2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 2.2.3直线的一般式方程 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 2.2.3直线的一般式方程 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 47.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-25 09:32:58 | ||
图片预览
文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第二章 2.2.3直线的一般式方程
一、单选题
1.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A. 1
B. -1或-2
C. 1或2
D. 2
2.(2025山西太原期中)已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知直线，其中，为常数，且满足，则不会同时经过的象限为（ ）
A. 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第二、四象限
D. 第三、四象限
4.(2025江苏苏州段考)已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025福建莆田期中）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.(2025安徽亳州一中月考)直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线的斜率可以等于0
B. 直线的斜率有可能不存在
C. 直线可能过点
D. 直线在两坐标轴上的截距可能相等
8.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角为，则
B. 若，则或
C. 若，则或
D. 当时，直线始终不过第三象限
9.(2025重庆沙坪坝入学考试)下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为
D. 经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示
三、填空题
10.（2025天津开学考试）已知直线的方程为，若直线的斜率为1，则实数的值为________.
11.(2025广东广州四中期中)过点，且与直线垂直的直线方程是________.
12.已知点，点在直线上运动，则当线段最短时，直线的一般式方程为________.
四、解答题
13.(2025河北承德段考）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标如图所示，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程；
(3)边上的垂直平分线所在直线的方程；
(4)过边的中点且在轴上的截距为3的直线的方程。
14.(2025安徽十校期中联考)已知的三个顶点分别是，，，
(1)求边上的高所在直线的一般式方程；
(2)求的平分线所在直线的一般式方程。
15.(2025河南信阳月考)已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2。
(1)若直线经过点，，求的斜截式方程，并判断与是否平行；
(2)若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直；
(3)若直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的一般式方程。
一、单选题
1.答案：C
解析：直线方程整理为，分两种情况讨论截距：
① 截距均为0（直线过原点）：令，得，此时直线为，截距均为0，满足条件；
② 截距不为0且相等：令得（轴截距），令得（轴截距），由（），得，即，此时直线为，截距均为1，满足条件。
综上，或。
2.答案：A
解析：平行直线斜率相等，设直线的方程为（与平行）。
将点代入方程：，解得，故直线的方程为。
3.答案：D
解析：直线整理为，由可知与异号：
若，则，斜率，轴截距，直线过第一、二、四象限；
若，则，斜率，轴截距，直线过第一、二、三象限。
两种情况均不经过第三、四象限。
4.答案：B
解析：
第一步：求的斜率，变形为，故；
第二步：用二倍角公式求的斜率，；
第三步：在轴上的截距为3，由斜截式得，整理为一般式。
5.答案：B
解析：直线方程应为（补充遗漏的），分两种情况分析：
① ：斜率，，故。设倾斜角为，则，结合，得；
② ：直线为（垂直于轴），倾斜角，已包含在上述区间的“间隔”中，无需单独列出。
综上，倾斜角的取值范围为。
6.答案：B
解析：直线整理为，斜率。因，故。
设倾斜角为（），由：
当时，；
当时，。
综上，倾斜角的取值范围为。
二、多选题
7.答案：BD
解析：对直线逐一分析：
A：斜率为0需，无实数解（分母不能为0），故斜率不可能为0，A错误；
B：当时，直线为（垂直于轴），斜率不存在，B正确；
C：若直线过点，代入得，不成立，C错误；
D：轴截距为，轴截距为。当时：
若，得，即，此时截距均为2；
若，直线为，截距均为0，故截距可能相等，D正确。
8.答案：ACD
解析：
A：倾斜角为，斜率为。的斜率为，由得，A正确；
B：需满足（系数交叉积相等），即，解得或。但时，与重合，故仅，B错误；
C：需满足（系数积和为0），即，解得或，C正确；
D：时，整理为（斜率为负，轴截距为正），直线过第一、二、四象限，不过第三象限，D正确。
9.答案：AD
解析：
A：将点代入直线，得（恒成立），故直线恒过定点，A正确；
B：直线与垂直的充要条件为，即，解得或，故“”是充分非必要条件，B错误；
C：过点且在轴、轴上截距相等的直线，除了，还有过原点的直线（截距均为0），C错误；
D：方程是两点式的整式变形，适用于所有相异两点（无需考虑分母不为0的情况），D正确。
三、填空题
10.答案：
解析：直线的斜率为（直线的斜率为，此处）。
由斜率为1得，整理得，解得或。
当时，，，直线不存在，舍去；
当时，，，符合条件，故。
11.答案：
解析：直线的斜率为，与其垂直的直线斜率为（负倒数）。
该直线过点，由点斜式得，整理为。
12.答案：
解析：线段最短时，直线（垂线段最短）。直线的斜率为，故的斜率为（负倒数）。
直线过点，由斜截式得，整理为。
四、解答题
13.解：已知、、，先求的中点：。
(1)斜率；
由点斜式（过）得，整理为。
(2) 的斜率，故高的斜率为（负倒数）；
由点斜式（过）得，整理为。
(3) 斜率为（与高的斜率相同），过；
由点斜式得，整理为。
(4) 过边的中点且在轴上截距为3的直线的方程
直线过和，斜率；
由斜截式得，整理为。
14.解：已知、、。
(1) 的斜率，故高的斜率为（负倒数）；
高过点，由点斜式得，整理为。
(2) 第一步：计算、的长度，，，故为等腰三角形（）；
第二步：的平分线过且过的中点，；
第三步：斜率，由点斜式得，整理为。
15.解：直线的倾斜角为（斜率），在轴上的截距为2（过点），故的方程为。
(1) 的斜截式：；
过、，斜率（与的斜率相等）；
验证不重合：过点，过点，两点不重合，故。
(2) 的方程应为（补充遗漏的），整理为，故轴截距为；
的斜率为，与的斜率的乘积为，故。
(3)因，设的方程为，其与轴的截距为，与轴的截距为；
由三角形面积公式：，整理得，解得，即或；
当时，的方程为；当时，的方程为。
综上，的一般式方程为或。
第二章 2.2.3直线的一般式方程
一、单选题
1.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A. 1
B. -1或-2
C. 1或2
D. 2
2.(2025山西太原期中)已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知直线，其中，为常数，且满足，则不会同时经过的象限为（ ）
A. 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第二、四象限
D. 第三、四象限
4.(2025江苏苏州段考)已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025福建莆田期中）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.(2025安徽亳州一中月考)直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线的斜率可以等于0
B. 直线的斜率有可能不存在
C. 直线可能过点
D. 直线在两坐标轴上的截距可能相等
8.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角为，则
B. 若，则或
C. 若，则或
D. 当时，直线始终不过第三象限
9.(2025重庆沙坪坝入学考试)下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为
D. 经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示
三、填空题
10.（2025天津开学考试）已知直线的方程为，若直线的斜率为1，则实数的值为________.
11.(2025广东广州四中期中)过点，且与直线垂直的直线方程是________.
12.已知点，点在直线上运动，则当线段最短时，直线的一般式方程为________.
四、解答题
13.(2025河北承德段考）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标如图所示，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程；
(3)边上的垂直平分线所在直线的方程；
(4)过边的中点且在轴上的截距为3的直线的方程。
14.(2025安徽十校期中联考)已知的三个顶点分别是，，，
(1)求边上的高所在直线的一般式方程；
(2)求的平分线所在直线的一般式方程。
15.(2025河南信阳月考)已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2。
(1)若直线经过点，，求的斜截式方程，并判断与是否平行；
(2)若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直；
(3)若直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的一般式方程。
一、单选题
1.答案：C
解析：直线方程整理为，分两种情况讨论截距：
① 截距均为0（直线过原点）：令，得，此时直线为，截距均为0，满足条件；
② 截距不为0且相等：令得（轴截距），令得（轴截距），由（），得，即，此时直线为，截距均为1，满足条件。
综上，或。
2.答案：A
解析：平行直线斜率相等，设直线的方程为（与平行）。
将点代入方程：，解得，故直线的方程为。
3.答案：D
解析：直线整理为，由可知与异号：
若，则，斜率，轴截距，直线过第一、二、四象限；
若，则，斜率，轴截距，直线过第一、二、三象限。
两种情况均不经过第三、四象限。
4.答案：B
解析：
第一步：求的斜率，变形为，故；
第二步：用二倍角公式求的斜率，；
第三步：在轴上的截距为3，由斜截式得，整理为一般式。
5.答案：B
解析：直线方程应为（补充遗漏的），分两种情况分析：
① ：斜率，，故。设倾斜角为，则，结合，得；
② ：直线为（垂直于轴），倾斜角，已包含在上述区间的“间隔”中，无需单独列出。
综上，倾斜角的取值范围为。
6.答案：B
解析：直线整理为，斜率。因，故。
设倾斜角为（），由：
当时，；
当时，。
综上，倾斜角的取值范围为。
二、多选题
7.答案：BD
解析：对直线逐一分析：
A：斜率为0需，无实数解（分母不能为0），故斜率不可能为0，A错误；
B：当时，直线为（垂直于轴），斜率不存在，B正确；
C：若直线过点，代入得，不成立，C错误；
D：轴截距为，轴截距为。当时：
若，得，即，此时截距均为2；
若，直线为，截距均为0，故截距可能相等，D正确。
8.答案：ACD
解析：
A：倾斜角为，斜率为。的斜率为，由得，A正确；
B：需满足（系数交叉积相等），即，解得或。但时，与重合，故仅，B错误；
C：需满足（系数积和为0），即，解得或，C正确；
D：时，整理为（斜率为负，轴截距为正），直线过第一、二、四象限，不过第三象限，D正确。
9.答案：AD
解析：
A：将点代入直线，得（恒成立），故直线恒过定点，A正确；
B：直线与垂直的充要条件为，即，解得或，故“”是充分非必要条件，B错误；
C：过点且在轴、轴上截距相等的直线，除了，还有过原点的直线（截距均为0），C错误；
D：方程是两点式的整式变形，适用于所有相异两点（无需考虑分母不为0的情况），D正确。
三、填空题
10.答案：
解析：直线的斜率为（直线的斜率为，此处）。
由斜率为1得，整理得，解得或。
当时，，，直线不存在，舍去；
当时，，，符合条件，故。
11.答案：
解析：直线的斜率为，与其垂直的直线斜率为（负倒数）。
该直线过点，由点斜式得，整理为。
12.答案：
解析：线段最短时，直线（垂线段最短）。直线的斜率为，故的斜率为（负倒数）。
直线过点，由斜截式得，整理为。
四、解答题
13.解：已知、、，先求的中点：。
(1)斜率；
由点斜式（过）得，整理为。
(2) 的斜率，故高的斜率为（负倒数）；
由点斜式（过）得，整理为。
(3) 斜率为（与高的斜率相同），过；
由点斜式得，整理为。
(4) 过边的中点且在轴上截距为3的直线的方程
直线过和，斜率；
由斜截式得，整理为。
14.解：已知、、。
(1) 的斜率，故高的斜率为（负倒数）；
高过点，由点斜式得，整理为。
(2) 第一步：计算、的长度，，，故为等腰三角形（）；
第二步：的平分线过且过的中点，；
第三步：斜率，由点斜式得，整理为。
15.解：直线的倾斜角为（斜率），在轴上的截距为2（过点），故的方程为。
(1) 的斜截式：；
过、，斜率（与的斜率相等）；
验证不重合：过点，过点，两点不重合，故。
(2) 的方程应为（补充遗漏的），整理为，故轴截距为；
的斜率为，与的斜率的乘积为，故。
(3)因，设的方程为，其与轴的截距为，与轴的截距为；
由三角形面积公式：，整理得，解得，即或；
当时，的方程为；当时，的方程为。
综上，的一般式方程为或。