第12章 全等三角形（培优）（含答案）
文档属性
| 名称 | 第12章 全等三角形（培优）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 652.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-25 19:59:31 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第12章 全等三角形（培优）
一、单选题
1．如图，在等边 中， ，点 在 上，且 ，点 是 上一动点，连结 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．要使点 恰好落在 上，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（ ）个．
①
②
③平分
④
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成立的结论有（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
4．如图，等边的边长为5，点D，P，L分别在边，，上，（），按如图方式作边长均为3的等边，，，点F，R．N分别在射线，，上．
结论Ⅰ：当边，，与的三边围成的图形是正六边形时，；
结论Ⅱ：当点D与点B重合时，，，围成的三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．1对Ⅱ不对
5．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（ ）
A．4 B．2+6 C．+3 D．6
6．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角。如图，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O处相连并可绕点O转动，点C固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动。若∠BDE=75°，则∠CDE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
二、填空题
7．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，若∠DAE=28°，则∠BAC= .
8．如图，为线段上一动点（不与点A，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的有 ．
9．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内任意一点，且OP=7，点E和点F分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PEF周长的最小值是 。
10．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ．
11．如图，等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④其中正确的是 ．（填序号）
12．如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，，则周长的最小值是 ．
三、计算题
13．如图1，点O为直线上一点，为射线，，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，直角边与直线重合．
（1）如图1，在内部，过点O作射线，使得，求的度数．
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，射线平分，在旋转的过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，平分，将三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，若射线从出发绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设三角尺与射线运动时间为，在旋转过程中，若与始终满足（a与b为常数），求的值．
14．综合与实践
问题情境
在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动．发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点．
图1 图2 图3
（1）问题探究
①若，，求的长度；（写出计算过程）
②若，，则___________；（直接写出结果）
（2）继续探究
“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作和的角平分线，．
③若，求的度数；（写出计算过程）
④若，则_____________；（直接写出结果）
（3）深入探究
“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线，，若，则__________．（直接写出结果）
15．【探究发现】
如图①，点，在线段上，点，分别是，的中点．
（1）若，，，求的长；
（2）若，，则 ；
（3）若，，则 ；（用含，的代数式表示）
【类比应用】
如图②，射线，在内部，，分别平分，．
（4）若，，则 ；
（5）若，，则 ．（用含，的代数式表示）
16．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2．
（1）______；
（2）如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数；
（3）将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由．
四、解答题
17．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（1）如图1，当PM=AP，PN=BP且∠APM=∠BPN=90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，(Ⅰ)中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（3）在(2)的条件下，连接AB得到图3，当PN=2PM时，求∠PAB度数．
18．如图，在中，，于，点、分别在线段、上，且平分，与交于点．
（1）当、是等腰三角形时，求的大小；
（2）当，，求的大小．
19．已知，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒
（1）当秒时，求；
（2）当，求的值；
（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；旋转的性质
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质；内错角的概念；同旁内角的概念
3．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
5．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
7．【答案】104°
【知识点】线段垂直平分线的性质
8．【答案】①②③④⑤
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
9．【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
10．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；平移的性质
11．【答案】①④
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
13．【答案】（1）
（2）或
（3）当时，；当时，
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的性质；旋转的性质
14．【答案】（1）①3；②；（2）③40；④40；（3）
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
15．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【知识点】角的运算；角平分线的性质；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
16．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的性质；旋转的性质
17．【答案】（1）解：结论：BM=AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP=AP，∠APM=∠BPN=90°，PB=PN，
∴△MBP≌△ANP (SAS)，
∴MB=AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN=∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA=90°，
∴∠PMB+∠PNA=90°，
∴∠MCN=180°-∠PMB-∠PNA=90°，
∴BM⊥AN．
（2）解：结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM=∠BPN=60°
∴∠MPB=∠APN= 120°，
又∵PM=PA，PB=PN，
∴△MPB≌△APN (SAS)
∴MB=AN．
（3）解：如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM=∠BPN=60°，PB= PN
∵点C是PB的中点，且PN=2PM，
∴2PC=2PA=2PM=PB=PN，
∵∠APC= 60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC=∠PCA= 60°，
又∵CA= CB，
∴∠CAB=∠ABC= 30°，
∴∠PAB=∠PAC+∠CAB= 90°．
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
18．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
设，
当是等腰三角形时，分三种情况求解；
当时，，
∵，，
，
解得，，
∴；
当时，，
∴，
解得，，
∴；
当时，，
方程无解，此时不成立；
综上所述，的大小为或；
（2）解：∵，，，
∴是等边三角形，，
∴，为的垂直平分线，
如图，连接，
∴，
∴，
同理（1），设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的大小为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的概念
19．【答案】（1）；（2）当或60时，；（3）当或时，、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线
【知识点】角的运算；角平分线的性质
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第12章 全等三角形（培优）
一、单选题
1．如图，在等边 中， ，点 在 上，且 ，点 是 上一动点，连结 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．要使点 恰好落在 上，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（ ）个．
①
②
③平分
④
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成立的结论有（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
4．如图，等边的边长为5，点D，P，L分别在边，，上，（），按如图方式作边长均为3的等边，，，点F，R．N分别在射线，，上．
结论Ⅰ：当边，，与的三边围成的图形是正六边形时，；
结论Ⅱ：当点D与点B重合时，，，围成的三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．1对Ⅱ不对
5．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（ ）
A．4 B．2+6 C．+3 D．6
6．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角。如图，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O处相连并可绕点O转动，点C固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动。若∠BDE=75°，则∠CDE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
二、填空题
7．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，若∠DAE=28°，则∠BAC= .
8．如图，为线段上一动点（不与点A，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的有 ．
9．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内任意一点，且OP=7，点E和点F分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PEF周长的最小值是 。
10．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ．
11．如图，等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④其中正确的是 ．（填序号）
12．如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，，则周长的最小值是 ．
三、计算题
13．如图1，点O为直线上一点，为射线，，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，直角边与直线重合．
（1）如图1，在内部，过点O作射线，使得，求的度数．
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，射线平分，在旋转的过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，平分，将三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，若射线从出发绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设三角尺与射线运动时间为，在旋转过程中，若与始终满足（a与b为常数），求的值．
14．综合与实践
问题情境
在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动．发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点．
图1 图2 图3
（1）问题探究
①若，，求的长度；（写出计算过程）
②若，，则___________；（直接写出结果）
（2）继续探究
“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作和的角平分线，．
③若，求的度数；（写出计算过程）
④若，则_____________；（直接写出结果）
（3）深入探究
“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线，，若，则__________．（直接写出结果）
15．【探究发现】
如图①，点，在线段上，点，分别是，的中点．
（1）若，，，求的长；
（2）若，，则 ；
（3）若，，则 ；（用含，的代数式表示）
【类比应用】
如图②，射线，在内部，，分别平分，．
（4）若，，则 ；
（5）若，，则 ．（用含，的代数式表示）
16．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2．
（1）______；
（2）如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数；
（3）将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由．
四、解答题
17．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（1）如图1，当PM=AP，PN=BP且∠APM=∠BPN=90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，(Ⅰ)中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（3）在(2)的条件下，连接AB得到图3，当PN=2PM时，求∠PAB度数．
18．如图，在中，，于，点、分别在线段、上，且平分，与交于点．
（1）当、是等腰三角形时，求的大小；
（2）当，，求的大小．
19．已知，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒
（1）当秒时，求；
（2）当，求的值；
（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；旋转的性质
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质；内错角的概念；同旁内角的概念
3．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
5．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
7．【答案】104°
【知识点】线段垂直平分线的性质
8．【答案】①②③④⑤
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
9．【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
10．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；平移的性质
11．【答案】①④
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
13．【答案】（1）
（2）或
（3）当时，；当时，
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的性质；旋转的性质
14．【答案】（1）①3；②；（2）③40；④40；（3）
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
15．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【知识点】角的运算；角平分线的性质；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
16．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的性质；旋转的性质
17．【答案】（1）解：结论：BM=AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP=AP，∠APM=∠BPN=90°，PB=PN，
∴△MBP≌△ANP (SAS)，
∴MB=AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN=∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA=90°，
∴∠PMB+∠PNA=90°，
∴∠MCN=180°-∠PMB-∠PNA=90°，
∴BM⊥AN．
（2）解：结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM=∠BPN=60°
∴∠MPB=∠APN= 120°，
又∵PM=PA，PB=PN，
∴△MPB≌△APN (SAS)
∴MB=AN．
（3）解：如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM=∠BPN=60°，PB= PN
∵点C是PB的中点，且PN=2PM，
∴2PC=2PA=2PM=PB=PN，
∵∠APC= 60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC=∠PCA= 60°，
又∵CA= CB，
∴∠CAB=∠ABC= 30°，
∴∠PAB=∠PAC+∠CAB= 90°．
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
18．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
设，
当是等腰三角形时，分三种情况求解；
当时，，
∵，，
，
解得，，
∴；
当时，，
∴，
解得，，
∴；
当时，，
方程无解，此时不成立；
综上所述，的大小为或；
（2）解：∵，，，
∴是等边三角形，，
∴，为的垂直平分线，
如图，连接，
∴，
∴，
同理（1），设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的大小为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的概念
19．【答案】（1）；（2）当或60时，；（3）当或时，、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线
【知识点】角的运算；角平分线的性质
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)