则该正方形教具发生形变后面积减少了 （ ） 三、解答题（本大题共8小题，共66分）
九年级数学第一次月考试卷 A. 50 cm2 B. 50 2 cm2 C. 100 cm2 D. 100 2 cm2 17.（ 6分）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE = CF.求证：AF = DE.
9. 如图，四边形ACBD是矩形，点B在直线MN上 .若BD平分∠ABN，则下列结论不一定正确的是 A D
（ ）
（本试卷满分120分） A. BC平分∠ABM B. CD∥MN
C. △BOC是等边三角形 D. ∠COB = 2∠ABD B CE F
一、选择题（本大题共10 y 第17题图小题，每小题3分，共30分） A
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B
C O D
答案 O A x
1. 菱形、矩形、正方形共有的性质是 （ ） M B N
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 第9题图 第10题图
C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 10.【 新考法】如图，明明将家中地砖中心的图案（由大小相同的菱形和正方形组成）绘制到平面
2. 2 直角坐标系中，已知点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 （ ）若正方形对角线的长为 ，则该正方形的面积为 （ ）
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 A. (- 4，2 2 ) B. (- 2 - 2 2 2)
18.（ 6 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，判断四边形
，
ADCE的形状，并证明你的结论 .
3. 如图，在菱形ABCD中，AB = 6，∠BCD = 120°，则对角线AC的长为 （ ） C.（ - 4，2） D. (- 2 - 2 2 ，2 2 ) A
A. 8 B. 15 C. 10 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
A 11. 如图，在菱形ABCD中，∠B = 40°，连接AC，则∠BAC D的度数为 . E
B ② y A DB D D ① B C BA B A 第18题图
C C A
3 O x第 题图 第4题图 第5题图 C
4. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A = 20°，则∠BDC的度数为 （ ） D C D B C
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 第11题图 第12题图 第13题图
5. ①② ① 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的对角线 AC，BD相交于原点O.若点 A的坐标是如图，将一张矩形纸片对折两次，然后沿着图中虚线剪下，得到 两部分，将 展开后，得
（2，1），则点C的坐标是 .
到的四边形一定是 （ ）
A. 正方形 B. 矩形 C. D. 13. 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确菱形 梯形 保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就 19.（ 8分）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM = CN，AN与DM相交于点P.
6. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC = 10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的 可以做出判断 .这种做法的根据是 . （1）求证：△ABN ≌ △DAM；
长为 （ ） 14. 如图，正方形ABCD的面积为 4，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH （2）求∠APM的度数 .
A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 2.25 的面积为 . D C
H D H C
D C A D A D
A Q D A D 60° FE A′ D′
P E G NB P G PO C A B
B C A B B C B C M
第6 F A E B题图 第7题图 第8题图 14 第19题图7. = ∠ 第 题图 第15题图 第16题图如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得AE AB，连接BE，则 CBE的度数为（ ）
A. 22.5° B. 25° C. 20° D. 30° 15. 如图，两张宽度均为 3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 60°，则重合部分构成 的四边形ABCD的周长为 cm.
8. 我们都知道，四边形具有不稳定性 .老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表 16. 如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，AD 上的动点，P 是线段 EF 的中点，PG ⊥ BC，
小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图）.若正方形教具的边长为10 cm，∠D′ = 30°， PH ⊥ CD，G，H为垂足，连接GH. 若 AB = 8，AD = 6，EF = 5，则GH的最小值是 .
班级： 姓名： 学号：
20.（ 8分）数学实践活动课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操 23.（ 10分）综合与实践 24.（ 12分）综合与探究
作：①如图，分别以点 B，C 1为圆心，大于 2BC的长为半径作弧，两弧相交于点 E，F，作直线 【问题情境】 【问题情境】在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边
② △ （1）如图①，四边形ABCD是正方形，M是BC边上一点，E是CD边的中点 .若AE平分∠DAM. 三角形APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P位置的变化而变化 .EF交 BC于点 O，连接 AO； 将 ABO 沿 AO翻折，点 B的对应点落在点 P处，作射线 AP交
. = 5 = 3 . 求证：AM = AD + MC． 【问题解决】（1）如图①，当点 P 在线段 BD 上，点 E 在菱形 ABCD 的内部或边上时，连接CD于点Q 若AD ，AB ，求线段CQ的长
【猜想证明】 CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
A P D （2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图②，试猜想AM = AD + MC是 【类比探究】（2）如图②，当点P在线段BD上，点E在菱形 ABCD的外部时，（1）中的结论是
Q
E 否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 . 否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
B C 【问题解决】 【拓展延伸】（3）如图③，当点 P在线段 BD 的延长线上时，其他条件不变，连接 BE.若 AB = O
F （3）若（2）中矩形ABCD的两边AB = 6，BC = 9，求AM的长． 2 3，BE = 2 19，请直接写出AP的长 .
第20题图 A D A D E
E
E E A A
A
B C B C B P D
①M ② M BE P D B P
第23 D题图
21.（ 8分）如图，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点 . C C C
（1）求证：四边形AECF为菱形； ① ② ③
2 第24题图（）若菱形ABCD的周长为52，BD = 24，求四边形AECF的面积 .
A D
E F
B C
第21题图
22.（ 8分）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE = CF，DE ⊥ AC，过点D作DG ∥ AC交
BF的延长线于点G.
（1）求证：四边形DEFG是矩形；
（2）连接DF，BE，当∠DFG = ∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由 .
G
D C
F
E
A
第22 B题图数学周刊 参考答案 第1期 北师大中考版 3版
第 6 期 参考答案
*4.5 相似1三6 角形判定定理的证明 综合与实践专练 △ADC.所以MB = AC1. B 2. D 3. 3 1 △ ∽ △ AD = DF 同理，得M1B1 =
，∠M = ∠C
A1C1，∠M1 =
A ∠D.C A D .
或 1 1 1解：（）易得 ADF ABC，所以 ，即 AB AC AM MB
4.（ 1 3）证明：因为∠ AB BCDME = ∠A = α 所以 =，所以∠AMF +
∠ 180° - ∠ ∠ 180° - 3 = DF . 0.021. A1 B1 A C
= A M = M B .所以△ABM ∽
BMG = α， AMF + AFM = α. 所以
∠ 5 0.035
所以DF＝ △ 1 1 1 1 1 1A1B1M1. 所以 ∠BAM = ∠B1A1M1，∠M = ∠M1. 所以
AFM = ∠BMG.又因为∠A = ∠B，所以△AMF ∽ △BGM. 所2以小视力表中相应“E ”⊥的 高度为0.021 m. 2 △ ∽ △ ∠CAD = ∠C1A1D1. 所以∠BAC = ∠B1A1C1.（）解： DMG DBM. （）如图，过点 C 作 CD MN 于点 D，延长线交
理由：因为∠D = ∠D，∠ AB ACDMG = ∠B，所以△DMG ∽ A′B′于点E.因为线段AB，A′B′关于直线MN对称，所以 又因为 A B = A C ，所以△ABC ∽ △A1B1C1.
△DBM. A′B′＝1.6 m，DE＝∥3 m. 所∥以′ C′D＝CE△－DE＝ ∽2 （△m）. △ ∽ △ ′ ′ . 17.
1
解：（1 1 1）因为 A′1B′与 AB 关于 CD 对称，AB∥
答案不唯一，同法可证得 EMF EAM. 由题意，得AB MN A B ，易得 MNC A B C
4.6 利用相似三角形测高 MN = CD MN = 2. MN 0.64. CD∥A′B′
AC
，所 以 = 1，MN∥A′B′ . 所 以 ∠PMN =
1. B 所以 ，即 所以 ＝ 2. 18 3. 30 A′B′ CE 1.6 5 AA′ 2
4. 1 AB = 96 OC = OB = 60 OA = 所以镜长MN至少为0.64 m. ∠PA′B′，∠PNM = ∠PB′A′.解：（）因为 ， ，所以 MN AC 1
AB - OB = 36.因为AC ⊥ AB，所以在Rt△ AAOC 所以△PMN ∽ △PA′B′. 所以 = = .中，由勾 A′M A′B′ AA′ 2
股定理，得AC = OC2 - OA2 = 48. C 因为A′B′ = AB = 80 cm，所以MN = 40 cm.E
答：铅垂高度AC的长为48 cm. D 所以当观测点P在AB上自由移动时，MN的长度
（2）因 为 AC ⊥ AB，BE ⊥ AB，所 以 ∠OAC = N 不会发生改变，且MN = 40 cm.
∠OBD = 90°. B B′ （2）延长 PQ 交 CD 于点 L，交 A′B′于点 K，则 PL =
由题意，得∠AOC = ∠48BOD，所以△AOC ∽ △BOD.
图形的相似（4.5~4.8）同步诊断 PQ + AC = （100 + AC）cm，PK = PQ + 2AC = （100 +
AC = OA 36 一、1. B 2. D 3. C 4. A 5. A 6. D 7. B 2AC）cm.所以 BD OB，即 BD = 60. 所以BD = 80. 8. C 因为 MN∥A′B′，所以 ∠PMN = ∠PA′B′，∠PNM =
答：光屏上的反射点与量角器右端点的距离 BD 2 3 MN PL
的长为80 cm. 二、9. 5 10. 36° 11. 2 12. 10 13. 5 ∠PB′A′.所以△PMN ∽ △PA′B′. 所以
3 45 cm. 14.（ - A′B′
= PK .
（）BD的长为
4.7 三 、15
2.， 3）（1）作图略，A（2， - 3 B 1 - 2 结合题图③，照片与实物是相似图形，所以）， （ ， ），
相似三角形的性质 1 1
1. B 2. C 3. B 4. B C（1 3， - 1）.
M′N′ = C′D′ M′N′ MN1 MN A′B′，即 C′D′ = A′B′.5. 1∶ 2 6. 1∶2 7. 3∶2 8. 3 - 3 （2）作图略，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为 2. M′N′ PL 3.34.8 16. △ ∽ △ . 所以 C′D′ = PK，即 5.6 =
AC + 100 .
图形的位似 解： ABC A1B1C1 理由如下： 2AC + 100
1. C 2. P 3. 5 4. . 因为AD∠是△ABC的中线，所以BD = CD.
所以AC = 230 cm = 2.3 m.
3 6 略 又因为 BDM = ∠CDA，MD = AD，所以△MDB ≌ 所以井口到水面的距离AC的长为2.3 m.
参考答案
25
所以线段CQ的长为 12. 因2为NM = =N C + +M C，所以AM = A答案速览 （）解：AM AD CM仍然成立 . D + MC.
一、1. C 2. B 3. D 4. A 5. C 6. C 21.（ 1）证明：连接AC交BD于点O. 证明：延长AE，BC相交于点N.
7. A 8. A 9. C 10. D 因为 = 四边. 形 ABCD 是菱形，所以 AC ⊥ BD，AO = ∠ 因 =为 ∠四边.形 ABCD 是矩形，所以 AD∥BC. 所以CO，BO DO DAE CNE 因为E是CD边的中
二、11. 70° 12.（ - 2， - 1）
13. . 因为点E，F为 =对 角线BD的三等 =分 点.，所以BE = 又 =因 为. ∠DEA = ∠CEN，所以△
点，所 ≌以 △DE = CE.ADE NCE.所
对角线相等的平行四边形是矩形 DF 所以BO - BE DO - DF，即EO FO 以AD NC
14. 2 15. 8 3 16. 7.5 所以四边 ⊥形 AECF为平行四边形 . 因为 AE 平分∠DAM，因2为AC BD，所以平行四边形AECF为菱形 .三、解答题见“答案详解” 52 ∠MAN = ∠CN E= .所以 + AM =
所以. ∠DAE = ∠MAN. 所以NM
（） 解= 1：3因. 为四边形 ABCD为菱形，且周长为 ， 因3为NM NC MC，所以AM = AD + MC.所以AB17. 答案详解 1 1 （）解：设MC = x，则BM = BC - MC = 9 - x.
AB = 三、 证DC，∠B = =
明∠ ： =因 9为0°.四边形 ABCD 是矩形，所以 因为BD = 24，所以EF = 3BD = 8，OB = 2BD = 12. 由（2）知AM = AD + MC = 9 + x. C + = Rt △ 在 Rt △ ABM 中，由勾股定理，得 AM2 - BM2在 AOB 中 ，由 勾 股 定 理 ，得 AO = = 因为B△E CF，所以BE EF CF1所8.以 ABF ≌ △DCE.所以AF. =
+ EFDE.， 即BF = CE. 2 - 2 = 5. = 2 = 10. AB2，即（9 + x）2 = -9（
2
+9 1 - = x ）10 .= 6
2，解得 x = 1.
AB OB 所以1 AC AOADCE = · = 1 × 8 × 10 = 40. 所24.以 AM解：四边形 是菱形证明：因为 AE∥CD，CE∥AB，所以四边形 ADCE 所以S 菱形AECF 2EF AC 2 2 解1：（1）BP = CE BC ⊥ .CE 是平行四边形 . 22.（ 1）证明：因为四边形 ABCD 是 （）（）中的结论仍然成立
在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 的中点，所 所以 = AD = CB，△AD∥C ≌B .△ 所以∠. DAE ∠= ∠
平行四. 边形，BCF 又因为 证明：连接AC.
以CD1 9=
AE CF，所以 因为四边形ABCD是菱形，∠ABC = 60°，所以△ABC
.（ AD1 .所以平行四边形ADCE是菱形 .）证明：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ∥因为. ∠AFG
A=D ∠E CBF 所∠以 A =E D∠ = ∠CFB. CFB，所以 AED AFG. 所以 和∠ △ADC 都是等边三角形 . 所以 AB = AC，∠BAC = AB = AD = BC，∠DAM = ∠ABN = 90°. DE GF ACB = 60°.所以∠BAP = 60° + ∠CAP.
因为BM = CN，所以BC - CN = AB - BM，即BN = 因为DG∥AC，所以四边形DEFG是平行四边形 . 60°. 因为∠△APE =是 6等0°边 + 三∠角形.，所以∠AP = A=E ∠，∠PAE = AM.所以△ABN ≌ △DAM. 因为 DE ⊥ AC，所以∠CED = 90°.所以平行四边 △所以 ≌C A△E . CAP 所以 ∠BAP = ∠CAE.所（2）解：由（1）知△ABN ≌ △DAM，所以∠MAP = 形DEF2G是矩形 . . 以1 ABP ACE 所以 BP = CE， ACE ABP = ∠ADM∠. 所以 =∠ 1M80A°P - + ∠∠AMP =+ ∠∠ADM + = ∠ 9A0M°.P = 90°.
（）解：四边1 形DEF∥G是正方形 DE BF DE = BF 2 ∠ABC = 30°. 所以∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 60° + 所以20A. PM （ MAP AMP）
理由：由（）知 . ， ，所以四边形解：连接OQ. DEBF是平行四边形 30° = 90°，即BC ⊥ CE.所以（1）中的结论仍然成立 .
=因 为 =四 5 边∠形 ABCD 是矩
所以DF∥BE.所以∠AFD = ∠BEF.
AD BC ， B = ∠C = ∠D =形 90，°所. 以 AB = CD = 3， （3）AP的长为2 7. 因为∠∠DFG == ∠∠BEF ，=所 9以0°∠AFD = ∠DFG. = . 解析：连接AC交BD于点O.由作图，知OB OC 45°. 因为 E = = 3 = =
F G . DEF ，所以∠DFE =. ∠EDF = 因为四边形ABCD是菱形，所以AB = BC = 2 3，
∠ 由 折 叠 的 性 质 ，得 AP AB ，OP OB，
所以EF DE 所以矩形DEFG是正方形 1
APO = ∠B = 90 °=， 所以OP = OC，∠QPO = ∠C = 90°.
23.（ 1）证明：延长AE，BC相交于点N. AO = CO，BO = DO，AC ⊥ BD，∠ABO = ∠ABC = 30°.
又因为 OQ OQ，所以 Rt △ QPO ≌ Rt △ QCO ∠ 因 =为 ∠四边形. ABCD是正方形，所以AD∥BC.
2
所以
（HL）.所以PQ = CQ. DAE CNE 因为 E 是 CD 边的中点，所以 DE = 所以 AO = 12AB = 3 . 所以 BO = AB2 - AO2 = 3. 所
设PQ = CQ = x，则AQ = 3 + x，DQ = 3 - x. CE. 又因为∠DEA = ∠CEN，所以△ADE ≌ △NCE. 所Rt △ 以 BD = 6. 由（2）知 BC ⊥ CE，所 以 CE = 在 ADQ 中，由勾股定理，得 AD2 + DQ225 = 以AD = NC. 25 + 3 - = 3 + = . 因为 AE 平分∠DAM，所以∠DAE = ∠MAN. 所以 BE - BC
2 = 8. 由（2）知 BP = CE = 8，所以 OP = 5.
AQ2，即 2 （ x）2 （ x）2，解得 x 12 ∠MAN = ∠CNE.所以AM = NM. 所以AP = AO2 + OP2 = 2 7 .
题报第②期 第二章 一元二次方程自我评估 参考答案
2
答案速览 9，即（x + 3） = 13.开平方，得 x + 3 = ± 13 . 1 b 3 3a - 2b
一、1. D 2. B 3. D 4. B 5. A 6. A 解得 x1 = - 3 + 13，x2 = - 3 - 13 . 当 2 × 3 = a，即 b = 2a 时 ， - = a b
7. A 8. D 9. D 10. C 19. 解：设一个人每节课能手把手教会 x名同学 . 3a - 2 × 3 a
11. - 1 12. 2 - = 0 根据题意，得 1 + x + x（1 + x） = 49，即（1 + 22 2 = 49 = 0．二、 x x （答案不唯一） x） ，解得 x1 = 6，x2 = - 8（不合题意，舍去）. 3
13. 2 14. x2 + 7x - 30 = 0 a - a答：一个人每节课能手把手教会6名同学 . 2
15. - 2 - 3 16. = 1 20. 解：（1）设方程的两个根分别为 t，2t. 21. 解1：（1）由题意，得 AB = CD = x m，AC = BD，或 x 利用根与系数的关系，得 t + 2t = 6，t·2t = c，解 所以BD = ×（ 28 + 8 + 4） - x =（ 20 - x）m.
三、解答题见“答案详解” 得 t = 2.所以 c = 2 × 4 = 8. 2所以 c的值为8. 所以 x（2 =0 -8 mx） = 75，解 >得 8.x1 = 15，x2 = 5.
17. 1 = -答 3案 详= 解- 1. （2）由（x - 3
b
）（ax - b） = 0，解得 x1 = 3，x2 = . 因为AF ，所以 x 所以 x的值为15.
三、 （）x ，x a （2）生态园的面积能达到110 m2.1 2
2 = 1 - 41 = 1 + 41 . 当 2 × 3 = b，即 b = 6a 3a - 2b时 ， - = 由题意，得 BD =
1
2 × （28 + 8 + 4 + 2） - x = （）x1 4 ，x2 4 a a b18. 1 （21 - x）m.所以 x（21 - x） = 110，解得 x1 = 10，x2 = 11.2 解：（）②
3a - 2 × 6a 3 5
（）移项，得 x2 + 6x = 4.配方，得 x2 + 6 + 9 = 4 + - 6 = 5 ； 当110C Dm的. 长为 10 m 或 11 m 时，生态园的面积能x a a 达到 2
