浙江省金华市义乌市稠州中学2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
1．（2025八上·义乌开学考）化简（a2）3的结果为（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
2．（2025八上·义乌开学考）若0＜x＜1，则x﹣1、x、x2的大小关系是（ ）
A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x2＜x﹣1 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x
3．（2025八上·义乌开学考）估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
4．（2025八上·义乌开学考）下列从左往右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．x2﹣4x+4＝x2﹣4（x﹣1） D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
5．（2025八上·义乌开学考）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·义乌开学考）分式的值（ ）
A．不能为﹣1 B．不能为0 C．不能为1 D．不能为2
7．（2025八上·义乌开学考）设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①正确②正确
C．①错误②正确 D．①错误②错误
8．（2025八上·义乌开学考）如图，AB∥CD，EC分别交AB，CD于点F，C，连接DF，点G是线段CD上的点，连接FG．若∠1＝∠3，∠2＝∠4，则结论①∠C＝∠D；②FG⊥CD；③EC⊥FD中，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．（2025八上·义乌开学考）有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形。若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（ ）
A．AB B．AQ C．AH D．AE
10．（2025八上·义乌开学考）如图是由4张纸片拼成的一个长方形，相邻纸片之间互相不重叠也无缝隙，其中①②是两个面积相等的梯形、③④是正方形，若想求出长方形的面积，则只需知道下列哪个条件（ ）
A．①与②的周长之差 B．③的面积
C．①与③的面积之差 D．长方形周长
11．（2025八上·义乌开学考）已知，，则 ．
12．（2025八上·义乌开学考）某市今年2月份15天的空气污染指数统计如图所示，若规定污染指数在0～50，51～100，101～150范围的空气质量依次为优，良，轻度污染，则这15天中，该市空气质量属优的有 天，它的频率是 ．
13．（2025八上·义乌开学考）如图，将三张大小相同的透明正方形纸片的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为 ．
14．（2025八上·义乌开学考）已知关于x，y的方程组，下列结论：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y，则；其中正确的有 ．（请填上你认为正确的结论序号）
15．（2025八上·义乌开学考）在代数式求值时，可以利用交换律，将各项交换位置后，把一个多项式化成“（a2±2ab+b2）+其它项”的形式，然后利用完全平方公式得到“（a±b）2+其它项”，最后整体代入求值，例如对于问题“已知a+b＝2，c＝1，求a2+c2+b2+2ab的值”，可按以下方式求解：a2+c2+b2+2ab＝a2+2ab+b2+c2＝（a+b）2+c2＝22+12＝5．请仿照以上过程，解决问题：若m+n＝3﹣t，n﹣k＝t﹣7，则m2+4n2+k2+4mn﹣2mk﹣4nk+1＝ ．
16．（2025八上·义乌开学考）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间，EF的右侧，且∠EPF＝60°．若将射线EA沿直线EP折叠得射线EA'，射线FC沿直线FP折叠得射线FC'，EA'与FC'所在直线交于点H，则∠EHF＝ ．
17．（2025八上·义乌开学考）解下列方程组：
（1）；
（2）．
18．（2025八上·义乌开学考）解方程
（1）
（2）
19．（2025八上·义乌开学考）先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值．
20．（2025八上·义乌开学考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在方格纸的格点上，将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点C的对应点C'．
（1）请画出平移后的△A'B'C'；
（2）若连接AA'，BB'，则这两条线段的关系是 ；
（3）求线段BC扫过的面积．
21．（2025八上·义乌开学考）如图，AD∥BC，FC⊥CD，∠1＝∠2，∠B＝60°.
（1）求∠BCF的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由.
22．（2025八上·义乌开学考）（1）已知关于x的分式方程．
①当a＝5时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．
23．（2025八上·义乌开学考）根据以下素材，探索完成任务．
有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．
（1）求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于65元）．
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 2分
合格 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 1分
24．（2025八上·义乌开学考）小宁与小波两位同学在学行线”后进行了课后探究：
素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图2所示摆放，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠BAC＝∠FDE＝60°，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点D，E在直线l2上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小宁将三角板ABC向右平移．
（1）如图1，当点F落在线段BC上时，求∠BFE的度数．
（2）如图2，在三角板ABC向右平移过程中，连结BF（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记∠BFE＝α，∠CBF＝β．
①当点F在BC右侧时，试探究α与β的数量关系．
②小宁发现，当点F在BC左侧时，α与β的数量关系将发生改变，那么此时α与β的数量关系是 ▲ ．
（3）思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小波将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度逆时针旋转，设时间为t秒，∠1＝t°，∠2＝2t°，且0≤t≤60，若边AC与三角板DEF的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（a2）3=a6．
故选：B．
【分析】利用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n=amn（m，n是正整数），求出即可．
2．【答案】C
【知识点】实数的大小比较；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵0∴设，
则，
∴x2故答案为：C.
【分析】先明确负指数幂的定义，再通过取特殊值计算各数的值，最后比较大小得出关系.
3．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴的值在7和8之间，
故答案为：D.
【分析】先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故B不符合题意；
C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据题意得：。
故答案为：D。
【分析】若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50可得方程：①，根据甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50可得方程：②，把①②组成方程组即可。
6．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：A、若
去分母得：x+1=2-x，
解得：
经检验是分式方程的解，不符合题意；
B、若
去分母得：x+1=0，
解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解，不符合题意；
C、若
去分母得：x+1=x-2
此方程无解，分式不能为1，符合题意；
D、若
去分母得：x+1=2x-4，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】令分式的值分别为-1，0，1，2，求出方程的解，判断即可.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当n=3时，即x+y=3，
由可得，x-y=2，
因此，，，
∴，
因此①正确；
当时，即，
∴x-y=2，
∴x2-2xy+y2=4，
∴，
∴
因此②正确；
故答案为：B.
【分析】当n=3时，即x+y=3，由可得，x-y=2，进而求出x，y，再代入求出q的值即可判断①的正误；再利用公式变形，当时，求出相应的m的值即可.
8．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等；垂线段的概念
【解析】【解答】解：∵∠1=∠3，∠2=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠1+∠4=90°，
∴∠EFD=∠1+∠2=90°，
∴EC⊥FD，故③正确
∵AB//CD
∴∠1=/C
∴∠FGD=∠4+∠C=∠4+∠1=90°，
∴FG⊥CD，故②正确，
∵∠1不一定等于∠2，
∴∠C≠∠D，故①不正确；
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质和垂直的定义，逐个判断得结论.
9．【答案】D
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设长方形纸片长为a，宽为b，则阴影部分面积为
.
a即为AE长.
故答案为：D.
【分析】通过代数计算求出阴影部分的代数表达式，然后判断即可.
10．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设正方形边长为a，长方形的宽为a+x，长为2a+y，
则：长方形的面积为(2a+y)(a+x)=2a2+2ax+ay+xy，
∵①、②是两个面积相等的梯形，
∴，
∴xy+2ay=4ax+xy，
∴y=2x.
∴长方形的面积为：2a2+2ax+ay+xy=2a2+2ax+2ax+2x2=2(a+x)2，
图形①与图形②的周长之差为a+a+x+y-(2a+2a+y+x)=-2a.
∴A选项条件不能求出长方形的面积：
图③的面积是a2.
∴B选项条件，不能求出长方形的面积；
图形①与图形③的面积之差为：
∴C选项条件，不能求出长方形的面积；
长方形的周长为：2[(2a+y)+(a+x)]=6a+6x=6(a+x)，
∴D选项条件，能求出长方形的面积，
故答案为：D.
【分析】设正方形边长为a，长方形的宽为a+x，长为2a+y，分别表示出长方形的面积，图形①与②的周长之差，图形③的面积，图形①与③的面积之差，长方形的周长，逐一进行比较即可求得答案.
11．【答案】10
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：10.
【分析】观察题目要求：让我们计算 多少，先看题中所给条件：已知 ， 我们发现 由此根据同底数幂的乘法运算法则可计算出10.
12．【答案】2；0.13（精确到0.01）
【知识点】频数与频率；频数（率）分布折线图
【解析】【解答】解：∵规定污染指数在0~50，51~100，101~150范围的空气质量依次为优，良，轻度污染，
∴这15天中，该市空气质量属优的有15日，21日共2天
∴.它的频率是：（精确到0.01）
故答案为：2，0.13（精确到0.01）.
【分析】直接利用折线统计图得出空气质量属优的天数，进而利用频率求法得出答案.
13．【答案】30°
【知识点】角的运算；正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，
∵∠BOD=90°-∠AOB=90°-35°=55°，∠EOC=90°-∠EOF=90°-25°=65°，
又∵∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE
∴∠1=55°+65°-90°=30°.
故答案是：30°.
【分析】根据∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解.
14．【答案】①③④
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：关于x，y的二元一次方程组：
①+②得，2x+2y=4+2a，即x+y=2+a，
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y=0时，
∴2+a=0，
∴a=-2，故①正确；
②原方程组的解满足x+y=2+a，当a=1时，x+y=3，
而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，因此②不正确；
③方程组，
解得，
∴x+2y=2a+1+2-2a=3，因此③是正确的；
④方程组，由方程①得，
a=4-x-3y代入方程②得，
x-y=3(4-x-3y)，
即，因此④是正确的；
故答案为：①③④.
【分析】将两个二元一次方程相加可得x+y=2+a，①令x+y=0，即可求出a的值，验证即可；②由①得x+y=0，而x+y=4+2a，求出a的值，再与a=1比较得出答案；③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可；④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系即可.
15．【答案】17
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m+n=3-t，n-k=t-7，
∴(m+n)+(n-k)=3-t+t-7，
即m+2n-k=-4，
∴(m+2n-k)2=(-4)2
∴m2+4n2+k2+4mn-2mk-4nk=16.
∴m2+4n2+k2+4mn-2mk-4nk+1=16+1=17，
故答案为：17.
【分析】由m+n=3-t与n-k=t-7可得m+2n-k=-4，再两边平方展开，最后整体代入即可.
16．【答案】60°或120°
【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：①当点H在EF右侧时，如图，作射线PM经过点E，作射线PN经过点F，过P作PQ//AB，过H作HG//AB，
则PQ//HG//AB//CD，
∴∠AEM=∠QPE，∠CFN=∠QPF，∠AEA'=∠GHE，∠CFC'=∠GHF，
由折看可设∠AEM=∠A'EM=α，∠CFN=∠C'FN=β.
∴∠AEA'=2α=∠GHE，∠CFC'=2β=∠GHF.
∵∠EPF=∠QPE+∠QPF=∠AEM+∠CFN=α+β=60°
∴∠EHF=∠GHE+∠GHF=2α+2β=120°；
②当点H在EF左侧时，如图，
同理可得∠LHF=∠CFC'，∠KHE=∠AEA'，
∴∠LHF+∠KHE=∠CFC'+∠AEA=2∠CFN+2∠AEM=2∠EPF=120°，
∴∠EHF=180°-(∠LHF+∠KHE)=60°；
综上，∠EHF=60°或120°，
故答案为：60°或120°.
【分析】分类讨论，当点H在EF左侧或者右侧，画出图形过拐点作平行线，利用平行线的性质求解即可.
17．【答案】（1）解：
①+②得：3x=3，
解得：x=1，
将x=1代入①得：1+y=-1，
解得：y=-2，
故原方程组的解为
（2）解：原方程组变形为，
①+②得：6x=13，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)利用加减消元法即可求解；
(2)利用加减消元法即可求解.
18．【答案】（1）解：去分母，得5（2x+1）=x-1，
去括号，得10x+5=x-1，
移项，合并同类项，得9x=-6，
系数化为1，得x= ，
检验：把x= 代入（x-1）（2x+1）≠0，
所以x= 是原方程的解；
（2）解：去分母，得1+2（x-2）=x-1，
去括号，得1+2x-4=x-1，
移项，合并同类项，得x=2，
检验：把x=2代入x-2=0，
所以此方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】直接根据解分式方程的步骤：通过去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，再经过检验得到分式方程的解即可.
19．【答案】解：原式
∵x-2≠0，
∴x≠2，
当x=0时，原式=0.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件选择合适的x值代入求值。
20．【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求．
（2）平行且相等
（3）解：线段BC扫过的面积为．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(2)由平移得，这两条线段的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等.
【分析】(1)根据平移的性质作图即可；
(2)根据平移的性质可得答案；
(3)利用割补法求出四边形BCC'B'的面积即可.
21．【答案】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B＝60°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝60°，
又∵FC⊥CD，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°；
（2）解：DE∥AB.
证明：∵AD∥BC，∠2＝60°，
∴∠ADC＝120°，
又∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝60°，
又∵∠1＝60°，
∴∠1＝∠ADE，
∴DE∥AB.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出∠2＝∠1＝∠B，即可得出答案；
（2）求出∠1=∠2＝∠B＝60°，根据平行线的性质求出∠ADC，根据角平分线的定义求出∠ADE=60°，即可得出∠1＝∠ADE，根据平行线的判定得出即可.
22．【答案】（1）解：①当a=5时，分式方程为，
解得x=3.
检验：当x=3时，x-1≠0，
∴x=3是原方程的根，
②方程
去分母，得a-3=x-1，
解得x=a-2.
∵分式方程的增根为x=1，
∴a-2=1，解得 a=3.
（2）解：
去分母得：mx-1-1=2(x-2)，
解：，
∵有整数解，
∴2-m=±1或2-m=±2且，
解得：m=1或3或0或4且m≠1，
∴此时整数m的值为3或0或4.
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(2)①先将a=5代入原方程，通过化简、去分母求解，再检验；
②先去分母得到整式方程，根据增根定义求出a的值；
(2)解方程得到，根据分式方程有整数解得到2-m=±1或2-m=±2且，进一步求解即可得到整数m的值.
23．【答案】（1）解：(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，则，
解得
∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做了面小旗子.
（2）解：①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，
则5x+3(x+y)=60，
∴8x+3y=60，
∴
∵x，y为正整数，
∴或
∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元
当时，则费用为3×4+12×3=12+36=48(元)，
当时，则费用为6×4+4×3=24+12=36(元)
∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为36元.
②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸.
∴尽可能多买A卡纸，
当购买A卡纸16张，则赠送B卡纸16张，
此时费用为16×4=64<65.
设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子，(16-n)张做小灯笼.
∴
解得：，
∴A卡纸16张有6张做小旗子，10张做小灯笼，B卡纸16张有10张做小旗子，6张做小灯笼，
制作分配方案如下：
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子(面) 小灯笼(个) 小旗子(面) 小灯笼(个)
30 30 30 12
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和了张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可：
(2)①设购买A卡纸x张，B卡纸v张，则赠送了B卡纸x张，可得5x+3(x+y)=60，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；
②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸，可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸16张，则赠送E卡纸16张，此时费用为16×4=64<65，设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子(16-n)张做小灯笼，再建立方程组可得答案.
24．【答案】（1）解：延长BC交直线l2于点M，如图，
∵l1∥l2且∠ABC＝30°，
∴∠DMB＝∠ABC＝30°，
又∵∠DEF＝30°，
∴∠BFE＝∠DMF+∠DEF＝30°+30°＝60°；
（2）解：①延长EF交l1于点G，如图，
∵∠BFE＝α，
∴∠BFG＝180°﹣α，
∵∠ABC＝30°，∠DEF＝30°，∠CBF＝β，
∴∠GBF＝∠GBC+∠CBF＝30°+β，
又∵l1∥l2，
∴∠FGB＝∠FED＝30°，
∵∠FGB+∠BFG+∠GBF＝180°，
∴30°+30°+β+180°﹣α＝180°，
∴α﹣β＝60°；
②α+β＝60°
（3）解：20或40或50
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；分类讨论
【解析】【解答】解：(2)②延长DF交l1于点P，如图，
∵l1∥l2，
∴∠DPB+∠PDE＝180°，
∴∠DPB＝180°﹣∠PDE＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BFE＝α，∠CBF＝β，∠ABC＝30°，
∴∠PBF＝30°﹣β，∠PFB＝180°﹣∠DFE﹣∠BFE＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∵∠FPB+∠PBF+∠PFB＝180°，
∴120°+90°﹣α+30°﹣β ＝180°，
∴α+β＝60°，
故答案为：α+β＝60°；
（3）①当AC∥DF时，延长DF交l1于点P，交AB于点Q，如图，
∴∠BQF＝∠CAB＝60°，
∴∠PQA＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠APQ＝∠FDE+2t°＝60°+2t°，
∵∠PAQ+∠APQ+∠PQA＝180°，
∴t°+60°+60°+2t°＝180°，
解得t＝20；
②当AC∥DE时，延长AB交DE于Q，交l2于点P，如图，
则∠AQE＝∠CAB＝60°，
∴∠DQP＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠DPQ＝∠BAM＝t°，
∴2t°+60°+t°＝180°，
解得t＝40；
③当AC∥EF时，作直线EF分别交l1、l2于点M、P，如图，
则∠BQF＝∠CAB＝60°，
∴∠AQM＝60°，
又∠MPD＝2t﹣30°，
∵l1∥l2，
∴∠AMQ＝∠MPD，
∴∠AMQ＝2t°﹣30°，
∵∠QAM+∠AMQ+∠AQM＝180°，
∴t°+60°+2t°﹣30°＝180°，
解得t＝50，
综上，t的值为20或40或50．
【分析】(1)延长BC交直线l2于点M，由平行线的性质得∠DMB=∠ABC=30°，再根据三角形的外角性质可得结论；
(2)①延长EF交l1于点G，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论；
②延长DF交l1于点P，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论：
(3)分AC//DF、AC//DE和AC//EF三种情况，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可.
1 / 1浙江省金华市义乌市稠州中学2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
1．（2025八上·义乌开学考）化简（a2）3的结果为（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
【答案】B
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（a2）3=a6．
故选：B．
【分析】利用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n=amn（m，n是正整数），求出即可．
2．（2025八上·义乌开学考）若0＜x＜1，则x﹣1、x、x2的大小关系是（ ）
A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x2＜x﹣1 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x
【答案】C
【知识点】实数的大小比较；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵0∴设，
则，
∴x2故答案为：C.
【分析】先明确负指数幂的定义，再通过取特殊值计算各数的值，最后比较大小得出关系.
3．（2025八上·义乌开学考）估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴的值在7和8之间，
故答案为：D.
【分析】先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，进行判断即可.
4．（2025八上·义乌开学考）下列从左往右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．x2﹣4x+4＝x2﹣4（x﹣1） D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故B不符合题意；
C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案.
5．（2025八上·义乌开学考）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据题意得：。
故答案为：D。
【分析】若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50可得方程：①，根据甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50可得方程：②，把①②组成方程组即可。
6．（2025八上·义乌开学考）分式的值（ ）
A．不能为﹣1 B．不能为0 C．不能为1 D．不能为2
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：A、若
去分母得：x+1=2-x，
解得：
经检验是分式方程的解，不符合题意；
B、若
去分母得：x+1=0，
解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解，不符合题意；
C、若
去分母得：x+1=x-2
此方程无解，分式不能为1，符合题意；
D、若
去分母得：x+1=2x-4，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】令分式的值分别为-1，0，1，2，求出方程的解，判断即可.
7．（2025八上·义乌开学考）设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①正确②正确
C．①错误②正确 D．①错误②错误
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当n=3时，即x+y=3，
由可得，x-y=2，
因此，，，
∴，
因此①正确；
当时，即，
∴x-y=2，
∴x2-2xy+y2=4，
∴，
∴
因此②正确；
故答案为：B.
【分析】当n=3时，即x+y=3，由可得，x-y=2，进而求出x，y，再代入求出q的值即可判断①的正误；再利用公式变形，当时，求出相应的m的值即可.
8．（2025八上·义乌开学考）如图，AB∥CD，EC分别交AB，CD于点F，C，连接DF，点G是线段CD上的点，连接FG．若∠1＝∠3，∠2＝∠4，则结论①∠C＝∠D；②FG⊥CD；③EC⊥FD中，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等；垂线段的概念
【解析】【解答】解：∵∠1=∠3，∠2=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠1+∠4=90°，
∴∠EFD=∠1+∠2=90°，
∴EC⊥FD，故③正确
∵AB//CD
∴∠1=/C
∴∠FGD=∠4+∠C=∠4+∠1=90°，
∴FG⊥CD，故②正确，
∵∠1不一定等于∠2，
∴∠C≠∠D，故①不正确；
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质和垂直的定义，逐个判断得结论.
9．（2025八上·义乌开学考）有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形。若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（ ）
A．AB B．AQ C．AH D．AE
【答案】D
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设长方形纸片长为a，宽为b，则阴影部分面积为
.
a即为AE长.
故答案为：D.
【分析】通过代数计算求出阴影部分的代数表达式，然后判断即可.
10．（2025八上·义乌开学考）如图是由4张纸片拼成的一个长方形，相邻纸片之间互相不重叠也无缝隙，其中①②是两个面积相等的梯形、③④是正方形，若想求出长方形的面积，则只需知道下列哪个条件（ ）
A．①与②的周长之差 B．③的面积
C．①与③的面积之差 D．长方形周长
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设正方形边长为a，长方形的宽为a+x，长为2a+y，
则：长方形的面积为(2a+y)(a+x)=2a2+2ax+ay+xy，
∵①、②是两个面积相等的梯形，
∴，
∴xy+2ay=4ax+xy，
∴y=2x.
∴长方形的面积为：2a2+2ax+ay+xy=2a2+2ax+2ax+2x2=2(a+x)2，
图形①与图形②的周长之差为a+a+x+y-(2a+2a+y+x)=-2a.
∴A选项条件不能求出长方形的面积：
图③的面积是a2.
∴B选项条件，不能求出长方形的面积；
图形①与图形③的面积之差为：
∴C选项条件，不能求出长方形的面积；
长方形的周长为：2[(2a+y)+(a+x)]=6a+6x=6(a+x)，
∴D选项条件，能求出长方形的面积，
故答案为：D.
【分析】设正方形边长为a，长方形的宽为a+x，长为2a+y，分别表示出长方形的面积，图形①与②的周长之差，图形③的面积，图形①与③的面积之差，长方形的周长，逐一进行比较即可求得答案.
11．（2025八上·义乌开学考）已知，，则 ．
【答案】10
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：10.
【分析】观察题目要求：让我们计算 多少，先看题中所给条件：已知 ， 我们发现 由此根据同底数幂的乘法运算法则可计算出10.
12．（2025八上·义乌开学考）某市今年2月份15天的空气污染指数统计如图所示，若规定污染指数在0～50，51～100，101～150范围的空气质量依次为优，良，轻度污染，则这15天中，该市空气质量属优的有 天，它的频率是 ．
【答案】2；0.13（精确到0.01）
【知识点】频数与频率；频数（率）分布折线图
【解析】【解答】解：∵规定污染指数在0~50，51~100，101~150范围的空气质量依次为优，良，轻度污染，
∴这15天中，该市空气质量属优的有15日，21日共2天
∴.它的频率是：（精确到0.01）
故答案为：2，0.13（精确到0.01）.
【分析】直接利用折线统计图得出空气质量属优的天数，进而利用频率求法得出答案.
13．（2025八上·义乌开学考）如图，将三张大小相同的透明正方形纸片的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】角的运算；正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，
∵∠BOD=90°-∠AOB=90°-35°=55°，∠EOC=90°-∠EOF=90°-25°=65°，
又∵∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE
∴∠1=55°+65°-90°=30°.
故答案是：30°.
【分析】根据∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解.
14．（2025八上·义乌开学考）已知关于x，y的方程组，下列结论：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y，则；其中正确的有 ．（请填上你认为正确的结论序号）
【答案】①③④
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：关于x，y的二元一次方程组：
①+②得，2x+2y=4+2a，即x+y=2+a，
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y=0时，
∴2+a=0，
∴a=-2，故①正确；
②原方程组的解满足x+y=2+a，当a=1时，x+y=3，
而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，因此②不正确；
③方程组，
解得，
∴x+2y=2a+1+2-2a=3，因此③是正确的；
④方程组，由方程①得，
a=4-x-3y代入方程②得，
x-y=3(4-x-3y)，
即，因此④是正确的；
故答案为：①③④.
【分析】将两个二元一次方程相加可得x+y=2+a，①令x+y=0，即可求出a的值，验证即可；②由①得x+y=0，而x+y=4+2a，求出a的值，再与a=1比较得出答案；③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可；④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系即可.
15．（2025八上·义乌开学考）在代数式求值时，可以利用交换律，将各项交换位置后，把一个多项式化成“（a2±2ab+b2）+其它项”的形式，然后利用完全平方公式得到“（a±b）2+其它项”，最后整体代入求值，例如对于问题“已知a+b＝2，c＝1，求a2+c2+b2+2ab的值”，可按以下方式求解：a2+c2+b2+2ab＝a2+2ab+b2+c2＝（a+b）2+c2＝22+12＝5．请仿照以上过程，解决问题：若m+n＝3﹣t，n﹣k＝t﹣7，则m2+4n2+k2+4mn﹣2mk﹣4nk+1＝ ．
【答案】17
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m+n=3-t，n-k=t-7，
∴(m+n)+(n-k)=3-t+t-7，
即m+2n-k=-4，
∴(m+2n-k)2=(-4)2
∴m2+4n2+k2+4mn-2mk-4nk=16.
∴m2+4n2+k2+4mn-2mk-4nk+1=16+1=17，
故答案为：17.
【分析】由m+n=3-t与n-k=t-7可得m+2n-k=-4，再两边平方展开，最后整体代入即可.
16．（2025八上·义乌开学考）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间，EF的右侧，且∠EPF＝60°．若将射线EA沿直线EP折叠得射线EA'，射线FC沿直线FP折叠得射线FC'，EA'与FC'所在直线交于点H，则∠EHF＝ ．
【答案】60°或120°
【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：①当点H在EF右侧时，如图，作射线PM经过点E，作射线PN经过点F，过P作PQ//AB，过H作HG//AB，
则PQ//HG//AB//CD，
∴∠AEM=∠QPE，∠CFN=∠QPF，∠AEA'=∠GHE，∠CFC'=∠GHF，
由折看可设∠AEM=∠A'EM=α，∠CFN=∠C'FN=β.
∴∠AEA'=2α=∠GHE，∠CFC'=2β=∠GHF.
∵∠EPF=∠QPE+∠QPF=∠AEM+∠CFN=α+β=60°
∴∠EHF=∠GHE+∠GHF=2α+2β=120°；
②当点H在EF左侧时，如图，
同理可得∠LHF=∠CFC'，∠KHE=∠AEA'，
∴∠LHF+∠KHE=∠CFC'+∠AEA=2∠CFN+2∠AEM=2∠EPF=120°，
∴∠EHF=180°-(∠LHF+∠KHE)=60°；
综上，∠EHF=60°或120°，
故答案为：60°或120°.
【分析】分类讨论，当点H在EF左侧或者右侧，画出图形过拐点作平行线，利用平行线的性质求解即可.
17．（2025八上·义乌开学考）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
①+②得：3x=3，
解得：x=1，
将x=1代入①得：1+y=-1，
解得：y=-2，
故原方程组的解为
（2）解：原方程组变形为，
①+②得：6x=13，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)利用加减消元法即可求解；
(2)利用加减消元法即可求解.
18．（2025八上·义乌开学考）解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：去分母，得5（2x+1）=x-1，
去括号，得10x+5=x-1，
移项，合并同类项，得9x=-6，
系数化为1，得x= ，
检验：把x= 代入（x-1）（2x+1）≠0，
所以x= 是原方程的解；
（2）解：去分母，得1+2（x-2）=x-1，
去括号，得1+2x-4=x-1，
移项，合并同类项，得x=2，
检验：把x=2代入x-2=0，
所以此方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】直接根据解分式方程的步骤：通过去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，再经过检验得到分式方程的解即可.
19．（2025八上·义乌开学考）先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值．
【答案】解：原式
∵x-2≠0，
∴x≠2，
当x=0时，原式=0.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件选择合适的x值代入求值。
20．（2025八上·义乌开学考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在方格纸的格点上，将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点C的对应点C'．
（1）请画出平移后的△A'B'C'；
（2）若连接AA'，BB'，则这两条线段的关系是 ；
（3）求线段BC扫过的面积．
【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求．
（2）平行且相等
（3）解：线段BC扫过的面积为．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(2)由平移得，这两条线段的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等.
【分析】(1)根据平移的性质作图即可；
(2)根据平移的性质可得答案；
(3)利用割补法求出四边形BCC'B'的面积即可.
21．（2025八上·义乌开学考）如图，AD∥BC，FC⊥CD，∠1＝∠2，∠B＝60°.
（1）求∠BCF的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由.
【答案】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B＝60°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝60°，
又∵FC⊥CD，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°；
（2）解：DE∥AB.
证明：∵AD∥BC，∠2＝60°，
∴∠ADC＝120°，
又∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝60°，
又∵∠1＝60°，
∴∠1＝∠ADE，
∴DE∥AB.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出∠2＝∠1＝∠B，即可得出答案；
（2）求出∠1=∠2＝∠B＝60°，根据平行线的性质求出∠ADC，根据角平分线的定义求出∠ADE=60°，即可得出∠1＝∠ADE，根据平行线的判定得出即可.
22．（2025八上·义乌开学考）（1）已知关于x的分式方程．
①当a＝5时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．
【答案】（1）解：①当a=5时，分式方程为，
解得x=3.
检验：当x=3时，x-1≠0，
∴x=3是原方程的根，
②方程
去分母，得a-3=x-1，
解得x=a-2.
∵分式方程的增根为x=1，
∴a-2=1，解得 a=3.
（2）解：
去分母得：mx-1-1=2(x-2)，
解：，
∵有整数解，
∴2-m=±1或2-m=±2且，
解得：m=1或3或0或4且m≠1，
∴此时整数m的值为3或0或4.
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(2)①先将a=5代入原方程，通过化简、去分母求解，再检验；
②先去分母得到整式方程，根据增根定义求出a的值；
(2)解方程得到，根据分式方程有整数解得到2-m=±1或2-m=±2且，进一步求解即可得到整数m的值.
23．（2025八上·义乌开学考）根据以下素材，探索完成任务．
有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．
（1）求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于65元）．
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 2分
合格 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 1分
【答案】（1）解：(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，则，
解得
∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做了面小旗子.
（2）解：①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，
则5x+3(x+y)=60，
∴8x+3y=60，
∴
∵x，y为正整数，
∴或
∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元
当时，则费用为3×4+12×3=12+36=48(元)，
当时，则费用为6×4+4×3=24+12=36(元)
∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为36元.
②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸.
∴尽可能多买A卡纸，
当购买A卡纸16张，则赠送B卡纸16张，
此时费用为16×4=64<65.
设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子，(16-n)张做小灯笼.
∴
解得：，
∴A卡纸16张有6张做小旗子，10张做小灯笼，B卡纸16张有10张做小旗子，6张做小灯笼，
制作分配方案如下：
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子(面) 小灯笼(个) 小旗子(面) 小灯笼(个)
30 30 30 12
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和了张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可：
(2)①设购买A卡纸x张，B卡纸v张，则赠送了B卡纸x张，可得5x+3(x+y)=60，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；
②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸，可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸16张，则赠送E卡纸16张，此时费用为16×4=64<65，设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子(16-n)张做小灯笼，再建立方程组可得答案.
24．（2025八上·义乌开学考）小宁与小波两位同学在学行线”后进行了课后探究：
素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图2所示摆放，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠BAC＝∠FDE＝60°，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点D，E在直线l2上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小宁将三角板ABC向右平移．
（1）如图1，当点F落在线段BC上时，求∠BFE的度数．
（2）如图2，在三角板ABC向右平移过程中，连结BF（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记∠BFE＝α，∠CBF＝β．
①当点F在BC右侧时，试探究α与β的数量关系．
②小宁发现，当点F在BC左侧时，α与β的数量关系将发生改变，那么此时α与β的数量关系是 ▲ ．
（3）思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小波将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度逆时针旋转，设时间为t秒，∠1＝t°，∠2＝2t°，且0≤t≤60，若边AC与三角板DEF的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）解：延长BC交直线l2于点M，如图，
∵l1∥l2且∠ABC＝30°，
∴∠DMB＝∠ABC＝30°，
又∵∠DEF＝30°，
∴∠BFE＝∠DMF+∠DEF＝30°+30°＝60°；
（2）解：①延长EF交l1于点G，如图，
∵∠BFE＝α，
∴∠BFG＝180°﹣α，
∵∠ABC＝30°，∠DEF＝30°，∠CBF＝β，
∴∠GBF＝∠GBC+∠CBF＝30°+β，
又∵l1∥l2，
∴∠FGB＝∠FED＝30°，
∵∠FGB+∠BFG+∠GBF＝180°，
∴30°+30°+β+180°﹣α＝180°，
∴α﹣β＝60°；
②α+β＝60°
（3）解：20或40或50
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；分类讨论
【解析】【解答】解：(2)②延长DF交l1于点P，如图，
∵l1∥l2，
∴∠DPB+∠PDE＝180°，
∴∠DPB＝180°﹣∠PDE＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BFE＝α，∠CBF＝β，∠ABC＝30°，
∴∠PBF＝30°﹣β，∠PFB＝180°﹣∠DFE﹣∠BFE＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∵∠FPB+∠PBF+∠PFB＝180°，
∴120°+90°﹣α+30°﹣β ＝180°，
∴α+β＝60°，
故答案为：α+β＝60°；
（3）①当AC∥DF时，延长DF交l1于点P，交AB于点Q，如图，
∴∠BQF＝∠CAB＝60°，
∴∠PQA＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠APQ＝∠FDE+2t°＝60°+2t°，
∵∠PAQ+∠APQ+∠PQA＝180°，
∴t°+60°+60°+2t°＝180°，
解得t＝20；
②当AC∥DE时，延长AB交DE于Q，交l2于点P，如图，
则∠AQE＝∠CAB＝60°，
∴∠DQP＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠DPQ＝∠BAM＝t°，
∴2t°+60°+t°＝180°，
解得t＝40；
③当AC∥EF时，作直线EF分别交l1、l2于点M、P，如图，
则∠BQF＝∠CAB＝60°，
∴∠AQM＝60°，
又∠MPD＝2t﹣30°，
∵l1∥l2，
∴∠AMQ＝∠MPD，
∴∠AMQ＝2t°﹣30°，
∵∠QAM+∠AMQ+∠AQM＝180°，
∴t°+60°+2t°﹣30°＝180°，
解得t＝50，
综上，t的值为20或40或50．
【分析】(1)延长BC交直线l2于点M，由平行线的性质得∠DMB=∠ABC=30°，再根据三角形的外角性质可得结论；
(2)①延长EF交l1于点G，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论；
②延长DF交l1于点P，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论：
(3)分AC//DF、AC//DE和AC//EF三种情况，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可.
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