山东省潍坊市诸城市龙城中学2025届高三上学期第二次自我检测数学试卷（PDF版，含答案）

山东省潍坊市诸城市龙城中学 2025 届高三上学期第二次自我检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = log 1 < 2 , = ∣ 22 2 ≤ 0 ，则 ∩ =( )
A. 1 ≤ ≤ 14 B. 2 ≤ ≤
1
4
C. D. ≥ 14
2 1.已知数列 中， 1 = 2 且 +1 = 1 ( ≥ 1)，则 2024 =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 12
3.“sin = 2 π2 ”是“ = 4”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量 = 4,3, 2 , = 2,1,1 ,则 在向量 上的投影向量为( )
A. 3, 3 , 3 3 3 3 3 3 32 2 B. 2 , 4 , 4 C. 4 , 2 , 2 D. (4,2,2)
5.已知函数 ( ) = 2 ′ 13 + ln 9，则函数在 = 1 处的切线方程是( )
A. = 92 9 B. = 19 19 C. = 19
29 9 47
2 D. = 2 + 2
6.若log4 + log4 = 2
1 2
，则 + 的最小值为( )
A. 2 12 B. 8 C.
3
4 D.
1
2
7.为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进
行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的
一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为
了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全
残留量为 0.001 / ，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照 = 的函数关系降解，其中 的
单位为小时， 的单位为 / .该农药的喷洒浓度为 2 / ，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量
标准，至少需要( )小时．(参考数据 10 ≈ 2.3)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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8.已知函数 ( ) = + 4 + 3ln 在 ∈ ( , 2 3 )内有最小值点，则实数 的取值范围是( )
A. > 1 B. 13 < < 1 C. 0 ≤ <
1
3 D. 0 ≤ <
1
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下正确的选项是( )
A.若 > ， < ，则 > B.若 > ， < ，则 >


C. 2 > 2 + 若 ，则 3 > 3 D.若 > ， > 0，则 + >
10.已知 (3 + 1)为奇函数，且对任意 ∈ ，都有 ( + 2) = (4 )， (3) = 1，则( )
A. (7) = 1 B. (5) = 0 C. (11) = 1 D. (23) = 0
11.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 为棱 1上一点，且 1 = 2 ， 为正方形 1 1 内一
动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A. // 2 2若 1 平面 1 ，则动点 的轨迹是一条长为 3 的线段
B.存在点 ，使得 1 ⊥平面 1
C.三棱锥 1
5
的最大体积为18
D.若 1 =
6 33
2 ，且 1 与平面 1 所成的角为 ，则 sin 的最大值为 33
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3 9
12.计算： 3 32 3 ÷ 7 13( > 0) =
13.已知函数 ( ) = ln ( ) (e, (e)) sin +2cos ，角 为函数 在点 处的切线的倾斜角，则 sin cos = ．
14.将正奇数按如图所示的规律排列：
则 2023 在第 行，从左向右第 个数．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
数列 满足： 1 = 1， +1 = 2 + 1；设 = + 1
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
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(2)求 的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)

已知定义在( 1, )上的奇函数 ( ) = lg + ．
(1)求实数 , 的值：
(2)若 ( )在( , )上的值域为( 1, + ∞)，求实数 , 的值．
17.(本小题 15 分)
凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如 2，e 等．记 ″( )为 = ′( )
的导数．现有如下定理：在区间 上 ( )为凸函数的充要条件为 ″( ) ≥ 0( ∈ )．
(1) 1证明：函数 ( ) = 3 为(1, + ∞)上的凸函数；
(2)已知函数 ( ) = 2 2 ln ln ( ∈ )．
①若 ( )为[1, + ∞)上的凸函数，求 的最小值；
3 1
②在①的条件下，当 取最小值时，证明： ( ) + 2 ≥ 3 2 3 +1 + 2，在[1, + ∞)上恒成立．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， 与底面 所成角为 45°，四边形 是梯形， ⊥
, // , = 2, = = 1．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若点 是 的中点，点 是 的中点，求点 到平面 的距离．
(3)点 是线段 上的动点， 上是否存在一点 ，使 ⊥平面 ，若存在，求出 点坐标，若不存在，
请说明理由．
19.(本小题 17 分)
4
已知函数 ( ) = 2ln 2 2．
(1)当 = 3 时，求函数 ( )的极值；
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(2)若函数 ( )有唯一的极值点 0．
①求实数 取值范围；
②证明： 20 0 + 2 2 1 0 0 + 1 ≥ 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.4
14.32；51
15.解：(1)由题意知 +1 = 2 + 1，则 +1 + 1 = 2 + 1 ，
即 +1 = 2 ，又 1 = 1，则 1 = 1 + 1 = 2，
故 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
故 = 2 ，即 + 1 = 2 , ∴ = 2 1；

(2) 2 2 1 2由于 = 2 1，故 = 2 + 2 + + 2 = 1 2 = 2
+1 2．
16.解：(1)由题意， 1 + = 0，故 = 1，
( ) = lg 1+ ，由 ( ) = lg + 为奇函数得
( ) + ( ) = lg + + lg = lg ( + )( )1 1+ (1 )(1+ ) = 0，
( + )( )
故(1 )(1+ ) = 1，解得 = 1 或 1(舍)，
故 = = 1；
(2) ( ) = lg 1 1+ > 1
1 1
，故1+ > 10，
又 1 < < 1 9，解得 1 < < 11，
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故 = 1, = 911．
2 4 2
17.解：(1)因为 ( ) = 1 ′ 3 ，则 ( ) =
(3 1) ″ 2(6 3 +1)
( 3 )2 ， ( ) = 6( 1)3 ，
因为 6 4 3 2 + 1 = 6( 2 1 2 54 ) + 8 > 0，又 ∈ (1, + ∞)，所以
6( 1)3 > 0，
″( ) = 2(6
4 3 2+1)
故 6( 1)3 > 0 在区间(1, + ∞)
1
上恒成立，即函数 ( ) = 3 为(1, + ∞)上的凸函数．
(2)①因为 ( ) = 2 2 ln ln ( ∈ )，所以 ′( ) = 2 2ln 2 1， ″ ( ) = 2
2
+
1
2，
2 1 2 1
由题知 ″( ) = 2 + 2 ≥ 0 在区间[1, + ∞)上恒成立，即 2 ≥ 2在区间[1, + ∞)上恒成立，
1
令 = ∈ (0,1]，则 2 ≥ 2
2在区间(0,1]上恒成立，
令 = 2 2，对称轴为 = 1，所以当 = 1 时， = 2 2取到最大值，最大值为 1，
所以 2 ≥ 1 1 1，得到 ≥ 2，所以 的最小值为2．
1
②由(1)知 ( ) = 22 2 ln ln ( ∈ )，
令 ( ) = ( ) + 2 = 1 22 2 ln ln + 2 ，则
′( ) = 2ln 2 1 + 2 = 2ln
1
，
2 2
令 ( ) = 2ln 1 ′( ) = 1 2+ 1 = 2 +1 = ( 1) ，则 2 2 2 ≥ 0 在区间[1, + ∞)恒成立，当且仅当 =
1 时取等号，
所以 ( ) = 2ln 1 在区间[1, + ∞)上单调递增，得到 ( ) ≥ (1) = 0，当且仅当 = 1 时取等号，
即 ′( ) = 2ln 1 ≥ 0 在区间[1, + ∞)恒成立，当且仅当 = 1 时取等号，
即 ( ) = 1 22 2 ln ln + 2 在区间[1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (1) =
1 5
2+ 2 = 2，

令 ( ) = 3 13 2 3 +1 + 2，令 = 3
1 ≥ 2 ，得到 = ( 1)( +2) + 2，
2 2
则 ′ = ( 2+ 2)2 < 0 在区间[2, + ∞)上恒成立，即 = ( 1)( +2) + 2 在区间[2, + ∞)上单调递减，
2 5
所以 ≤ (2 1)(2+2) + 2 = 2，
∈ [1, + ∞), ( ) = 3
1 5
即当 3 2 3 +1 + 2 ≤ 2，当且仅当 = 1 时取等号，
3 1
所以 ( ) + 2 ≥ 3 2 3 +1 + 2，在[1, + ∞)上恒成立．
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18.解：(1)由 ⊥平面 ， 平面 ， 平面 ，
得 ⊥ ， ⊥ ， 与底面 所成角为∠ = 45°．
所以三角形 为等腰直角三角形， = = 1．
又由四边形 是直角梯形， // ，可知 ⊥ ，
所以 为等腰直角三角形，而 = 1，故 = 2．
在直角梯形 中，过 作 ⊥ ，垂足为 ，则四边形 为正方形，
可知 = = = 1．
所以 = 1，在等腰直角三角形 中， = 2．
则有 2 + 2 = 2 + 2 = 4 = 2，所以 ⊥ ．
又因为 ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ．
所以 ⊥平面 .因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)以 为坐标原点，分别以 , , 所在的直线为 , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 (0,0,0)， (0,0,1)， (1,0,0)， (0,2,0)， (1,1,0)．
因为 是 1的中点，点 是 的中点，所以 2 ,
3 1 3 1
2 , 0 ， 4 , 4 , 2 ．
= ( , , ) = (1,0,0) = 1设平面 的法向量为 ， ， 4 ,
3 1
4 , 2 ，
则 = 0
= 0
，得 1 3 1 ,
= 0 4 + 4 + 2 = 0
取 = 4，则 = 6，得平面 的一个法向量为 = (0,4, 6)，

而

= (0,0,1) 6 6 3 13，所以点 到平面 的距离为 = 16+36 = 2 13 = 13 ．
(3)设 = + (1 ) = ( , , 0) + (0,2 2 , 0) = ( , 2 , 0)，注意到 (0,0,0)，
所以 ( , 2 , 0)，
所以 = ( , 2 , 1)，
设 = = ( , 2 , 1) = ( , 2 , )，注意到 (0,0,1)，
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所以 ( , 2 , 1 )，
因为 (0,0,0)， (1,0,0)，所以 = (1,0,0), = ( , 2 , 1 )，
若 ⊥平面 ，
= = 0 = 0
则当且仅当

，即当且仅当 1 ,
= 2 + (2 )2 + 1 = 0 = 5
2 4
此时 0, 5 , 5 ，
2 4
综上所述，当且仅当 , 重合，此时存在 0, 5 , 5 ，使 ⊥平面 ．
2
19.解：(1)由函数 ( ) = 2ln 4 2 (0, + ∞) ′( ) = 2 + 4 + 2 = 2( +2 + ) 2 ，可得其定义域为 ，且 2 3 3 ，
2
当 = 3 ′( ) = 2( +2 3)时，可得 3 =
2( 1)( +3)
3 ，
则当 0 < < 1 时， ′( ) < 0；当 > 1 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以，当 = 1 时，函数 ( )的极小值为 (1) = 3，无极大值．
(2)①由(1)可知，分析 ( ) = 2 + 2 + 的图像特征，
可得 ( )在(0, + ∞)上单调递增，且 (0) = ，
2( 2+2 + )
当 ≥ 0 时，则 ′( ) = 2 > 0 恒成立，
故函数 ( )在(0, + ∞)恒单调递增，即无极值点；
当 < 0 时，令 ′( ) = 0，解得 0 = 1 1 < 0 舍去， 0 = 1+ 1 > 0，
则函数 ( )的单调递增区间为( 1 + 1 , + ∞)，单调递减区间为(0, 1 + 1 )
即此时 ( )有唯一的极值点 ，且满足 20 0 + 2 0 + = 0 成立；
综上所述：当 < 0 时，函数 ( )有唯一的极值点 0；
②由①可知，函数 ( )有唯一的极值点 0 = 1+ 1 > 0，且 = ( 20 + 2 0)，
故 20 0 + 2 2 1 0 + 1 = 2(2ln
4
0 0 0 2 2) + 2
2
0 1 0 + 1
0 0
2 2= 2 2(ln + 0+2 0 1 + 1 1 2 1 10 0 0 2 + 2 ) = 2 0(ln 0 + 2 +
1 0 12 ) ≥ 0，0 2 0 2 0 0 2 0
ln 1 1即等价于 0 + + 1 0 2
1
2 ≥ 0 在 0 > 0 时恒成立，0 2 0
令 ( ) = ln 1+ 1 1 1 2 2 + 2，
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可得 ′( ) = 1 1 1 1 + 2 3 且 (1) = 0,
′(1) = 0，
当 0 < < 1 时，构建 ( ) = ′( )，
则 ′( ) = 1 2 + 3 + 1 = (1 )( +3) 2 3 4 4 +
1 ，
由 0 < < 1，则 1 > 0, + 3 > 0, 4 > 0, 1 > 0，
所以 ′( ) = (1 )( +3) 1 4 + > 0 对 ∈ (0,1)恒成立，所以 ( ) =
′( )在(0,1)上单调递增，
即 ′( ) < 0 对 ∈ (0,1)恒成立，故 ( )在(0,1)上单调递减，
即在 ∈ (0,1)上有 ( ) ≥ (1) = 0 成立；

又当 ≥ 1 时，则 ′( ) = 1 1 1 1 1 + 2 3 = + 3 ，
令 ( ) = , ≥ 1，则 ′( ) = ，
当 > 1 时， ′( ) > 0，可得 ′( )在[1, + ∞)内单调递增，则有 ′( ) ≥ ′(1) = 0，
故 ( )在[1, + ∞)内单调递增，则 ( ) ≥ (1) = 0，
故当 ≥ 1 时，有 ≥ 0, > 0, 1 ≥ 0, 3 > 0，

则 ′( ) = + 1 3 ≥ 0 对 ∈ [1, + ∞)上恒成立，
则 ( )在[1, + ∞)上单调递增，可得 ( ) ≥ (1) = 0，
综上所述： ( ) ≥ 0 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，即 20 0 + 2 20 1 0 + 1 ≥ 0．
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