1.2矩形的性质与判定
【知识点1】直角三角形斜边上的中线 1
【知识点2】矩形的判定与性质 1
【知识点3】矩形的性质 2
【知识点4】矩形的判定 2
【题型1】矩形的性质 2
【题型2】矩形与折叠问题 3
【题型3】矩形的性质与判定 5
【题型4】矩形的判定 6
【题型5】直角三角形斜边上中线的性质 8
【题型6】矩形的应用 9
【题型7】矩形的性质与坐标系 11
【题型8】矩形与动点问题 12
【知识点1】直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【知识点2】矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
【知识点3】矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【知识点4】矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
【题型1】矩形的性质
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，以下说法错误的是( )
A.∠ABC＝90° B.AC＝BD C.OA＝OB D.OA＝AD
【举一反三1】矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是( )
A.3 B. C.3－3 D.2－
【举一反三2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4 cm.则AC＝________ cm.
【举一反三3】如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF.
(1)求证：四边形ABFE是平行四边形；
(2)若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
【题型2】矩形与折叠问题
【典型例题】如图，矩形AOBC的两条边OA，OB分别落在x轴、y轴上，A点坐标为（﹣8，0），B点坐标为（0，10），点D在线段BC上，沿直线AD将矩形折叠，使点C与y轴上的点E重合，则点D的坐标为（ ）
A.（﹣3，10） B.（﹣4，10） C.（﹣5，10） D.（3，10）
【举一反三1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱形AECF的面积为( )
A.1 B.2 C.2 D.4
【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，过点E作EM∥PD，交AD于点M，则AM的长为 ．
【举一反三3】数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
[操作]如图，将矩形纸片ABCD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点E处，CE与AB交于点F．
[猜想]△AFC是等腰三角形．
[验证]将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片ABCD沿AC所在的直线折叠，
∴∠DCA＝___________，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD（矩形的对边平行），
∴∠DCA＝ （两直线平行，内错角相等），
∴ = ，
∴AF＝CF（ ），
∴△AFC是等腰三角形．
[应用]
若AB＝8，BC＝6，求△AFC的面积．
【题型3】矩形的性质与判定
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A.2 B.3 C.4 D.4
【举一反三2】下列说法中，错误的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.菱形的对角线互相垂直
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
【举一反三3】在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，若AC＝BD，则平行四边形ABCD的面积为__________．
【举一反三4】如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝2 cm，则AB与CD之间的距离为__________ cm.
【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？
【举一反三6】已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF.
(1)求证：AF＝DC；
(2)请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．
【题型4】矩形的判定
【典型例题】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD
【举一反三1】在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量对角线是否相等
D.测量其中三个角是否都为直角
【举一反三2】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，若不增加任何字母和辅助线，要使得四边形ABCD是矩形，则还需要增加一个条件是______________________________．
【举一反三3】用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有________．(只要填序号即可)
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长a，b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2＋b2＝c2.
④量出两条对角线长，看是否相等．
【举一反三4】如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【举一反三5】在△ABC中，D是BC边的中点，E，F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE，CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若DE＝BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．
【题型5】直角三角形斜边上中线的性质
【典型例题】在直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是( )
A.34 B.26 C.8.5 D.6.5
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF为( )
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC分成面积相等的两部分，则∠CDA等于( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【举一反三3】如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF∥BC，若EF交AD于点M，EF＝18，则DM＝________.
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE.若BD＝13，则AC＝__________.
【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
(1)试说明：BM＝DM；
(2)若N是BD的中点，MN与BD垂直吗？试说明理由．
【举一反三6】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB.
(1)证明：DC＝DG；
(2)若DG＝5，EC＝2，求DE的长．
【题型6】矩形的应用
【典型例题】为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1），用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（ ）
①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B，D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．
A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④
【举一反三1】满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄．工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时，分三个步骤进行：
（1）如图1，先截出两对符合规格的木条，使AB＝CD，EF＝GH；
（2）摆成如图2所示的四边形；
（3）____，矩形窗框制作完成．
下列方法中不能作为制作工序的第（3）个步骤的是（ ）
A.将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B.调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C.调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D.调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等
【举一反三2】如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上，∠D＝35°，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，∠D保持不变，则图中∠ECF应为 ．
【举一反三3】如图， ABCD地块的周长为56 m，四边形DEFG为种植花卉区域，DE⊥AB于点E，DE＝8 m，点F，G分别在边EB，CD上，且AE+FB＝GC．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AE＝FB，GC＝2DG，求种植花卉区域四边形DEFG的面积．
【题型7】矩形的性质与坐标系
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AB的中点，连接OM，DM．下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变；
结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形．
A.结论Ⅰ、Ⅱ都对 B.结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C.只有结论Ⅰ对 D.只有结论Ⅱ对
【举一反三1】如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（﹣10，0），C（0，﹣4），D是OA的中点，P是边BC上的点，连接DP，OP，当OP＝OD时，CP的长为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.8
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AB的中点，连接OM，DM．下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变；
结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形．
A.结论Ⅰ、Ⅱ都对 B.结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C.只有结论Ⅰ对 D.只有结论Ⅱ对
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为( )
A.(0，－) B.(0，－) C.(0，－) D.(0，－)
【题型8】矩形与动点问题
【典型例题】如图，在长方形ABCD中，AD=16 cm，AB=8 cm. 点P从点A出发，沿折线A-B-C方向运动，速度2 cm/s，点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4 cm/s，点P，Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t s．下列说法错误的是（ ）
A.点P运动路程为2t cm
B.CQ=（16-4t）cm
C.当t＝时，PB=BQ
D.运动中，点P可以追上点Q
【举一反三1】如图，在长方形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3 cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1 cm/s的速度沿BC向点C运动，当P，Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设P，Q运动的时间是t秒．当点P与点Q重合时，t的值是（ ）
A. B.4 C.5 D.6
【举一反三2】如图，在长方形ABCD中，已知AB＝6 cm，BC＝10 cm，点P以2 cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动，若某时刻以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ）
A.2 B.3 C.2或 D.2或
【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形．
【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝20 cm，BC＝24 cm，P，Q分别从A，C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P，Q的速度分别为1 cm/s和3 cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC，并说明理由；
（2）如果P的速度为1 cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．1.2矩形的性质与判定
【知识点1】直角三角形斜边上的中线 1
【知识点2】矩形的判定与性质 1
【知识点3】矩形的性质 2
【知识点4】矩形的判定 2
【题型1】矩形的性质 2
【题型2】矩形与折叠问题 4
【题型3】矩形的性质与判定 7
【题型4】矩形的判定 10
【题型5】直角三角形斜边上中线的性质 13
【题型6】矩形的应用 15
【题型7】矩形的性质与坐标系 18
【题型8】矩形与动点问题 20
【知识点1】直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【知识点2】矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
【知识点3】矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【知识点4】矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
【题型1】矩形的性质
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，以下说法错误的是( )
A.∠ABC＝90° B.AC＝BD C.OA＝OB D.OA＝AD
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴A，B，C各项结论都正确，而OA＝AD不一定成立，D选项结论错误.
故选：D.
【举一反三1】矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是( )
A.3 B. C.3－3 D.2－
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AB∥CD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，∴∠BAM＝∠AMD，
∵AM平分∠DMB，∴∠AMD＝∠AMB，∴∠BAM＝∠AMB，∴BM＝AB＝2，
∴CM＝＝＝，
∴DM＝CD－CM＝2－.
【举一反三2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4 cm.则AC＝________ cm.
【答案】8
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝4 cm，
∴AC＝2OA＝2×4＝8(cm).
【举一反三3】如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF.
(1)求证：四边形ABFE是平行四边形；
(2)若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠BCD＝90°.
∴∠BCF＝180°－∠BCD＝180°－90°＝90°，∴∠D＝∠BCF.
在Rt△ADE和Rt△BCF中，∵AE=BF，AD=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BCF.
∴∠AED＝∠F，∴AE∥BF.
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
(2)∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠AED＝90°.
∵∠BEF＝∠DAE，∴∠BEF＋∠AED＝90°.
∵∠BEF＋∠AED＋∠AEB＝180°，∴∠AEB＝90°.
在Rt△ABE中，AE＝3，BE＝4，AB＝＝＝5.
∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝5.
【题型2】矩形与折叠问题
【典型例题】如图，矩形AOBC的两条边OA，OB分别落在x轴、y轴上，A点坐标为（﹣8，0），B点坐标为（0，10），点D在线段BC上，沿直线AD将矩形折叠，使点C与y轴上的点E重合，则点D的坐标为（ ）
A.（﹣3，10） B.（﹣4，10） C.（﹣5，10） D.（3，10）
【答案】A
【解析】∵A点坐标为（﹣8，0），B点坐标为（0，10），∴OA＝8，OB＝10，
∵四边形AOBC是矩形，∴AC＝OB＝10，BC＝OA＝8，
由折叠性质可得DE＝CD，AE＝AC＝OB＝10，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝6，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
设BD＝x，则DE＝CD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得DE2＝BE2+BD2，
即（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3，∴BD＝3，
∴D（﹣3，10）.
【举一反三1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱形AECF的面积为( )
A.1 B.2 C.2 D.4
【答案】C
【解析】设BE＝x，则AE＝3－x，CE＝3－x，
∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，
∴CE＝2x，∴2x＝3－x，解得x＝1，∴CE＝2，
利用勾股定理得BC＝＝＝，
又∵AE＝AB－BE＝3－1＝2，∴AE·BC＝2.
【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，过点E作EM∥PD，交AD于点M，则AM的长为 ．
【答案】
【解析】由折叠的性质可得＝∠EPD＝∠A＝90°，∠ADE＝∠PDE，
∵EM∥PD，∴∠MEF＝90°，∠MED＝∠PDE＝∠ADE，∴ME＝MD，
∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝2，
在Rt△AEM中，AM2+AE2＝ME2，∴AM2+4＝（6﹣AM）2，
解得AM＝.
【举一反三3】数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
[操作]如图，将矩形纸片ABCD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点E处，CE与AB交于点F．
[猜想]△AFC是等腰三角形．
[验证]将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片ABCD沿AC所在的直线折叠，
∴∠DCA＝___________，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD（矩形的对边平行），
∴∠DCA＝ （两直线平行，内错角相等），
∴ = ，
∴AF＝CF（ ），
∴△AFC是等腰三角形．
[应用]
若AB＝8，BC＝6，求△AFC的面积．
【答案】解：[验证]∵矩形纸片ABCD沿AC所在的直线折叠，
∴∠DCA＝∠ACE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD（矩形的对边平行），
∴∠DCA＝∠CAF（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACE＝∠CAF，
∴AF＝CF（等角对等边），
∴△AFC是等腰三角形．
[应用]设AF＝CF＝a，则BF＝8﹣a，BC＝6，
在Rt△BCF中，BF2+BC2＝CF2，∴（8﹣a）2+62＝a2，
解得a＝，∴AF＝，
∴△AFC的面积为××6＝．
【题型3】矩形的性质与判定
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，即∠BAC＝90°.
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP.
∵M是EF的中点，∴AM＝EF＝AP.
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，由三角形面积公式得×4×3＝×5×AP，∴AP＝，∴AM的最小值是.
【举一反三1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A.2 B.3 C.4 D.4
【答案】A
【解析】∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，∴DF∥BC，∴∠C＝90°，∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，∴AB＝4，∴AC＝＝2，∴BE＝CD＝，
∴2×＝2.
【举一反三2】下列说法中，错误的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.菱形的对角线互相垂直
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D
【解析】根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形.
【举一反三3】在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，若AC＝BD，则平行四边形ABCD的面积为__________．
【答案】30
【解析】∵在平行四边形ABCD中，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，∴5×6＝30.
【举一反三4】如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝2 cm，则AB与CD之间的距离为__________ cm.
【答案】2
【解析】∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∵∠A＝∠B＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB与CD之间的距离为BC的长度，
∵BC＝2 cm，∴AB与CD之间的距离为2 cm.
【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？
【答案】解：(1)证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°，
∵平行四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.
【举一反三6】已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF.
(1)求证：AF＝DC；
(2)请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．
【答案】解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，
又∵E为AD的中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，∵∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.
(2)当AD＝CF时，四边形AFDC是矩形.
理由如下：由(1)得AF＝DC且AF∥DC，∴四边形AFDC是平行四边形，
又∵AD＝CF，∴平行四边形AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
【题型4】矩形的判定
【典型例题】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD
【答案】D
【解析】可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形.
【举一反三1】在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量对角线是否相等
D.测量其中三个角是否都为直角
【答案】D
【解析】A.对角线是否相互平分，能判定是否为平行四边形，不符合题意；
B．两组对边是否分别相等，能判定是否为平行四边形，不符合题意；
C．对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，不符合题意；
D．四边形中三个角是否都为直角，能判定是否为矩形，符合题意．
【举一反三2】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，若不增加任何字母和辅助线，要使得四边形ABCD是矩形，则还需要增加一个条件是______________________________．
【答案】AC＝BD (答案不唯一)
【解析】因为在四边形ABCD中，AB∥CD，所以∠BAC＝∠ACD，
因为∠BAD＝∠DCB，所以∠DAC＝∠BCA，所以AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，
要判断平行四边形ABCD是矩形，根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个角是直角或对角线相等．
【举一反三3】用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有________．(只要填序号即可)
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长a，b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2＋b2＝c2.
④量出两条对角线长，看是否相等．
【答案】①②
【解析】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定是否是矩形，故此选项正确；
②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形可知，量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确；
③量出一组邻的长a，b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2＋b2＝c2，可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形，故此选项错误；
④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等气且互相平分才是矩形，故此选项错误；
综上所述，用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②.
【举一反三4】如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵AB＝BE，∴BE＝DC，
又∵AE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形.
(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，∴OD＝OE，OC＝OB，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠BCD，
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，
∴OC＋OB＝OD＋OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
【举一反三5】在△ABC中，D是BC边的中点，E，F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE，CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若DE＝BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．
【答案】解：(1)证明：∵CE∥BF，∴∠CED＝∠BFD，
∵D是BC边的中点，∴BD＝DC，
在△BDF和△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE，BD=DC，
∴△BDF≌△CDE(AAS).
(2)四边形BFCE是矩形，
证明：∵△BDF≌△CDE，∴DE＝DF，
∵BD＝DC，∴四边形BFCE是平行四边形，
∵BD＝CD，DE＝BC，∴BD＝DC＝DE，∴∠BEC＝90°，
∴平行四边形BFCE是矩形．
【题型5】直角三角形斜边上中线的性质
【典型例题】在直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是( )
A.34 B.26 C.8.5 D.6.5
【答案】D
【解析】由勾股定理得斜边＝＝13，所以斜边上的中线长＝×13＝6.5.
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF为( )
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm
【答案】A
【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝2×5＝10 (cm)，
∵E，F分别是BC，CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝×10＝5 (cm).
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC分成面积相等的两部分，则∠CDA等于( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答案】C
【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴AC＝AB，
又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC分成面积相等的两部分，∴AD＝BD∴AC＝AD，
∵∠A＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA＝60°.
【举一反三3】如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF∥BC，若EF交AD于点M，EF＝18，则DM＝________.
【答案】9
【解析】∵EF∥BC，ED平分∠ADB，∴∠MED＝∠EDB＝∠EDM，∴EM＝DM，
同理可证DM＝FM，∴DM＝EF，
∵EF＝18，∴DM＝9.
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE.若BD＝13，则AC＝__________.
【答案】6.5
【解析】∵AD⊥AB，点E是BD的中点，∴AE＝BE＝ED＝DB＝6.5，∴∠B＝∠BAE，∴∠AED＝2∠B，
∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，∴AC＝AE＝6.5.
【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
(1)试说明：BM＝DM；
(2)若N是BD的中点，MN与BD垂直吗？试说明理由．
【答案】解：(1)证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，DM＝AC，
∴BM＝DM.
(2)∵BM＝DM，N是BD的中点，
∴MN⊥BD(等腰三角形三线合一)．
【举一反三6】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB.
(1)证明：DC＝DG；
(2)若DG＝5，EC＝2，求DE的长．
【答案】解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，
∵AD∥BC，∴∠ADE＋∠DEB＝180°，∴∠ADE＝90°，
∵G为AF的中点，∴DG＝AG，∴∠DAF＝∠ADG，∴∠DGC＝∠DAF＋∠ADG＝2∠DAC，
∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠ACD＝2∠ACB，∴∠DGC＝∠DCA，∴DC＝DG.
(2)∵在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DC＝DG＝5，CE＝2，
∴由勾股定理得DE＝＝.
【题型6】矩形的应用
【典型例题】为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1），用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（ ）
①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B，D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．
A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④
【答案】B
【解析】①由有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此时四边形ABCD由平行四边形变为矩形，故①正确；
②B，D两点之间的距离不断变化，故②错误；
③由底BC不变，高不断变化可知，四边形ABCD的面积不断变化，故③错误；
④由四边形的长度不变可知四边形ABCD的周长不变，故④正确．
所以正确的说法有①④．
【举一反三1】满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄．工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时，分三个步骤进行：
（1）如图1，先截出两对符合规格的木条，使AB＝CD，EF＝GH；
（2）摆成如图2所示的四边形；
（3）____，矩形窗框制作完成．
下列方法中不能作为制作工序的第（3）个步骤的是（ ）
A.将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B.调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C.调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D.调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等
【答案】C
【解析】∵AB＝CD，EF＝GH，∴四边形ABCD是平行四边形．
A．将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形，不符合题意；
B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形，不符合题意；
C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直，此时无法判定四边形是矩形，符合题意；
D．调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等，此时可以证明对角线相等，可知四边形ABCD是矩形，不符合题意．
【举一反三2】如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上，∠D＝35°，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，∠D保持不变，则图中∠ECF应为 ．
【答案】50°
【解析】∵∠ABD＝75°，∠D＝35°，∴∠ACD＝∠ABD﹣∠D＝40°，
∵AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，
∴∠ECF＝180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝50°．
【举一反三3】如图， ABCD地块的周长为56 m，四边形DEFG为种植花卉区域，DE⊥AB于点E，DE＝8 m，点F，G分别在边EB，CD上，且AE+FB＝GC．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AE＝FB，GC＝2DG，求种植花卉区域四边形DEFG的面积．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DG+GC＝CD，AE+EF+FB＝AB，AE+FB＝GC，∴DG＝EF，
又∵DG∥EF，∴四边形DEFG为平行四边形，
∵DE⊥AB于点E，∴∠DEF＝90°，
∴平行四边形DEFG为矩形.
（2）∵ ABCD地块的周长为56 m，∴AD+AB＝28 m，
设DG＝x m，则CG＝2x m，
∵AE+FB＝GC，AE＝FB，∴AB＝3x m，∴AD＝（28﹣3x）m，
∵AD2＝DE2+AE2，∴（28﹣3x）2＝82+x2，
解得x＝6，x＝15（不合题意舍去），
∴EF＝6，
∴种植花卉区域四边形DEFG的面积为8×6＝48（m2）．
【题型7】矩形的性质与坐标系
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AB的中点，连接OM，DM．下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变；
结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形．
A.结论Ⅰ、Ⅱ都对 B.结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C.只有结论Ⅰ对 D.只有结论Ⅱ对
【答案】A
【解析】∵M是边AB的中点，AO⊥OB，∴OM＝AB＝3，故结论Ⅰ正确；
∴AD＝AM＝BM＝3，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAM＝90°，∴∠AMD＝45°，DM＝AD＝3，
∵∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝6，∴∠AMD＝∠OAB，OA＝AB＝3，
∴DM∥OA，DM＝OA，∴四边形OMDA是平行四边形，故结论Ⅱ正确.
【举一反三1】如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（﹣10，0），C（0，﹣4），D是OA的中点，P是边BC上的点，连接DP，OP，当OP＝OD时，CP的长为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.8
【答案】B
【解析】∵A（﹣10，0），C（0，﹣4），∴AO＝10，OC＝4，
∵D是OA的中点，∴AD＝OD＝5，∴OP＝OD＝5，
∴CP＝＝＝3.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AB的中点，连接OM，DM．下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变；
结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形．
A.结论Ⅰ、Ⅱ都对 B.结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C.只有结论Ⅰ对 D.只有结论Ⅱ对
【答案】A
【解析】∵M是边AB的中点，AO⊥OB，∴OM＝AB＝3，故结论Ⅰ正确；
∴AD＝AM＝BM＝3，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAM＝90°，∴∠AMD＝45°，DM＝AD＝3，
∵∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝6，∴∠AMD＝∠OAB，OA＝AB＝3，
∴DM∥OA，DM＝OA，∴四边形OMDA是平行四边形，故结论Ⅱ正确.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为( )
A.(0，－) B.(0，－) C.(0，－) D.(0，－)
【答案】B
【解析】由折叠的性质可知，∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形OABC为矩形，∴OC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠B′AC＝∠DCA，∴AD＝CD，
设OD＝x，则DC＝6－x，
在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＋OD2＝AD2，即9＋x2＝(6－x)2，解得x＝，
∴点D的坐标为(0，－).
【题型8】矩形与动点问题
【典型例题】如图，在长方形ABCD中，AD=16 cm，AB=8 cm. 点P从点A出发，沿折线A-B-C方向运动，速度2 cm/s，点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4 cm/s，点P，Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t s．下列说法错误的是（ ）
A.点P运动路程为2t cm
B.CQ=（16-4t）cm
C.当t＝时，PB=BQ
D.运动中，点P可以追上点Q
【答案】D
【解析】A．由点P的速度为2 cm/s，时间为t s，得点P运动路程为2t cm，故本选项不符合题意；
B．由点Q的速度为4 cm/s，时间为t s，得点Q运动路程为4t cm，则CQ=（16-4t）cm，故本选项不符合题意；
C．当t=时，PB=8-2t=8-2×=，BQ=4t=4×=，则PB=BQ，故本选项不符合题意；
D．假设运动中点P可以追上点Q，则2t-8=4t，解得t=-4假设不成立，原表述错误，故本选项符合题意.
【举一反三1】如图，在长方形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3 cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1 cm/s的速度沿BC向点C运动，当P，Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设P，Q运动的时间是t秒．当点P与点Q重合时，t的值是（ ）
A. B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】根据题意，两点重合时可列方程为3t﹣t＝8，解得t＝4，
即当点P与点Q重合时，t的值是4．
【举一反三2】如图，在长方形ABCD中，已知AB＝6 cm，BC＝10 cm，点P以2 cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动，若某时刻以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ）
A.2 B.3 C.2或 D.2或
【答案】D
【解析】由已知得PC＝BC﹣BP＝（10﹣2t）cm.
①若△ABP≌△PCQ．则AB＝PC＝6 cm，∴6＝10﹣2t，∴t＝2．
∴a＝2；
②若△ABP≌△QCP．则AB＝CQ＝6 cm，BP＝CP＝（10﹣2t） cm＝5 cm，则t＝．
得a＝6，解得a＝．
综上所述，a的值为2或．
【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形．
【答案】5
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20 cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形，∴AQ＝BP，∴3x＝20﹣x，
∴x＝5.
【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝20 cm，BC＝24 cm，P，Q分别从A，C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P，Q的速度分别为1 cm/s和3 cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC，并说明理由；
（2）如果P的速度为1 cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
【答案】解：（1）如图1，作DH⊥BC于点H．则四边形ABHD是矩形．
∴BH＝AD＝20 cm，CH＝BC﹣BH＝24-20＝4（cm），
①当四边形PQCD是平行四边形时，PQ=CD，此时PD＝CQ，∴20﹣t＝3t，
解得t＝5；
②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，∴3t﹣（20﹣t）＝8，
解得t＝7．
综上所述，t＝5或7时，PQ＝CD．
（2）设Q点运动的速度x cm/s时，
∵四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，∴PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，
∴t＝4或16，
∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，解得x＝5或，
∴要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，Q点运动的速度为5 cm/s或 cm/s．
