2026年高考数学一轮复习 平面向量及其应用（含解析）

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高考数学一轮复面向量及其应用
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 潮阳区校级期中）在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 永安市期中）已知平面向量，若与互相垂直，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 船山区校级期中）若向量，，则“m≥﹣9”是“向量，的夹角为锐角”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025春 浙江期中）在△ABC中，D为边BC的中点，对于BC所在直线上的任意点P，均有|PA|2+|PC|2≥|DA|2+|DC|2，则△ABC的形状一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
5．（2025春 广东校级期中）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法不正确的是（　　）
A．若，则△ABC的形状为等边三角形
B．在△ABC中，，若，则△ABC为钝角三角形
C．已知点O是平面上的一个定点，并且A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心
D．已知与的夹角为锐角，实数λ的取值范围是
6．（2025春 广陵区校级期中）已知，（k，﹣4），（m，3），则下列结论不正确的是（　　）
A．若，则k＝﹣2
B．若，则m＝﹣6
C．若，则m＝1或m＝﹣3
D．若与的夹角为钝角，则k＜3且k≠﹣2
7．（2025春 东城区校级期中）已知正方形ABCD的边长为，PD＝1，则的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[0，2] C． D．
8．（2025春 镇江期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，，AC＝1，AD与CE交于点O，，则实数t的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 萍乡期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，若4S＝3（bsinC+csinB），则下列说法正确的有（　　）
A．若，b＝2，则△ABC有两组解
B．若，b＝2，则△ABC有一组解
C．若，则BC边的中线长为
D．若，则BC边的中线长为3
（多选）10．（2025春 礼泉县期中）已知向量，，，则可能是（　　）
A．（4，﹣8） B．（2，﹣4） C．（﹣4，﹣8） D．（﹣4，8）
（多选）11．（2025春 安徽期中）已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若与的夹角为锐角，则k的取值范围为
D．与夹角的余弦值为
（多选）12．（2025春 金安区校级期中）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M，B，C三点共线
B．在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形
C．若点M是△ABC的重心，则
D．若且，则△MBC的面积是△ABC面积的
三．填空题（共4小题）
13．（2025 唐山二模）已知△ABC的面积为S，M，N分别为边AB，AC的中点，设，则P取得最大值时，cos∠BAC＝ 　 　 ．
14．（2025春 海州区期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且，则的取值范围为　 　 ．
15．（2025春 阆中市校级期中）已知，若与的夹角为钝角，则λ的范围为 　 　 ．
16．（2025春 无锡校级期中）在△ABC中，，sinB＝2cosA sinC，△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 清远期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上的动点，EF交AD于点G．已知c＝1，且2csinAcosB＝asinA﹣bsinBbsinC．
（1）求b；
（2）若cos∠BAD，求cos∠BAC；
（3）在（2）的条件下，若S△ABC＝4S△AEF，求的取值范围．
18．（2025春 浙江期中）在平行四边形ABCD中，，AB＝2，AD＝1，M，N分别为AB和BC上的动点，且，．
（1）若，，请用，表示；
（2）若，AN与DM相交于点G，求的值；
（3）若λ+μ＝1，求的取值范围．
19．（2025春 金溪县校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若点D在边AB上，∠ADC＝∠ACB，AD＝2BD＝2，求△ABC的面积．
20．（2025春 金安区校级期中）在△ABC中，．
（1）若a+b＝8，△ABC的面积为，求c；
（2）若c＝4，
①求的值：
②求△ABC面积的最大值；
③求△ABC周长的取值范围．
高考数学一轮复面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 潮阳区校级期中）在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：由于，，
故2．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2．（2025春 永安市期中）已知平面向量，若与互相垂直，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用向量的夹角运算求出结果．
【解答】解：由于平面向量，若与互相垂直，故，
整理得，
故，
由于，
故与的夹角为．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的夹角运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3．（2025春 船山区校级期中）若向量，，则“m≥﹣9”是“向量，的夹角为锐角”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；必要不充分条件的判断；平面向量数量积的坐标运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】先根据向量的夹角为锐角求出m的取值范围，再判断属于哪种关系．
【解答】解：向量，，
向量的夹角为锐角，则，且向量不共线，
当向量共线时，m＝﹣9，
则m＞1，
若m＞1，则m≥﹣9成立，反之不成立，
故“m≥﹣9”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：向量的夹角运算，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2025春 浙江期中）在△ABC中，D为边BC的中点，对于BC所在直线上的任意点P，均有|PA|2+|PC|2≥|DA|2+|DC|2，则△ABC的形状一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】以B为原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，设D（c，0），C（2c，0），P（x，0），A（a，b），B（0，0），通过坐标运算即可求解．
【解答】解：以B为原点，直线BC为x轴，建立如图平面直角坐标系，
设D（c，0），C（2c，0），P（x，0），A（a，b），B（0，0），
则|PA|2+|PC|2＝（x﹣a）2+b2+（x﹣2c）2＝2x2﹣（2a+4c）x+a2+b2+4c2，
上式为开口向上的二次函数，当时，
因为|DA|2+|DC|2＝（c﹣a）2+b2+c2＝a2+b2﹣2ac+2c2，
又因为|PA|2+|PC|2≥|DA|2+|DC|2，
所以，
解得，即a2≤0，故a＝0，
所以A，B两点的横坐标相同，故AB⊥BC，
所以△ABC为直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：基本不等式，平面直角坐标系，两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（2025春 广东校级期中）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法不正确的是（　　）
A．若，则△ABC的形状为等边三角形
B．在△ABC中，，若，则△ABC为钝角三角形
C．已知点O是平面上的一个定点，并且A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心
D．已知与的夹角为锐角，实数λ的取值范围是
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用向量减法法则判断A；求出向量夹角判断B；利用向量加法的平行四边形法则推理判断C；举例说明判断D．
【解答】解：设点M是△ABC所在平面内一点，
对于A选项，根据平面向量的减法法则可得，则△ABC为等边三角形，故A选项正确；
对于B选项，在△ABC中，，若，
则，得，则C为钝角，故B选项正确；
对于C选项，已知点O是平面上的一个定点，并且A，B，C是平面上不共线的三个点，
由分别表示向量方向上的单位向量，
得的方向与∠BAC的角平分线方向一致，由，
得，又λ∈（0，+∞），则向量的方向与∠BAC的角平分线方向一致，
因此点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故C选项正确；
对于D选项，已知与的夹角为锐角，
当λ＝0时，，此时与同向，夹角不是锐角，故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了向量的减法法则、向量加法的平行四边形法则和平面向量数量积的运算，属于中档题．
6．（2025春 广陵区校级期中）已知，（k，﹣4），（m，3），则下列结论不正确的是（　　）
A．若，则k＝﹣2
B．若，则m＝﹣6
C．若，则m＝1或m＝﹣3
D．若与的夹角为钝角，则k＜3且k≠﹣2
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用向量的坐标运算，向量共线的充要条件，向量的模的运算求出结果．
【解答】解：已知，（k，﹣4），（m，3），
对于A：则，整理得﹣4﹣2k＝0，解得k＝﹣2，故A正确；
对于B：由于2，故，解得m＝﹣6；故B正确；
对于C：，所以（m+1）2+25＝29，解得m＝1或﹣3，故C正确；
对于D：由于和的坐标中含有k和m，故求不出结果，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2025春 东城区校级期中）已知正方形ABCD的边长为，PD＝1，则的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[0，2] C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，由题设，结合数量积的坐标运算即可求解．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
由正方形ABCD边长为，
可得A（0，0），，，，
由点P满足PD＝1，可知点P在以为圆心，半径为1的圆上，
即点P坐标满足，
设，θ∈[0，2π），
则，，
故
∈[﹣2，2]，
则的取值范围是[﹣2，2]．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
8．（2025春 镇江期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，，AC＝1，AD与CE交于点O，，则实数t的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
【解答】解：已知在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，，AC＝1，AD与CE交于点O，
设，
则，
又E、O、C三点共线，
则，
则，
则，，
则，
则，
又，
则t＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 萍乡期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，若4S＝3（bsinC+csinB），则下列说法正确的有（　　）
A．若，b＝2，则△ABC有两组解
B．若，b＝2，则△ABC有一组解
C．若，则BC边的中线长为
D．若，则BC边的中线长为3
【考点】解三角形；正弦定理与三角形解的存在性和个数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用三角形的面积公式，正弦定理化简已知等式可求a＝3，
对于选项A、B：利用正弦定理与三角形解的存在性和个数即可判断；
对于选项C、D：利用平面向量数量积，余弦定理以及三角形中线长定理即可求解．
【解答】解：因为4S＝3（bsinC+csinB），，
所以4absinC＝3（bsinC+csinB），可得2absinC＝3bsinC+3csinB，
因为，可得c，
所以2absinC＝3bsinC+3sinB ，化简得a＝3，
选项A、B分析：当，b＝2时，由正弦定理得，可得sinB0.577，此时B仅有一个有效解（锐角），钝角解会导致角C＜0，矛盾，因此选项B正确，选项A错误；
选项C、D分析：当时，由，结合余弦定理，代入得：，
若a＝3，则，由中线公式可得：，因此选项C正确，选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，正弦定理，平面向量数量积，余弦定理以及三角形中线长定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
（多选）10．（2025春 礼泉县期中）已知向量，，，则可能是（　　）
A．（4，﹣8） B．（2，﹣4） C．（﹣4，﹣8） D．（﹣4，8）
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】AD
【分析】设，由向量模长的坐标运算可构造方程求得λ，由此即可求解．
【解答】解：向量，，，
∵，∴设，∴．
∵，∴λ2+（﹣2λ）2＝5λ2＝16×[12+（﹣2）2]＝80，即λ2＝16，解得λ＝±4．
∴或．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）11．（2025春 安徽期中）已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若与的夹角为锐角，则k的取值范围为
D．与夹角的余弦值为
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据向量的加法的坐标运算和模长公式可判断A；根据垂直的坐标运算可判断B；利用夹角余弦及向量共线计算判断C；利用向量坐标求模公式及求向量夹角公式即可判断选项D．
【解答】解：对于A，由题意，则 ，故A正确；
对于B，因为 ，故B正确；
对于C，，若与的夹角为锐角，
则得，且与不共线（同向），
，解得：且k≠1
则k的取值范围为：，故C错误；
对于D，，，
，
所以与夹角的余弦值为：，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2025春 金安区校级期中）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M，B，C三点共线
B．在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形
C．若点M是△ABC的重心，则
D．若且，则△MBC的面积是△ABC面积的
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据共线向量基本定理的推论可判断A；根据向量数量积的定义结合条件可判断B；画出图形，结合向量加法法则及重心的概念及性质可判断C；根据向量的线性运算的几何表示结合图形可得到△MBC的面积与△ABC面积底相同，高线之比为2：3，从而得到可判断D．
【解答】解：已知点M是△ABC所在平面内一点，
A选项，因为，
又3﹣4＝﹣1≠1，
所以点M，B，C三点不共线，
A错误；
B选项，因为，
所以cos∠ACB＝cos∠ABC，
又0＜∠ACB＜π，0＜∠ABC＜π，
故∠ACB＝∠ABC，
即△ABC为等腰三角形，
B正确；
C选项，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，
则点M在AH上，且，
又，则，
C正确；
D选项，由于，
而，
所以，其中3x+3y＝1，
不妨设，
则Q点在直线BC上，
由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2：3，
所以△MBC的面积是△ABC面积的，
D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 唐山二模）已知△ABC的面积为S，M，N分别为边AB，AC的中点，设，则P取得最大值时，cos∠BAC＝ 　　 ．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】由M，N为中点，可得BN，CM的向量表示，并求出BN2，CM2的表达式，再求出面积的表达式，可得函数P的表达式，换元，求导可得P取到最大值时cosA的值．
【解答】解：由题意如图所示：
因为M，N分别为边AB，AC的中点，可得，
所以222 22﹣|| ||cosA，
同理可得222 22﹣|| ||cosA，
因为|| ||＝|| ||，22，
所以22（22）﹣2|| ||cosA，
即BN2+CM2（AB2+AC2）﹣2AB ACcosA（c2+b2）﹣2bccosA，
S△ABCAB ACsinAcbsinA，
所以P，当且仅当b＝c时取等号，
设f（A），则f'（A），
令f'（A）＝0，可得cosA，
当cosA时，f'（A）＜0，
当cosA时，f'（A）＞0，
可得cosA时，f（A）最大，即此时P最大，
故答案为：．
【点评】本题考查用向量的方法表示中线的平方，换元，求导的方法求函数的最大值，属于中档题．
14．（2025春 海州区期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且，则的取值范围为　　 ．
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】由余弦定理结合面积公式化简得，利用辅助角公式求出，由正弦定理得，根据正切函数的性质求得，，最后利用对勾函数的单调性求解即可．
【解答】解：由于，
由余弦定理可知2bccosA＝b2+c2﹣a2，
由面积公式可得，代入到已知条件可得：
，
因为bc≠0，化简可得，所以，
根据恒等变换可得，
因为锐角△ABC，
所以，则，所以可得，即，
所以，
则，
因为锐角△ABC，所以，，
则，又tanx在单调递增，
则，令，所以，
所以，
由对勾函数的单调性知在单调递减，在（1，2）单调递增，
当t＝1时，取到最小值y＝2，当或t＝2时，最大值，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：正弦定理，余弦定理，三角形的面积，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（2025春 阆中市校级期中）已知，若与的夹角为钝角，则λ的范围为 　　 ．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，利用，求得，再由向量与共线时，列出方程，求得，进而得到实数λ的取值范围．
【解答】解：由已知条件可得，解得，
当向量与共线时，可得﹣5λ﹣2×3＝0，解得，
所以向量与的夹角为钝角时，λ的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（2025春 无锡校级期中）在△ABC中，，sinB＝2cosA sinC，△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是 　　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】求出三角形外接圆的半径，建立坐标系，设cosθ，sinθ），求出，的坐标，代入数量积公式得到关于θ的三角函数，利用正弦函数的性质得出．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
因为A是△ABC的内角，
所以，
因为sinB＝2cosA sinC，
所以sinB＝sinC，
所以B＝C，
所以△ABC是等边三角形，且边长为2，外接圆的半径为，
以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系．
设，，cosθ，sinθ）．
则cosθ，sinθ），cosθ，1sinθ），
∴（1﹣cosθ） （﹣2cosθ﹣1）sinθ（1sinθ）
，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 清远期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上的动点，EF交AD于点G．已知c＝1，且2csinAcosB＝asinA﹣bsinBbsinC．
（1）求b；
（2）若cos∠BAD，求cos∠BAC；
（3）在（2）的条件下，若S△ABC＝4S△AEF，求的取值范围．
【考点】解三角形；平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）b＝2；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据余弦定理即可求解；
（2）根据向量法则即可求解；
（3）根据（2）的条件即可求解．
【解答】解：（1）由已知，由正弦定理可得，
由余弦定理可得啊啊啊啊啊啊啊啊，整理可得，即b＝2c，
因为c＝1，所以b＝2；
（2）因为D为BC中点，所以，设，的夹角为θ，
则|，
又，
所以，
整理可得28cos2θ+12cosθ﹣13＝0，解得或，
又，所以，1+2cosθ＞0，
所以，所以；
（3）由已知可设，，（k，λ，μ∈[1，+∞）），
因为，所以，
由可得，即，
由G，E，F三点共线，得，即λ+μ＝2k，
由（2）可得，
所以
，
因为，所以λ≤4，即λ∈[1，4]，所以λ2+4∈[5，20]，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以的取值范围为．
【点评】本题考查了解三角形，属于中档题．
18．（2025春 浙江期中）在平行四边形ABCD中，，AB＝2，AD＝1，M，N分别为AB和BC上的动点，且，．
（1）若，，请用，表示；
（2）若，AN与DM相交于点G，求的值；
（3）若λ+μ＝1，求的取值范围．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1），；
（2）；
（3）[﹣2，3]．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合平面向量的线性运算法则算出用，表示的式子；
（2）设k，可得k，运用平面向量的线性运算法则算出k（1），，根据向量平行的条件列式算出k的值，可得答案；
（3）根据平面向量数量积的定义与运算性质，算出4λ+λμ﹣1﹣μ，结合λ+μ＝1化简得λ2+6λ﹣2，然后利用二次函数的性质求出的取值范围，即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）若，，则，．
（2）若，则M、N分别是AB、BC的中点，
AN与DM相交于点G，设k，则kk（），所以k（1）．
因为，且∥，所以，解得k，即的值为．
（3）根据题意，可得 || ||cos1．
因为μμ，λ．
所以（μ） （λ）＝λ||2+（λμ﹣1） μ||2＝4λ+λμ﹣1﹣μ，
结合λ+μ＝1，化简得λ2+6λ﹣2，
因为λ∈[0，1]，关于λ的函数f（λ）＝﹣λ2+6λ﹣2在[0，1]上是增函数，
所以的最小值为f（0）＝﹣2，最大值为f（1）＝3，可得的取值范围是[﹣2，3]．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质、二次函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
19．（2025春 金溪县校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若点D在边AB上，∠ADC＝∠ACB，AD＝2BD＝2，求△ABC的面积．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得，可求解C；
（2）由△ADC～△ACB，可求得，进而由（1）可求得a，利用三角形面积公式可求面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
已知，
结合正弦定理，可得sinA，sinB，sinC（R为三角形的外接圆的半径），
即有，
整理得a2﹣c2＝ab﹣b2，由余弦定理可得，
又0＜C＜π，所以；
（2）因为∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC，所以△ADC～△ACB，
由相似可知，又因为AD＝2BD＝2，所以BD＝1，AB＝3，
所以AC2＝AD AB＝2×3＝6，所以，
由（1）得a2﹣c2＝ab﹣b2，所以，
解得或（舍去），
所以△ABC的面积为．
【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（2025春 金安区校级期中）在△ABC中，．
（1）若a+b＝8，△ABC的面积为，求c；
（2）若c＝4，
①求的值：
②求△ABC面积的最大值；
③求△ABC周长的取值范围．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①；②；③（8，12]．
【分析】（1）由余弦定理得a2+b2﹣c2＝ab，应用余弦定理有，进而有，再由面积公式得ab＝12，结合已知即可求边长；
（2）①应用正弦定理有，结合合比性质即可得；
②③应用基本不等式求ab，a+b的范围，即可得面积最值和周长范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以a2+b2﹣c2＝ab，则c2＝（a+b）2﹣3ab，
所以由余弦定理得：，
所以，
又因为，解得ab＝12，
因为a+b＝8，且c2＝（a+b）2﹣3ab，所以；
（2）①由（1）知，，
则由正弦定理有：，
所以；
②由c2＝a2+b2﹣ab＝16≥ab，当且仅当a＝b＝4时取等号，
所以，
所以△ABC面积最大值为；
③由，
所以c＝4＜a+b≤8，当且仅当a＝b＝4时取等号，
所以△ABC周长a+b+c∈（8，12]．
【点评】本题考查利用正、余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
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