＝126°43′.
方法总结：进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分、秒相加时逢60要进位；相减时，如果不够减要借1作60.
[针对训练]
1.如图所示：
(1) ∠AOC是哪两个角的和？
(2) ∠AOB是哪两个角的差？
(3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？
解：(1)∠AOC =∠AOB +∠BOC.
(2)∠AOB =∠AOC －∠BOC =∠AOD－∠BOD.
(3)∠AOC =∠BOD.
2.填空：
(1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝ 75 °．
(2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝ 20 °．
(3) 若∠AOB＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC＝ 90或30 °．
注意：提示：无图条件下要分情况讨论.
[课件展示]探究3 如图，是借助三角尺画出 的15°，75° 的角，用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试．
解：还能画出 105°、120°、150°、180° 的角.
[归纳总结]
1.用三角尺画特殊角，关键在于把它写成 30°，45°，60°，90°角的和或差.
2.凡是 15 的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于这样的角.
[典型例题]
例2 把一个周角 7 等分，每份是多少度的角 (精确到分)？
分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分．
解：360°÷7 = 51°+ 3°÷7
= 51°+ 180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是约 51°26′ 的角.
[针对训练]
1.计算：
（1）120°－38°41′；
（2）67°31′+48°49′；
（3）20°30′×8；
（4）106°6′÷5.
解：（1）原式 = 119°60′－38°41′
= 81°19′.
（2）原式 = (67+48)°+(31+49)′
= 115°97′
= 116°37′.
（3）原式 = 20°×8+30′×8
= 160°240′
= 164°.
（4）原式 = (106÷5)°+(6÷5)′
= 21°+1°÷5+(6÷5)′
= 21°+(66÷5)′
=21°+13′+1′÷5
=21°+13′+60″÷5
=21°13′12″.
2. 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，∠DOC = 18°44' ，∠AOD = 102°46' ，求∠BOC 的大小.
解：由题意可知，∠AOB 是平角，∠AOB =∠AOD +∠BOD.
所以∠BOD =∠AOB -∠AOD = 180°- 102°46′= 77°14′,
∠BOC =∠BOD +∠DOC= 77°14′+ 18°44′= 95°58′.
（三）角的平分线及等分线
[课件展示]探究4 动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.
类比线段中点的定义，填空：
（1）∠AOC__=__∠COB.
（2）∠AOB=___2__∠AOC.
[归纳总结]
定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
几何语言：∵ OC 是∠AOB 的平分线，∴ ∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC.
[提出问题]仿照角平分线的结论，你能写出角的三等分线的结论吗？
解：∵射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，
∴ ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，∠AOB =∠BOC =∠COD =∠AOD.
[典型例题]例3 如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．
解：分以下两种情况：
①如图1，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，,设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，解得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°；
②如图2，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x-2x=40°，解得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
三、课堂小结
1．角的比较 度量法；
叠合法.
2．角的和差运算 加减运算；
乘除运算.
3．角的平分线及等分线 定义；
几何语言.
四、课堂训练
1. 如图，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，则∠BOC=__34°__.
2. 已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC的度数是 13°或63° .
3. 如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
解：由题意，得∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°.
所以∠COD=180°-∠AOB=10°.
4. 计算：
(1) 12°36′+45°24′；
(2) 79°45′+61°48′49″；
(3) 62°24′17″×4；
(4) 102°43′÷3.
解：(1)58°；(2)141°33′49″；(3)249°37′8″； (4)34°14′20″.
5.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
解：设∠DOC=x，
∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，
∴∠AOD=∠AOC-∠DOC=60°-x.
∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=90°+60°-x=150°-x.
∵∠AOB是∠DOC的3倍，
∴∠AOB=3∠DOC，即150°-x=3x.解得x=37.5°.
∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．
五、布置作业
※教学反思※
本节课的教学内容是角的大小的比较、角的和差关系，角的平分线．可利用类比线段的学习方法引出角的大小的比较的两种方法：度量法、叠合法．对于本节教学要把握以下几点：
1．首先在讲授知识的过程中，必须对旧的知识进行适当的复习，使学生能对角的知识有一个更深的记忆．
2．在角的形象比较中，要努力引导学生的思维方向．
3．重叠法是一个难点，但此法比较适用于实际中的比较．对于角度的计算要设计各个类型的教学．
