2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 2.3.1两条直线的交点坐标 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 2.3.1两条直线的交点坐标 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 38.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-25 12:27:40 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第二章 2.3.1两条直线的交点坐标
一、单选题
1.（2025北京一零一中学月考）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标是（ ）
A. (2, 3)
B. (-2, -1)
C. (-4, -3)
D. (0, 1)
3.若直线与直线的交点在第一象限内，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.(2025河南省实验中学月考)若直线，，不能围成一个三角形，则实数的值可以为（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
5.(2024辽宁重点中学协作体期中)已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况，正确的是（ ）
A. 无论，，如何，总有唯一交点
B. 存在，，使之有无穷多个交点
C. 无论，，如何，总是无交点
D. 存在，，使之无交点
6.已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，则直线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.(2025湖南长沙月考）直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（ ）
A. -1
B.
C.
D. 4
8.（2025安徽合肥六校联盟期中）已知直线，则（ ）
A. 直线的一个方向向量为
B. 直线过定点
C. 直线一定过第一象限
D. 若直线不经过第二象限，则
9.(2025江西南昌模考）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. ，使得
三、填空题
10.(2024重庆万州二中教育集团期中)已知为坐标原点，直线与交于点，则的值为________.
11.(2025福建厦门外国语学校月考)过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线的一般式方程为________.
12.过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.
四、解答题
13.(2025河北衡水中学月考)在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为(1, 3)。
(1)求直线的方程；
(2)求直线的方程及点的坐标。
14.(2025福建莆田月考）已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，求点的坐标。
15.(2025广东珠海期中）已知直线和，两点，若点在直线上，则当取最小值时，求点的坐标。
一、单选题
1.答案：A
解析：第一步，求两直线交点。联立方程组，将两式相加消去，得，解得；将代入，得，故交点为。
第二步，求直线斜率。方向向量对应的斜率。
第三步，写直线方程。由点斜式，整理得。
2.答案：A
解析：因点在直线上，设的坐标为。
直线垂直于，而的斜率为，根据垂直直线斜率互为负倒数，可知的斜率为。
由点和，根据斜率公式，即，解得，故的坐标为。
3.答案：C
解析：联立两直线方程，消去得，整理得（，否则两直线平行无交点），故；将代入，得。
因交点在第一象限，需满足：
：，即，解得；
：，即，解得或。
取两不等式的交集，得。
4.答案：ACD
解析：三条直线不能围成三角形，包含三种情况：
① 直线与平行：的斜率为，的斜率为（），由，得；
② 直线与平行：的斜率为，由，得；
③ 三条直线共点：先求与的交点，联立，解得交点为；将代入的方程，得，解得。
综上，的值可为。
5.答案：A
解析：因和在直线上，故，。
将代入，得，整理为；
同理，的方程可整理为。
两直线均过方程组的解，解得定点为。
又因与是不同的点，故与不重合，因此总有唯一交点。
6.答案：A
解析：第一步，求两直线的交点。联立，由第二个方程得，代入第一个方程得，解得；将代入，得，故交点为。
第二步，求直线的斜率。直线的斜率为，因与该直线垂直，故的斜率为（负倒数）。
第三步，写直线的方程。由点斜式，整理得。
二、多选题
7.答案：ACD
解析：三条直线不能构成三角形，包含三种情况：
① 两直线平行：
：的斜率为，的斜率为，由，得；
：的斜率为（），由，得（无对应选项，舍去）；
② 三条直线共点：
先求与的交点，联立，解得交点为（）；
将交点代入的方程，得，整理得，解得或。
综上，的取值可为。
8.答案：BC
解析：
选项A：直线的方向向量为，对于直线，，，故方向向量为，与选项中符号相反，A错误；
选项B：将直线的方程整理为，令，解得，即直线恒过定点，B正确；
选项C：因直线恒过定点，该点在第一象限，故直线一定过第一象限，C正确；
选项D：当时，直线的方程为，即（垂直于轴，过），不经过第二象限，但不满足，故D错误。
9.答案：AB
解析：
选项A：对于集合中的直线，无论取何值，直线均有解（如时，直线为，有无数解；时，直线有无数解），故，A正确；
选项B：当时，集合的直线为，集合的直线为，联立，解得，故，B正确；
选项C：当时，分两种情况：
若：直线无解，即（此时直线为，无实解），此时的直线为，；
若：两直线平行，即（），由得，此时，满足平行，故或，C错误；
选项D：若，则两直线完全相同，需满足，由得，但，矛盾，故不存在这样的，D错误。
三、填空题
10.答案：2
解析：联立两直线方程，求解和：
由第一个方程得，代入第二个方程得，整理得，故；
将代入，得。
计算（为原点）：，化简得。
11.答案：
解析：设直线与的交点为，与的交点为。
因是的中点，故，，即，。
又在上，代入得，即。
联立，解得，即。
直线过和，斜率，由点斜式，整理得。
12.答案：或
解析：第一步，求两直线的交点。联立，由第二个方程得，代入第一个方程得，解得；将代入，得，故交点为。
第二步，分情况讨论截距：
情况1：截距为0（直线过原点）。设直线方程为，将交点代入，得，解得，方程为，整理得；
情况2：截距不为0（横、纵截距相等且不为0）。设直线方程为（），将交点代入，得，解得，方程为，整理得。
四、解答题
13.解：
(1) 因是边上的高，故。直线的方程为，其斜率为，根据垂直直线斜率互为负倒数，可知的斜率为。
又点的坐标为，由点斜式，整理得直线的方程为。
(2) ① 求点的坐标：的平分线所在直线为（轴），且在上，联立，解得，，故。
② 求直线的斜率：因，故。直线的斜率，根据垂直直线斜率互为负倒数，可知的斜率为。
③ 求直线的方程：由点斜式，整理得。
④ 求点的坐标：点是直线与的交点，联立，将代入，得，解得；将代入，得，故。
综上，直线的方程为（或），点的坐标为。
14.解：
(1) 求直线的方程：
因是边上的高，故。直线的方程为，其斜率为，根据垂直直线斜率互为负倒数，可知的斜率为。
又点的坐标为，由点斜式，整理得直线的方程为。
(2) 求点的坐标：
设点的坐标为，因是的中点，故的坐标为。
又在所在直线上，代入得，整理得。
同时，点在所在直线上，故。
联立，解得，故，中点的坐标为（此步可省略，直接求）。
(3) 求点的坐标：
点是直线与的交点，联立，用第一个方程减第二个方程消去，得，解得；将代入，得，解得，故。
综上，点的坐标为。
15.解：
要使取最小值，根据“对称点法”，可利用“两点之间线段最短”的性质：
(1) 求点关于直线的对称点：
① 求的直线方程：因，的斜率为，故的斜率为；由点，得的方程为，即。
② 求与的交点（即的中点）：联立，将代入，得，解得；将代入，得，故中点为。
③ 求的坐标：设，由中点坐标公式，，解得，，故。
(2) 求与的交点：
直线过和，因两点横坐标相同，故的方程为。
将代入直线的方程，得，解得，故。
综上，当取最小值时，点的坐标为。
第二章 2.3.1两条直线的交点坐标
一、单选题
1.（2025北京一零一中学月考）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标是（ ）
A. (2, 3)
B. (-2, -1)
C. (-4, -3)
D. (0, 1)
3.若直线与直线的交点在第一象限内，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.(2025河南省实验中学月考)若直线，，不能围成一个三角形，则实数的值可以为（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
5.(2024辽宁重点中学协作体期中)已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况，正确的是（ ）
A. 无论，，如何，总有唯一交点
B. 存在，，使之有无穷多个交点
C. 无论，，如何，总是无交点
D. 存在，，使之无交点
6.已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，则直线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.(2025湖南长沙月考）直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（ ）
A. -1
B.
C.
D. 4
8.（2025安徽合肥六校联盟期中）已知直线，则（ ）
A. 直线的一个方向向量为
B. 直线过定点
C. 直线一定过第一象限
D. 若直线不经过第二象限，则
9.(2025江西南昌模考）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. ，使得
三、填空题
10.(2024重庆万州二中教育集团期中)已知为坐标原点，直线与交于点，则的值为________.
11.(2025福建厦门外国语学校月考)过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线的一般式方程为________.
12.过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.
四、解答题
13.(2025河北衡水中学月考)在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为(1, 3)。
(1)求直线的方程；
(2)求直线的方程及点的坐标。
14.(2025福建莆田月考）已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，求点的坐标。
15.(2025广东珠海期中）已知直线和，两点，若点在直线上，则当取最小值时，求点的坐标。
一、单选题
1.答案：A
解析：第一步，求两直线交点。联立方程组，将两式相加消去，得，解得；将代入，得，故交点为。
第二步，求直线斜率。方向向量对应的斜率。
第三步，写直线方程。由点斜式，整理得。
2.答案：A
解析：因点在直线上，设的坐标为。
直线垂直于，而的斜率为，根据垂直直线斜率互为负倒数，可知的斜率为。
由点和，根据斜率公式，即，解得，故的坐标为。
3.答案：C
解析：联立两直线方程，消去得，整理得（，否则两直线平行无交点），故；将代入，得。
因交点在第一象限，需满足：
：，即，解得；
：，即，解得或。
取两不等式的交集，得。
4.答案：ACD
解析：三条直线不能围成三角形，包含三种情况：
① 直线与平行：的斜率为，的斜率为（），由，得；
② 直线与平行：的斜率为，由，得；
③ 三条直线共点：先求与的交点，联立，解得交点为；将代入的方程，得，解得。
综上，的值可为。
5.答案：A
解析：因和在直线上，故，。
将代入，得，整理为；
同理，的方程可整理为。
两直线均过方程组的解，解得定点为。
又因与是不同的点，故与不重合，因此总有唯一交点。
6.答案：A
解析：第一步，求两直线的交点。联立，由第二个方程得，代入第一个方程得，解得；将代入，得，故交点为。
第二步，求直线的斜率。直线的斜率为，因与该直线垂直，故的斜率为（负倒数）。
第三步，写直线的方程。由点斜式，整理得。
二、多选题
7.答案：ACD
解析：三条直线不能构成三角形，包含三种情况：
① 两直线平行：
：的斜率为，的斜率为，由，得；
：的斜率为（），由，得（无对应选项，舍去）；
② 三条直线共点：
先求与的交点，联立，解得交点为（）；
将交点代入的方程，得，整理得，解得或。
综上，的取值可为。
8.答案：BC
解析：
选项A：直线的方向向量为，对于直线，，，故方向向量为，与选项中符号相反，A错误；
选项B：将直线的方程整理为，令，解得，即直线恒过定点，B正确；
选项C：因直线恒过定点，该点在第一象限，故直线一定过第一象限，C正确；
选项D：当时，直线的方程为，即（垂直于轴，过），不经过第二象限，但不满足，故D错误。
9.答案：AB
解析：
选项A：对于集合中的直线，无论取何值，直线均有解（如时，直线为，有无数解；时，直线有无数解），故，A正确；
选项B：当时，集合的直线为，集合的直线为，联立，解得，故，B正确；
选项C：当时，分两种情况：
若：直线无解，即（此时直线为，无实解），此时的直线为，；
若：两直线平行，即（），由得，此时，满足平行，故或，C错误；
选项D：若，则两直线完全相同，需满足，由得，但，矛盾，故不存在这样的，D错误。
三、填空题
10.答案：2
解析：联立两直线方程，求解和：
由第一个方程得，代入第二个方程得，整理得，故；
将代入，得。
计算（为原点）：，化简得。
11.答案：
解析：设直线与的交点为，与的交点为。
因是的中点，故，，即，。
又在上，代入得，即。
联立，解得，即。
直线过和，斜率，由点斜式，整理得。
12.答案：或
解析：第一步，求两直线的交点。联立，由第二个方程得，代入第一个方程得，解得；将代入，得，故交点为。
第二步，分情况讨论截距：
情况1：截距为0（直线过原点）。设直线方程为，将交点代入，得，解得，方程为，整理得；
情况2：截距不为0（横、纵截距相等且不为0）。设直线方程为（），将交点代入，得，解得，方程为，整理得。
四、解答题
13.解：
(1) 因是边上的高，故。直线的方程为，其斜率为，根据垂直直线斜率互为负倒数，可知的斜率为。
又点的坐标为，由点斜式，整理得直线的方程为。
(2) ① 求点的坐标：的平分线所在直线为（轴），且在上，联立，解得，，故。
② 求直线的斜率：因，故。直线的斜率，根据垂直直线斜率互为负倒数，可知的斜率为。
③ 求直线的方程：由点斜式，整理得。
④ 求点的坐标：点是直线与的交点，联立，将代入，得，解得；将代入，得，故。
综上，直线的方程为（或），点的坐标为。
14.解：
(1) 求直线的方程：
因是边上的高，故。直线的方程为，其斜率为，根据垂直直线斜率互为负倒数，可知的斜率为。
又点的坐标为，由点斜式，整理得直线的方程为。
(2) 求点的坐标：
设点的坐标为，因是的中点，故的坐标为。
又在所在直线上，代入得，整理得。
同时，点在所在直线上，故。
联立，解得，故，中点的坐标为（此步可省略，直接求）。
(3) 求点的坐标：
点是直线与的交点，联立，用第一个方程减第二个方程消去，得，解得；将代入，得，解得，故。
综上，点的坐标为。
15.解：
要使取最小值，根据“对称点法”，可利用“两点之间线段最短”的性质：
(1) 求点关于直线的对称点：
① 求的直线方程：因，的斜率为，故的斜率为；由点，得的方程为，即。
② 求与的交点（即的中点）：联立，将代入，得，解得；将代入，得，故中点为。
③ 求的坐标：设，由中点坐标公式，，解得，，故。
(2) 求与的交点：
直线过和，因两点横坐标相同，故的方程为。
将代入直线的方程，得，解得，故。
综上，当取最小值时，点的坐标为。