第21-22章 一元二次方程和二次函数 阶段能力测试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第21-22章 一元二次方程和二次函数
阶段能力测试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．一元二次方程 的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3， 2 B．2， 3 C．3， D．3， 4
2．用配方法解方程时，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．其图象的顶点坐标为 B．函数的最小值为
C．其图象的开口向上 D．其图象的对称轴为直线
4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B． C．且 D．
5．将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A． B． C． D．
7．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．关于的二次函数的图象过原点，则的值为（ ）．
A．1 B． C． D．0
9．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．在同一坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
二、填空题
13．把分解因式的结果是 ．
14．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
15．某农机厂四月份生产零件40万个，第二季度共生产零件162万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 ．
16．两个连续的自然数的平方和为41，设较小的自然数为x，根据题意列出方程为 ．
17．已知，则 ．
18．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ．
19．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ．
三、解答题
20．解下列方程：
(1)；
(2)．
21．已知关于的方程：．
(1)若该方程有一个根是2，求的值；
(2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
22．现代互联网技术的广泛应用．催生了快递行业的高速发展. 据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0. 6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
23．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”______．
(2)已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______．
(3)已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．
24．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题：
(1)写出方程的解为_____，_____；
(2)当时，直接写出的取值范围为______；
(3)方程有实数根，的取值范围是_____；
(4)当时，直接写出的取值范围是_____；
(5)若不等式无解，则n的取值范围是______．
25．如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求为直角三角形时点P的坐标
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C A C B A C D
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握相关定义即可，注意系数包含前面的正负号.
【详解】解：∵为一般形式，
∴二次项系数和一次项系数分别为，
故选：C
2．B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答．
【详解】解： ，
配方，得：，
即：．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点)中各项参数与函数性质的关系成为解题的关键．
根据二次函数顶点式的性质以及a的值确定开口方向，由h，k的值确定最大值、对称轴、顶点坐标逐项判断即可解答．
【详解】解：A．该函数的顶点坐标为，故该选项错误，不符合题意；
B．该函数的最大值为2，故该选项错误，不符合题意；
C．由，所以该二次函数图象开口向下，故该选项错误，不符合题意；
D．该函数的对称轴为直线，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
∴且；
故选C．
5．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．
直接运用平移规律解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为．
故选A．
6．C
【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为个，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
7．B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，
∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，得到关于a的方程，解方程即可，注意二次项系数不能为0．
【详解】解：∵二次函数的图象过原点，
∴，，
∴，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．
根据二次函数得到开口向下和对称轴，再根据距离对称轴远近进行判断即可．
【详解】解：在二次函数中
∵，,
∴图象开口向上，对称轴为直线，
点距离对称轴有2个单位长度，
距离对称轴有1个单位长度，
距离对称轴有3个单位长度，
根据距离对称轴越远，函数值越大可得：．
故选：C．
10．D
【分析】先由二次函数图象得到系数字母的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由抛物线可知，，即；由直线可知，，二者矛盾，故本选项错误；
B．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得，两者矛盾；由直线可知，，的范围不一致，故本选项错误；
C．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得，两者矛盾；由直线可知，，的范围不一致，故本选项错误；
D．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得；由直线可知，，的范围一致，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质是解题的关键．
11．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
根据二次函数开口向上，与轴交于负半轴，得到，再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断选项A，根据二次函数与x轴有2个交点，由此即可判断选项B；当时，，结合，由此即可判断选项D；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，即可判断选项C．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与轴交于负半轴，
，
抛物线的对称轴是直线，
，
，
，故A错误，不符合题意；
二次函数与x轴有2个交点，
∴，故B结论错误，不符合题意；
当时，，
∴，
∴，
故D结论错误，不符合题意；
∵二次函数经过点，对称轴为直线，
∴二次函数与轴的另一个交点坐标为，
∵当时，，
故C结论正确，符合题意；
故选：C．
12．C
【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n= 3，mn= 9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m 9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，
∴m＋n＝ 3，mn＝ 9，
∵m是x2＋3x 9＝0的一个根，
∴m2＋3m 9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9 3＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2= ，x1 x2=．
13．
【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法来分解因式是解题的关键．
根据题意提取公因式即可．
【详解】解：原式．
故答案为： ．
14．或/或
【分析】本题考查了根的判别式，利用判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得或．
故答案为：或．
15．
【分析】该题考查了一元二次方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意六月份生产的零件个数是在五月份的基础上增加的．根据增长率分别表示出五月份和六月份生产的零件数，再根据等量关系：四月份生产的零件个数加五月份生产的零件个数加六月份生产的零件个数等于 162，列出方程即可．
【详解】解：五月份生产的零件个数是，
六月份生产的零件个数是，
由题意得．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据两数之间的关系，可得出较大的自然数为，根据两个连续的自然数的平方和为41，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：因为两个连续的自然数中较小的自然数为x，则较大的自然数为，
又平方和为41，
所以．
故答案为：．
17．9
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
根据完全平方公式变形，然后根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
即，
，
∴，，
，
，
故答案为：9．
18．1
【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值．
【详解】解：函数是关于x的二次函数，
，，
解得：，
故答案为：1．
19．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长．
【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，
∴可设该抛物线的解析式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上，
∴，
解得，，
即，，
∴，
∴矩形框架的周长为
故答案为：．
20．(1)，
(2)，
【分析】(1)利用公式法解一元二次方程即可解得；
(2)利用因式分解法解一元二次方程即可解得．
【详解】（1）解：在方程中，
a=1，b=-4，c=1，
，
，，
所以，原方程的解为，
（2）解：由原方程得：，
或，
解得，，
所以，原方程的解为，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
21．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是掌握学会用转化的思想解决问题．
（1）根据方程解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程求解即可；
（2）证明即可．
【详解】（1）解：∵方程：的一个根为2，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∵，
∴，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
22．(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为
(2)该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务；需要再添加3名快递员
【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据题意得：，计算求出满足要求的解即可；
（2）由题意知，6月份的投递任务为：（万件），（万件），由，可知该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务， 由（万件），，可知需要再添加3名快递员．
【详解】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：由题意知，6月份的投递任务为：（万件），
（万件），
∵，
∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，
∵（万件），
∴，
∴需要再添加3名快递员．
【点睛】本题考查了一元二次方程增长率的应用，有理数运算的实际应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确计算．
23．(1)
(2)；互为倒数
(3)和
【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
（1）根据“友好方程”的定义，即得答案；
（2）求出方程的解，即得猜想，分别求方程和的根，可验证；
（3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根，即，整理方程得，即得答案．
【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：；
故答案为：；
（2）解：对于方程，
，
解得：，
根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数；
证明如下：
∵一元二次方程的两根为，
“友好方程”的两根，
，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：；互为倒数；
（3）解：∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”的两根为，
则方程的两根，
即，
整理方程得，
∴关于的方程的两根为和．
24．(1)；1
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键．
（1）利用因式分解法，即可求解；
（2）根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可；
（3）根据二次函数图象即可求解；
（4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最小值为，再把代入得，，即可求解；
（5）将不等式无解转化为转化为函数图象在轴上或轴上方时，求的取值范围，则，即可求解．
【详解】（1）解：
∴，，
故答案为：，1；
（2）解：∵的根为，1，
∴二次函数的图象与x轴交于点，，
由图象可得，时，的取值范围为，
故答案为：；
（3）∵方程有实数根，
∴方程有实数根，
∴，
即：；
故答案为：；
（4）解：∵，
∴时，y的最大值为，
把代入得，，
把代入得，，
∴当时，y的取值范围是，
故答案为：；
（5）解： ，
∴，
令，
∴不等式无解，即无解，
∴问题转化为函数图象在轴上或轴上方时，求的取值范围，
∴，
解得：，
故答案为：．
25．（1）；（2）存在，；（3）或
【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式；
（2）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可；
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可．
【详解】（1）∵在直线上，
∴，
∴，
∵、在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）设动点P得坐标为，则C点得坐标为，
∴，
∵，
∴当时，线段PC最大且为．
（3）∵为直角三角形，
①若点A为直角顶点，．由题意易知，，，因为此种情形不存在；
②若点A为直角顶点，则．
如图1，过点作于点N，则，．过点A作，交x轴于点M，则由题意易知，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
设直线AM得解析式为，则：，解得，所以直线AM得解析式为：
又抛物线得解析式为：②
联立①②式，解得：或（与点A重合，舍去）
∴，即点C、M点重合．当时，，
∴；③若点C为直角顶点，则．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
如图2，作点关于对称轴得对称点C，则点C在抛物线上，且，当时，．
∵点、均在线段AB上，
∴综上所述，为直角三角形时，点P得坐标为或．
【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
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