2.4用因式分解法求解一元二次方程
【知识点1】解一元二次方程-因式分解法 1
【题型1】用因式分解法解形如x +px+q=0型的一元二次方程 2
【题型2】用提取公因式法求解一元二次方程 2
【知识点1】解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
1.（2024秋 梅县区期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x=0的一个根是0，则另一个根是（ ）
A．-5 B．5 C．-1 D．1
2.（2025 英德市一模）下列哪个数是方程x2-6x+8=0的解（ ）
A．-8 B．-2 C．2 D．5
【题型1】用因式分解法解形如x +px+q=0型的一元二次方程
【典型例题】一元二次方程x -4x=12的根是( )
A.x1=2，x =-6 B.x1=-2，x =6 C.x1=-2，x =-6 D.x1=2，x =6
【举一反三1】已知3是关于x的方程x -(m+1)x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为( )
A.7 B.10 C.11 D.10或11
【举一反三2】已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x -6x+8=0的两根，则△ABC的周长是( )
A.10 B.8 C.6 D.8或10
【举一反三3】方程(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1的根为____________．
【举一反三4】方程x +4x-5=0的解是_________________．
【举一反三5】用适当的方法解下列方程：
（1）x +2x+1=4；
（2）x +x-6=0；
（3）x +10x+21=0；
（4）x -x-1=0；
（5）x 2x+7＝0；
（6）2x(x-3)+x=3．
【题型2】用提取公因式法求解一元二次方程
【典型例题】一元二次方程(x-1)(x-2)=0的一个解是x=2，则另一个解是( )
A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.无法判断
【举一反三1】我们解一元二次方程3x -6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x-2)=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x =2．这种解法体现的数学思想是( )
A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想
【举一反三2】方程x =-x的解是__________．
【举一反三3】解方程：
（1）3x(x﹣2)=2(2﹣x)；
（2）x(x+3)=7(x+3)；
（3）(3x+1)(2x﹣5)=﹣2(2x﹣5)；
（4）2x ﹣6x=0；
（5）x(x﹣6)=6﹣x；
（6）x(x﹣2)=10x﹣20；
（7）(x﹣1)2=2x(1﹣x)．2.4用因式分解法求解一元二次方程
【知识点1】解一元二次方程-因式分解法 1
【题型1】用因式分解法解形如x +px+q=0型的一元二次方程 2
【题型2】用提取公因式法求解一元二次方程 4
【知识点1】解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
1.（2024秋 梅县区期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x=0的一个根是0，则另一个根是（ ）
A．-5 B．5 C．-1 D．1
【答案】A
【分析】提公因式得到x（x+5）=0，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵x2+5x=0，
∴x（x+5）=0，
解得x1=0，x2=-5，
∴关于x的一元二次方程x2+5x=0的一个根是0，
∴该方程的另一个根是-5，
故选：A．
2.（2025 英德市一模）下列哪个数是方程x2-6x+8=0的解（ ）
A．-8 B．-2 C．2 D．5
【答案】C
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：方程分解因式得：（x-2）（x-4）=0，
∴x-2=0或x-4=0，
解得：x=2或x=4，
故选：C．
【题型1】用因式分解法解形如x +px+q=0型的一元二次方程
【典型例题】一元二次方程x -4x=12的根是( )
A.x1=2，x =-6 B.x1=-2，x =6 C.x1=-2，x =-6 D.x1=2，x =6
【答案】B
【解析】方程整理得x -4x-12=0，分解因式得(x+2)(x-6)=0，解得x1=-2，x =6．
故选：B.
【举一反三1】已知3是关于x的方程x -(m+1)x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为( )
A.7 B.10 C.11 D.10或11
【答案】D
【解析】把x=3代入方程得9-3(m+1)+2m=0，解得m=6，
则原方程为x -7x+12=0，解得x1=3，x =4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，△ABC的周长为10或11．
故选：D.
【举一反三2】已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x -6x+8=0的两根，则△ABC的周长是( )
A.10 B.8 C.6 D.8或10
【答案】A
【解析】x -6x+8=0，∴(x-2)(x-4)=0，∴x1=2，x =4．
由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)可得腰长是4，底边是2，所以周长是4+4+2=10．
故选：A．
【举一反三3】方程(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1的根为____________．
【答案】-8或
【解析】(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1，
整理得2x -x-1=72-8x-1，
2x +7x-72=0，
则(x+8)(2x-9)=0，
解得x1=-8，x =．
【举一反三4】方程x +4x-5=0的解是_________________．
【答案】x1=-5，x =1
【解析】∵x +4x-5=0，
∴(x+5)(x-1)=0，
∴x+5=0或x-1=0，
∴x1=-5，x =1．
【举一反三5】用适当的方法解下列方程：
（1）x +2x+1=4；
（2）x +x-6=0；
（3）x +10x+21=0；
（4）x -x-1=0；
（5）x 2x+7＝0；
（6）2x(x-3)+x=3．
【答案】解：（1）x +2x+1=4，
(x+1)2=4，
x+1=±2，
所以x1=1，x =-3．
（2）x +x-6=0，
(x+3)(x-2)=0，
x+3=0或x-2=0，
所以x1=-3，x =2．
（3）x +10x+21=0，
(x+3)(x+7)=0，
x+3=0或x+7=0，
所以x1=-3，x =-7．
（4）Δ=(-1)2-4×1×(-1)=5，
x=，
所以x1=，x =．
（5）x 2x+7＝0，
∴(x )2＝0，
解得x1＝x ＝．
（6）2x(x-3)+x=3，
∴2x(x-3)+x-3=0，
∴(x-3)(2x+1)=0，
解得x1=3，x ＝ ．
【题型2】用提取公因式法求解一元二次方程
【典型例题】一元二次方程(x-1)(x-2)=0的一个解是x=2，则另一个解是( )
A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.无法判断
【答案】C
【解析】(x-1)(x-2)=0，
x-1=0或x-2=0，
x1=1，x =2．
【举一反三1】我们解一元二次方程3x -6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x-2)=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x =2．这种解法体现的数学思想是( )
A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想
【答案】A
【举一反三2】方程x =-x的解是__________．
【答案】0或-1
【解析】原方程变形为x +x=0，x(x+1)=0，x=0或x=-1．
【举一反三3】解方程：
（1）3x(x﹣2)=2(2﹣x)；
（2）x(x+3)=7(x+3)；
（3）(3x+1)(2x﹣5)=﹣2(2x﹣5)；
（4）2x ﹣6x=0；
（5）x(x﹣6)=6﹣x；
（6）x(x﹣2)=10x﹣20；
（7）(x﹣1)2=2x(1﹣x)．
【答案】解：（1）3x(x﹣2)=2(2﹣x)，
由原方程，得(3x+2)(x﹣2)=0，
所以3x+2=0或x﹣2=0，
解得x1=，x =2．
（2）x(x+3)﹣7(x+3)=0，
分解因式得(x+3)(x﹣7)=0，
解得x1=﹣3，x =7．
（3）(3x+1)(2x﹣5)=﹣2(2x﹣5)，
移项得(3x+1)(2x﹣5)+2(2x﹣5)=0，
(2x﹣5)(3x+1+2)=0，
2x﹣5=0或3x+1+2=0，
x1=，x =﹣1．
（4）2x ﹣6x=0，
提取公因式得2x(x﹣3)=0，
∴2x=0或x﹣3=0，
∴x1=0，x =3．
（5）x(x﹣6)=6﹣x，
∵x(x﹣6)+x﹣6=0，
∴(x﹣6)(x+1)=0，
∴x﹣6=0或x+1=0，
∴x1=6，x =﹣1．
（6）x(x﹣2)=10x﹣20，
x(x﹣2)=10(x﹣2)，
x(x﹣2)﹣10(x﹣2)=0，
(x﹣2)(x﹣10)=0，
x﹣2=0或x﹣10=0，
x1=2，x =10．
（7）(x﹣1)2=2x(1﹣x)，
移项得(x﹣1)2+2x(x﹣1)=0，
因式分解得(x﹣1)(x﹣1+2x)=0，
即x﹣1=0或3x﹣1=0，
解得x1=1，x =．
