第11章 整式的乘除（培优）(含答案）

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第11章 整式的乘除（培优）
一、单选题
1．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值是（　　）
A． B． C． D．
2．若有两个整式，．下列结论中，正确的有（　　）
①当为关于的三次三项式时，则；
②当多项式乘积不含时，则；
③；
④当能被整除时，；
⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则．
A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤
3．现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图所示，将两个正方形并列放置，其中B、C、E三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上，已知，，则阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
5．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（　　）
A．10+6 B．10+10 C．10+4 D．24
6．已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是　 　（填序号）．
8．已知a+10=b+12=c+15，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=　 　．
9．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是　 　．
10．设，，…，，是从，，这三个数取值的一组数，若，则，，…，，中为的个数为　 　．
11．对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：．在、中选出“和对称数”，并计算相应的　 　；已知，均为“和对称数”，其中，（其，，，且均为整数），令，若k能被13整除，则当取最小值时，　 　．
12．已知2×8m×16m=222，则(-m2)4÷(m3·m2)的值为　 　.
三、计算题
13．解下列关于的不等式：
（1）；
（2）．
14．探索规律，回答下列问题.
（1）
………
（2）根据规律，若 ；求 的值.
（3）拓展：若 ；求 的值.
15．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
图2中的阴影部分的正方形的边长是 ．
请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并写出下列三个代数式：之间的等量关系；
利用中的结论计算：，求的值；
根据中的结论，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值．
16．使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题
（1）已知，求的值
（2）计算：（写计算过程）
（3）设a，b，c，d都是正整数，并且，，求的值．
四、解答题
17．计算：
（1）已知am=2，an=4，ak=32，求a3m+2n-k的值．
（2）已知xm=5，xm+n=125，求x2m-n的值．
（3）已知9m÷32m+2=()n，求n的值．
（4）已知4×16m×64m=421，则(-m2)3÷(m3·m2)的值.
18．利用我们学过的完全平方公式：，可以导出下面这个等式：
该等式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐性、简洁美．
（1）请尝试把上面等式从左到右进行推导，验证其正确性；
（2）利用上面等式进行计算：
．
19．已知，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
2．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；完全平方公式及运用
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
6．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
7．【答案】①②③
【知识点】同底数幂的乘法
8．【答案】19
【知识点】完全平方公式及运用
9．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
10．【答案】25
【知识点】完全平方公式及运用；二元一次方程组的其他应用
11．【答案】；
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
12．【答案】27
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
13．【答案】（1）解：，
去分母，得．
整理，得．
所以或．
解得或；
（2）解：，
无解，
．
．
．
或．
或无解．
综上所述，原不等式的解为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；因式分解的应用-简便运算
14．【答案】（1）解：
…
由上式可得规律：两个数和的平方，等于这两个数分别平方的和再加2与这两个数的乘积，
；
（2）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ＝4，
∴ ；
（3）解：∵由(1)得： ，
∴ ＝14，
∴（ ）2＝ +2+＝16，
∴（ ）2＝16，
又∵x>0，
∴ = 4 .
【知识点】完全平方公式及运用
15．【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4)4，12
【知识点】完全平方公式的几何背景
16．【答案】（1）
（2）6
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）
17．【答案】（1）解：∵ am=2，an=4，ak=32，
∴a3m+2n-k=a3m·a2n÷ak=(am)3·(an)2÷ak=23×42÷32=16.
（2）解：∵xm=5，xm+n=xm·xn=125，
∴xn=25，
∴x2m-n=x2m÷xn=（xm）2÷xn=52÷25=1.
（3）解： ∵9m÷32m+2=()n，
∴（32）m÷32m+2=(3-1)n，
∴32m÷32m+2=3-n，
∴32m-2m+2=32=3-n，
∴-n=2，
n=-2.
（4）解：∵ 4×16m×64m=421，
∴4×42m×43m=41+2m+3m=421，
∴1+2m+3m=21，
解得：m=4.
(-m2)3÷(m3·m2)=-m6÷m5=-m=-4.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
18．【答案】（1）解：
原式=
（2）解：
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用
19．【答案】14
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
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