22.3实际问题与二次函数--面积问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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22.3实际问题与二次函数--面积问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、二次函数与一面靠墙面积问题
1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ．
3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计）
4．（24-25九年级下·江苏徐州·开学考试）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
5．（2025·湖北宜昌·一模）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米．
(1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
(2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？
6．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形羊圈，已知房屋外墙，设矩形的边，面积为
(1)请用含有x表示的长度．
(2)若当为多少米时，羊圈的面积S最大？最大值是多少？
二、二次函数与两面靠墙面积问题
7．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，利用一个直角墙角修建一个矩形储料场，若矩形的周长等于40．求该储料场的最大面积．
8．（23-24九年级上·山东烟台·期末）为充分发挥劳动教育的综合育人功能，某校想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围出一块矩形蔬菜种植园（篱笆只围两边）．
(1)若种植园的面积为，求的长；
(2)点P处有一棵银杏树，它与墙的距离分别是和，要将这棵树围在种植园内（含边界，不考虑树的粗细），求种植园面积的最大值．
9．（23-24九年级上·广西防城港·期末）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．
【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．
(1)请用含有x的代数式表示的长；
(2)花园的面积能否为？若能，求出x的值，若不能，请说明理由；
(3)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？
三、二次函数与常见几何图形的面积问题
10．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）．
13．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
14．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m．
(1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______．
(2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？
15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米．
(1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域：
(2)当直道为________米时，足球场的面积最大．
16．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
四、二次函数与面积最优化问题
17．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点分别在上．设，取何值时，使剪出的矩形的面积最大，并求出矩形的最大面积．
18．（23-24九年级上·广东广州·期末）校艺术节上，甲同学用腰长为的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片，且矩形的四个顶点都在的边上．

(1)若甲裁剪出来的矩形纸片周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽是___________cm；
(2)设的长度为，矩形的面积为，
①求关于的函数解析式；
②求矩形的面积的最大值．
五、二次函数与动点面积问题
19．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（ ）
A． B． C．8 D．
20．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ．
21．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围；
(2)几秒时的面积等于？
22．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？
(1)用含的式子表示：
___________，___________，___________．
(2)写出关于的函数解析式及的取值范围．
答案
一、二次函数与一面靠墙面积问题
1． C
本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可．
解：设，花圃面积为，则，
根据题意，，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为32，
故这个花圃的最大面积是，
故选：C．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列式．
设的长度为，则，即可得出．
解：设的长度为，则，
由题意得，，
故答案为：．
矩形菜地的面积最大为平方米
本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数表达式．设菜地垂直于墙的一边长是x米，则平行于墙的一边是米，面积，再利用二次函数的性质解答即可．
解：设菜地垂直于墙的一边长是米，则平行于墙的一边是米，
面积，
∵
解得：，
，对称轴，
当时，最大（平方米），
答：矩形菜地的面积最大为平方米．
(1)此时x的值为2
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为
（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为13m，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）解：根据题意知：较大矩形的宽为，长为，
，
解得或，
经检验，时，，不符合题意，舍去，
，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是，
墙的长度为13m，
，
根据题意得：，
，
当时，y取最大值，最大值为48，
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为
(1)
(2)能，
(3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解；
（2）由题意易得，然后进行求解方程即可；
（3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
（1）解：由题意得：；
（2）解：依题意得：，整理得：，
解得：；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
∴当时，围成的菜地面积为81平方米．
（3）解：∵墙的最大可用长度为15米，
∴，即，
解得，
根据题意得：，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为105，
∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米．
(1)
(2)当时，S有最大值，为
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系．
（1）根据即可求得；
（2）根据配方法求出二次函数最值即可．
（1）解：
（2），
，
又，
当时，S有最大值，为．
二、二次函数与两面靠墙面积问题
7． 100
设可得，根据矩形的面积公式可得，即可得出答案．
解：设长为x，则长为，
，
，
当时，S最大值为100，
答：该储料场ABCD的最大面积为100．
8． (1)或
(2)
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用：
（1）设，则，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）设种植园面积为，根据题意，列出S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：设，则，
由题意，得．
解得：，．
所以的长为或．
（2）解：设种植园面积为，
则．
由题意，得，
∴．
在中，
∵，
∴当时，S随x的增大而增大．
∴当时，S有最大值为．
所以种植园面积的最大值为．
(1)
(2)花园的面积可等于，此时x的值为12
(3)，当时，花园面积S最大，最大值为195平方米
本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，准确理解题意，利用矩形的面积公式列方程或者写出函数关系式是解题的关键．
（1）根据篱笆的长度，求解即可；
（2）先根据花园的面积写出函数关系式，再利用二次函数求最值的方法求解，注意取值范围即可．
（3）先根据花园的面积写出函数关系式，再利用二次函数求最值的方法求解即可．
（1）解：，
∴
（2）在点P与，的距离分别是和，
，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
所以花园的面积可等于，此时x的值为12；
（3）解：在点P与，的距离分别是和，
，
面积S与x的函数解析式为：
，抛物线的开口向下，对称轴为
当时，S随x的增大而增大
当时，S取到最大值为：，
即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米．
三、二次函数与常见几何图形的面积问题
10． C
根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可．
本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
解：根据题意，得，
故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为．
故选：C．
11． B
设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，长方体的体积为，根据题意列出二次函数求得最大值即可；本题主要考查二次函数的应用，根据题意准确列出二次函数是解题的关键．
解：设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，
长方体的体积为，
根据题意得：
，
所以该纸筒的最大容积为，
故选：B．
本题考查了二次函数的应用，由剪去小正方形的边长，可得出折叠成的盒子的底面长为，宽为，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式
解：∵剪去小正方形的边长为，
∴折叠成的盒子的底面长为，宽为，
根据题意得：．
故答案为：．
．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，表示出剩余面积的长和宽，结合面积关系列出式子，即可作答
解：∵一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，
∴剩余面积的长和宽分别为
∴
(1)，，
(2)
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）根据线段的和差关系求出，过A作于H，证明四边形是矩形，得出，，求出，根据等角对等边得出，再根据线段的和差关系求出，最后根据梯形的面积公式求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵新建墙总长15m，的长为，
∴的长为，
过A作于H，
∵，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：由（1）可知：
∵ 抛物线开口向下
抛物线的对称轴为
∴ 当时，储料场的面积最大．
(1)；定义域为
(2)当直道为100米时，足球场的面积最大
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解；
（2）根据（1）中的函数关系式可进行求解．
（1）解：由题意得：
；
∵，
∴；
∴S关于的函数关系式为；定义域为；
（2）解：由（1）可知：
，
∵，
∴当直道为100米时，足球场的面积最大．
(1)；
(2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式．
（1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案；
（2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可．
（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形，
在中，，，，
∴
；
（2）解：正方形的面积为：，
∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
四、二次函数与面积最优化问题
17． 当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是．
本题考查的是勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，矩形的性质，二次函数的性质．利用含的直角三角形的性质可得，，再求解，再利用矩形的面积公式列二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案．
解：∵矩形，
∴，，则，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴．
由题意，矩形的面积
．
∵，
当时，S取得最大值．
答：当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是．
(1)
(2)① ②矩形的面积最大值为
（1）根据勾股定理求出长，然后利用等腰直角三角形的性质得到然后根据矩形纸片周长是纸片周长的一半列方程求解即可；
（2）①根据计算即可；②通过配方法得到顶点坐标即可．
（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵矩形纸片周长是纸片周长的一半，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）①；
②，
∵
∴当时，最大，最大为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，方程，二次函数的图像和性质，利用配方法计算是解题的关键．
五、二次函数与动点面积问题
19． C
本题考查二次函数的性质，设的速度为a，根据题意可得：的面积为，根据二次函数的性质即可得出答案．
解：设的速度为a，
根据题意可得：的面积为，
∴最大值为：，
故选：C．
20．
本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解．
解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为：，
故答案为：．
(1)
(2)3秒
本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质．
（1）利用三角形的面积公式求解即可；
（2）把代入（1）的函数解析式求解即可．
（1）解：由题意，；．
∴，
，
∴S关于t的函数解析式为；
（2）解：当时，，
整理得，即，
解得或（舍去），
答：3秒时，的面积等于．
(1)，，
(2)
本题主要考查二次函数的应用．
（1）根据题意直接列式即可作答；
（2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答．
（1）解：根据题意有：，，
∵，，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：∵，，
∴根据题意有：，
∵，，
∴，
故关于的函数解析式为．
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