1.3正方形的性质与判定
【知识点1】正方形的判定与性质 1
【知识点2】正方形的判定 1
【知识点3】正方形的性质 2
【题型1】正方形的性质和判定 2
【题型2】正方形的应用 3
【题型3】正方形的判定 5
【题型4】正方形的性质 7
【题型5】正方形的性质与阴影面积 8
【题型6】正方形的性质与坐标系 11
【知识点1】正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
【知识点2】正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
【知识点3】正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【题型1】正方形的性质和判定
【典型例题】如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于( )
A.7 B.8 C.9 D.14
【举一反三1】在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别任意取点E，F，G，H.这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有( )
A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个
【举一反三2】如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为( )
A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.一般平行四边形
【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF=45°，连接EF，则△CEF的周长为 .
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
(1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
【题型2】正方形的应用
【典型例题】如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形BEFH也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：BH2＝CH×GH．设AB＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.20
【举一反三1】如图，将图1中周长为16 cm的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，则图中阴影部分的周长为（ ）
A.12 cm B.14 cm C.6 cm D.7 cm
【举一反三2】观察下列正方形中四个数分别具有的一定规律，根据规律可得的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，丝带重叠的部分一定是( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.都有可能
【举一反三4】李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐(如图所示)．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？______(填“是”或“否”)．
【举一反三5】李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐(如图所示)．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？______(填“是”或“否”)．
【举一反三6】如图，将一个边长为10 cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝ cm．
【题型3】正方形的判定
【典型例题】如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )
A.22.5°角
B.30°角
C.45°角
D.60°角
【举一反三1】已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A.当AB＝AD时，它是菱形
B.当AC＝BD时，它是正方形
C.当∠ABC＝90°时，它是矩形
D.当AC⊥BD时，它是菱形
【举一反三2】顺次连接四边形各边中点，所得的图形是________________．顺次连接对角线______________的四边形的各边中点所得的图形是矩形．顺次连接对角线________的四边形的各边中点所得的四边形是菱形．顺次连接对角线____________________的四边形的各边中点所得的四边形是正方形．
【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是____________．
【举一反三4】在 ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作直线EF，GH，分别交平行四边形的四条边于E，G，F，H四点，连接EG，GF，FH，HE.
(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是__________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是__________；
(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
【举一反三5】如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分別在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2.
(1)已知DG＝6，求AE的长；
(2)已知DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形．
【题型4】正方形的性质
【典型例题】如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为( )
A.2 B.4 C. D.
【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为__________．
【举一反三3】如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE＝BF＝AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF.
(1)求证：DE⊥DM；
(2)猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【举一反三4】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE＝BF.求证：∠ACF＝∠DBE.
【题型5】正方形的性质与阴影面积
【典型例题】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（ ）
A.a+b B.a﹣b C.2a+b D.2a﹣b
【举一反三1】如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在对角线上，且四边形和均为正方形，则的值等于
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，把两条足够长的等宽的纸带交叉放置(不重合)，重叠部分形成四边形ABCD，则四边形ABCD是( )
A.平行四边形或矩形 B.菱形或正方形 C.平行四边形或正方形 D.矩形或菱形
【举一反三3】如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是(单位：平方厘米)( )
A.40 B.25 C.26 D.36
【举一反三4】如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，BF⊥CE于点G，若已知下列三角形面积，则可求阴影部分面积和的是（ ）
A.S△BAF B.S△BCF C.S△BCG D.S△FCG
【举一反三5】如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，则GE的长为 ．
【举一反三6】有大小不同的两个正方形A，B，把正方形B按照如图1所示的方式放到正方形A中，阴影部分的面积为4 cm 2，且小于正方形B的面积．
（1）正方形A比B的边长大 cm；
（2）把正方形A，B按照如图2所示的方式放到正方形C中，固定正方形A的位置，正方形B可以在剩余位置平移，连接正方形A，B右下角的顶点所得线段的长度为d，d的最大值为2 cm．
①正方形A，B的面积之和为 cm 2；
②正方形C的边长为 cm．
【举一反三7】如图，是世博会中国国家馆的平面示意图，其外框是一个大正方形，中间四个完全相同的小正方形（阴影部分）是支撑展馆的核心筒，标记了字母的五个完全相同的正方形是展厅，已知核心筒的边长比展厅的边长的一半多一米，外框的边长刚好是四个核心筒边长的6倍，则核心筒的边长为 米．
【举一反三8】如图，边长为10 cm的正方形ABCD先向上平移5 cm，再向右平移 2 cm，得到正方形A'B'C'D'，此时阴影部分的面积为 cm2．
【题型6】正方形的性质与坐标系
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（ ）
A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣
【举一反三1】在正方形ABCD中，A，C的坐标分别为（1，﹣2），（4，1），AB∥x轴，则B点的坐标是（ ）
A.（4，﹣2） B.（1，﹣1） C.（﹣1，1） D.（1，1）
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A.13 B.20 C.25 D.34
【举一反三3】如图，正方形ABCD的边长为4，建立平面直角坐标系后，表示点D的坐标正确的是（ ）
A.（4，0） B.（2，﹣2） C.（0，4） D.（﹣2，﹣4）
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（﹣2，0），B（0，1）均在坐标轴上，则点C的坐标是（ ）
A.（﹣3，1） B.（﹣1，3） C. D.（﹣2，3）1.3正方形的性质与判定
【知识点1】正方形的判定与性质 1
【知识点2】正方形的判定 1
【知识点3】正方形的性质 2
【题型1】正方形的性质和判定 2
【题型2】正方形的应用 6
【题型3】正方形的判定 10
【题型4】正方形的性质 14
【题型5】正方形的性质与阴影面积 17
【题型6】正方形的性质与坐标系 23
【知识点1】正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
【知识点2】正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
【知识点3】正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【题型1】正方形的性质和判定
【典型例题】如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于( )
A.7 B.8 C.9 D.14
【答案】A
【解析】如图，延长AB，DC交于M点，延长CD，FE交于N点，延长EF，HG交于P点，延长GH，BA交于Q点，则MNPQ是矩形，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，∴△BCM，△DEN，△FGP，△AHQ均为等腰直角三角形．
这个八边形的面积等于＝矩形面积－4个小三角形的面积＝3×3－4×1×1÷2＝7.
【举一反三1】在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别任意取点E，F，G，H.这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有( )
A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个
【答案】D
【解析】无穷多个．如图正方形ABCD，AH＝DG＝CF＝BE，HD＝CG＝FB＝EA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，
有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH＝HG＝GF＝FE，另外很容易得四个角均为90°，则四边形EHGF为正方形．
【举一反三2】如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为( )
A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.一般平行四边形
【答案】A
【解析】∵等腰△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，∴AB＝DB，AC＝DC，
∵AB＝AC，∴AB＝AC＝DC＝DB，∴四边形ABDC为菱形．
【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
【答案】3
【解析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，
∵∠DPB＝∠ABC＝∠DEB＝90°，∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE＋∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，∠ADP=∠CDE，∠APD=∠E，AD=CD，∴△ADP≌△CDE(AAS)，∴DE＝DP，
∴四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3.
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF=45°，连接EF，则△CEF的周长为 .
【答案】4
【解析】如图，过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PK⊥AB于K，在EA上取一点J，使得MJ=FN，连接PJ．
∵BP平分∠ABC，PA平分∠CAB，PM⊥AC，PN⊥BC，PK⊥AB，
∴PM=PK，PK=PN，∠C=∠PMC=∠PNC=90°，∴PM=PN，四边形PMCN是矩形，
∴矩形PMCN是正方形，∴CM=PM，∴∠MPN=90°，
在△PMJ和△PNF中，PM＝PN，∠PMJ＝∠PNF＝90°，MJ＝NF，∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ=∠FPN，PJ=PF，∴∠JPF=∠MPN=90°，
∵∠EPF=45°，∴∠EPF=∠EPJ=45°，
在△PEF和△PEJ中，PE＝PE，∠EPF＝∠EPJ，PF＝PJ，∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF=EJ，∴EF=EM+FN，
∴△CEF的周长=CE+EF+CF=CE+EM+CF+FN=2CM=2PM，
∵S△ABC＝BC AC＝(AC+BC+AB) PM，∴24=12PM，∴PM=2，
∴△ECF的周长为4.
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
(1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
【答案】解：(1)PB＝PQ，
证明：如图，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ.
(2)PB＝PQ，
证明：如图，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠BPF＋∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ.
【题型2】正方形的应用
【典型例题】如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形BEFH也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：BH2＝CH×GH．设AB＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.20
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD，四边形BEFH为正方形，AB＝a，CH＝b，
∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝a+a﹣b＝2a﹣b，
∴S正方形ABCD＝AB2＝a2，
S长方形AEFG＝AE EF＝（2a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣3ab+b2，
∵正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，
∴a2＝2a2﹣3ab+b2，整理得a2+b2＝3ab，
∴（a+b）2＝5ab，
∵ab＝5，∴（a+b）2＝5×5，
∴a+b＝5，
∴阴影部分的周长为2（CD+CH）＝2（a+b）＝10．
【举一反三1】如图，将图1中周长为16 cm的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，则图中阴影部分的周长为（ ）
A.12 cm B.14 cm C.6 cm D.7 cm
【答案】A
【解析】设①号正方形的边长为a cm，②号正方形的边长为b cm，则③号正方形的边长为（a+b）cm，④号正方形的边长为（2a+b）cm，⑤号长方形的长为（3a+b）cm，宽为（b﹣a）cm，
如图，
∴AD＝b﹣a+b+a＝2b cm，AB＝a+b+2a+b﹣b＝（3a+b）cm，
∴阴影部分图形的周长为6（a+b）cm，
∵图1长方形的周长为16 cm，∴b+3a+b+b+a+b＝4（a+b）＝8 cm，
∴a+b＝2 cm，
∴6（a+b）＝6×2＝12 (cm)，
【举一反三2】观察下列正方形中四个数分别具有的一定规律，根据规律可得的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析正方形中的四个数：第一个数（正方形左上角）为2n﹣1，
当2n﹣1＝79时，解得n＝40，
第二个数（正方形右上角）为2n，
∴第40个正方形的第二个数（正方形右上角）b＝40×2＝80，
第三个数（正方形左下角）为n+1，
∴第40个正方形的第三个数（正方形左下角）a＝40+1＝41，
第四个数（正方形右下角）为第一个数、第二个数与第三个数的和，
∴m＝79+b+a＝79+80+41＝200，
∴＝＝﹣.
【举一反三3】如图，丝带重叠的部分一定是( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.都有可能
【答案】C
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵两条丝带宽度相同，∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝BC·AE＝CD·AF.
又∵AE＝AF，∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
【举一反三4】李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐(如图所示)．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？______(填“是”或“否”)．
【答案】否
【解析】根据老板的方法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾的两条对角线是对称轴，这只能保证纱巾是菱形，并不能保证它是正方形．因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折，看另一组对边是否重合(图②)．若另一组对边不能重合，那么此纱巾不是正方形；若另一组对边能重合，那么此纱巾一定是正方形．
【举一反三5】李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐(如图所示)．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？______(填“是”或“否”)．
【答案】否
【解析】根据老板的方法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾的两条对角线是对称轴，这只能保证纱巾是菱形，并不能保证它是正方形．因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折，看另一组对边是否重合(图②)．若另一组对边不能重合，那么此纱巾不是正方形；若另一组对边能重合，那么此纱巾一定是正方形．
【举一反三6】如图，将一个边长为10 cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝ cm．
【答案】10
【解析】如图，设AC与BD相交于点O，
∵原来四边形为正方形，∴四条边相等，∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝10 cm，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝10 cm，
∴DO＝BD＝5 cm，
在Rt△ADO中，AO＝＝5 (cm)，
∴AC＝2AO＝10 cm．
【题型3】正方形的判定
【典型例题】如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )
A.22.5°角
B.30°角
C.45°角
D.60°角
【答案】C
【解析】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．
【举一反三1】已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A.当AB＝AD时，它是菱形
B.当AC＝BD时，它是正方形
C.当∠ABC＝90°时，它是矩形
D.当AC⊥BD时，它是菱形
【答案】B
【解析】A. 正确．邻边相等的平行四边形是菱形；
B．错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形；
C．正确．有一个角是90°的平行四边形是矩形；
D．正确．对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【举一反三2】顺次连接四边形各边中点，所得的图形是________________．顺次连接对角线______________的四边形的各边中点所得的图形是矩形．顺次连接对角线________的四边形的各边中点所得的四边形是菱形．顺次连接对角线____________________的四边形的各边中点所得的四边形是正方形．
【答案】平行四边形 互相垂直 相等 互相垂直且相等
【解析】顺次连接四边形各边中点，所得的图形是平行四边形，如图，
根据中位线定理可得GF＝BD且GF∥BD，EH＝BD且EH∥BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形；
顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形，如图，
∵E，F，G，H分别为各边中点，∴EF∥GH∥AC，EF＝GH＝AC，EH＝FG＝BD，EH∥FG∥BD，
∵DB⊥AC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形；
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点所得的四边形是菱形，如图，
∵AC＝BD，E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD的中点，
∴EH，FG分别是△ABD，△BCD的中位线，EF，HG分别是△ABC，△ACD的中位线，
∴EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，
∵AC＝BD，∴EH＝FG＝HG＝EF，∴四边形EFGH是菱形；
根据正方形的判别方法知，对角线互相平分、互相垂直且相等的四边形是正方形．
【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是____________．
【答案】AB＝BC，或AC⊥BD(答案不唯一)
【解析】由题意可确定，四边形ABCD为四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，若使AB＝BC.可进一步确定其为正方形.
【举一反三4】在 ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作直线EF，GH，分别交平行四边形的四条边于E，G，F，H四点，连接EG，GF，FH，HE.
(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是__________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是__________；
(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
【答案】解：(1)四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴点O是 ABCD的对称中心，∴EO＝FO，GO＝HO，
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形．
(3)菱形，由(2)知，四边形EGFH是菱形，
当AC＝BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响.
(4)四边形EGFH是正方形，理由如下：
∵AC＝BD，∴ ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，∴ ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC，
∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°，∠BOG＋∠BOF＝∠COF＋∠BOF＝90°，
∴∠BOG＝∠COF，∴△BOG≌△COF(ASA)，∴OG＝OF，
同理可得EO＝OH，∴GH＝EF，
由(3)知，四边形EGFH是菱形，
又∵EF＝GH，∴四边形EGFH是正方形．
【举一反三5】如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分別在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2.
(1)已知DG＝6，求AE的长；
(2)已知DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形．
【答案】解：(1)∵AD＝6，AH＝2，∴DH＝AD－AH＝4，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△DHG中，HG2＝DH2＋DG2，
在Rt△AEH中，HE2＝AH2＋AE2，
∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE，
∴DH2＋DG2＝AH2＋AE2，即42＋62＝22＋AE2，
∴AE＝.
(2)证明：∵AH＝2，DG＝2，∴AH＝DG，
∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE，
在Rt△DHG和Rt△AEH中，HG=EH，DG=AH，
∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL)，∴∠DHG＝∠AEH，
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．
【题型4】正方形的性质
【典型例题】如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为( )
A.2 B.4 C. D.
【答案】D
【解析】在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，
△AEP是等腰直角三角形，∴PF＝OE，PE＝AE，∴PE＋PF＝AE＋OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为1，∴OA＝AC＝×＝.
【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】延长AE交DF于点G，如图所示，
∵AB＝5，AE＝3，BE＝4，∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形，
∴∠ABE＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠GAD＝∠EBA，
同理可得，∠ADG＝∠BAE，
在△AGD和△BEA中，∠EAB=∠GDA，AD=AB，∠ABE=∠DAG，∴△AGD≌△BEA(ASA)，
∴AG＝BE＝4，DG＝AE＝3，∴EG＝4－3＝1，同理可得，GF＝1，∴EF＝＝.
【举一反三2】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为__________．
【答案】
【解析】∵CE＝5，△CEF的周长为18，∴CF＋EF＝18－5＝13.
∵F为DE的中点，∴DF＝EF.
∵∠BCD＝90°，∴CF＝DE，∴EF＝CF＝DE＝6.5，∴DE＝2EF＝13，∴CD＝＝＝12.
∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，
∴OF＝ (BC－CE)＝ (12－5)＝.
【举一反三3】如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE＝BF＝AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF.
(1)求证：DE⊥DM；
(2)猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAM＝90°，
在△DCE和△DAM中，DC=DA，∠DCE=∠DAM，CE=AM，∴△DCE≌△DAM(SAS)，
∴DE＝DM，∠EDC＝∠MDA.
又∵∠ADE＋∠EDC＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＋∠MDA＝90°，∴DE⊥DM.
(2)四边形CENF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BF＝AM，∴MF＝AF＋AM＝AF＋BF＝AB，即MF＝CD，
又∵F在AB上，点M在BA的延长线上，∴MF∥CD，
∴四边形CFMD是平行四边形，∴DM＝CF，DM∥CF，
∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM，∴四边形DENM是矩形，
∴EN＝DM，EN∥DM，∴CF＝EN，CF∥EN，
∴四边形CENF为平行四边形．
【举一反三4】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE＝BF.求证：∠ACF＝∠DBE.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠EAB＝∠CBF＝∠ABO＝∠BCO＝45°，
在△ABE与△BCF中，AE=BF，∠EAB=∠FBC，AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴∠ABE＝∠BCF，
∴∠ACF＝∠DBE.
【题型5】正方形的性质与阴影面积
【典型例题】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（ ）
A.a+b B.a﹣b C.2a+b D.2a﹣b
【答案】A
【解析】如图，连接DK，DN，
∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，
∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM＝S△DNT，
∴S四边形DMNT＝S△DKN＝a，
∴正方形ABCD的面积＝4×a+b＝a+b．
【举一反三1】如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在对角线上，且四边形和均为正方形，则的值等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】四边形是正方形，，
四边形和均为正方形，，，
和都是等腰直角三角形，，，
同理可得，，．
【举一反三2】如图，把两条足够长的等宽的纸带交叉放置(不重合)，重叠部分形成四边形ABCD，则四边形ABCD是( )
A.平行四边形或矩形 B.菱形或正方形 C.平行四边形或正方形 D.矩形或菱形
【答案】B
【解析】①当AB与BC不垂直时，如图所示，
依题意可知，AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，分别作CD，BC边上的高为AE，AF，
∵两纸条相同，∴纸条宽度AE＝AF，
∵平行四边形的面积为AE×CD＝BC×AF，∴CD＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．
②同理，当AB⊥BC时，菱形ABCD为正方形．综上所述，四边形ABCD是菱形或正方形．
【举一反三3】如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是(单位：平方厘米)( )
A.40 B.25 C.26 D.36
【答案】B
【解析】设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab＋a(b－a)＝24，
①由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得(b－a)2＝a2－3，
②将①②联立解方程组可得a＝4，b＝5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25.
【举一反三4】如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，BF⊥CE于点G，若已知下列三角形面积，则可求阴影部分面积和的是（ ）
A.S△BAF B.S△BCF C.S△BCG D.S△FCG
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠A＝90°，
∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
在△ABF与△BCE中，∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴S△ABF＝S△BCE，
∵S△BCF＝S正方形ABCD，∴S△ABF+S△DCF＝S△BCE+S△DCF＝S正方形ABCD，
∴阴影部分面积和＝S△BCE+S△DCF﹣S△BCG＝S△BCF﹣S△BCG＝S△FCG.
【举一反三5】如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，则GE的长为 ．
【答案】
【解析】如图，作EP垂直于GA，交GA的延长线于点P．
∵∠CAB+∠PAB＝90°，∠PAB+∠PAE＝90°，∴∠CAB＝∠PAE．
在△BCA和△EPA中，∴△BCA≌△EPA（AAS），
即PE＝BC＝＝3，AP＝AC＝4．
∴GE＝＝．
【举一反三6】有大小不同的两个正方形A，B，把正方形B按照如图1所示的方式放到正方形A中，阴影部分的面积为4 cm 2，且小于正方形B的面积．
（1）正方形A比B的边长大 cm；
（2）把正方形A，B按照如图2所示的方式放到正方形C中，固定正方形A的位置，正方形B可以在剩余位置平移，连接正方形A，B右下角的顶点所得线段的长度为d，d的最大值为2 cm．
①正方形A，B的面积之和为 cm 2；
②正方形C的边长为 cm．
【答案】（1）2；（2）①52，②10
【解析】设正方形A，B的边长分别为a，b．
（1）由题意，得 （a﹣b）2＝4，所以a﹣b＝2，即正方形A比B的边长大2cm．
（2）①当正方形B在如图所示的位置时，d取最大值．
由勾股定理，得
②由（a﹣b）2＝4，得 a2+b2﹣2ab＝4，
∴52﹣2ab＝4，即2ab＝48，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝52+48＝100，
∴正方形C的边长为 .
【举一反三7】如图，是世博会中国国家馆的平面示意图，其外框是一个大正方形，中间四个完全相同的小正方形（阴影部分）是支撑展馆的核心筒，标记了字母的五个完全相同的正方形是展厅，已知核心筒的边长比展厅的边长的一半多一米，外框的边长刚好是四个核心筒边长的6倍，则核心筒的边长为 米．
【答案】3
【解析】设展厅的正方形边长为x米，则核心筒正方形的边长为米，外框正方形的边长为（4x+2）米，
则4x+2＝6，解得x＝4，
∴x+1＝3．
∴核心筒的边长为3米．
【举一反三8】如图，边长为10 cm的正方形ABCD先向上平移5 cm，再向右平移 2 cm，得到正方形A'B'C'D'，此时阴影部分的面积为 cm2．
【答案】40
【解析】如图，
由题意可得，B′E＝10﹣5＝5（cm），DE＝10﹣2＝8（cm），
∴阴影部分的面积为B′E DE＝5×8＝40（cm2）.
【题型6】正方形的性质与坐标系
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（ ）
A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣
【答案】B
【解析】如图，连接OB，作BD⊥x轴于点D，则∠ODB＝90°，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴OC＝BC＝1，∠C＝90°，
∴OB＝＝＝，
∵∠COB＝∠CBO＝45°，∠COD＝15°，∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝45°﹣15°＝30°，
∴BD＝OB＝×＝，
∴点B的纵坐标为﹣.
【举一反三1】在正方形ABCD中，A，C的坐标分别为（1，﹣2），（4，1），AB∥x轴，则B点的坐标是（ ）
A.（4，﹣2） B.（1，﹣1） C.（﹣1，1） D.（1，1）
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
∵AB∥x轴，∴BC∥y轴，
∵点A，C的坐标分别为（1，﹣2），（4，1），∴B点的纵坐标为﹣2，横坐标为4，
∴B点的坐标是（4，﹣2）．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A.13 B.20 C.25 D.34
【答案】D
【解析】如图，作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴△DAO≌△ABM，∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），∴OA＝3，OM＝2，∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积为34.
【举一反三3】如图，正方形ABCD的边长为4，建立平面直角坐标系后，表示点D的坐标正确的是（ ）
A.（4，0） B.（2，﹣2） C.（0，4） D.（﹣2，﹣4）
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴第一个图形中点D（4，0），第二个图形中点D（2，2），第三个图形中点D（4，4），第四个图形中点D（2，4）.
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（﹣2，0），B（0，1）均在坐标轴上，则点C的坐标是（ ）
A.（﹣3，1） B.（﹣1，3） C. D.（﹣2，3）
【答案】B
【解析】如图，过点C作CH⊥y轴于点H，
∵点A（﹣2，0），B（0，1），∴AO＝2，BO＝1，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BHC，
∴∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBH，∴∠BAO＝∠CBH，
在△ABO和△BCH中，∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴BH＝AO＝2，CH＝BO＝1，
∴点C（﹣1，3）．
