2025年9月高五校联考试题（数学）
8.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABF的边长都是3，且它们所在的平面互相
一、单选题（木大题共8小愿，每小题5分，共0分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合
垂直活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和8F上移动，则MN的最小值为《)
题目受求的.》
A,互
B.5
1.已知向量ā-0，x2),万-(44功，若a与万共线。则x+y=《)
c.32
D.25
A.-9
B.9
C.12-D.-l2
2.已知直线4：2红x-y+1=0与马：x+-3-0垂直，则实数k的值为()
二、多选题（本大题共3小恩，每题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合愿目要求，
A.2
B.-2
C.
p.生
全部迹附6分，部分选对得部分分，有错选的得0分)
3.过点P(-L2)的直线1与x轴，y轴分别交于AB两点，且P恰好是B的中点，则B的斜率为()
9.已知直线4：ar+y-3a=0,直线4：2x+(a-1)y-6=0,则（)
A
A,当a=3时，4与42的交点是(3,0)
C.-2
D.2
B.直线4与马都恒过(3,0)
4.已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,点E是BC的中点，则
C.若414，则a-号
D.aeR,使得%
点E到直线PD的距离是()
10.下到命愿中正确的是()
人95
C.
D.
A.若A,B,C,D是空间任意四点，则有AB+BC+C⑦+DA=可
3.直线1过成P1,0).且与以A(亿，).B(@月为端点的线段有公共点，则宜线1的斜率范围是《)
B.若直线1的方向向量与平面红的法向量的夹角等于130°，则直线1与平面：所成的角等于50
[副o网csa网D5到
c.已知6，是空间的一个基底，则+5,5+，a+5+也是空间的一个基底
D.已知0为坐标愿点，向量O=f+2-F,0丽=-i+6-3张，0C=-2i+4-2正，则点AB.C
6.若点A(-3,4),B(6,3)到直线1：m+y+1-0的距离相等，则实数a的值为()
不能构成三角形
号
B.月c.g时
D.时
11.如图，平行六面体AG中，∠AAD=∠44B=4罗，AD=AB,AC与BD交
7.如图.在正方体ABCD-4RGD中，点M,N分别是AD,DB的中点，则下述结论中正确的
于点O,则下列说法不正确的有()
个数为《)
A.直线M⊥直D
B.若4C=AC,则4C⊥平面民BDD
①MW∥平面ABCD:②平面AD⊥平面D,MB:
C.40-店+西+4
D.若∠BMD-60°，则Ad与4C夹角的余弦值为互
三、填空题（本大题共3小题，每小恩5分，共15分）
@直线N与AD所成的角为45°：④直线D,B与平面4ND所成的角为45°
12.己知0-(51,3)，0丽=(-2l,x.且0410B,则网-
A.1
B.2
C.3
D.4
13.若直线2x+y-3=0与直线4红+2y+a=0之间的距离为5，则实数a的值为
2
商二数学第1页共2页《2
025 年 9 月高二五校联考试题（数学）参考答案
所以
，该方程组没有实数解，因此假设不成立，所以
也是空间的一个
题号
答案
题号
答案
1
A
2
A
3
D
4
D
5
B
6
C
7
C
8
B
9
10
ABC
ACD
11
CD
基底, 故 C 正确；对于 D，由题意得
故点 不能构成三角形，故 D 正确．
，
，则
共线，
8
．B【详解】由正方形
平面
，得
，而平面
平面
1
1．CD【详解】对于 A，因为
，
，
，
，得
两两垂直，以点 为原点，直线
轴建立空间直角坐标系，
平面
，又四边形
是
分
所以
所以
，
，
正方形，则直线
别为
，
，因为
，所以
，
，
设与
都垂直的向量
所以
，所以
，A 正确，对于 B，连接
， 由选项 A 知
为菱形，
，
，
，
则
，令
，得
，
因为在平行四边形
中，
，所以四边形
所以
的最小值为
.
所以
所以
因为
所以
所以
，因为
平面
，
平面
，所以
，因为
平面
，
9
．ABC【详解】对于 D，假设存在
，使
，则
，解得
或
，
，
，所以
，
当
当
，
，
，两直线重合，舍去，
，
，由于
，
时，
，即
，所以
为直角三角形，即
平面
，因为
，所以
，所以 B 正确，对
，
即
，两直线重合，舍去，
，故 D 错误.
0．ACD【详解】对于 B，注意线面角的范围是
，
因为
，
，所以
的中点，
平面
所以不存在
，使
于 C，因为四边形
为平行四边形，所以
，所以
，因为在菱形
因为
为
1
，因为直线 的方向向量与平面 的法向量
；
所以
，所以 C 错误，
的夹角为
，所以直线 与平面 所成的角为
不是空间一个基底，
成立．
对于 D，设
，
中，
，所以
对于 C，假设
那么存在实数
，
，
使得
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所以
当截距相等且不为 时，设直线方程为
，
，
所以
，所以 D 错误，
因为直线过点
，则代入直线方程得，
..........................................13 分
，............................................2 分
，则直线方程为
...............12 分
1
2．
13．
或
14． 【详解】设
所以直线方程为
或
，
其中
，
1
6.【详解】（1）
，
，
.................6 分
，
，
所以
．...........................................7 分
所成的角，
因为
、
、
、
四点共线，则向量
、
、
共面，
，
设 为异面直线
与
由共面向量定理可知，存在
即
、
使得
.
...............10 分
.
.........................................12 分
，
所以，
，解得
.
所以异面直线
与
所成的角
.....................................15 分
1
5．(1)①解法 1：设
的中点为
，由中点坐标公式可得
，即
，
1
7．【详解】（1）将直线 的方程整理得
，........................1 分
由两点式得
解法 2：设
则
所在直线方程为
．..............3 分
令
，解得
所以直线 恒过点
．........................4 分
的中点为
，
，由中点坐标公式可得
，
则定点
到直线
的距离为
．........................7 分
所以
所在直线方程为
，即
．
（
当
2）由（1）可得直线 过定点，设定点为
时，点 到直线 的距离最大，........................9 分
，即点 到直线 的最大距离为 ．........................11 分
，解得 ．.........15 分（写对一个斜率给 1 分）
．
②
因为
，
，
所以
边上的高所在直线方程为
，即
，
．..............6 分
且最大距离
(2)【详解】（1）当截距为 时，设直线方程为
因为直线过点 ，则 ，解得
此时
，直线 的斜率
，所以直线方程为
；............9 分
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1
8.【详解】（1）取
的中点 ，连接
，又
，...............................................1 分
，所以
，..............................................4 分
平面 .....................5 分
∵底面
∵
是边长为 的正方形，即
平面
...................................4 分
平面 ，...................................5 分
，
则
且
且
且
，
又∵
∵
平面
，∴
，
所以四边形
为平行四边形，得
平面
，
平面
...................................6 分
又
（
平面
，
平面
，所以
（
设
2）解：以 为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立如图空间直角坐标系，...7 分
2）建立如图空间直角坐标系
，..............................................................6 分
，则
，...................8 分
.......................................9 分
则
有
，..............7 分
.
，................................8 分
设平面
则
的法向量为
，即
，
设平面
与平面
的一个法向量分别为
，
，
则
，
令
则
，得
，所以
，.............12 分（每个法向量各 2 分）
，取
，得
，..............................................................13 分
，......................................................................11 分
与平面
所成角的正弦值为
即平面
3）由
与平面
所成角的余弦值为
的一个法向量为
......................................14 分
，
.........................................14 分
（
，平面
，
则点 到平面
的距离为
................................17 分
当且仅当
，即
时等号成立.
1
9．【详解】（1）证明：
平面
，
平面
，
，
为
与平面
平面所成的线面角，
∵
与平面
所成的线面角为
......................................1 分
...................................2 分
，...................................3 分
三棱锥
的体积
................................17 分
，
∵
为
的中点，
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