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第2章 整式及其加减
2.4 整式的加减
华师版-数学-七年级上册
2.合并同类项
学习目标
1.能从多项式中找到同类项，并进行合并同类项. 【重点】
2.能在合并同类项的基础上，进行简单的化简求值的运算．【难点】
新课导入
妈妈：2个包子和1根油条.
爸爸：3个包子和2根油条.
小明：1个包子和2根油条.
6个包子
5根油条
生活中我们经常会根据实际的需要把同类事物合并起来.
如果你是小明，你会怎么买？
新知探究
知识点 合并同类项
1.运用运算律计算：8×2+5×2
=(8+5)×2=26.
2.类比数的运算，计算：3x2y+5x2y.
3x2y+5x2y
=(3+5)x2y
=8x2y
如果一个多项式中含有同类项，那么我们可以把同类项合并起来，使结果得以简化.
对多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5进行合并：
3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
=3x2y+5x2y-4xy2+2xy2-3+5
加法的交换律
=(3x2y+5x2y)+(-4xy2+2xy2)+(-3+5)
加法的结合律
=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)
乘法的分配律
=8x2y-2xy2+2.
新知探究
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
3x2y+5x2y=(3+5)x2y=8x2y
相加
不变
合并同类项
系数相加
字母及其指数不变
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变.
简记为：一相加，两不变
新知探究
新知探究
例1 合并下列多项式中的同类项：
典型例题
典型例题
（1）2a2b-3a2b+
解：2a2b-3a2b+
三项都是同类项
（2）a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
解：a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3 +(-a2b+a2b)+(ab2-ab2)+ b3
=a3+b3.
=a3 +(-1+1)a2b +(1-1)ab2 + b3
新知探究
新知探究
合并同类项的步骤：
1.找出同类项，当项数较多时，用记号标出各同类项，注意每一项的符号；
2.根据加法的交换律和结合律，将同类项集中在一起；
3.根据合并同类项的法则合并同类项；
4.写出合并后的结果.
一找
二移
三并
四计算
新知探究
（1）用画线的方法标出各多项式中的同类项，以减少运算的错误；
（2）移项时要带着原来的符号一起移动；
（3）两个同类项的系数互为相反数时，合并同类项，结果为零.
归纳总结
新知探究
典型例题
解：3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1
例2 求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值，其中x=-3.
先合并同类项
=(3-2+1)x2+(4-1-3)x-1
=2x2-1
当x=-3时，原式=2×(-3)2-1=17.
试一试，把x=-3直接代入多项式求值. 比较一下，哪个解法更简便？
先合并同类项，将多项式化简，再求值，比较简便.
新知探究
例3 如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为3∶2. 如果长方形的长分别为0.4m、0.5m、0.6m等，那么窗框所需材料的长度分别是多少 如果长方形的长为 a m呢
新知探究
解：
我们不妨先解答最后一问，即：如果长方形的长为a m，求窗框所需材料的长度.
新知探究
要解答第一问，只需分别将a=0.4、0.5、0.6等代入上式求值即可.例如当长方形的长为0.4m时，求窗框所需材料长度（要求精确到0.1m，π取3.14），有（17+π） a≈（17+3.14）×0.4=20.14×
0.4=8.056≈8.1（m）.所以，当长方形的长为0.4m时，窗框所需材料的长度约为8.1m.
请同学们自己计算：当长方形的长分别为0.5m、0.6m时，窗框所需材料的长度.
课堂小结
同 类 项
合并同类项
两相同
法则
（1）字母相同，相同字母的指数相同
（2）与系数、所含字母的顺序无关
（1）系数相加
（2）字母连同它的指数不变
步骤
一找、二移、三并、四计算
（一加两不变）
两无关
课堂训练
1.如果两个同类项的系数互为相反数，那么合并同类项后，结果是______.
0
2.下列等式成立的是（ ）
A.3a+2b=5ab B.a2+2a2=3a4
C.5y3-3y3=2y3 D.3x3-x2=2x
C
课堂训练
3．合并下列各式的同类项：
（1）-a-a-2a=________；
（2）-xy-5xy+6yx=______；
（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______.
-4a
0
ab2-a2b
课堂训练
4.先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项：
（1）3x-2x2+5+3x2-2x-5
解：3x-2x2+5+3x2-2x-5
=3x-2x-2x2+3x2+5-5
=(3-2)x+(-2+3)x2+(5-5)
=x+x2.
课堂训练
（2）a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
（3） 6a2-5b2+2ab+5b2-6a2
解：a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=a3+a2b-a2b+ab2-ab2-b3
=a3+(a2b-a2b)+(ab2-ab2)-b3
=a3-b3.
解：6a2-5b2+2ab+5b2-6a2
=6a2-6a2-5b2+5b2+2ab
=(6-6)a2+(-5+5)b2+2ab
=2ab.
课堂训练
6.先化简，再求值:
（1）3x2-8x+2x3-13x2+2x-2x3+3，其中x=-1．
（2）a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b，其中a=0.1，b=0.01．
答案：（1）-1 （2）-0.001第2章 整式及其加减
2.4 整式的加减
2.合并同类项
※教学目标※
1.能从多项式中找到同类项，并进行合并同类项. （重点）
2.能在合并同类项的基础上，进行简单的化简求值的运算．（难点）
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]
如果你是小明，你会怎么买？
生活中我们经常会根据实际的需要把同类事物合并起来.
二、新知探究
合并同类项
1.运用运算律计算：8×2+5×2=(8+5)×2=26.
2.类比数的运算，计算：3x2y+5x2y.
3x2y+5x2y=(3+5)x2y=8x2y.
如果一个多项式中含有同类项，那么我们可以把同类项合并起来，使结果得以简化.
对多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5进行合并：
=3x2y+5x2y-4xy2+2xy2-3+5 加法的交换律
=(3x2y+5x2y)+(-4xy2+2xy2)+(-3+5) 加法的结合律
=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5) 乘法的分配律
=8x2y-2xy2+2.
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变.
简记为：一相加，两不变.
[典型例题]例1 合并下列多项式中的同类项：
（1）2a2b-3a2b+.
解：2a2b-3a2b+ 三项都是同类项！
=（2-3+）a2b
=a2b.
解：a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3 +(-a2b+a2b)+(ab2-ab2)+ b3
=a3 +(-1+1)a2b +(1-1)ab2 + b3
=a3+b3.
[归纳总结]合并同类项的步骤：
1.找出同类项，当项数较多时，用记号标出各同类项，注意每一项的符号；
2.根据加法的交换律和结合律，将同类项集中在一起；
3.根据合并同类项的法则合并同类项；
4.写出合并后的结果.
一找、二移、三并、四计算.
[归纳总结]（1）用画线的方法标出各多项式中的同类项，以减少运算的错误；
（2）移项时要带着原来的符号一起移动；
（3）两个同类项的系数互为相反数时，合并同类项，结果为零.
[典型例题]例2 求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值，其中x=-3.
先合并同类项
解：3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1
=(3-2+1)x2+(4-1-3)x-1
=2x2-1.
当x=-3时，原式=2×(-3)2-1=17.
[变式]试一试，把x=-3直接代入多项式求值. 比较一下，哪个解法更简便？
先合并同类项，将多项式化简，再求值，比较简便.
例3 如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为3∶2. 如果长方形的长分别为0.4m、0.5m、0.6m等，那么窗框所需材料的长度分别是多少 如果长方形的长为 a m呢
解：我们不妨先解答最后一问，即：如果长方形的长为a m，求窗框所需材料的长度.
如果长方形的长为a m，那么它的宽为a m.由图不难知道，窗框所需材料的长度为
11a+9×a+πa
=(11+6+π)a
=(17+π)a（m）.
要解答第一问，只需分别将a=0.4、0.5、0.6等代入上式求值即可.例如当长方形的长为0.4m时，求窗框所需材料长度（要求精确到0.1m，π取3.14），有（17+π） a≈（17+3.14）×0.4=20.14×
0.4=8.056≈8.1（m）.所以，当长方形的长为0.4m时，窗框所需材料的长度约为8.1m.
请同学们自己计算：当长方形的长分别为0.5m、0.6m时，窗框所需材料的长度.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如果两个同类项的系数互为相反数，那么合并同类项后，结果是___0___.
2.下列等式成立的是（ C ）
A.3a+2b=5ab B.a2+2a2=3a4
C.5y3-3y3=2y3 D.3x3-x2=2x
3．合并下列各式的同类项：
（1）-a-a-2a=__-4a___；
（2）-xy-5xy+6yx=___0___；
（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=__ab2-a2b___.
4.先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项：
解：3x-2x2+5+3x2-2x-5
=3x-2x-2x2+3x2+5-5
=(3-2)x+(-2+3)x2+(5-5)
=x+x2.
解：a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=a3+a2b-a2b+ab2-ab2-b3
=a3+(a2b-a2b)+(ab2-ab2)-b3
=a3-b3.
解：6a2-5b2+2ab+5b2-6a2
=6a2-6a2-5b2+5b2+2ab
=(6-6)a2+(-5+5)b2+2ab
=2ab.
6.先化简，再求值:
（1）3x2-8x+2x3-13x2+2x-2x3+3，其中x=-1．
（2）a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b，其中a=0.1，b=0.01．
答案：（1）-1 （2）-0.001
五、布置作业
※教学反思※
本节课使学生了解数学分类的思想，能在多项式中准确判断出同类项，并通过探究、交流、反思等活动获得合并同类项的法则，熟练运用法则进行合并同类项的运算.激发学生的求知欲，培养独立思考和合作交流的能力.
