第1章 有理数
1.11 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
※教学目标※
1.理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方的运算.（重点、难点）
2.归纳出有理数乘方的符号法则，能应用法则判断幂的符号.
3.能利用数学知识解决实际问题，激发学生学习的兴趣，树立解决问题的信心.
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]
珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8844米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？
二、新知探究
（一）乘方的意义
[课件展示]探究 某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个.经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？分裂方式如下所示：
分析：这个细胞分裂一次可得2个细胞；分裂两次可得2×2个细胞；分裂三次可得2×2×2个细胞；分裂四次可得2×2×2×2个细胞……因为每30分钟分裂一次,所以3小时共分裂了6次，可得2×2×2×2×2×2个细胞.
解:一次得: 2个；
两次: 2×2个；
三次: 2×2×2个；
四次： 2×2×2×2个；
六次: 2×2×2×2×2×2个.
答：经过3小时这种细胞由1个能分裂成2×2×2×2×2×2个.
[教师提问]比较细胞分裂四次后的个数式子:2×2×2×2和细胞分裂六次后的个数式子: 2×2×2×2×2×2.这两个式子有什么相同点
[学生回答]它们都是相同乘数的乘法.
[教师提问]同学们想一想：这样的运算能像平方、立方那样简写吗？
[归纳总结]一般地，n个相同的乘数a相乘，记作an，读作“a的n次方（或a的n次幂）”，即
例如：2×2×2×2记作24，读作2的4次方(幂).
2×2×2×2×2×2记作26，读作2的6次方(幂).
求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂.
在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方，当把an看作是 a 的 n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂．
一个数可以看作这个数本身的1次方，a1就是a，指数1通常省略不写.例如，5就是51.
议一议 观察下面两个式子有什么不同？
（－4）2与－42
（－4）2表示－4的平方，－42表示4的平方的相反数.
（－4）2与－42 互为相反数.
[典型例题]例1 填一填：
(1)(－5)2的底数是__－5__，指数是__2__，(－5)2表示2个__－5___相乘，读作__－5___的2次方，也读作－5的__平方__.
(2)表示__6__个相乘，读作的__6__次方，也读作的__6__次幂，其中叫做 底数 ，6叫做 指数 .
温馨提示：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号！
例2 计算：
(1) (－2)3； (2) (－2)4； (3)(－2)5．
解：(1) (-2)3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8.
(2)(-2)4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2) = 16.
(3) (-2)5 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2) = -32.
思考：(-2)4 与-24 的意义是否相同？
不相同，括号不能省！
小结：
乘方运算的步骤：
思考：你发现负数的幂的正负有什么规律？
[归纳总结]根据有理数的乘法法则可以得出：
1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
2.正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
拓展：根据任何数与0相乘，都得0.可以得出：0的任何正整数次幂都是0.
（二）有理数的乘方运算
[典型例题]例3 计算:
（1） ； （2）-23×(-32)；
（3）64÷(-2)5； （4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4.
（2）-23×(-32)=-8×(-9)=72；
（3）64÷(-2)5=64÷(-32)=-2；
（4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4=-64÷1+2×81=98.
思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的运算顺序？
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
三、课堂小结
1.求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
2.乘方的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）零的正整数次幂都是零.
四、课堂训练
1. 下列各组运算中，结果相等的是( B )
A. -32与-23
B.-23与(-2)3
C. -32与 (-3)2
D. (-3×2)2与 -3×22
2. 如果一个数的 15 次幂是负数，那么这个数的 2 023 次幂是__负数___. (填“正数”“负数”或“0”)
3.填空：
(1)-(-3)2= -9 ; (2)-32= -9 ;
(3)(-5)3= -125 ; (4)0.13= 0.001 ;
(5)(-1)9= -1 ; (6)(-1)12= 1 ;
(7)(-1)2n= 1 ; (8)(-1)2n+1= -1 ;
(9)(-1)n= .
4．(-4)5读作什么？其中底数是什么？指数是什么？(-4)5是正数还是负数？
解：(-4)5读作负 4 的 5 次方，底数是﹣4，指数是 5，它是负数．
5．3 的平方是什么？﹣3 的平方是什么？平方得 9 的数有几个？有没有平方得﹣9 的有理数？
解：32是 9，（-3）2是 9，平方得 9 的数有两个，没有平方得﹣9 的有理数．
6.厚度是0.1毫米的纸,将它对折1次后,厚度为0.2毫米.
(1)对折3次后,厚度为多少毫米
(2)对折7次后,厚度为多少毫米
(3)用计算器计算对折30次后纸的厚度.
解：（1）0.8毫米. （2）12.8毫米.
（3）0.1×230=0.1×1073741824=107374182.4（毫米）.
五、布置作业
※教学反思※
本节教学以故事情境引入，提出问题，引导学生积极思考，并总结出答案，由答案的表现形式向学生提出问题，激发学生的求知欲望．在教师的启发引导下自然过渡到新知识的学习，接着层层设问，引出乘方以及与乘方有关的概念，采用归纳类比的方法把新旧知识联系起来，既有利于复习巩固旧知识，又有利于新知识的理解和掌握．(共20张PPT)
第1章 有理数
1.11 有理数的乘方
华师大版-数学-七年级上册
第1课时 有理数的乘方
学习目标
1.理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方的运算.【重点、难点】
2.归纳出有理数乘方的符号法则，能应用法则判断幂的符号.
3.能利用数学知识解决实际问题，激发学生学习的兴趣，树立解决问题的信心.
新课导入
珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8844米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？
新知探究
知识点 乘方的意义
1
探究 某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个.经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？
新知探究
第一次
第二次
第三次
分裂方式如下所示:
新知探究
分析 这个细胞分裂一次可得2个细胞；分裂两次可得2×2个细胞；分裂三次可得2×2×2个细胞；分裂四次可得2×2×2×2个细胞……因为每30分钟分裂一次,所以3小时共分裂了6次，可得2×2×2×2×2×2个细胞.
答：经过3小时这种细胞由1个能分裂成2×2×2×2×2×2个.
解:一次得:
两次:
三次:
四次：
2个;
2×2个;
2×2×2个;
2×2×2×2个；
六次: 2×2×2×2×2×2个.
新知探究
问题 这两个式子有什么相同点
它们都是相同乘数的乘法.
思考 同学们想一想：这样的运算能像平方、立方那样简写吗？
请比较细胞分裂四次后的个数式子:2×2×2×2
和细胞分裂六次后的个数式子: 2×2×2×2×2×2.
新知探究
归纳总结
例如：2×2×2×2
2×2×2×2×2×2
记作
记作
一般地，n个相同的乘数a相乘，记作an，读作“a的n次方（或a的n次幂）”，即
a·a·a· ·a = an
n个
…
读作2的6次方(幂).
读作2的4次方(幂).
新知探究
求几个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方，当把an看作是 a 的 n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂．
幂
指数
因数的个数
底数
因数
一个数可以看作这个数本身的1次方，a1就是a，指数1通常省略不写.例如，5就是51.
新知探究
（－4）2与－42
议一议 观察下面两个式子有什么不同？
（－4）2表示－4的平方，－42表示4的平方的相反数.
（－4）2与－42 互为相反数.
新知探究
(1)(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作－5的_____.
(2) 表示 __ 个 相乘，读作 的 __ 次方，也读作 的 次幂，其中 叫做 ，6叫做 .
温馨提示：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号！
－5
2
－5
－5
平方
6
6
6
底数
指数
例1 填一填：
典型例题
新知探究
解：(1) (-2)3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8.
(2) (-2)4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2) = 16.
例2 计算：
(1) (－2)3； (2) (－2)4； (3)(－2)5．
思考：你发现负数的幂的正负有什么规律？
(3) (-2)5 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2) = -32.
乘方运算的步骤：
转化
乘方运算
乘法运算
① 确定幂的符号
② 计算幂的绝对值
不相同，括号不能省！
新知探究
1.正数的任何正整数次幂都是正数.
2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
根据有理数的乘法法则可以得出：
归纳总结
0的任何正整数次幂都是0.
拓展：根据任何数与0相乘，都得0.可以得出：
新知探究
知识点 有理数的乘方运算
2
例3 计算:
（1） （2）-23×(-32)
（3）64÷(-2)5 （4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4
（2）-23×(-32)=-8×(-9)=72；
（3）64÷(-2)5=64÷(-32)=-2；
（4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4=-64÷1+2×81=98.
典型例题
新知探究
思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的运算顺序？
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
课堂小结
1.求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
2.乘方的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是正数
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂 是正数
（3）零的正整数次幂都是零
幂
指数
底数
课堂训练
1. 下列各组运算中，结果相等的是( )
A. -32 与 -23
B. -23 与 (-2)3
C. -32 与 (-3)2
D. (-3×2)2 与 -3×22
B
2. 如果一个数的 15 次幂是负数，那么这个数的 2 023 次幂是_________. (填“正数”“负数”或“0”)
负数
课堂训练
2.填空：
(1)-(-3)2= ; (2)-32= ;
(3)(-5)3= ; (4)0.13= ;
(5)(-1)9= ; (6)(-1)12= ;
(7)(-1)2n= ; (8)(-1)2n+1= ;
(9)(-1)n= .
-9
-9
-125
0.001
-1
1
1
-1
（当n为奇数时）
（当n为偶数时）
课堂训练
3．(-4)5读作什么？其中底数是什么？指数是什么？ (-4)5是正数还是负数？
解：(-4)5读作负 4 的 5 次方，底数是﹣4，指数是 5，它是负数．
4．3 的平方是什么？﹣3 的平方是什么？平方得 9 的数有几个？有没有平方得﹣9 的有理数？
解：32是 9，（-3）2是 9，平方得 9 的数有两个，没有平方得﹣9 的有理数．
课堂训练
5.厚度是0.1毫米的纸,将它对折1次后,厚度为0.2毫米.
(1)对折3次后,厚度为多少毫米
(2)对折7次后,厚度为多少毫米
(3)用计算器计算对折30次后纸的厚度.
解：（1）0.8毫米. （2）12.8毫米.
（3）0.1×230=0.1×1073741824=107374182.4（毫米）.
