第12章 全等三角形(培优)(含答案)

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名称 第12章 全等三角形(培优)(含答案)
格式 docx
文件大小 652.4KB
资源类型 试卷
版本资源 华东师大版
科目 数学
更新时间 2025-09-25 19:59:31

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第12章 全等三角形(培优)
一、单选题
1.如图,在等边 中, ,点 在 上,且 ,点 是 上一动点,连结 ,将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 .要使点 恰好落在 上,则 的长是(  )
A. B. C. D.
2.如图,已知分别为的角平分线,,则下列说法正确的有(  )个.


③平分

A.4 B.3 C.2 D.1
3.如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°,恒成立的结论有(  )
A.①③⑤ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②③④⑤
4.如图,等边的边长为5,点D,P,L分别在边,,上,(),按如图方式作边长均为3的等边,,,点F,R.N分别在射线,,上.
结论Ⅰ:当边,,与的三边围成的图形是正六边形时,;
结论Ⅱ:当点D与点B重合时,,,围成的三角形的周长为3.
针对结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是(  )
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对
C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.1对Ⅱ不对
5.如图,在ABC中,AB=AC=2,∠BAC=,D为线段BC边上的动点,以BD为边向上作等边BED,连接CE、AD,则AD+CE的最小值为(  )
A.4 B.2+6 C.+3 D.6
6.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角。如图,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O处相连并可绕点O转动,点C固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动。若∠BDE=75°,则∠CDE的度数为(  )
A.60° B.65° C.75° D.80°
二、填空题
7.如图,△ABC中,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,若∠DAE=28°,则∠BAC=   .
8.如图,为线段上一动点(不与点A,重合),在同侧分别作等边和等边,与交于点,与交于点,与交于点,连接.下列结论①;②;③是等边三角形;④;⑤.其中正确的有   .
9.如图,∠AOB=30°,点P是∠AOB内任意一点,且OP=7,点E和点F分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PEF周长的最小值是    。
10.如图,是边长为2的等边三角形,将沿直线翻折,得到,再将在直线上平移,得到.连接,则的周长的最小值是   .
11.如图,等腰,,,于点D,点P是延长线上一点,点O是线段上一点,,下面的结论:①;②;③;④其中正确的是   .(填序号)
12.如图,是边长为2的等边三角形,点E为中线上的动点.连接,将绕点C顺时针旋转得到.连接,,则周长的最小值是   .
三、计算题
13.如图1,点O为直线上一点,为射线,,将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处,直角边与直线重合.
(1)如图1,在内部,过点O作射线,使得,求的度数.
(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周,射线平分,在旋转的过程中,是否存在某个时刻t(秒),使得,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,平分,将三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转,若射线从出发绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转,设三角尺与射线运动时间为,在旋转过程中,若与始终满足(a与b为常数),求的值.
14.综合与实践
问题情境
在数学活动课上,老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动.发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似,甚至它们在计算的方法上也有类似之处,它们之间的题目可以转换,解法可以互相借鉴.如图1,点是线段上的一点,是的中点,是的中点.
图1 图2 图3
(1)问题探究
①若,,求的长度;(写出计算过程)
②若,,则___________;(直接写出结果)
(2)继续探究
“创新”小组的同学类比想到:如图2,已知,在角的内部作射线,再分别作和的角平分线,.
③若,求的度数;(写出计算过程)
④若,则_____________;(直接写出结果)
(3)深入探究
“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出:如图3,若,在角的外部作射线,再分别作和的角平分线,,若,则__________.(直接写出结果)
15.【探究发现】
如图①,点,在线段上,点,分别是,的中点.
(1)若,,,求的长;
(2)若,,则 ;
(3)若,,则 ;(用含,的代数式表示)
【类比应用】
如图②,射线,在内部,,分别平分,.
(4)若,,则 ;
(5)若,,则 .(用含,的代数式表示)
16.如图1,O为直线上一点,过点O作射线,使.现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处,一边与射线重合,如图2.
(1)______;
(2)如图3,将三角板绕点O逆时针旋转一定角度,此时是的平分线,求的度数;
(3)将三角板绕点O逆时针旋转,在与重合前,是否有某个时刻满足?如果有,求此时的度数;如果没有,请说明理由.
四、解答题
17.已知点P是线段MN上一动点,分别以PM,PN为一边,在MN的同侧作△APM,△BPN,并连接BM,AN.
(1)如图1,当PM=AP,PN=BP且∠APM=∠BPN=90°时,试猜想BM,AN之间的数量关系与位置关系,并证明你的猜想;
(2)如图2,当△APM,△BPN都是等边三角形时,(Ⅰ)中BM,AN之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,试说明理由.
(3)在(2)的条件下,连接AB得到图3,当PN=2PM时,求∠PAB度数.
18.如图,在中,,于,点、分别在线段、上,且平分,与交于点.
(1)当、是等腰三角形时,求的大小;
(2)当,,求的大小.
19.已知,射线OP从OB出发,绕O逆时针以1°/秒的速度旋转,射线OQ从OA出发,绕O顺时针以3°/秒的速度旋转,两射线同时出发,运动时间为t秒
(1)当秒时,求;
(2)当,求的值;
(3)射线OP,OQ,OB,其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线,求t的值.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】三角形内角和定理;三角形全等及其性质;三角形全等的判定;等边三角形的性质;旋转的性质
2.【答案】B
【知识点】平行线的判定;角平分线的性质;内错角的概念;同旁内角的概念
3.【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质
4.【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
5.【答案】A
【知识点】两点之间线段最短;等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SAS
6.【答案】D
【知识点】三角形内角和定理;三角形外角的概念及性质;等腰三角形的性质
7.【答案】104°
【知识点】线段垂直平分线的性质
8.【答案】①②③④⑤
【知识点】三角形内角和定理;三角形外角的概念及性质;三角形全等及其性质;等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SAS;三角形全等的判定-ASA;全等三角形中对应边的关系;全等三角形中对应角的关系;内错角相等,两直线平行
9.【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的性质
10.【答案】
【知识点】等边三角形的性质;翻折变换(折叠问题);平移的性质
11.【答案】①④
【知识点】三角形全等及其性质;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质
12.【答案】
【知识点】等边三角形的性质;轴对称的性质;旋转的性质;三角形全等的判定-SAS
13.【答案】(1)
(2)或
(3)当时,;当时,
【知识点】角的运算;余角、补角及其性质;角平分线的性质;旋转的性质
14.【答案】(1)①3;②;(2)③40;④40;(3)
【知识点】角平分线的性质;线段的和、差、倍、分的简单计算
15.【答案】(1);(2);(3);(4);(5)
【知识点】角的运算;角平分线的性质;线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
16.【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】角的运算;余角、补角及其性质;角平分线的性质;旋转的性质
17.【答案】(1)解:结论:BM=AN,BM⊥AN.
理由:如图1中,
∵MP=AP,∠APM=∠BPN=90°,PB=PN,
∴△MBP≌△ANP (SAS),
∴MB=AN.
延长MB交AN于点C.
∵△MBP≌△ANP,
∴∠PAN=∠PMB,
∵∠PAN+∠PNA=90°,
∴∠PMB+∠PNA=90°,
∴∠MCN=180°-∠PMB-∠PNA=90°,
∴BM⊥AN.
(2)解:结论成立
理由:如图2中,
∵△APM,△BPN,都是等边三角形
∴∠APM=∠BPN=60°
∴∠MPB=∠APN= 120°,
又∵PM=PA,PB=PN,
∴△MPB≌△APN (SAS)
∴MB=AN.
(3)解:如图3中,取PB的中点C,连接AC,AB.
∵△APM,△PBN都是等边三角形
∴∠APM=∠BPN=60°,PB= PN
∵点C是PB的中点,且PN=2PM,
∴2PC=2PA=2PM=PB=PN,
∵∠APC= 60°,
∴△APC为等边三角形,
∴∠PAC=∠PCA= 60°,
又∵CA= CB,
∴∠CAB=∠ABC= 30°,
∴∠PAB=∠PAC+∠CAB= 90°.
【知识点】等边三角形的性质;等边三角形的判定;三角形全等的判定-SAS
18.【答案】(1)解:∵平分,
∴,
设,
当是等腰三角形时,分三种情况求解;
当时,,
∵,,

解得,,
∴;
当时,,
∴,
解得,,
∴;
当时,,
方程无解,此时不成立;
综上所述,的大小为或;
(2)解:∵,,,
∴是等边三角形,,
∴,为的垂直平分线,
如图,连接,
∴,
∴,
同理(1),设,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∴的大小为.
【知识点】三角形内角和定理;三角形外角的概念及性质;等腰三角形的性质;等边三角形的判定与性质;角平分线的概念
19.【答案】(1);(2)当或60时,;(3)当或时,、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线
【知识点】角的运算;角平分线的性质
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