2.6应用一元二次方程
【知识点1】一元二次方程的应用 1
【知识点2】由实际问题抽象出一元二次方程 2
【题型1】一元二次方程与“握手”问题 3
【题型2】一元二次方程与生活中矩形边长、面积问题 3
【题型3】一元二次方程与几何中动点问题 5
【题型4】一元二次方程与数字、行程等问题 8
【题型5】一元二次方程与增长率、销售问题 8
【知识点1】一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
1.（2023秋 文昌校级期末）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（ ）
A． B．5 C． D．7
2.（2024秋 广州期末）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A．16 B．17 C．±16 D．±17
【知识点2】由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
1.（2025春 田阳区期末）电影《哪吒2》于2025年春节档上映，票房一路冲高．某影城也因为绝佳观影体验走红，《哪吒2》首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元，若在此期间内每天票房按相同的增长率增长，设票房收入的增长率为x,则方程可列为（ ）
A．4.5（1+x）2=6.48
B．4.5+4.5x+4.5x2=6.48
C．4.5（1+x）3=6.48
D．4.5+4.5（1+x）+4.5（1+x）2=6.48
2.（2025春 石景山区期末）某科技产业园区2022年的营业收入为5亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，2024年的营业收入达到7.2亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x,依题意，可列方程为（ ）
A．5（1+x）2=7.2 B．5（1+2x）=7.2
C．5（1-x）2=7.2 D．7.2（1+x）2=5
【题型1】一元二次方程与“握手”问题
【典型例题】进入12月份以来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是( )
A.1+x+x(x+1)＝81 B.1+(1+x)+x(x+1)＝81 C.1+x+x2＝81 D.x(x+1)＝81
【举一反三1】有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是( )
A.1轮后有(x+1)个人患了流感
B.第2轮又增加x(x+1)个人患流感
C.依题意可以列方程(x+1)2＝36
D.按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染
【举一反三2】10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛)，比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为( )
A. B.x(x﹣1)＝380 C.2x(x﹣1)＝380 D.x2＝380
【举一反三3】在2023江西省县域社会足球比赛中，高安市代表队晋级12月16日至21日在瑞金举行的第三阶段总决赛．总决赛分成四个小组，每个小组球队数一样，小组内进行单循环赛(即小组内每两队之间都比赛一场)．若小组赛一共进行了12场比赛，则共有 支球队参加了总决赛．
【举一反三4】我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式(即每两班之间都比赛一场)，若共进行了45场比赛，则有 个班级篮球队参加．
【举一反三5】今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【题型2】一元二次方程与生活中矩形边长、面积问题
【典型例题】某城市为增加绿植面积，改造部分室外停车位，如图①所示，6个车位拼成的矩形阴影部分全部为绿色草坪，当所有的车位分割线及停车方向线等标线粗细全部忽略不计时，可以看成图②，已知绿色草坪横条和竖条均为矩形，且宽度都为a m，AB＝12 m，BC＝7.2 m，当草坪面积(图中阴影部分面积)等于40.2 m2时，则a的值是( )
A.0.75 m B.1 m C.1.2 m D.1.5 m
【举一反三1】如图，某小区有一块长16 m，宽10 m的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为126 m2．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为x m，则根据题意所列方程正确的是( )
A.(16+2x)(10+x)＝126 B.(16+x)(10+2x)＝126 C.(16﹣2x)(10﹣x)＝126 D.(16﹣x)(10﹣2x)＝126
【举一反三2】某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3 m，种植花草的区域的面积为100 m2，设水池半径为x m，可列出方程( )
A.(2x+3)2﹣πx2＝100 B.(x+6)2﹣πx2＝100 C.(2x+3)2﹣2x2＝100 D.(2x+6)2﹣2πx2＝100
【举一反三3】如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m，根据题意可列方程为 ．
【举一反三4】如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所．如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边．若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域(阴影部分)的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是 ．
【举一反三5】如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
【题型3】一元二次方程与几何中动点问题
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2 cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度移动，P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止，则( )秒后，△PCQ的面积等于4．
A.1 B.2 C.4 D.1或4
【举一反三2】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB+AC＝10尺，BC＝3尺(注：1丈＝10尺)．设AB的长为x尺，则根据题意列方程正确的是( )
A.(10﹣x)2＝x2+32 B.32＝(10﹣x)2+x2 C.(10﹣x)2+32＝x2 D.x2＝(10+x)2+32
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm.
（1）AC＝ cm；
（2）现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s．P，Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当t＝ s时，PQ平分△ABC的面积．
【举一反三4】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4 cm，BC＝3 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为cm/s，点Q的速度为1 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为cm2，则点P运动的时间是 s．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1 cm/s．
（1）运动几秒时，点P，Q相距6 cm？
（2）△PCQ的面积能等于10 cm2吗？为什么？
【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点B开始沿BA以1 cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2 cm/s的速度向点C运动．问点P，Q出发几秒后可使四边形ACQP的面积为△PQB面积的？
【题型4】一元二次方程与数字、行程等问题
【典型例题】若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为( )
A.15 B.-15 C.±15 D.-1
【举一反三1】已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1 612，那么原数和新数中较大的两位数是( )
A.95 B.59 C.26 D.62
【举一反三2】已知两个连续正奇数的积是15，则这两个数中较小的一个数是________．
【举一反三3】读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄．若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 ．
【举一反三4】一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1 458，求原两位数．
【举一反三5】定义：如果一个只含有字母a的代数式的平方与这个代数式三倍的差等于0，那么这个代数式就叫做a的平三式，字母a所表示的正数就叫做平三数．试求平三式为a+2的平三数．
【题型5】一元二次方程与增长率、销售问题
【典型例题】海口江东新区设立于2018年6月，是海南自贸港11个重点园区之一．随着各项重点项目建设加快推进，海口江东新区面貌日新月异，其中新区税收从2019年的7亿元增长到2021年的45亿元，若设每年的年平均增长率为x，则可列方程( )
A.7(1+x%)2＝45 B.7(1+2x)＝45 C.7(1+x)2＝45 D.7+7(1+x)+7(1+x)2＝45
【举一反三1】某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程( )
A.5(1+x)＝8 B.5(1+2x)＝8 C.5(1+x)2＝8 D.5(1+2x)2＝8
【举一反三2】国庆期间某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房8.28亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是( )
A.2(1+x)＝8.28 B.2(1+x)2＝8.28 C.2(1+x)+2(1+x)2＝8.28 D.2+2(1+x)+2(1+x)2＝8.28
【举一反三3】某商品进价每件30元，有一段时间若以x元卖出，则可卖(100﹣x)件，商场计划要赚1 200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价应为 元．
【举一反三4】某商品成本价为16元/瓶，当定价为20元/瓶时，每天可售出60瓶．市场调查反映：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．设销售单价上涨x元，每天的利润为y元．
（1）每天的销售量为 瓶，每瓶的利润为 元(用含x的代数式表示)；
（2）若日销售利润销达到300元，求x的值；
（3）每天的销售利润能否达到400元？若能，求出x的值；若不能，说明理由．2.6应用一元二次方程
【知识点1】一元二次方程的应用 1
【知识点2】由实际问题抽象出一元二次方程 3
【题型1】一元二次方程与“握手”问题 4
【题型2】一元二次方程与生活中矩形边长、面积问题 6
【题型3】一元二次方程与几何中动点问题 9
【题型4】一元二次方程与数字、行程等问题 13
【题型5】一元二次方程与增长率、销售问题 14
【知识点1】一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
1.（2023秋 文昌校级期末）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】B
【分析】设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边的长为（7-x），根据三角形的面积为x建立方程就可以求出两直角边，由勾股定理就可以求出斜边．
【解答】解：设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边的长为（7-x），由题意，得
x（7-x）=6，
解得：x1=3．，x2=4，
由勾股定理，得
斜边为：=5．
故选：B．
2.（2024秋 广州期末）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A．16 B．17 C．±16 D．±17
【答案】C
【分析】设较小的奇数为x,则较大的奇数为（x+2），根据两个连续奇数的积为63，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入（x+2）中可求出另一个奇数，再将两数相加即可求出结论．
【解答】解：设较小的奇数为x,则较大的奇数为（x+2），
依题意得：x（x+2）=63，
整理得：x2+2x-63=0，
解得：x1=-9，x2=7．
当x=-9时，x+2=-9+2=-7，-9+（-7）=-16；
当x=7时，x+2=7+2=9，7+9=16．
∴这两个数的和为±16．
故选：C．
【知识点2】由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
1.（2025春 田阳区期末）电影《哪吒2》于2025年春节档上映，票房一路冲高．某影城也因为绝佳观影体验走红，《哪吒2》首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元，若在此期间内每天票房按相同的增长率增长，设票房收入的增长率为x,则方程可列为（ ）
A．4.5（1+x）2=6.48
B．4.5+4.5x+4.5x2=6.48
C．4.5（1+x）3=6.48
D．4.5+4.5（1+x）+4.5（1+x）2=6.48
【答案】A
【分析】设票房收入的增长率为x,根据“首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元”列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：由题意可得：
∴4.5（1+x）2=6.48，
故选：A．
2.（2025春 石景山区期末）某科技产业园区2022年的营业收入为5亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，2024年的营业收入达到7.2亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x,依题意，可列方程为（ ）
A．5（1+x）2=7.2 B．5（1+2x）=7.2
C．5（1-x）2=7.2 D．7.2（1+x）2=5
【答案】A
【分析】设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x,根据该市2022年及202年的营业收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：5（1+x）2=7.2．
故选：A．
【题型1】一元二次方程与“握手”问题
【典型例题】进入12月份以来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是( )
A.1+x+x(x+1)＝81 B.1+(1+x)+x(x+1)＝81 C.1+x+x2＝81 D.x(x+1)＝81
【答案】A
【解析】设每轮传染中一人可以传染x个人，
第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x(x+1)人被感染．
根据题意得1+x+x(1+x)＝81．
故选：A.
【举一反三1】有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是( )
A.1轮后有(x+1)个人患了流感
B.第2轮又增加x(x+1)个人患流感
C.依题意可以列方程(x+1)2＝36
D.按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染
【答案】D
【解析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有x(1+x)人被传染，
∴1轮后有(x+1)个人患了流感，第2轮又增加x(x+1)个人患流感，
∴根据题意得可列出方程1+x+x(x+1)＝36，即(x+1)2＝36，
解得x1＝5，x2＝﹣7(不符合题意，舍去)，
∴36(1+x)＝36×(1+5)＝216(人)，
∴按照这样的传播速度，三轮后一共会有216人感染．
故选：D.
【举一反三2】10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛)，比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为( )
A. B.x(x﹣1)＝380 C.2x(x﹣1)＝380 D.x2＝380
【答案】B
【举一反三3】在2023江西省县域社会足球比赛中，高安市代表队晋级12月16日至21日在瑞金举行的第三阶段总决赛．总决赛分成四个小组，每个小组球队数一样，小组内进行单循环赛(即小组内每两队之间都比赛一场)．若小组赛一共进行了12场比赛，则共有 支球队参加了总决赛．
【答案】12
【解析】设共有x支球队参加了总决赛，则每个小组有支球队，
由题意得4××(﹣1)＝12，
整理得x2﹣4x﹣96＝0，
解得x1＝12，x2＝﹣8，(不符合题意，舍去)，
即共有12支球队参加了总决赛．
【举一反三4】我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式(即每两班之间都比赛一场)，若共进行了45场比赛，则有 个班级篮球队参加．
【答案】10
【解析】设共有x个班级球队参加比赛，
根据题意得＝45，
整理得x2﹣x﹣90＝0，
即(x﹣10)(x+9)＝0，
解得x＝10或x＝﹣9(舍去)，
则共有10个班级球队参加比赛．
【举一反三5】今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，
根据题意得1+x+x(1+x)＝49，
解得x1＝6，x2＝﹣8(不符合题意，舍去)．
故每轮传染中平均一个人传染了6个人．
【题型2】一元二次方程与生活中矩形边长、面积问题
【典型例题】某城市为增加绿植面积，改造部分室外停车位，如图①所示，6个车位拼成的矩形阴影部分全部为绿色草坪，当所有的车位分割线及停车方向线等标线粗细全部忽略不计时，可以看成图②，已知绿色草坪横条和竖条均为矩形，且宽度都为a m，AB＝12 m，BC＝7.2 m，当草坪面积(图中阴影部分面积)等于40.2 m2时，则a的值是( )
A.0.75 m B.1 m C.1.2 m D.1.5 m
【答案】B
【解析】根据题意得3×12a+7.2a﹣3a2＝40.2，整理得a2+14.4a+13.4＝0，
解得a1＝1，a2＝13.4(不符合题意，舍去)，∴a的值是1．
故选：B.
【举一反三1】如图，某小区有一块长16 m，宽10 m的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为126 m2．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为x m，则根据题意所列方程正确的是( )
A.(16+2x)(10+x)＝126 B.(16+x)(10+2x)＝126 C.(16﹣2x)(10﹣x)＝126 D.(16﹣x)(10﹣2x)＝126
【答案】C
【解析】设小路的入口宽度为x m，由题意可得(16﹣2x)(10﹣x)＝126．
故选：C.
【举一反三2】某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3 m，种植花草的区域的面积为100 m2，设水池半径为x m，可列出方程( )
A.(2x+3)2﹣πx2＝100 B.(x+6)2﹣πx2＝100 C.(2x+3)2﹣2x2＝100 D.(2x+6)2﹣2πx2＝100
【答案】D
【解析】设水池半径为x m，则正方形的边长为(2x+6)m，根据题意得(2x+6)2﹣2πx2＝100．
故选：D.
【举一反三3】如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m，根据题意可列方程为 ．
【答案】(30﹣x)(20﹣x)＝×30×20
【解析】设道路的宽应为x m，由题意有(30﹣x)(20﹣x)＝×30×20．
【举一反三4】如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所．如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边．若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域(阴影部分)的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是 ．
【答案】4×3x(20﹣4x)＝192
【举一反三5】如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝77﹣4x+3＝(80﹣4x)米，
根据题意可得x(80﹣4x)＝300，
解得x1＝5，x2＝15，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，AD＝80﹣4×5＝60(米)，不合题意，
∴x＝15米．
故边AB的长为15米.
（2）若羊圈的总面积能为440平方米，
则结合（1）可得 x(80﹣4x)＝440，
整理，得 x2﹣20x+110＝0，
∵Δ＝(﹣20)2﹣4×1×110＝﹣40＜0，
∴羊圈的总面积不能为440平方米．
【题型3】一元二次方程与几何中动点问题
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2 cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】由题意得：(16﹣2t)(12﹣2t)＝××16×12，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝2或t＝12，
当t＝2时，16﹣2t＝12，12﹣2t＝8，符合题意；
当t＝12时，16﹣2t＝﹣8，12﹣2t＝﹣12，不符合题意，舍去；
∴t＝2．
故选：B.
【举一反三1】如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度移动，P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止，则( )秒后，△PCQ的面积等于4．
A.1 B.2 C.4 D.1或4
【答案】A
【解析】设t秒后，△PCQ的面积等于4，由题意得BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t，
∵S△PCQ＝CQ CP，∴4＝×2t×(5﹣t)，
整理得t2﹣5t+4＝0，解得t1＝1，t2＝4(不合题意，舍去)，
即1秒后，△PCQ的面积等于4．
故选：A.
【举一反三2】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB+AC＝10尺，BC＝3尺(注：1丈＝10尺)．设AB的长为x尺，则根据题意列方程正确的是( )
A.(10﹣x)2＝x2+32 B.32＝(10﹣x)2+x2 C.(10﹣x)2+32＝x2 D.x2＝(10+x)2+32
【答案】C
【解析】∵AB+AC＝10，AB＝x，∴AC＝10﹣x．
依题意得AC2+BC2＝AB2，即(10﹣x)2+32＝x2．
故选：C.
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm.
（1）AC＝ cm；
（2）现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s．P，Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当t＝ s时，PQ平分△ABC的面积．
【答案】（1）8 （2）2
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，
∴AC＝＝＝8(cm)；
（2）8÷1＝8(s)，6÷2＝3(s)，
当运动时间为t(0＜t≤3)s时，AP＝t cm，CP＝(8﹣t)cm，CQ＝2t cm，
根据题意得CP CQ＝×AC BC，
即×2t (8﹣t)＝××8×6，整理得t2﹣8t+12＝0，
解得t1＝2，t2＝6(不符合题意，舍去)，∴t＝2时，PQ平分△ABC的面积．
【举一反三4】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4 cm，BC＝3 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为cm/s，点Q的速度为1 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为cm2，则点P运动的时间是 s．
【答案】3
【解析】设动点P，Q运动t(t≤3)s时，能使△PBQ的面积为cm2，
则BP的长为(4-t)cm，BQ的长为t cm．
可列方程为，解得t1＝3，t2＝5(舍去)，
∴动点P，Q运动3s时，能使△PBQ的面积为cm2．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1 cm/s．
（1）运动几秒时，点P，Q相距6 cm？
（2）△PCQ的面积能等于10 cm2吗？为什么？
【答案】解：（1）6÷1＝6(s)．
当运动时间为t(0≤t≤6)s时，CP＝t cm，CQ＝(8﹣t)cm，
根据题意得t2+(8﹣t)2＝62，
整理得t2﹣8t+14＝0，
解得t1＝4﹣，t2＝4+．
故运动(4﹣)s或(4+)s时，点P，Q相距6cm.
（2）△PCQ的面积不能等于10 cm2，理由如下：
假设△PCQ的面积能等于10 cm2，当运动时间为t(0≤t≤6)s时，CP＝t cm，CQ＝(8﹣t)cm，
根据题意得t(8﹣t)＝10，
整理得t2﹣8t+20＝0，
∵Δ＝(﹣8)2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即△PCQ的面积不能等于10 cm2．
【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点B开始沿BA以1 cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2 cm/s的速度向点C运动．问点P，Q出发几秒后可使四边形ACQP的面积为△PQB面积的？
【答案】解：当运动时间为t秒时，BP＝t cm，BQ＝2t cm，
S△ABC=×5×6=15，
根据题意得 t 2t＝15×，
整理得t2＝9，
解得t＝3(负值已舍去)，
当t＝3时，t＝3＜5，2t＝2×3＝6，符合题意．
故3秒后，△PBQ的面积为9 cm2．
【题型4】一元二次方程与数字、行程等问题
【典型例题】若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为( )
A.15 B.-15 C.±15 D.-1
【答案】C
【解析】设这两个连续整数为x，x+1，则x(x+1)=56，解得x1=7，x2=-8，
则x+1=8或-7，则它们的和为±15．
故选：C.
【举一反三1】已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1 612，那么原数和新数中较大的两位数是( )
A.95 B.59 C.26 D.62
【答案】D
【解析】令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，
则(10x+y)×(10y+x)=1612，即(11x-4)×(11x-40)=1612，解得x1=6，x2=-2(不符合题意，舍去)，
10x+y=60+(6-4)=62，10y+x=20+6=26．
∵62＞26，∴较大的两位数是62．
故选：D.
【举一反三2】已知两个连续正奇数的积是15，则这两个数中较小的一个数是________．
【答案】3
【解析】设这两个数为2n+1和2n+3，由题意得(2n+1)(2n+3)=15，解得n=1或n=-3，
∵是连续的两个正奇数，所以n=-3舍去，∴2n+1=3．
【举一反三3】读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄．若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 ．
【答案】x2＝10(x﹣3)+x
【解析】∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的个位数为x，∴他去世时年龄的十位数为(x﹣3)．
根据题意得x2＝10(x﹣3)+x．
【举一反三4】一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1 458，求原两位数．
【答案】解：设个位数字为x，则十位数字为(9-x)．
则[10x+(9-x)][10(9-x)+x]=1458，
整理，得(x-8)(x-1)=0，
解得x=8或x=1．
故这个两位数是81或18．
【举一反三5】定义：如果一个只含有字母a的代数式的平方与这个代数式三倍的差等于0，那么这个代数式就叫做a的平三式，字母a所表示的正数就叫做平三数．试求平三式为a+2的平三数．
【答案】解：根据定义，得(a+2)2-3(a+2)=0，
(a+2)(a+2-3)=0，
(a+2)(a-1)=0，
a=-2或a=1，
∵平三数为正数，∴a=-2舍去，∴平三数为1．
【题型5】一元二次方程与增长率、销售问题
【典型例题】海口江东新区设立于2018年6月，是海南自贸港11个重点园区之一．随着各项重点项目建设加快推进，海口江东新区面貌日新月异，其中新区税收从2019年的7亿元增长到2021年的45亿元，若设每年的年平均增长率为x，则可列方程( )
A.7(1+x%)2＝45 B.7(1+2x)＝45 C.7(1+x)2＝45 D.7+7(1+x)+7(1+x)2＝45
【答案】C
【举一反三1】某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程( )
A.5(1+x)＝8 B.5(1+2x)＝8 C.5(1+x)2＝8 D.5(1+2x)2＝8
【答案】C
【举一反三2】国庆期间某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房8.28亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是( )
A.2(1+x)＝8.28 B.2(1+x)2＝8.28 C.2(1+x)+2(1+x)2＝8.28 D.2+2(1+x)+2(1+x)2＝8.28
【答案】D
【解析】∵第一天票房约为2亿元，且平均每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约为2(1+x)亿元，第三天票房约为2(1+x)2亿元．
根据题意得2+2(1+x)+2(1+x)2＝8.28．
故选：D．
【举一反三3】某商品进价每件30元，有一段时间若以x元卖出，则可卖(100﹣x)件，商场计划要赚1 200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价应为 元．
【答案】60
【解析】根据题意，得(100﹣x)(x﹣30)＝1 200，
整理得x2﹣130x+4200＝0，
解得x1＝60，x2＝70，
∵要让顾客得到实惠，∴x＝60．
【举一反三4】某商品成本价为16元/瓶，当定价为20元/瓶时，每天可售出60瓶．市场调查反映：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．设销售单价上涨x元，每天的利润为y元．
（1）每天的销售量为 瓶，每瓶的利润为 元(用含x的代数式表示)；
（2）若日销售利润销达到300元，求x的值；
（3）每天的销售利润能否达到400元？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
【答案】解：（1）每天的销售量为(60﹣5x)瓶，每瓶的利润为20+x﹣16＝(x+4) (元).
（2）根据题意，得(x+4)(60﹣5x)＝300，
解得x1＝2，x2＝6.
（3）每天的销售利润销不能达到400元，理由如下：
根据题意，得(x+4)(60﹣5x)＝400，
整理得x2﹣8x+32＝0，
∵Δ＝(﹣8)2﹣4×1×32＜0，
∴此方程没有实数解，
∴每天的销售利润不能达到400元．
