2026年高考数学一轮复习 相等关系与不等关系（含解析）

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高考数学一轮复习 相等关系与不等关系
一．选择题（共8小题）
1．（2025 雅安模拟）已知a，b∈R，且ab≠0，对于任意x≥0均有（x﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣2b）≥0，则（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．b＞0 D．b＜0
2．（2025 青羊区校级模拟）设x，y，z∈[1，2]，则的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．
3．（2025 昌黎县校级模拟）下列四个关于不等式的命题中，不正确的命题是（　　）
A．若a，b，c∈R，且a＞b＞0，c＞0，则
B．若a＞b＞0，则
C．若a，b，c∈R，且a＞b，则
D．若a，b∈R，且a＞b，则sin（a﹣b）＜a﹣b
4．（2023秋 宁波期末）已知a＞0，b＞0，则下列选项中，能使4a+b取得最小值25的为（　　）
A．ab＝36 B．ab＝9a+b
C．a2+b＝21 D．16a2+b2＝625
5．（2024 秦皇岛一模）设p＝0.50.7，q0.3，则有（　　）
A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq
C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq
6．（2024秋 淮安月考）已知函数，正数a，b满足f（a）+f（b）＝1，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 湖北校级期中）已知a＞0，b∈R，若x＞0时，关于x的不等式（ax﹣2）（x2+bx﹣5）≥0恒成立，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
8．（2024秋 九龙坡区校级期中）已知函数f（x）＝x（1+a|x|）（a∈R），设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0） B．
C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 渝中区校级模拟）已知a，b为正实数，ab+a+2b＝14，则下列说法正确的是（　　）
A．a+b＜21
B．的最小值为﹣1
C．a+4b的最小值为12
D．的最小值为
（多选）10．（2025春 镇海区校级期中）已知a，b为正实数，a+b＝2，则（　　）
A．ab的最大值为1
B．a2+b2的最大值为2
C．的最小值为
D．的最小值3
（多选）11．（2025春 长安区校级月考）已知a，b，c∈R，则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b＞0，则
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b＞0，
D．的最小值为
（多选）12．（2025春 长沙期中）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝3，则下列正确的是（　　）
A．的最小值为3 B．的最大值为6
C．xy的最大值为 D．2x+1+4y≥4
三．填空题（共4小题）
13．（2025 杨浦区二模）已知a＞0，b＞0且a+b＝2，则ab的最大值为 　 　 ．
14．（2025春 南京期中）已知a＞0，b＞0，直线y＝x+2a与曲线y＝ex﹣1﹣b+1相切，则的最小值为 　 　 ．
15．（2025 嘉定区二模）不等式0解集为　 　 ．
16．（2025 沙坪坝区校级模拟）实数x，y满足2x﹣4y＝9，则x﹣y的最小值为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 双清区校级期末）已知m＞0，n＞0且mn＝m+n+15，求解下列问题．
（1）求mn的最值；
（2）求m+n的最值；
（3）求2m+3n的最小值．
18．（2025春 绵阳校级月考）已知a、b、c、d为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．
（1）请根据基本不等式，证明：；
（2）请利用（1）的结论，证明：；
（3）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
19．（2023秋 七里河区校级期末）已知一次函数f（x）过定点（0，1）．
（1）若f（1）＝3，求不等式解集．
（2）已知不等式f（x） x＞4的解集是（b，a），求a+2b的最小值．
20．（2024春 石景山区校级期中）设f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．
（1）求m；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2＝m，求ab+bc的最大值．
高考数学一轮复习 相等关系与不等关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 雅安模拟）已知a，b∈R，且ab≠0，对于任意x≥0均有（x﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣2b）≥0，则（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．b＞0 D．b＜0
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】分类讨论；综合法；不等式；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合三次函数的性质对a，b的范围进行分类讨论即可求解．
【解答】解：因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，
设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），则f（x）的零点为x1＝a或x2＝b或x3＝2a+b，
结合三次函数的图象分析可知，若要满足题意，则f（x）＝0全为负根或者有正根但为重根，
当a＞0时，要使对于任意x≥0都满足f（x）≥0，必有2a+b＝a，且b＜0，即b＝﹣a，此时a＞0，b＜0；
当a＜0时，显然b＞2a+b，此时x2＞x3，x1＜0，
若x2＝b＞0，则此正根不可能为重根，所以必有b＜0．
综上，b＜0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
2．（2025 青羊区校级模拟）设x，y，z∈[1，2]，则的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：设max（x，y，z）≥y≥min（x，y，z），
则（x﹣y）（y﹣z）≥0 xy+yz≥xz+y2，
，则，
所以，
因为2x≥z，2z≥x，
所以，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查运用基本不等式求最值，属于中档题．
3．（2025 昌黎县校级模拟）下列四个关于不等式的命题中，不正确的命题是（　　）
A．若a，b，c∈R，且a＞b＞0，c＞0，则
B．若a＞b＞0，则
C．若a，b，c∈R，且a＞b，则
D．若a，b∈R，且a＞b，则sin（a﹣b）＜a﹣b
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑思维．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质以及函数的单调性对各选项进行分析．
【解答】解：对于A，，
因为a＞b＞0，c＞0，所以b﹣a＜0，所以0，即，
故A错误；
对于B，因为a＞b＞0，所以0，
所以，则，
又0，
所以，故，B正确；
对于C，因为y在R上递减，a＞b，所以a+c＞b+c，
所以，故C正确；
对于D，令f（x）＝x﹣sinx，f'（x）＝1﹣cosx≥0在R上恒成立，
所以f（x）在R上递增，因为f（0）＝0，所以x＞0时，f（x）＞0，
因为a＞b，所以a﹣b＞0，所以f（a﹣b）＞0，即a﹣b＞sin（a﹣b），
故D正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的性质以及函数的单调性，属于中档题．
4．（2023秋 宁波期末）已知a＞0，b＞0，则下列选项中，能使4a+b取得最小值25的为（　　）
A．ab＝36 B．ab＝9a+b
C．a2+b＝21 D．16a2+b2＝625
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；不等式；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知结合基本不等式检验选项A，B，结合二次函数的性质检验选项C，结合三角函数的性质检验选项D．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，
A：当ab＝36时，4a+b24，当且仅当b＝4a，即a＝3，b＝12时取等号，A不符合题意；
B：当ab＝9a+b时，1，
所以4a+b＝（4a+b）（）＝1325，当且仅当b＝6a，即a，b＝15时取等号，B正确；
C：当a2+b＝21，即b＝21﹣a2＞0，
所以0＜a，
则4a+b＝﹣a2+4a+21＝﹣（a﹣2）2+25≤25，即最大值为25，C不符合题意；
D：因为625＝16a2+b2，
令b＝25cosα，4a＝25sinα，，
所以4a+b＝25（sinα+cosα）＝25sin（），
因为，
所以，
所以4a+b∈（25，25]，即取不到最小值25，D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式及三角函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
5．（2024 秦皇岛一模）设p＝0.50.7，q0.3，则有（　　）
A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq
C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq
【考点】不等式比较大小．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】比较p与的大小，求出q的范围即可得到结论．
【解答】解：依题意，p＝0.50.7＞0.5，
qlog31＝0，
又因为，
所以q，
即q＜0，
所以p﹣q＞p+q＞0，pq＜0，
所以p﹣q＞p+q＞pq，
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数幂函数的图象和性质，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．
6．（2024秋 淮安月考）已知函数，正数a，b满足f（a）+f（b）＝1，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用基本不等式求最值；函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由函数解析式可得，再由单调性可得ab＝1，利用基本不等式计算可得结果．
【解答】解：f（a）+f（b）＝1，而，所以；
而在（0，+∞）上单调递增，
所以，即ab＝1，
因此原式，要求其最大值，只需考察2a﹣9b＞0，
可得原式，
当且仅当时，即时等号成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式及对勾函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．
7．（2024秋 湖北校级期中）已知a＞0，b∈R，若x＞0时，关于x的不等式（ax﹣2）（x2+bx﹣5）≥0恒成立，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用；函数恒成立问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意设y＝ax﹣2，y＝x2+bx﹣5，由一次函数以及不等式（ax﹣2）（x2+bx﹣5）≥0分析得时，y＝x2+bx﹣5＝0，变形后代入，然后利用基本不等式求解．
【解答】解：设y＝ax﹣2（x＞0），y＝x2+bx﹣5（x＞0），
因为a＞0，所以当时，y＝ax﹣2＜0；
当时，y＝ax﹣2＝0；
当时，y＝ax﹣2＞0；
由不等式（ax﹣2）（x2+bx﹣5）≥0恒成立，得：或，
即当时，x2+bx﹣5≤0恒成立，
当时，x2+bx﹣5≥0恒成立，
所以当时，y＝x2+bx﹣5＝0，则，即，
则当a＞0时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
8．（2024秋 九龙坡区校级期中）已知函数f（x）＝x（1+a|x|）（a∈R），设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0） B．
C． D．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】数形结合；分类讨论；数形结合法；分类法；不等式的解法及应用；直观想象；运算求解．
【答案】C
【分析】根据条件分a＝0，a＞0和a＜0三种情况，由，求出a的取值范围．
【解答】解：显然当a＝0时，A＝ ，不满足条件；
当a＞0时，易知f（0）＝0，当x＞0时，f（x）＝x（1+a|x|）＞0，
于是f（0+a）＞0＝f（0），而由，可得0∈A，
即f（0+a）＜f（0），所以a＞0也不满足条件，故a＜0，
易知，
在坐标系中画出y＝f（x）与y＝f（x+a）的图象如图所示，
由图可知满足不等式f（x+a）＜f（x）的解集A＝（xA，xB），
由x（1﹣ax）＝（x+a）[1﹣a（x+a）]，可得；
由x（1+ax）＝（x+a）[1+a（x+a）]，可得xB，
∴，
由，得
解得，
所以a的取值范围为（，0）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，属中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 渝中区校级模拟）已知a，b为正实数，ab+a+2b＝14，则下列说法正确的是（　　）
A．a+b＜21
B．的最小值为﹣1
C．a+4b的最小值为12
D．的最小值为
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，化简得到（a+2）（b+1）＝16，令x＝a+2，y＝b+1，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可判定B正确；化简a+4b＝x+4y﹣6，利用基本不等式，可得判定C不正确；由（a+2）（b+1）＝16，得到，可判定D正确．
【解答】解：由ab+a+2b＝14，可得（a+2）（b+1）＝16，
对于A中，令x＝a+2，y＝b+1，则a＝x﹣2，b＝y﹣1且xy＝16，
可得2＜x＜16．则，
因为函数在（2，4]上单调递减，在[4，16）上单调递增，
可得f（x）＜f（16）＝17，所以a+b＝x+y﹣3＜14，所以A正确；
对于B中，由（a+2）（b+1）＝16，可得，
则，
当且仅当a＝2时，取得最小值﹣1，所以B正确；
对于C中，由，
当且仅当x＝4y时，即x＝8，y＝2时，即a＝6，b＝1时，等号成立，所以C不正确；
对于D中，由（a+2）（b+1）＝16，
可得，
当且仅当时，即a＝2，b＝3时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了二次函数的性质和基本不等式的应用，属于中档题．
（多选）10．（2025春 镇海区校级期中）已知a，b为正实数，a+b＝2，则（　　）
A．ab的最大值为1
B．a2+b2的最大值为2
C．的最小值为
D．的最小值3
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】AD
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
【解答】解：因为2＝a+b，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，A正确；
2，当且仅当a＝b＝1时取等号，B错误；
令s＝a+1，t＝b+2，则a+b＝s+t﹣3＝2，即s+t＝5，
s+t6
＝﹣1（）（s+t）（5）（5+2）
当且仅当2s＝t，即a，b时取等号，C错误；
11＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）11．（2025春 长安区校级月考）已知a，b，c∈R，则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b＞0，则
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b＞0，
D．的最小值为
【考点】不等关系与不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学抽象．
【答案】BC
【分析】利用特征值判断A，根据不等式的性质判断B，利用基本不等式判断C，根据对勾函数的性质判断D．
【解答】解：对于A，当c＝0时，，故A错误；
对于B，若ac2＞bc2，则c2≠0，即c2＞0，所以a＞b，故B正确；
对于C，因为a＞b＞0，所以，当且仅当a＝2b时取等号，
所以，显然，
所以，当且仅当a＝2b时取等号，故C正确；
对于D，因为，
令，则t≥1，令，
由对勾函数的性质可知，函数在[1，+∞）上单调递增，
所以f（t）min＝f（1）＝3，
所以 ，当且仅当a＝0时取等号，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，基本不等式及对勾函数单调性的综合应用，属于中档题．
（多选）12．（2025春 长沙期中）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝3，则下列正确的是（　　）
A．的最小值为3 B．的最大值为6
C．xy的最大值为 D．2x+1+4y≥4
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】AC
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
【解答】解：x＞0，y＞0，且x+2y＝3，
则（）（x+2y）（5）（5+2）＝3，当且仅当y＝x＝1时取等号，A正确；
，当且仅当x＝2y，即y，x时取等号，B错误；
3＝x+2y，当且仅当x＝2y，即y，x时取等号，解得xy，C正确；
2x+1+4y28，当且仅当x+1＝2y，即y＝1，x＝1时取等号，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 杨浦区二模）已知a＞0，b＞0且a+b＝2，则ab的最大值为 　1　 ．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】根据已知条件，结合不等式的公式，即可求解．
【解答】解：a＞0，b＞0且a+b＝2，
则ab，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
故ab的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查不等式的运算，属于基础题．
14．（2025春 南京期中）已知a＞0，b＞0，直线y＝x+2a与曲线y＝ex﹣1﹣b+1相切，则的最小值为 　8　 ．
【考点】基本不等式及其应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】8．
【分析】由直线y＝x+2a与曲线y＝ex﹣1﹣b+1相切，得2a+b＝1，然后利用基本不等式，即可求得本题答案．
【解答】解：设切点为（x0，y0），
因为y′＝ex﹣1，所以，得x0＝1，
所以1+2a＝2﹣b，即2a+b＝1，
所以，，
当且仅当，即时，取最小值，
所以的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查函数的导数的应用，基本不等式的应用，是中档题．
15．（2025 嘉定区二模）不等式0解集为　{x|﹣1＜x＜2}　 ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】由不等式不等式，可得（x﹣2）（x+1）＜0，由此解得它的解集．
【解答】解：由不等式不等式，可得（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2，
故答案为 {x|﹣1＜x＜2}．
【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
16．（2025 沙坪坝区校级模拟）实数x，y满足2x﹣4y＝9，则x﹣y的最小值为 　log26　 ．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】log26．
【分析】根据题意得出x，进而得出x﹣y，结合基本不等式即可得出所求的答案．
【解答】解：因为2x﹣4y＝9，
所以2x＝4y+9，即x，
则x﹣yy，
因为26，当且仅当，即y＝log23时等号成立，
所以x﹣ylog26．
故答案为：log26．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 双清区校级期末）已知m＞0，n＞0且mn＝m+n+15，求解下列问题．
（1）求mn的最值；
（2）求m+n的最值；
（3）求2m+3n的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知结合m+n，解不等式即可求解mn的范围，进而可求最小值；
（2）由已知结合mn，解不等式即可求解m+n的范围，进而可求最小值；
（3）由已知得（m﹣1）（n﹣1）＝16，然后结合基本不等式即可求解2m+3n的最小值．
【解答】解：（1）因为m＞0，n＞0，mn＝m+n+15≥215，当且仅当m＝n＝5时取等号，
所以mn≥25，即mn的最小值为25；
（2）由m+n+15＝mn，当且仅当m＝n＝5时取等号，
解得，m+n≥10（舍负），
所以m+n的最小值为10；
（3）由mn＝m+n＝15可得，（m﹣1）（n﹣1）＝16，
所以2m+3n＝2（m﹣1）+3（n﹣1）+55＝85，
当且仅当2m﹣2＝3n﹣3且（m﹣1）（n﹣1）＝16，即n＝1，m＝1+2时取等号，
所以2m+3n的最小值为5+8．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
18．（2025春 绵阳校级月考）已知a、b、c、d为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．
（1）请根据基本不等式，证明：；
（2）请利用（1）的结论，证明：；
（3）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）当矩形菜园平行于墙的一边的长为15m，与之相邻的边的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是，
【分析】（1）两次利用基本不等式得到，再利用基本不等式即可得证；
（2）令，结合（1）的结论，即可证明；
（3）设矩形菜园平行于墙的一边的长为xm，与之相邻的边的长为ym，菜园的面积为Sm2，求出x的范围，再由及基本不等式计算可得．
【解答】解：（1）证明：因为，
所以，，当且仅当a＝b，c＝d时等号成立，
所以，当且仅当a＝b，c＝d时等号成立．
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立；
（2）证明：由于，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立，
令，得，
即，故，
所以，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立．
（3）设矩形菜园平行于墙的一边的长为xm，与之相邻的边的长为ym，菜园的面积为Sm2，
则x+2y＝30，S＝xy，0＜x≤18，
由基本不等式得，
当x＝2y，即x＝15，时，菜园的面积最大，最大面积是．
因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为15m，与之相邻的边的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
19．（2023秋 七里河区校级期末）已知一次函数f（x）过定点（0，1）．
（1）若f（1）＝3，求不等式解集．
（2）已知不等式f（x） x＞4的解集是（b，a），求a+2b的最小值．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）或x＜0}；
（2）．
【分析】（1）先运用待定系数法求出函数解析式，再解分式不等式即得；
（2）利用三个二次的关系，将一元二次不等式的解转化为对应方程的的根，利用韦达定理和基本不等式即可求得．
【解答】解：（1）依题设f（x）＝kx+m（k≠0），因为f（x）过定点（0，1），
所以m＝1，即f（x）＝kx+1（k≠0），又f（1）＝3，即k+1＝3，所以k＝2，
故不等式即，可得，即，
将其转化为不等式组得，解得或x＜0，
故原不等式的解集为或x＜0}．
（2）由（1）知f（x）＝kx+1（k≠0），又不等式f（x） x＞4的解集是（b，a），
所以kx2+x﹣4＞0（k≠0）的解集是（b，a），
即方程kx2+x﹣4＝0（k≠0）有两根为a，b，由韦达定理，，且k＜0，
则且b＞a＞0，故，由，
当且仅当，即时，等号成立，
所以a+2b的最小值为．
【点评】本题主要考查了分式不等式及二次不等式的求解，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
20．（2024春 石景山区校级期中）设f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．
（1）求m；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2＝m，求ab+bc的最大值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）讨论f（x）的单调性，得出f（x）的最大值；
（2）根据基本不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|，
∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，
∴当x＝﹣1时，f（x）取得最大值f（﹣1）＝2．
∴m＝2．
（2）∵m＝2＝a2+2b2+c2＝（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∴ab+bc≤1．
∴ab+bc的最大值为1．
【点评】本题考查了函数的单调性判断与应用，属于基础题．
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