2.2用配方法求解一元二次方程
【知识点1】解一元二次方程-直接开平方法 1
【知识点2】配方法的应用 2
【知识点3】解一元二次方程-配方法 3
【题型1】形如x2=p(p≥0)的方程 4
【题型2】用配方法求解一元二次方程 5
【题型3】用配方法变成非负数求值 9
【题型4】用配方法求最值问题 11
【题型5】形如(mx+q) =p(p≥0)的方程 13
【题型6】用配方法配方 15
【知识点1】解一元二次方程-直接开平方法
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
1.（2024秋 朝阳区校级期中）方程x2=9的解是（ ）
A．x=3 B．x=-3 C．x1=1，x2=9 D．x1=3，x2=-3
【答案】D
【分析】利用直接开方法求解．
【解答】解：x2=9，
x1=3，x2=-3．
故选：D．
2.（2024秋 福田区期中）方程（x-1）2=16的解正确的是（ ）
A．x1=5，x2=2 B．x1=-5，x2=3 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-4，x2=4
【答案】C
【分析】利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（x-1）2=16，
x-1=±4，
x-1=-4或x-1=4，
解得x1=-3，x2=5，
故选：C．
【知识点2】配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
1.（2021秋 冷水滩区校级月考）二次三项式x2-4x+7值（ ）
A．可以等于0
B．大于3
C．不小于3
D．既可以为正，也可以为负
【答案】C
【分析】将多项式中的7变形为4+3，利用完全平方公式变形，根据完全平方式大于等于0即可求出结果不小于3．
【解答】解：x2-4x+7=x2-4x+4+3=（x-2）2+3，
∵（x-2）2≥0，
∴x2-4x+7=（x-2）2+3≥3，即不小于3．
故选：C．
2.（2023春 宝塔区期末）已知一个三角形三边长为a,b,c,且满足a2-4b=7，b2-4c=-6，c2-6a=-18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【分析】将已知三个等式相加，进行配方可得结论．
【解答】解：△ABC是等腰三角形，理由是：
∵a2-4b=7，b2-4c=-6，c2-6a=-18，
∴a2-4b+b2-4c+c2-6a=-17，
∴（a-3）2+（b-2）2+（c-2）2=0，
∴a=3，b=2，c=2，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：A．
【知识点3】解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
1.（2025 海珠区校级三模）用配方法解方程x2-2x=1时，配方后所得的方程（ ）
A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2
【答案】D
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2-2x=1，
∴（x-1）2=2，
故选：D．
2.（2025 晋安区校级模拟）用配方法解一元二次方程x2-6x+2=0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x-3）2=7 B．（x-3）2=-7 C．（x+3）2=7 D．（x+3）2=-7
【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【解答】解：移项得x2-6x=-2，
配方得x2-6x+9=-2+9，即（x-3）2=7，
故选：A．
【题型1】形如x2=p(p≥0)的方程
【典型例题】方程x2=9的根是( )
A.x=3 B.x=-3 C.x1=3，x2=-3 D.x1=x2=3
【答案】C
【解析】因为x2=9，x=±3，所以x1=3，x2=-3．
故选：C.
【举一反三1】已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0)，若方程有解，则必须( )
A.n=0 B.m，n同号 C.n是m的整数倍 D.m，n异号
【答案】D
【解析】mx2+n=0，mx2=-n，x2=-，
∵x2≥0，m≠0，∴m，n异号．
故选：D.
【举一反三2】一元二次方程2x2-2=0的解是__________．
【答案】x1=1，x2=-1
【解析】方程整理得x2=1，开方得x=±1，解得x1=1，x2=-1．
【举一反三3】若2(x2+3)的值与3(1-x2)的值互为相反数，求的值．
【答案】解：根据题意得2(x2+3)+3(1-x2)=0，
整理得x2=9，
所以x1=3，x2=-3，
当x=3时，==，
当x=-3时，==0．
【题型2】用配方法求解一元二次方程
【典型例题】如果一元二次方程x2-ax+6=0经配方后，得(x+3)2=3，则a的值为( )
A.3 B.-3 C.6 D.-6
【答案】D
【解析】由(x+3)2=3，得到x2+6x+9=3，即x2+6x+6=0，
∵方程x2-ax+6=0经配方后，得(x+3)2=3，∴x2-ax+6=x2+6x+6，则a=-6．
故选：D.
【举一反三1】方程x2+1=2x的根是( )
A.x1=1，x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=-1 D.x1=1+，x2=1-
【答案】B
【解析】把方程x2+1=2x移项，得到x2-2x+1=0，
∴(x-1)2=0，
∴x-1=0，
∴x1=x2=1．
故选：B.
【举一反三2】用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0，此方程可变形为( )
A.(x+2)2=9 B.(x-2)2=9 C.(x+2)2=1 D.(x-2)2=1
【答案】A
【解析】x2+4x-5=0，
x2+4x=5，
x2+4x+22=5+22，
(x+2)2=9．
故选：A.
【举一反三3】一元二次方程x2+3-2x=0的解是_____________．
【答案】x1=x2=
【解析】∵x2+3-2x=0，
∴(x-)2=0，
∴x1=x2=．
【举一反三4】小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3．若将实数(x，-2x)放入其中，得到-1，则x=____________．
【答案】-2
【解析】根据题意得x2-2 (-2x)+3=-1，
整理得x2+4x+4=0，
(x+2)2=0，
所以x1=x2=-2．
【举一反三5】阅读材料，并回答问题．
小明在学习一元二次方程时，解方程2x2-8x+5=0的过程如下：
解：2x2-8x+5=0．
2x2-8x=-5．①
x2 4x＝ ．②
x2 4x+4＝ +4．③
(x 2)2＝．④
x 2＝．⑤
x＝2+．⑥
问题：（1）上述过程中，从 步开始出现了错误(填序号).
（2）发生错误的原因是什么？
（3）解这个方程．
【答案】解：（1）x 2＝±，所以从⑤步开始出现了错误.
（2）开方后正负号丢失.
（3）2x2-8x+5=0，
2x2-8x=-5，
x2 4x＝ ，
x2 4x+4＝ +4，
(x 2)2＝，
x 2＝±，
x=2±．
【举一反三6】用配方法解方程：
（1）x2+5x﹣3=0；
（2）3x2﹣6x﹣1=0；
（3）x2﹣4x+1=0；
（4）x2﹣3x+1=0．
【答案】解：（1）x2+5x﹣3=0，
移项，得x2+5x=3，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+5x+()2=3+，
∴(x+)2=，
∴x+=±，
解得x=，
∴x1=，x2=．
（2）3x2﹣6x﹣1=0，
方程两边除以3得x2﹣2x﹣=0，
移项得x2﹣2x=，
两边加上1得x2﹣2x+1=，即(x﹣1)2=，
开方得x﹣1=或x﹣1=﹣，
∴方程的解为x1=，x2=．
（3）x2﹣4x=﹣1，
x2﹣4x+4=﹣1+4，
(x﹣2)2=3，
∴x﹣2=，
∴x1=2+，x2=2﹣．
（4）x2﹣3x+1=0．
移项，得x2﹣3x=﹣1，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方()2，得(x-)2=，
x-=±，
∴x1=，x2=．
【题型3】用配方法变成非负数求值
【典型例题】已知x2+y2+4x-6y+13=0，则代数式x+y的值为( )
A.-1 B.1 C.25 D.36
【答案】B
【解析】∵x2+y2+4x-6y+13=0，∴(x+2)2+(y-3)2=0，
由非负数的性质可知，x+2=0，y-3=0，解得，x=-2，y=3，则x+y=-2+3=1．
故选：B.
【举一反三1】对于任意的实数x，代数式x2-5x+10的值是一个( )
A.正数 B.非负数 C.整数 D.不能确定的数
【答案】A
【解析】x2-5x+10=x2-5x++=(x-)2+，
∵(x-)2≥0，∴(x-)2+＞0，∴原式是一个正数．
故选：A.
【举一反三2】已知M=a-1，N=a2-a(a为任意实数)，则M，N的大小关系为( )
A.M＜N B.M=N C.M＞N D.不能确定
【答案】A
【解析】∵M=a-1，N=a2-a(a为任意实数)，∴N M＝a2 a+1＝(a )2+＞0，
∴N＞M，即M＜N．
故选：A.
【举一反三3】无论x为何值，二次三项式ax2+2(a+1)x+a+的值恒为负数，则a的取值范围是________．
【答案】a＜
【解析】令y=ax2+2(a+1)x+a+，
∵二次三项式ax2+2(a+1)x+a+的值恒为负数，
∴二次函数y=ax2+2(a+1)x+a+与x轴无交点，
∴Δ＜0，
即[2(a+1)]2-4a(a+)＜0，
整理得，4(a2+2a+1)-4a2-2a＜0，
4a2+8a+4-4a2-2a＜0，
6a+4＜0，
解得a＜ ．
【举一反三4】若△ABC的三边a，b，c满足a2-6a+b2-10b+c2-8c+50=0，求△ABC的周长．
【答案】解：∵a2-6a+b2-10b+c2-8c+50=0，
∴a2-6a+9+b2-10b+25+c2-8c+16=0，
即(a-3)2+(b-5)2+(c-4)2=0，
∴a=3，b=5，c=4，
∴△ABC的周长=3+4+5=12．
【举一反三5】若x2-2x+10+y2+6y=0，求(2x-y)2的值．
【答案】解：∵x2-2x+10+y2+6y=0，
∴x2-2x+1+y2+6y+9=0，
∴(x-1)2+(y+3)2=0，
∴x-1=0，y+3=0，
∴x=1，y=-3，
∴(2x-y)2=(2+3)2=25．
【题型4】用配方法求最值问题
【典型例题】代数式2 016-a2+2ab-b2的最大值是( )
A.2 015 B.2 016 C.2 017 D.不存在
【答案】B
【解析】原式=2 016-(a2-2ab+b2)=2 016-(a-b)2≤2 016，则多项式的最大值为2 016．
故选：B.
【举一反三1】关于多项式-2x2+8x+5的说法正确的是( )
A.有最大值13 B.有最小值-3 C.有最大值37 D.有最小值1
【答案】A
【解析】-2x2+8x+5=-2(x-2)2+13，
∵(x-2)2≥0，∴-2(x-2)2+13≤13，即多项式-2x2+8x+5的最大值为13，没有最小值．
故选：A.
【举一反三2】已知实数m，n满足m-n2=2，则代数式m2+2n2+4m-3的最小值等于( )
A.9 B.6 C.-8 D.-16
【答案】A
【解析】∵m-n2=2，
∴n2=m-2≥0，m≥2，
∴m2+2n2+4m-3
=m2+2m-4+4m-3
=m2+6m+9-16
=(m+3)2-16，
则代数式m2+2n2+4m-3的最小值等于(2+3)2-16=9．
故选：A.
【举一反三3】已知x，y都是正实数，且满足4x2+4xy+y2+2x+y-6=0，则x(1-y)的最小值为________．
【答案】-
【解析】4x2+4xy+y2+2x+y-6=(2x+y)2+(2x+y)-6=0，即(2x+y-2)(2x+y+3)=0，
可得2x+y=2或2x+y=-3，即y=-2x+2或y=-2x-3(舍去)，
当y=-2x+2时，x(1-y)=x(1+2x-2)=2x2-x=2(x-)2-，最小值为-．
【举一反三4】已知x，k都是非负实数，且3x+k=1，则代数式3x2-6x+4的最小值为______．
【答案】
【解析】∵3x+k=1，∴3x=1-k，
∵x，k都是非负实数，∴k=1-3x≥0，∴x≤且x≥0，∴0≤x≤，
∴3x2-6x+4=3(x2-2x+1)+1=3(x-1)2+1，
当x=时，代数式有最小值为．
【举一反三5】用配方法说明：不论x取何值，代数式2x2+5x-1的值总比代数式x2+7x-4的值大，并求出两代数式的差最小时x的值．
【答案】解：2x2+5x-1-(x2+7x-4)
=2x2+5x-1-x2-7x+4
=x2-2x+3
=(x-1)2+2，
∵(x-1)2≥0，
∴(x-1)2+2＞0，
即2x2+5x-1-(x2+7x-4)＞0，
∴不论x取任何值，代数式2x2+5y-1的值总比代数式x2+7x-4的值大，当x=1时，两代数式的差最小为2．
【举一反三6】阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，
∵(y+2)2≥0，
∴(y+2)2+4≥4，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．
【答案】解：（1）x2-x+4=(x-)2+，
∵(x-)2≥0，
∴(x-)2+≥．
则x2-x+4的最小值是．
（2）6-2x-x2=-(x+1)2+7，
∵-(x+1)2≤0，
∴-(x+1)2+7≤7，
则6-2x-x2的最大值为7．
【题型5】形如(mx+q) =p(p≥0)的方程
【典型例题】一元二次方程(x﹣1)2=2的解是( )
A.x1=﹣1﹣，x2=﹣1+
B.x1=1﹣，x2=1+
C.x1=3，x2=﹣1
D.x1=1，x2=﹣3
【答案】B
【解析】∵(x﹣1)2=2，∴x﹣1=±，∴x=1±．
故选：B.
【举一反三1】方程(x﹣2)2=9的解是( )
A.x1=5，x2=﹣1 B.x1=﹣5，x2=1 C.x1=11，x2=﹣7 D.x1=﹣11，x2=7
【答案】A
【解析】开方得x﹣2=±3，解得x1=5，x2=﹣1．
故选：A.
【举一反三2】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b，根据这个规则，方程(x-1)*9=0的解为____________．
【答案】x1=-2，x2=4
【解析】∵(x-1)*9=0，
∴(x-1)2-9=0，
∴x-1=-3或x-1=3，
解得x1=-2，x2=4．
【举一反三3】解方程：
（1）(x﹣3)2=16；
（2）(3x﹣1)2=6；
（3）(2x+3)2﹣1=3；
（4）(2x﹣1)2=9；
（5）(x﹣1)2=2；
（6）(3x﹣4)2=(3﹣4x)2．
【答案】解：（1）(x﹣3)2=16，
直接开平方，得x﹣3=±4，
∴x=3±4，∴x1=7，x2=﹣1．
（2）(3x﹣1)2=6，
开方得3x﹣1=±，
∴x=，∴x1=，x2=．
（3）(2x+3)2﹣1=3，
原方程得(2x+3)2=4，
(2x+3)2=16，2x+3=4或2x+3=﹣4，∴x1=，x2=﹣．
（4）(2x﹣1)2=9，
开方得2x﹣1=±3，∴x=，∴x1=2，x2=﹣1．
（5）(x﹣1)2=2，
两边开平方得x﹣1=±，
解得x1=1+，x2=1﹣．
（6）(3x﹣4)2=(3﹣4x)2，
开方得3x﹣4=3﹣4x或3x﹣4=﹣(3﹣4x)，
解方程得3x+4x=3+4，7x=7，x=1或3x﹣4x=﹣3+4，﹣x=1，x=﹣1，
即原方程的解为x1=1，x2=﹣1．
【题型6】用配方法配方
【典型例题】若把代数式x2-2x+3化为(x-m)2+k形式，其中m，k为常数，结果为( )
A.(x+1)2+4 B.(x-1)2+2 C.(x-1)2+4 D.(x+1)2+2
【答案】B
【解析】x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2．
故选：B.
【举一反三1】用配方法将二次三项式x2-6x+5变形的结果是( )
A.(x-3)2+8 B.(x+3)2+14 C.(x-3)2-4 D.(x-3)2+14
【答案】C
【解析】x2-6x+5
=x2-6x+9-9+5
=(x2-6x+9)-4
=(x-3)2-4．
故选：C.
【举一反三2】配方：x2-2x+_______=(x-______)2，横线上应填( )
A.2，2 B.1，1 C.-2，2 D.1，0
【答案】B
【举一反三3】用配方法将二次三项式x2-6x+5变形的结果是( )
A.(x-3)2+8 B.(x+3)2+14 C.(x-3)2-4 D.(x-3)2+14
【答案】C
【解析】x2-6x+5
=x2-6x+9-9+5
=(x2-6x+9)-4
=(x-3)2-4．
故选：C.
【举一反三4】配方：x2-2x+_______=(x-______)2，横线上应填( )
A.2，2 B.1，1 C.-2，2 D.1，0
【答案】B
【举一反三5】4x2_________+1=(2x±1)2．
【答案】±4x
【举一反三6】填上适当的数，使等式成立：
x2-5x+(_______)2=(x-_______)2；x2+3x+(______)2=(x+_____)2．
【答案】± ±
【举一反三7】将x2+6x+3配方成(x+m)2+n的形式，则m=______．
【答案】3
【解析】x2+6x+3=x2+6x+9-6=(x+3)2-6=(x+m)2+n，则m=3．2.2用配方法求解一元二次方程
【知识点1】解一元二次方程-直接开平方法 1
【知识点2】配方法的应用 1
【知识点3】解一元二次方程-配方法 2
【题型1】形如x2=p(p≥0)的方程 3
【题型2】用配方法求解一元二次方程 3
【题型3】用配方法变成非负数求值 4
【题型4】用配方法求最值问题 5
【题型5】形如(mx+q) =p(p≥0)的方程 5
【题型6】用配方法配方 6
【知识点1】解一元二次方程-直接开平方法
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
1.（2024秋 朝阳区校级期中）方程x2=9的解是（ ）
A．x=3 B．x=-3 C．x1=1，x2=9 D．x1=3，x2=-3
2.（2024秋 福田区期中）方程（x-1）2=16的解正确的是（ ）
A．x1=5，x2=2 B．x1=-5，x2=3 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-4，x2=4
【知识点2】配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
1.（2021秋 冷水滩区校级月考）二次三项式x2-4x+7值（ ）
A．可以等于0
B．大于3
C．不小于3
D．既可以为正，也可以为负
2.（2023春 宝塔区期末）已知一个三角形三边长为a,b,c,且满足a2-4b=7，b2-4c=-6，c2-6a=-18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【知识点3】解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
1.（2025 海珠区校级三模）用配方法解方程x2-2x=1时，配方后所得的方程（ ）
A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2
2.（2025 晋安区校级模拟）用配方法解一元二次方程x2-6x+2=0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x-3）2=7 B．（x-3）2=-7 C．（x+3）2=7 D．（x+3）2=-7
【题型1】形如x2=p(p≥0)的方程
【典型例题】方程x2=9的根是( )
A.x=3 B.x=-3 C.x1=3，x2=-3 D.x1=x2=3
【举一反三1】已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0)，若方程有解，则必须( )
A.n=0 B.m，n同号 C.n是m的整数倍 D.m，n异号
【举一反三2】一元二次方程2x2-2=0的解是__________．
【举一反三3】若2(x2+3)的值与3(1-x2)的值互为相反数，求的值．
【题型2】用配方法求解一元二次方程
【典型例题】如果一元二次方程x2-ax+6=0经配方后，得(x+3)2=3，则a的值为( )
A.3 B.-3 C.6 D.-6
【举一反三1】方程x2+1=2x的根是( )
A.x1=1，x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=-1 D.x1=1+，x2=1-
【举一反三2】用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0，此方程可变形为( )
A.(x+2)2=9 B.(x-2)2=9 C.(x+2)2=1 D.(x-2)2=1
【举一反三3】一元二次方程x2+3-2x=0的解是_____________．
【举一反三4】小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3．若将实数(x，-2x)放入其中，得到-1，则x=____________．
【举一反三5】阅读材料，并回答问题．
小明在学习一元二次方程时，解方程2x2-8x+5=0的过程如下：
解：2x2-8x+5=0．
2x2-8x=-5．①
x2 4x＝ ．②
x2 4x+4＝ +4．③
(x 2)2＝．④
x 2＝．⑤
x＝2+．⑥
问题：（1）上述过程中，从 步开始出现了错误(填序号).
（2）发生错误的原因是什么？
（3）解这个方程．
【举一反三6】用配方法解方程：
（1）x2+5x﹣3=0；
（2）3x2﹣6x﹣1=0；
（3）x2﹣4x+1=0；
（4）x2﹣3x+1=0．
【题型3】用配方法变成非负数求值
【典型例题】已知x2+y2+4x-6y+13=0，则代数式x+y的值为( )
A.-1 B.1 C.25 D.36
【举一反三1】对于任意的实数x，代数式x2-5x+10的值是一个( )
A.正数 B.非负数 C.整数 D.不能确定的数
【举一反三2】已知M=a-1，N=a2-a(a为任意实数)，则M，N的大小关系为( )
A.M＜N B.M=N C.M＞N D.不能确定
【举一反三3】无论x为何值，二次三项式ax2+2(a+1)x+a+的值恒为负数，则a的取值范围是________．
【举一反三4】若△ABC的三边a，b，c满足a2-6a+b2-10b+c2-8c+50=0，求△ABC的周长．
【举一反三5】若x2-2x+10+y2+6y=0，求(2x-y)2的值．
【题型4】用配方法求最值问题
【典型例题】代数式2 016-a2+2ab-b2的最大值是( )
A.2 015 B.2 016 C.2 017 D.不存在
【举一反三1】关于多项式-2x2+8x+5的说法正确的是( )
A.有最大值13 B.有最小值-3 C.有最大值37 D.有最小值1
【举一反三2】已知实数m，n满足m-n2=2，则代数式m2+2n2+4m-3的最小值等于( )
A.9 B.6 C.-8 D.-16
【举一反三3】已知x，y都是正实数，且满足4x2+4xy+y2+2x+y-6=0，则x(1-y)的最小值为________．
【举一反三4】已知x，k都是非负实数，且3x+k=1，则代数式3x2-6x+4的最小值为______．
【举一反三5】用配方法说明：不论x取何值，代数式2x2+5x-1的值总比代数式x2+7x-4的值大，并求出两代数式的差最小时x的值．
【举一反三6】阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，
∵(y+2)2≥0，
∴(y+2)2+4≥4，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．
【题型5】形如(mx+q) =p(p≥0)的方程
【典型例题】一元二次方程(x﹣1)2=2的解是( )
A.x1=﹣1﹣，x2=﹣1+
B.x1=1﹣，x2=1+
C.x1=3，x2=﹣1
D.x1=1，x2=﹣3
【举一反三1】方程(x﹣2)2=9的解是( )
A.x1=5，x2=﹣1 B.x1=﹣5，x2=1 C.x1=11，x2=﹣7 D.x1=﹣11，x2=7
【举一反三2】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b，根据这个规则，方程(x-1)*9=0的解为____________．
【举一反三3】解方程：
（1）(x﹣3)2=16；
（2）(3x﹣1)2=6；
（3）(2x+3)2﹣1=3；
（4）(2x﹣1)2=9；
（5）(x﹣1)2=2；
（6）(3x﹣4)2=(3﹣4x)2．
【题型6】用配方法配方
【典型例题】若把代数式x2-2x+3化为(x-m)2+k形式，其中m，k为常数，结果为( )
A.(x+1)2+4 B.(x-1)2+2 C.(x-1)2+4 D.(x+1)2+2
【举一反三1】用配方法将二次三项式x2-6x+5变形的结果是( )
A.(x-3)2+8 B.(x+3)2+14 C.(x-3)2-4 D.(x-3)2+14
【举一反三2】配方：x2-2x+_______=(x-______)2，横线上应填( )
A.2，2 B.1，1 C.-2，2 D.1，0
【举一反三3】用配方法将二次三项式x2-6x+5变形的结果是( )
A.(x-3)2+8 B.(x+3)2+14 C.(x-3)2-4 D.(x-3)2+14
【举一反三4】配方：x2-2x+_______=(x-______)2，横线上应填( )
A.2，2 B.1，1 C.-2，2 D.1，0
【举一反三5】4x2_________+1=(2x±1)2．
【举一反三6】填上适当的数，使等式成立：
x2-5x+(_______)2=(x-_______)2；x2+3x+(______)2=(x+_____)2．
【举一反三7】将x2+6x+3配方成(x+m)2+n的形式，则m=______．
