人教版九年级上册数学期中试卷（带答案）
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人教版九年级上册数学期中试卷
一、单选题
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数y=3(－1) +5，下列结论正确的是（ ）
A．其图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x=-1
C．函数的最大值为3 D．当x>1时，y随x的增大而增大
4．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
7．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O的半径OA＝8，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B，C点，则BC＝（ ）
A． B． C． D．
9．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A＝30°，AB＝2，则AC等于（ ）
A．4 B．6 C． D．
二、填空题
11．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是___．
12．已知A（﹣4，），B（-1，），C（2，）三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为_________．
13．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是________．
14．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
15．如图，A（4，0），B（0，2），将线段AB绕原点O顺时针旋转90°，线段AB的中点C恰好落在抛物线y=ax2上，则a=_____．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE=3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H，并与交于点K，连接HG、CH．给出下列四个结论，其中正确的结论有______________（填写所有正确结论的序号）
（1）H是FK的中点
（2）DK=
（3）△HGD≌△HEC
（4）
三、解答题
17．解方程：(x-3)2＝2x-6
18．已知关于一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若满足，求m的值．
19．为了推进全民阅读，某社区增加了阅览室的开放时间，据统计：该社区阅览室在2018年图书馆借阅总量是7500册，2020年图书借阅总量是10800册．
（1）求该社区图书馆借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率；
（2）若2020年至2021年图书借阅总量的增长率等于2018年至2020年的平均增长率，预计2021年该社区居民借阅图书人数达到1296人，预计2021年阅览室人均借阅量是多少？
20．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，.
（1）求的大小；
（2）连接DE，若BD=3，CD=5，求AD的长．
21．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F，连接BD交OF于点E．
（1）求证：OF⊥BD
（2）若AB=，DF=，求AD的长．
22．受疫情影响，从保障学生健康安全出发，学校规定每位学生进入学校需进行体温检测，经过调查发现学生错峰进入校园的累计人数（人）与时间（分钟）变化情况满足函数：
（1）进行体温检测前，经过多少分钟校园的累计人数会达到650人？
（2）如果学生一进学校就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，学生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（排队人数=累计人数－已检测人数）
（3）在（2）的条件下，如果要在15分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
23．如图，三个顶点的坐标分别为，，。
（1）请画出关于轴对称后得到的；
（2）直接写出点，点，点的坐标；
（3）在轴上寻找一个点，使的周长最小，并直接写出的周长的最小值。
24．如图，AB是⊙O的直径，，M是弧AB的中点，OC⊥OD，△COD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F（点E、F与点A、B、M均不重合），与⊙O分别交于P、Q两点．
（1）求证：；
（2）连接PM、QM，试探究：在△COD绕点O旋转的过程中，∠PMQ是否为定值？若是，求出∠PMQ的大小；若不是，请说明理由；
（3）连接EF，试探究：在△COD绕点O旋转的过程中，△EFM的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于两点，其中点坐标为．
（1）求点坐标；
（2）点为直线上方抛物线上一点连接，当时，求点的坐标；
（3）将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．B
【分析】
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
A、a＝0、b≠0时是一元一次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、是分式方程，故C错误；
D、是一元一次方程，故D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，理解一元二次方程的概念是解题的关键．
3．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像和性质求解即可．
【详解】
解：A、∵，
∴开口向上，选项错误，不符合题意；
B、∵二次函数y=3(－1) +5，
∴图象的对称轴为直线x=1，
∴选项错误，不符合题意；
C、∵二次函数y=3(－1) +5，
∴函数的最小值为5，没有最大值，
∴选项错误，不符合题意；
D、∵二次函数y=3(－1) +5，
∴，开口向上，
又∵图象的对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
∴选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．对称轴为．
4．A
【解析】
【详解】
试题分析：根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
考点：直线与圆的位置关系．
5．B
【解析】
【详解】
解：∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，
∴∠BAD=100°，AD=AB，
∵点D在BC的延长线上，
∴∠B=∠ADB=．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD及点D在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了．
6．B
【解析】
【分析】
先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．
【详解】
解：由题意可知：挂图的长为，宽为，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
7．B
【解析】
【详解】
分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．A
【解析】
【分析】
连接OB、AB，易证△OAB是等边三角形，∠AOB＝60°，由OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，得出OA⊥BC，BC＝2BD，根据三角函数求出BD＝OB sin60°，即可求得BC．
【详解】
连接OB、AB，如图所示：
则OA＝OB＝AB＝8，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，
∴OA⊥BC，
∴∠BDO＝90°，BC＝2BD，
∴BD＝OB sin60°＝8×＝4，
∴BC＝2×4＝8；
故选A．
【点睛】
本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数；由相交两圆的性质得出直角三角形是解决问题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
【详解】
思路引领：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
答案详解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：D．
10．B
【解析】
【分析】
连接OB,则△AOB是直角三角形,利用三角函数即可求得OA的长,则AC即可求解
【详解】
解：连接OB．
∵AB是⊙O的切线,B为切点,
∴OB⊥AB,
在直角△OAB中，OB＝AB tanA＝2×＝2，
则OA＝2OB＝4，
∴AC＝4+2＝6．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质以及利用三角函数特殊角度求长度
11．
【解析】
【分析】
由一元二次方程根与系数的关键可得： 从而列不等式可得答案．
【详解】
解： 关于的一元二次方程有实数根，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12．y2 y1 y3
【解析】
【分析】
先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．
【详解】
解：二次函数的图像开口方向向上，对称轴是x=-2，
A（﹣4，）距对称轴的距离是2，B（-1，）距对称轴的距离是1，C（2，）距对称轴的距离是4
所以y2 y1 y3
故答案为：y2 y1 y3．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．
13．-1＜x＜3
【解析】
【分析】
首先求出点（-1，0）关于对称轴x=1的对称点，进而结合图象可得当y＜0时x的取值范围．
【详解】
解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，
抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
当-1＜x＜3时，y＜0，
故答案为：-1＜x＜3．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x轴的另一个交点坐标．
14．44°
【解析】
【分析】
首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．
【详解】
连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为44°
【点睛】
此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
15．a=-2
【解析】
【分析】
先求出旋转后线段的两点坐标，再求出中点C的坐标，代入抛物线即可求出a.
【详解】
如图：
设AB旋转后的线段为EF， EF的中点为点C.
∵A（4，0），B（0，2），线段AB绕原点O顺时针旋转90°，
∴E（0，-4），F（2，0），
∴C（1，-2）
∵C点落在抛物线y=ax2上，
∴-2=a×12，
则a=-2.
故答案为-2.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.
16．①②④
【解析】
【分析】
（1）先证明，得，，由垂径定理，得：，即是的中点；
（2）余弦三角函数和勾股定理算出了，即可得．
（3）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；
（4）分别过分别作于，于，由余弦三角函数和勾股定理算出了，，再算面积，即得；
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°，
（1）在与中，
，
，
，
，
，
由垂径定理，
得：，
即是的中点，故（1）正确；
（3）如图，过分别作于，于，
，，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
是错误的，故（3）不正确；
（2），
，
，故（2）正确．
（4）过分别作于，
由（4）知，，
，
，
，
，故（4）正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．
17．x1＝3，x2＝5
【解析】
【分析】
先移项，再利用因式分解法求解可得．
【详解】
解：∵(x-3)2＝2(x-3)，
∴(x-3)2-2(x-3)＝0，
则(x-3)(x-5)＝0，
∴x-3＝0或x-5＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．
18．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式即可求解；
（2）根据根与系数的关系，即可求得m的值．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+m-2=0有两个实数根，
∴△≥0，即9-4（m-2）≥0
解得．
答：m的求值范围为；
（2）根据根与系数的关系：
x1+x2=3，x1 x2=m-2，
∵x1，x2满足2x1=x2+1，
把x2=3-x1代入，得
2x1=3-x1+1
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，解决本题的关键是熟练运用根与系数的关系和根的判别式．
19．（1）该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为20%；（2）预计2021年阅览室人均借阅量是10本．
【解析】
【分析】
（1）设该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为x，根据该社区阅览室在2018年及2020年图书借阅总量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据增长率算出2021年的图书借阅总量，除以1296即为人均借阅量．
【详解】
解：（1）设该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为x，
依题意，得：7500（1+x）2=10800，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为20%；
（2）由题意得，2021年该社区借阅总量是10800×120%=12960，
12960÷1296=10，
答：预计2021年阅览室人均借阅量是10本．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20．（1）∠ADC=23°；（2）AD=4．
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质可得AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE=60°，AD=DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD=BE=5，由勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，
∵∠BFD=97°=∠AFE，
∴∠E=180°-97°-60°=23°，
∴∠ADC=∠E=23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE=60°，AD=DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD=BE=5，
∵∠BDC=7°，∠ADC=23°，∠ADE=60°，
∴∠BDE=90°，
∴，
∴AD=DE=4．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
21．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接AF．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；
（2）设AD=x．根据圆周角定理的推论和勾股定理进行求解．
【详解】
解：（1）证明：连接AF，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴FC=FB．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠OEB=∠ADB=90°，
∴OF⊥BD．
（2）设AD=x，
∵OF⊥BD，
∴可得OF是BD的中垂线，
∴FD=FB，
∴∠1=∠2，
∴BF=DF=，
∵OF⊥DB，
∴ED=EB．
∴OE=AD=，FE=OF﹣OE=，
在Rt△FEB中，BE2=EB2﹣FE2=；
在Rt△OFB中，BE2=OB2﹣OE2=；
∴=
解得：x=，
即AD=．
【点睛】
此题考查了圆周角定理的推理、勾股定理以及等腰三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
22．（1）经过5分钟校园的累计人数会达到650人；（2）排队人数最多时有490人，全部学生都完成体温检测要20.25分钟；（3）从一开始就应该至少增加1个检测点．
【解析】
【分析】
（1）将y=650代入中，求得x的值（舍去大于9的），即可．
（2）根据排队人数=累计人数-已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；9分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在15分钟内让全部学生完成体温检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．
【详解】
解：（1）将y=650代入中得，
解得，（舍去），
故，经过5分钟校园的累计人数会达到650人；
（2）设第x分钟时的排队人数为W，
根据题意得：W=y-40x，
∴，
当0＜x≤9时，
W=-10x2+140x=-10（x-7）2+490，
∴当x=7时，W最大=490，
当x＞9时，W=810-40x，
∵k=-40＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴W＜450，
故排队人数最多时有490人，
要全部学生都完成体温检测，根据题意得：810-40x=0，
解得：x=20.25，
故排队人数最多时有490人，全部学生都完成体温检测要20.25分钟；
（3）设从一开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：
15×20（m+2）≥810，
解得：m≥0.7，
∵m为整数，
∴m=1，
答：从一开始就应该至少增加1个检测点．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
23．（1）见解析；（2），，；（3），
【解析】
【分析】
（1）画出点A，B，C关于y轴的对称点，连接起来，即可；
（2）根据点，点，点在平面直角坐标系中的位置，即可得到答案；
（3）作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’交x轴于点P，即可，进而求出的周长的最小值.
【详解】
（1）如图所示：
（2）由第（1）小题可得：，，；
（3）作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’交x轴于点P，即为所求的点，如图
∵，B’（4，-2），
∴AB’所在直线的一次函数解析式为：y=-x+2，
令y=0，则，0=-x+2，解得：x=2，
∴点P的坐标是，
此时，的周长最小，周长的最小值是AB’+AB=.
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，点关于坐标轴的轴对称变化以及利用轴对称性求两条线段和的最小值，理解“两点之间，线段最短”是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）是，135°；（3）存在，9.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AMB=90°，由M是弧AB的中点得弧MB=弧MA，于是可判断△AMB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，则可根据“SAS”判断△OBE≌△OMF，所以OE=OF；
（2）根据圆周角定理得到∠BMQ=∠BOQ，∠AMP=∠AOP，则∠BMQ+∠AMP=（∠BOQ+∠AOP）=45°，所以∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=135°；
（3）易得△OEF为等腰直角三角形，则EF=OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+MB=OE+6，根据垂线段最短得当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=BM=3，所以△EFM的周长的最小值为9．
试题解析：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∵M是弧AB的中点，
∴，
∴MA=MB，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM=∠BAM=45°，∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=×6=6，
∴∠MOE+∠BOE=90°，
∵∠COD=90°，
∴∠MOE+∠MOF=90°，
∴∠BOE=∠MOF，
在△OBE和△OMF中，
，
∴△OBE≌△OMF（SAS），
∴OE=OF；
（2）解：∠PMQ为定值．
∵∠BMQ=∠BOQ，∠AMP=∠AOP，
∴∠BMQ+∠AMP=（∠BOQ+∠AOP），
∵∠COD=90°，
∴∠BOQ+∠AOP=90°，
∴∠BMQ+∠AMP=×90°=45°，
∴∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=45°+90°=135°；
（3）解：△EFM的周长有最小值．
∵OE=OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴EF=OE，
∵△OBE≌△OMF，
∴BE=MF，
∴△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+BE+ME=EF+MB=OE+6，
当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=BM=×6=3，
∴△EFM的周长的最小值为3+6=9．
考点: 圆的综合题.
25．（1）；（2），；（3），，，，
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，分别求得、的值，然后利用待定系数法即可得到答案；
（2）过作轴，交于点，然后设出点的坐标，从而得的坐标，代入三角形面积公式即可得到答案；
（3）由（1）直线得，然后根据平移性质，得的顶点坐标，然后分类讨论：①当为菱形对角线时，②当为菱形对角线时，③当为菱形对角线时，联立方程，得点坐标，最后根据菱形的性质，列出方程，求解即可得到答案．
【详解】
解：（1）把代入，得，
，
．
把代入一次函数，得，
．
．
联立方程：，
解得：或．
．
（2）割补法表示三角形面积：铅垂高水平宽，过作轴，交于点．
设，则，
，
即，
，
，．
（3）由（1）直线．
，
沿平移个单位，
向右平移5个，向下平移5个单位，
平移后表达式为：．
联立：，
，
．
为顶点，则，
设，，分类讨论：
①当为菱形对角线时，
，，
，
，
，
，即，
，
②当为菱形对角线时，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
③当为菱形对角线时，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
综上可得，的坐标为：，，，，．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、二次函数的性质，三角形的面积，菱形的性质，综合性较强，难度适中．
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人教版九年级上册数学期中试卷
一、单选题
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数y=3(－1) +5，下列结论正确的是（ ）
A．其图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x=-1
C．函数的最大值为3 D．当x>1时，y随x的增大而增大
4．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
7．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O的半径OA＝8，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B，C点，则BC＝（ ）
A． B． C． D．
9．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A＝30°，AB＝2，则AC等于（ ）
A．4 B．6 C． D．
二、填空题
11．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是___．
12．已知A（﹣4，），B（-1，），C（2，）三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为_________．
13．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是________．
14．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
15．如图，A（4，0），B（0，2），将线段AB绕原点O顺时针旋转90°，线段AB的中点C恰好落在抛物线y=ax2上，则a=_____．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE=3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H，并与交于点K，连接HG、CH．给出下列四个结论，其中正确的结论有______________（填写所有正确结论的序号）
（1）H是FK的中点
（2）DK=
（3）△HGD≌△HEC
（4）
三、解答题
17．解方程：(x-3)2＝2x-6
18．已知关于一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若满足，求m的值．
19．为了推进全民阅读，某社区增加了阅览室的开放时间，据统计：该社区阅览室在2018年图书馆借阅总量是7500册，2020年图书借阅总量是10800册．
（1）求该社区图书馆借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率；
（2）若2020年至2021年图书借阅总量的增长率等于2018年至2020年的平均增长率，预计2021年该社区居民借阅图书人数达到1296人，预计2021年阅览室人均借阅量是多少？
20．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，.
（1）求的大小；
（2）连接DE，若BD=3，CD=5，求AD的长．
21．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F，连接BD交OF于点E．
（1）求证：OF⊥BD
（2）若AB=，DF=，求AD的长．
22．受疫情影响，从保障学生健康安全出发，学校规定每位学生进入学校需进行体温检测，经过调查发现学生错峰进入校园的累计人数（人）与时间（分钟）变化情况满足函数：
（1）进行体温检测前，经过多少分钟校园的累计人数会达到650人？
（2）如果学生一进学校就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，学生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（排队人数=累计人数－已检测人数）
（3）在（2）的条件下，如果要在15分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
23．如图，三个顶点的坐标分别为，，。
（1）请画出关于轴对称后得到的；
（2）直接写出点，点，点的坐标；
（3）在轴上寻找一个点，使的周长最小，并直接写出的周长的最小值。
24．如图，AB是⊙O的直径，，M是弧AB的中点，OC⊥OD，△COD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F（点E、F与点A、B、M均不重合），与⊙O分别交于P、Q两点．
（1）求证：；
（2）连接PM、QM，试探究：在△COD绕点O旋转的过程中，∠PMQ是否为定值？若是，求出∠PMQ的大小；若不是，请说明理由；
（3）连接EF，试探究：在△COD绕点O旋转的过程中，△EFM的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于两点，其中点坐标为．
（1）求点坐标；
（2）点为直线上方抛物线上一点连接，当时，求点的坐标；
（3）将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．B
【分析】
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
A、a＝0、b≠0时是一元一次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、是分式方程，故C错误；
D、是一元一次方程，故D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，理解一元二次方程的概念是解题的关键．
3．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像和性质求解即可．
【详解】
解：A、∵，
∴开口向上，选项错误，不符合题意；
B、∵二次函数y=3(－1) +5，
∴图象的对称轴为直线x=1，
∴选项错误，不符合题意；
C、∵二次函数y=3(－1) +5，
∴函数的最小值为5，没有最大值，
∴选项错误，不符合题意；
D、∵二次函数y=3(－1) +5，
∴，开口向上，
又∵图象的对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
∴选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．对称轴为．
4．A
【解析】
【详解】
试题分析：根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
考点：直线与圆的位置关系．
5．B
【解析】
【详解】
解：∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，
∴∠BAD=100°，AD=AB，
∵点D在BC的延长线上，
∴∠B=∠ADB=．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD及点D在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了．
6．B
【解析】
【分析】
先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．
【详解】
解：由题意可知：挂图的长为，宽为，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
7．B
【解析】
【详解】
分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．A
【解析】
【分析】
连接OB、AB，易证△OAB是等边三角形，∠AOB＝60°，由OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，得出OA⊥BC，BC＝2BD，根据三角函数求出BD＝OB sin60°，即可求得BC．
【详解】
连接OB、AB，如图所示：
则OA＝OB＝AB＝8，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，
∴OA⊥BC，
∴∠BDO＝90°，BC＝2BD，
∴BD＝OB sin60°＝8×＝4，
∴BC＝2×4＝8；
故选A．
【点睛】
本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数；由相交两圆的性质得出直角三角形是解决问题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
【详解】
思路引领：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
答案详解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：D．
10．B
【解析】
【分析】
连接OB,则△AOB是直角三角形,利用三角函数即可求得OA的长,则AC即可求解
【详解】
解：连接OB．
∵AB是⊙O的切线,B为切点,
∴OB⊥AB,
在直角△OAB中，OB＝AB tanA＝2×＝2，
则OA＝2OB＝4，
∴AC＝4+2＝6．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质以及利用三角函数特殊角度求长度
11．
【解析】
【分析】
由一元二次方程根与系数的关键可得： 从而列不等式可得答案．
【详解】
解： 关于的一元二次方程有实数根，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12．y2 y1 y3
【解析】
【分析】
先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．
【详解】
解：二次函数的图像开口方向向上，对称轴是x=-2，
A（﹣4，）距对称轴的距离是2，B（-1，）距对称轴的距离是1，C（2，）距对称轴的距离是4
所以y2 y1 y3
故答案为：y2 y1 y3．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．
13．-1＜x＜3
【解析】
【分析】
首先求出点（-1，0）关于对称轴x=1的对称点，进而结合图象可得当y＜0时x的取值范围．
【详解】
解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，
抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
当-1＜x＜3时，y＜0，
故答案为：-1＜x＜3．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x轴的另一个交点坐标．
14．44°
【解析】
【分析】
首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．
【详解】
连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为44°
【点睛】
此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
15．a=-2
【解析】
【分析】
先求出旋转后线段的两点坐标，再求出中点C的坐标，代入抛物线即可求出a.
【详解】
如图：
设AB旋转后的线段为EF， EF的中点为点C.
∵A（4，0），B（0，2），线段AB绕原点O顺时针旋转90°，
∴E（0，-4），F（2，0），
∴C（1，-2）
∵C点落在抛物线y=ax2上，
∴-2=a×12，
则a=-2.
故答案为-2.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.
16．①②④
【解析】
【分析】
（1）先证明，得，，由垂径定理，得：，即是的中点；
（2）余弦三角函数和勾股定理算出了，即可得．
（3）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；
（4）分别过分别作于，于，由余弦三角函数和勾股定理算出了，，再算面积，即得；
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°，
（1）在与中，
，
，
，
，
，
由垂径定理，
得：，
即是的中点，故（1）正确；
（3）如图，过分别作于，于，
，，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
是错误的，故（3）不正确；
（2），
，
，故（2）正确．
（4）过分别作于，
由（4）知，，
，
，
，
，故（4）正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．
17．x1＝3，x2＝5
【解析】
【分析】
先移项，再利用因式分解法求解可得．
【详解】
解：∵(x-3)2＝2(x-3)，
∴(x-3)2-2(x-3)＝0，
则(x-3)(x-5)＝0，
∴x-3＝0或x-5＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．
18．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式即可求解；
（2）根据根与系数的关系，即可求得m的值．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+m-2=0有两个实数根，
∴△≥0，即9-4（m-2）≥0
解得．
答：m的求值范围为；
（2）根据根与系数的关系：
x1+x2=3，x1 x2=m-2，
∵x1，x2满足2x1=x2+1，
把x2=3-x1代入，得
2x1=3-x1+1
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，解决本题的关键是熟练运用根与系数的关系和根的判别式．
19．（1）该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为20%；（2）预计2021年阅览室人均借阅量是10本．
【解析】
【分析】
（1）设该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为x，根据该社区阅览室在2018年及2020年图书借阅总量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据增长率算出2021年的图书借阅总量，除以1296即为人均借阅量．
【详解】
解：（1）设该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为x，
依题意，得：7500（1+x）2=10800，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为20%；
（2）由题意得，2021年该社区借阅总量是10800×120%=12960，
12960÷1296=10，
答：预计2021年阅览室人均借阅量是10本．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20．（1）∠ADC=23°；（2）AD=4．
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质可得AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE=60°，AD=DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD=BE=5，由勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，
∵∠BFD=97°=∠AFE，
∴∠E=180°-97°-60°=23°，
∴∠ADC=∠E=23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE=60°，AD=DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD=BE=5，
∵∠BDC=7°，∠ADC=23°，∠ADE=60°，
∴∠BDE=90°，
∴，
∴AD=DE=4．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
21．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接AF．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；
（2）设AD=x．根据圆周角定理的推论和勾股定理进行求解．
【详解】
解：（1）证明：连接AF，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴FC=FB．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠OEB=∠ADB=90°，
∴OF⊥BD．
（2）设AD=x，
∵OF⊥BD，
∴可得OF是BD的中垂线，
∴FD=FB，
∴∠1=∠2，
∴BF=DF=，
∵OF⊥DB，
∴ED=EB．
∴OE=AD=，FE=OF﹣OE=，
在Rt△FEB中，BE2=EB2﹣FE2=；
在Rt△OFB中，BE2=OB2﹣OE2=；
∴=
解得：x=，
即AD=．
【点睛】
此题考查了圆周角定理的推理、勾股定理以及等腰三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
22．（1）经过5分钟校园的累计人数会达到650人；（2）排队人数最多时有490人，全部学生都完成体温检测要20.25分钟；（3）从一开始就应该至少增加1个检测点．
【解析】
【分析】
（1）将y=650代入中，求得x的值（舍去大于9的），即可．
（2）根据排队人数=累计人数-已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；9分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在15分钟内让全部学生完成体温检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．
【详解】
解：（1）将y=650代入中得，
解得，（舍去），
故，经过5分钟校园的累计人数会达到650人；
（2）设第x分钟时的排队人数为W，
根据题意得：W=y-40x，
∴，
当0＜x≤9时，
W=-10x2+140x=-10（x-7）2+490，
∴当x=7时，W最大=490，
当x＞9时，W=810-40x，
∵k=-40＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴W＜450，
故排队人数最多时有490人，
要全部学生都完成体温检测，根据题意得：810-40x=0，
解得：x=20.25，
故排队人数最多时有490人，全部学生都完成体温检测要20.25分钟；
（3）设从一开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：
15×20（m+2）≥810，
解得：m≥0.7，
∵m为整数，
∴m=1，
答：从一开始就应该至少增加1个检测点．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
23．（1）见解析；（2），，；（3），
【解析】
【分析】
（1）画出点A，B，C关于y轴的对称点，连接起来，即可；
（2）根据点，点，点在平面直角坐标系中的位置，即可得到答案；
（3）作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’交x轴于点P，即可，进而求出的周长的最小值.
【详解】
（1）如图所示：
（2）由第（1）小题可得：，，；
（3）作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’交x轴于点P，即为所求的点，如图
∵，B’（4，-2），
∴AB’所在直线的一次函数解析式为：y=-x+2，
令y=0，则，0=-x+2，解得：x=2，
∴点P的坐标是，
此时，的周长最小，周长的最小值是AB’+AB=.
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，点关于坐标轴的轴对称变化以及利用轴对称性求两条线段和的最小值，理解“两点之间，线段最短”是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）是，135°；（3）存在，9.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AMB=90°，由M是弧AB的中点得弧MB=弧MA，于是可判断△AMB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，则可根据“SAS”判断△OBE≌△OMF，所以OE=OF；
（2）根据圆周角定理得到∠BMQ=∠BOQ，∠AMP=∠AOP，则∠BMQ+∠AMP=（∠BOQ+∠AOP）=45°，所以∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=135°；
（3）易得△OEF为等腰直角三角形，则EF=OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+MB=OE+6，根据垂线段最短得当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=BM=3，所以△EFM的周长的最小值为9．
试题解析：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∵M是弧AB的中点，
∴，
∴MA=MB，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM=∠BAM=45°，∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=×6=6，
∴∠MOE+∠BOE=90°，
∵∠COD=90°，
∴∠MOE+∠MOF=90°，
∴∠BOE=∠MOF，
在△OBE和△OMF中，
，
∴△OBE≌△OMF（SAS），
∴OE=OF；
（2）解：∠PMQ为定值．
∵∠BMQ=∠BOQ，∠AMP=∠AOP，
∴∠BMQ+∠AMP=（∠BOQ+∠AOP），
∵∠COD=90°，
∴∠BOQ+∠AOP=90°，
∴∠BMQ+∠AMP=×90°=45°，
∴∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=45°+90°=135°；
（3）解：△EFM的周长有最小值．
∵OE=OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴EF=OE，
∵△OBE≌△OMF，
∴BE=MF，
∴△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+BE+ME=EF+MB=OE+6，
当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=BM=×6=3，
∴△EFM的周长的最小值为3+6=9．
考点: 圆的综合题.
25．（1）；（2），；（3），，，，
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，分别求得、的值，然后利用待定系数法即可得到答案；
（2）过作轴，交于点，然后设出点的坐标，从而得的坐标，代入三角形面积公式即可得到答案；
（3）由（1）直线得，然后根据平移性质，得的顶点坐标，然后分类讨论：①当为菱形对角线时，②当为菱形对角线时，③当为菱形对角线时，联立方程，得点坐标，最后根据菱形的性质，列出方程，求解即可得到答案．
【详解】
解：（1）把代入，得，
，
．
把代入一次函数，得，
．
．
联立方程：，
解得：或．
．
（2）割补法表示三角形面积：铅垂高水平宽，过作轴，交于点．
设，则，
，
即，
，
，．
（3）由（1）直线．
，
沿平移个单位，
向右平移5个，向下平移5个单位，
平移后表达式为：．
联立：，
，
．
为顶点，则，
设，，分类讨论：
①当为菱形对角线时，
，，
，
，
，
，即，
，
②当为菱形对角线时，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
③当为菱形对角线时，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
综上可得，的坐标为：，，，，．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、二次函数的性质，三角形的面积，菱形的性质，综合性较强，难度适中．
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