3.2用频率估计概率
【知识点1】利用频率估计概率 1
【题型1】已知频率求小球数量或面积 1
【题型2】用频率估计概率 3
【知识点1】利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
【题型1】已知频率求小球数量或面积
【典型例题】一个盒子中装有a个白球和2个红球(除颜色外完全相同)，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为( )
A.8 B.12 C.15 D.18
【举一反三1】如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为200 cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为( )
A.90 cm2 B.80 cm2 C.70 cm2 D.60 cm2
【举一反三2】某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：在不透明的盒子中装入红色、蓝色的玻璃球共60个，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计盒子中装入红色球的个数约为 ．
【举一反三3】在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近_____(结果精确到0.1)，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为 ；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在(2)的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
【举一反三4】一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表：
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于_____(精确到0.01)左右，从箱子中摸一次估计摸到蓝球的概率是 ；
(2)从该箱子里随机摸出1个球，不放回，再摸出1个球，用列表法或树状图求摸到的两个球中1个是蓝球，1个是白球的概率．
【题型2】用频率估计概率
【典型例题】在大量重复试验中，关于随机事件发生的概率与频率，下列说法正确的是( )
A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 概率是随机的，与频率无关 D. 随着试验次数的增加，频率一般会趋近概率
【举一反三1】如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率分布折线图，符合图中这一结果的实验可能是( )
①投一枚质地均匀的骰子，投出数字“2”；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀；
③抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；
④从分别写有A，B，C三个字母的卡片中随机抽取到写有A的卡片．
A.①② B.①②③ C.②④ D.②③④
【举一反三2】在“用频率估计概率”数学实践活动时，九年一班同学做抛硬币试验，抛高落地后，记下正面朝上的次数．不断重复这一过程，获得数据如下：
经统计发现，正面朝上的频率在一个常数附近摆动，由此估计“抛掷一枚硬币，正面朝上”的概率为( )
A.0.53 B.0.45 C.0.5 D.无法判断
【举一反三3】数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如表数据：
由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝下的概率约为( )
A.0.50 B.0.40 C.0.36 D.0.30
【举一反三4】甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这结果的实验可能是( )
A.从一个装有2个白球和1个红球的袋子任取一个球，则取到红球的概率
B.任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
C.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
【举一反三5】下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
由此估计，这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是 .(结果精确到0.1)
【举一反三6】某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如表：
估计这批青稞发芽的概率是 ．(结果保留到0.01)
【举一反三7】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“命中9环以上”的概率为 (精确到0.1)．3.2用频率估计概率
【知识点1】利用频率估计概率 1
【题型1】已知频率求小球数量或面积 1
【题型2】用频率估计概率 4
【知识点1】利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
【题型1】已知频率求小球数量或面积
【典型例题】一个盒子中装有a个白球和2个红球(除颜色外完全相同)，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为( )
A.8 B.12 C.15 D.18
【答案】A
【解析】由题意可得×100%＝80%，
解得a＝8．
经检验，a＝8是原分式方程的解，
所以a的值约为8.
【举一反三1】如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为200 cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为( )
A.90 cm2 B.80 cm2 C.70 cm2 D.60 cm2
【答案】C
【解析】假设不规则图案面积为x cm2，
由已知得：长方形面积为200 cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上＝0.35，
解得x＝70，
所以估计不规则图案的面积大约为70 cm2．
【举一反三2】某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：在不透明的盒子中装入红色、蓝色的玻璃球共60个，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计盒子中装入红色球的个数约为 ．
【答案】20
【解析】由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，
据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，
所以袋中红色球的个数为60×0.33≈20.
【举一反三3】在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近_____(结果精确到0.1)，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为 ；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在(2)的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】解：(1)根据题意得，当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50；
假如小李摸一次，小李摸到白球的概率为0.5.
(2)40×0.5＝20(个)，40﹣20＝20(个).
即估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个.
(3)设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得＝，
解得x＝10，
经检验，x＝10是分式方程的解，
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【举一反三4】一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表：
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于_____(精确到0.01)左右，从箱子中摸一次估计摸到蓝球的概率是 ；
(2)从该箱子里随机摸出1个球，不放回，再摸出1个球，用列表法或树状图求摸到的两个球中1个是蓝球，1个是白球的概率．
【答案】解：(1)当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；1﹣0.75＝0.25.
(2)由(1)得摸到白球的概率率为0.75，
所以可估计口袋中白球有4×0.75＝3(个)，蓝球有1个；
将第一个口袋中3个白球分别记为A1，A2，A3，蓝球记为B，画树状图如图，
共有12种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的情况有6种．
∴摸到1个蓝球、1个白球的概率为＝．
【题型2】用频率估计概率
【典型例题】在大量重复试验中，关于随机事件发生的概率与频率，下列说法正确的是( )
A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 概率是随机的，与频率无关 D. 随着试验次数的增加，频率一般会趋近概率
【答案】D
【解析】A、频率不直接等于概率，故选项不符合题意；
B、频率随试验次数的变化而变化，故选项不符合题意；
C、概率是理论数据不是随机的，故选项不符合题意；
D、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，说法正确，故选项符合题意．
【举一反三1】如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率分布折线图，符合图中这一结果的实验可能是( )
①投一枚质地均匀的骰子，投出数字“2”；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀；
③抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；
④从分别写有A，B，C三个字母的卡片中随机抽取到写有A的卡片．
A.①② B.①②③ C.②④ D.②③④
【答案】C
【解析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，则随机事件发生的概率应该为，
①投一枚质地均匀的骰子，投出数字“2”的概率为；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率为；
③抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”的概率为；
④从分别写有A，B，C三个字母的卡片中随机抽取到写有A的卡片的概率为；
故符合图中这一结果的实验可能是②④．
【举一反三2】在“用频率估计概率”数学实践活动时，九年一班同学做抛硬币试验，抛高落地后，记下正面朝上的次数．不断重复这一过程，获得数据如下：
经统计发现，正面朝上的频率在一个常数附近摆动，由此估计“抛掷一枚硬币，正面朝上”的概率为( )
A.0.53 B.0.45 C.0.5 D.无法判断
【答案】C
【解析】由表格中的数据估计“抛掷一枚硬币，正面朝上”的概率为0.5.
【举一反三3】数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如表数据：
由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝下的概率约为( )
A.0.50 B.0.40 C.0.36 D.0.30
【答案】B
【解析】表中图钉钉尖朝下的频率分别为＝0.5，＝0.3，＝0.36，＝0.4，＝0.4，
即图钉钉尖朝下频率逐渐稳定在0.40左右，
所以估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝下的概率约为0.40．
【举一反三4】甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这结果的实验可能是( )
A.从一个装有2个白球和1个红球的袋子任取一个球，则取到红球的概率
B.任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
C.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
【答案】A
【解析】A、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一个球，取到红球的概率是≈0.33，正确；
B、任意买一张电影票，座位号是偶数的概率为，故此选项错误；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
D、掷一枚正六面体的骰子，出现某一特定面的概率为，故此选项错误.
【举一反三5】下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
由此估计，这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是 .(结果精确到0.1)
【答案】0.5
【解析】由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.5附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.50.
【举一反三6】某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如表：
估计这批青稞发芽的概率是 ．(结果保留到0.01)
【答案】0.95
【解析】分别计算各次的发芽率，
＝0.94，＝0.96，≈0.95，＝0.95，≈0.95，≈0.95，
估计这批青稞发芽的概率是0.95．
故答案为：0.95．
【举一反三7】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“命中9环以上”的概率为 (精确到0.1)．
【答案】0.8
【解析】根据表格数据可知：根据频率稳定在0.8，
所以估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为0.8．
