青海省西宁市大通县2026届高三上学期开学摸底考试数学试卷（PDF版，含解析）

所以smA=sm2B=2 Bsin Bos B=2×9×是-3号
8
6分
(2)由(1)知c0sA=c0s2B=2c0s2B-1=2×(子）'-1=日，
8分
由余弦定理，得a2=P+2-20sA,即(）=+52-2bX5×g,
所以(b一4)(b十5)=0，解得b=4(b=-5舍去)，…
11分
所以a=6.…
13分
2=1
16.解：(1)由题意得
a
3,
4分
c=√a2+6=14,
解得a=3,6=5,放双曲线E的方程为写一苦=1
7分
4，
(2)联立
解得y=土35
11分
9
5=1
所以四边形BBFC的面积S=|EF,1·|x=24×35=6Vo.
…15分
17.(1)证明：因为PD⊥平面ABP,ABC平面ABP,所以AB⊥PD,…
…2分
又AB⊥AD,AD∩PD=D,AD,PDC平面APD,所以AB⊥平面APD,
…4分
因为ABC平面ABD,所以平面ABD平面APD.…6分
(2)解：以点A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴，y轴，过点A且垂直
于平面ABD的直线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知之轴在
平面APD内.因为PD⊥平面ABP,APC平面ABP,所以PD⊥AP,
又PD=1,AD=.所以AP=E,所以P(o.25,5),
8分
又A(0,0,0),B(1,0,0),D0W5,0)
所以=10.0，驴-(-1,29).ò-(-1w30)
…10分
1m…B2=0,
设平面BPD的法向量是m=(x,.则m·市=0
即
3y+
-x+3y=0,
令=5，则y=1=号.所以平面BPD的一-个法向量为m=(5,1号)
…12分
设直线AB与平面BPD所成角为0，则s血0=|os(A成，m1=店，m
1ABI Iml
W3+1+2
即直线AB与平面BPD所成角的正弦值是」
3
15分
18.解：(1)f(x)=x2十2a.x十b,…
2分
由题意，得一2和3是关于x的方程f(x)=0的两根，…
3分
-2+3=-2a,
la=-
由韦达定理，得
解得
2
-2×3=b,
b=-6,
【高三开学摸底考试·数学参考答案第3页（共4页）】
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此时f(x)=x2一x-6=(x-3)(x十2).
………6分
当x<-2时，f(x)>0:当-23时，f(x)>0,
所以f(x)在（一∞，一2）和(3，十∞)上单调递增，在（一2,3）上单调递减，
所以x=一2是f(x)的极大值点，x=3是f(x)的极小值点，符合题意，
综上，fx)=号x-2r-6x
8分
(注：如果不进行验证，扣2分.)
(2)直线y=一4x十c与曲线y=f(x)有且仅有两个公共点，等价于关于x的方程f(x)=一4x十c仅有两个
实根，即关于x的方程了-2-2红一c=0仅有两个实根.…
10分
设g)=号2-合2-2x-c,则g(x)=x2--2=（(x-20(x+1D.
12分
当x<-1时，g(x)>0:当-12时，g(x)>0,
所以g(x)在（一∞，一1）和(2，+∞)上单调递增，在（一1,2）上单调递减，
所以x=一1是g(x)的极大值点，x=2是g(x)的极小值点，
且-1)=名
-c,g(2)=一
3
15分
[
6
一c=0,
6
-c>0,
根据题意，得
或
1
解得c=子或c=-
3
17分
3
-c<0,
3
-c=0,
19.解：(1)零假设H:选择市外游或市内游与性别无关联。
由列联表中的数据，得X=40X42X》≈3.636<3.841=，
20×20×22×18
…2分
所以依据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，故可推断H成立，
即“十一假期”选择市外游或市内游与性别无关联.
…3分
(2)①记事件A:小林同学第一次就餐选择了甲餐厅，事件B:小林同学第二次就餐选择了乙餐厅，
则P(A)=PCA)=合P(BA)=号，P(BA)=1-3=号
6分
所以P(B)=P(A)P(BA)+P(A)·P(B)=合X告+×号-是
…8分
即小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率为号，
…9分
②由题得Q,=Q,=+子×是号，
10分
当n>3时，Q=是Q-1十Q-2,
所以Q十Q-1=Q-1+子Q.-2故{Q十子Q}为常数数列.
13分
又Q+Q=是+子×是=1，所以Q1+Q.=1,放Q1-号=-}(Q,-号)，
所以Q。一号}是以-为首项，一十为公比的等比数列，
16分
所以Q-音=动×(-)放Q=专-0×(-十)
17分
【高三开学摸底考试·数学参考答案第4页（共4页）】
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