小题精练39 分布列、期望与方差
(分值：73分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·濮阳模拟]已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
设Y＝3X－2，则E(Y)＝( )
A. B.
C.－ D.－
2.[2025·西安模拟]已知某随机变量X的分布列如表，则随机变量X的方差D(X)＝( )
X 0 20 40
P m 2m m
A.120 B.160
C.200 D.260
3.[2025·岳阳模拟]课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量ξ表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为＋的是( )
A.P(ξ≤1) B.P(ξ＝1)
C.P(ξ>1) D.P(ξ>2)
4.[2025·江西抚州模拟]近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1 617，2 106，2 329，2 896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量X＝；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量X＝1，则E(X)＝( )
A. B.
C. D.
5.[2025·长春模拟]某直播间有主播共8人，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为( )
A. B.
C. D.
6.[2025·上海徐汇模拟]某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k)，根据统计得到p(k)＝则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为( )
A. B.
C. D.
7.[2025·徐州模拟]不透明口袋中有n个相同的黑色小球和红色、白色、蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，ξ表示当n＝2时取出黑球的数目，η表示当n＝3时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是( )
A.E(ξ)
E(η)，D(ξ)C.E(ξ)D(η) D.E(ξ)>E(η)，D(ξ)>D(η)
8.[2025·龙岩模拟]已知随机变量ξ所有可能的取值为x，y，且P(ξ＝x)＝y，P(ξ＝y)＝x，则下列说法正确的是( )
A.存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B.对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C.存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>E(ξ) D.对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2025·泰州模拟]袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是( )
A.E(Y)＝2E(X) B.P(|Z－5|≤1)＝
C.E(Z)＝4 D.D(Z)＝
10.[2025·长春模拟]一个不透明的袋子中装有6个球，其中有n个白球(n∈N*)，其他均为黑球，这些球除颜色外，大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则( )
A.n＝3 B.P(X＝1)>P(X＝2)
C.E(X)＝ D.D(X)＝
11.[2025·常州模拟]“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X的所有可能取值为1，2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1，2，…，n)，pi＝1，定义X的信息熵H(X)＝－ (pilog3pi)，则下列说法中正确的是( )
A.当n＝1时，H(X)＝0
B.当n＝3且pi＝(i＝1，2，3)时，H(X)＝1
C.若pi＝(i＝1，2，…，n)，则H(X)随着n的减小而减小
D.当n＝2时，H(X)随着p1的增大而减小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2025·无锡模拟]设随机变量X的概率分布列如下，且P(X≤0)＝，则X的方差D(X)＝________.
X －1 0 1
P m n
13.[2025·泉州模拟]某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化.产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量ξ，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应ξ的值为1，2，3，4，其中优秀产品的数量是良好产品的数量的两倍，合格产品的数量是良好产品的数量的一半，不合格产品的数量与合格产品的数量相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则P(ξ>1)＝________.
14.[2025·广州模拟]设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ为两条棱上两点(不在同一条棱上)间距离的最小值，则随机变量ξ的所有可能取值有________，ξ的数学期望为________.小题精练答案精析
小题精练1 集 合
1.B [因为U＝{0，1，2，4}，A＝{1，4}， UA＝{0，2}.故选B.]
2.B [由题意B＝＝，所以A∩B＝∩＝.故选B.]
3.A [由x＋1<0得x<－1，故A＝{x|x<－1}，又B＝{x|－2≤x≤2}，所以A∪B＝(－∞，2]，故选A.]
4.D [因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6)}，
所以A∪B＝{x|－1≤x≤6)}，
所以图中阴影部分表示的集合
U＝或.故选D.]
5.B [由题意知U＝{－2，0，1，2，3}，A∩B＝{－2，1}，
所以 U(A∩B)＝{0，2，3}.故选B.]
6.B [集合A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，
集合B＝{a＋1，a－1，3}，若A B，又a＋1>a－1，
所以解得a＝0.故选B.]
7.C [由题意知A＝{x|－1≤x≤3}，由B A，得解得－1≤t≤1且t≠0.故实数t的取值范围是[－1，0)∪(0，1].故选C.]
8.D [根据并集的运算可知：A∪A＝A，A∩ ＝ ，故AB均成立；
对C：设x∈∩，则x∈ UA且x∈ UB，
所以x A且x B，从而x A∪B，所以x∈ U，
所以∩ U；
设x∈ U，则x A∪B，所以x A且x B，
所以x∈ UA且x∈ UB，所以x∈∩，
所以 U ∩，
所以∩＝ U，故C成立；
对D：由空集的定义可知0∈ 不成立.故选D.]
9.ACD [依题U＝{x∈Z|(x－1)(x＋3)≤0}＝{x∈Z|－3≤x≤1}＝{－3，－2，－1，0，1}，B＝{－1，1}，
而 UA有4个子集，A∩B＝ ，故A＝{－3，－2，0}，
故集合A有7个真子集，B错误，
1 A，－3∈A，A∪B＝U，ACD均正确.故选ACD.]
10.BD [对于选项A和B，{x|x＋3>0}＝{x|x>－3}，{x|x－a<0}＝{x|x若{x|x>－3}∩{x|x则a的取值范围是a≤－3，所以A错误，B正确；
对于选项C和D，若{x|x>－3}∪{x|x则a的取值范围是a>－3，所以D正确，C错误.故选BD.]
11.AB [对于A，因为A?B＝B，
所以B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
所以A B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝ ，即A正确；
对于B，因为A?B＝ ，所以 ＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，B正确；
对于C，因为A?B A，所以{x|x∈A∪B，x A∩B} A，
所以B A，即C错误；
对于D，由于 RA RB＝{x|x∈ RA∪ RB，x RA∩ RB}＝{x|x∈ R(A∩B)，x R(A∪B)}＝{x|x∈A∪B，x A∩B}而A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，故A B＝ RA RB，即D错误.故选AB.]
12.2 [由x－y∈A知，x－y>0，
故当x＝2时，y＝1时可满足x－y＝1∈A，
当x＝4时，y＝2可满足x－y＝2∈A，x＝4时，y＝1，x－y＝3，x＝4时，y＝4，x－y＝0均不满足x－y∈A，
所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2个.]
13.(0，1)∪(1，3) [N＝{x||x－a|<1}，则－11，－1＋a>－1，
若M∩N＝{0}，则解得014.①③ [对于①：J(S2，S4)＝1－＝1，
所以|S2∩S4|＝0，所以S2∩S4＝ ，
又S2＝{地理，物理，化学}，所以S4＝{思想政治，历史，生物}，①正确；
对于②：J(S1，S2)＝J(S1，S4)，即＝＝＝，所以2|S1∩S4|＝|S1∪S4|，
所以|S1∪S4|必为偶数，又3≤|S1∪S4|≤6，当|S1∪S4|＝6时，|S1∩S4|＝| |＝0，不符合2|S1∩S4|＝|S1∪S4|，
所以|S1∪S4|＝4，且|S1∩S4|＝2，
此时S4情况较多，比如S4＝{物理，地理，生物}，②错误；
对于③：若S4＝{思想政治，物理，生物}，则J(S1，S4)＝1－＝，J(S2，S4)＝1－＝，J(S3，S4)＝1－＝，
所以J(S1，S4)对于④：当S4＝{物理，地理，历史}时，J(S1，S4)＝1－＝，
J(S2，S4)＝1－＝，J(S3，S4)＝1－＝，
满足J(S1，S4)>J(S2，S4)＝J(S3，S4)，但不是S4＝{思想政治，地理，化学}，④错误.
故选①③.]
小题精练2 常用逻辑用语
1.D [命题p： x∈，sin x则綈p为： x∈，sin x≥x.故选D.]
2.A [由(a－6)(a＋1)<0，得－1因为(2，3)是(－1，6)的真子集，
所以23.B [ln(x－1)<0等价于0因为10，而x>0不能推出1所以x>0是1故选B.]
4.D [全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被4整除的整数不是偶数”.故选D.]
5.B [当a＝1时，A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则A B；反之，当A B时，a＋1＝0或a－1＝0，解得a＝－1或a＝1，若a＝－1，A＝{0，1}，B＝{0，1，－2}，满足A B，若a＝1，显然满足A B，因此a＝－1或a＝1，所以“a＝1”是“A B”的充分不必要条件.故选B.]
6.A [条件p：1<2x<4，即p：0x－在07.C [对命题p，因为sin＝1>，故p为真命题；
对命题q，当x＝2 024时，(2 024－2 024)2 024＝0，故q为假命题；故选C.]
8.C [因为a>0，所以函数f(x)＝ax2－bx的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：x＝－＝，函数的最小值为f().
若“x0是方程ax＝b的解”，则x0＝，那么f(x0)＝f()就是函数f(x)的最小值，
所以“ x∈R，f(x)≥f(x0)”，即“x0是方程ax＝b的解”是“ x∈R，f(x)≥f(x0)”的充分条件；
若“ x∈R，f(x)≥f(x0)”，则f(x0)为函数f(x)的最小值，所以x0＝，即ax0＝b，
所以“x0是方程ax＝b的解”，故“x0是方程ax＝b的解”是“ x∈R，f(x)≥f(x0)”的必要条件.综上可知：“x0是方程ax＝b的解”的充要条件是“ x∈R，f(x)≥f(x0)”.故选C.]
9.ABD [对于A，当a＞1时，<1，充分性成立；当<1时，有a<0或a>1，必要性不成立，所以“a>1“是“<1”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“ x<1，x2<1”的否定是“ x<1，x2≥1”，故B正确；
对于C，x，y∈R，则“x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，充分性成立；x2＋y2≥4时，不能得出x≥2且y≥2，必要性不成立，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，设a，b∈R，a≠0时，不能得出ab≠0，充分性不成立；“ab≠0”时，得出a≠0，必要性成立，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确.故选ABD.]
10.BCD [ 1≤x≤3，x2－a≤0，则a≥x2对 1≤x≤3都成立，又x2≤9，所以a≥9，故“ 1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.故选BCD.]
11.BCD [对于AC，当x>0时， x>0，ex>1，cos x≤1，所以 x>0，
ex>cos x，故A正确，C错误；
对于B，当a＝0，b＝－1时，a2＝0<1＝b2，故B错误；
对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋b)2＋b2]，因为a>b，所以a3－b3＝(a－b)[(a＋b)2＋b2]>0，故D错误.故选BCD.]
12.充分不必要 [因为A是B的必要不充分条件，所以B A，但AB；A是C的充分不必要条件，所以A C，但CA，D是B的充要条件，所以D B，
所以D B A C，但CD，故D是C的充分不必要条件.]
13.(－∞，－1) [p的否定为：任意m∈[－1，1]，使得函数f(x)＝x2－2mx在区间[a，＋∞)内不单调，由函数f(x)＝x2－2mx在(－∞，m)上单调递减，在(m，＋∞)上单调递增，则a14.(1，2] [由题意可知：[k＋1，3k－1] [－2，5]且3k－1>k＋1，所以解得1小题精练3 不等式
1.B [不等式<0化为：(2x＋3)(3x－2)<0，解得－2.B [对于A，可以取a＝2，b＝1，c＝－1，此时<，所以A错误.
对于B：∵c>d，∴－d>－c，因为a>b，所以a－d>b－c，故B正确；
对于C：取a＝－2，b＝－1时，则a2＝4，ab＝2，b2＝1，则a2>ab>b2，
故C错误；
对于D：当a＝1，b＝－1时，＝，＝1，则<，故D错误；故选B.]
3.B [由已知可得1、2为方程x2＋mx＋n＝0的根，由韦达定理可得：解得：故选B.]
4.B [对于A，a(1－a)＝－＋≤，当且仅当a＝时取等号，
所以a(1－a)≤，故A正确；
对于B，当a<0时，a＋<0<2，故B错误；
对于C，|a－1|＋|a＋2|≥|(a－1)－(a＋2)|＝3，
当且仅当(a－1)(a＋2)≤0，即－2≤a≤1时，取等号，所以|a－1|＋|a＋2|≥3，故C正确；
对于D，因为sin a∈[－1，1]，所以2＋sin a∈[1，3]，则sin a＋＝
2＋sin a＋－2≥2－2＝0，
当且仅当2＋sin a＝，即sin a＝－1时，取等号，所以sin a＋≥0，故D正确.
故选B.]
5.A [由x>y>z，aax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)<0，
故ax＋by＋czay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)>0，
故ay＋bz＋cx>ay＋bx＋cz；
ax＋by＋cz－(ay＋bx＋cz)＝a(x－y)＋b(y－x)＝(x－y)(a－b)<0，
故ax＋by＋cz6.C [依题意，28×27≈×28＋×27＝，则≈≈3.037.故选C.]
7.A [因为y＝x＋为奇函数，所以函数图象关于(0，0)中心对称，函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数f(x)＝x＋的图象，所以f(x)的对称中心为(1，1)，所以a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝2b＝时，等号成立，所以＋的最小值为9.故选A.]
8.D [因为m，n为正数，则(m＋n)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当n＝3m时，等号成立，因为m＋n＋＝m＋n＋＋＝10，所以在等式m＋n＋＋＝10两边同时乘以m＋n，可得：
10(m＋n)＝(m＋n)2＋(m＋n)(＋)≥(m＋n)2＋16，即(m＋n)2－10(m＋n)＋16≤0，解得2≤m＋n≤8.当且仅当时，即当时，m＋n取得最大值8.故选D.]
9.AD [对于A，由0>c>d和不等式性质可得c2对于B，因a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故B错误；
对于C，因a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故C错误；
对于D，因为a>b>0，所以0<<，又因0>c>d则0<－c<－d，
由不等式的性质得，－<－，故－>0，故D正确.故选AD.]
10.AD [对于A，若ac2>bc2，则c2>0，故有a>b，A正确；
对于B，＋≥2或＋≤－2，因为的正负不确定，故B错误；
对于C，若a>b，m>0，则－＝＝，而
m(b－a)<0，但是a(a＋m)与0的大小不能确定，故C错误；
对于D，＋≥2，当且仅当＝，即sin x＝0取等号，D正确.故选AD.]
11.AD [由题意，得0对于A，a＋2b＝(a＋b)＋b＝4＋b>4，故A正确；
对于B，取a＝1，b＝3，则(a－1)(b－1)＝0<1，故B错误；
对于C，取a＝1，b＝3，则log2a＋log2b＝log23<2，故C错误；
对于D，2a＋＝2a＋2b≥2＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故D正确.故选AD.]
12.G≤H≤A [由基本不等式可知，G≤A，当且仅当a＝b时等号成立；
因为H－G＝－＝＝≥0，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，所以H≥G；因为H－A＝－＝＝－≤0，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，所以H≤A；
综上所述，G≤H≤A，当且仅当a＝b时等号成立.]
13.2 [由题意AB＝12－3x米，则直角梯形花坛ABCD的面积
S＝＝×3x(12－3x)≤×＝18，当且仅当3x＝12－3x，即x＝2时，等号成立，所以当x＝2米时，直角梯形花坛ABCD的面积最大.]
14.(－∞，4] [因为x＋y＝6，所以t＝＋＝＋
＝x＋1＋－2＋y＋2＋－4＝3＋＋，
所以t＝3＋＋＝3＋(＋)
＝＋＋≥＋2＝4，当且仅当y＝4，x＝2时等号成立，
所以(＋)min＝4，故a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].]
小题精练4 函数的概念与性质
1.A [由解得02.B [因为f(x)＝所以f(1)＝f(－1)＝2×(－1)2－3×(－1)＝5.故选B.]
3.B [设x<0，－x>0，f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sin x，因为函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－x－sin x.故选B.]
4.C [y＝为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，y＝x3为奇函数，故A错误；
y＝()x在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；
y＝ln x为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；y＝x2＋2为偶函数，故D错误.故选C.]
5.C [由题意，函数f(x)是R上的增函数，因f(x)＝故需满足：解得，06.B [因为f(－x)＝－x3－ax－bsin x－3，故f(x)＋f(－x)＝－6，
而f(－)＝－20，故f()＝14，故选B.]
7.D [设u＝|x－a|，易知函数y＝ln u是增函数，因为f(x)＝ln|x－a|在区间(2，3)上单调递减，所以由复合函数单调性可知，u＝|x－a|在(2，3)上单调递减.因为函数u＝|x－a|在(－∞，a)上单调递减，所以3≤a，故选D.]
8.D [因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，所以f(3)＝f(－1)＝f(1)，f(－π)＝f(4－π)，又0<4－π<1f(1)>f(log23)，即f(－π)>f(3)>f(log23).故选D.]
9.AD [由x2＋9≠0可得：函数f(x)＝的定义域为R，故A正确；
由f(－x)＝－＝－f(x)知f(x)是奇函数，故B错误；
由f(x＋2 024)＝＝0解得，x＝－2 024，
所以零点为－2 024，故C错误；
当x>0时，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝3时取等号，故D正确；
故选AD.]
10.ABC [f(－f(－x))＝f(f(x))，g(－g(－x))＝g(－g(x))
＝g(g(x))，
－f(－g(－x))＝－f(－g(x))＝f(g(x))，A，B，C均正确.
－g(－f(－x))＝－g(f(x))≠g(f(x))，D错误.故选ABC.]
11.ACD [对于A：因为f(x)＋f(x＋2)＝2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，
所以f(x)＝f(x＋4)，所以4是函数f(x)的一个周期，A对，
对于B：因为g(x)＝f(x＋1)－1是奇函数，
所以f(x＋1)－1＝－f(－x＋1)＋1，
所以f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，
可得f(0＋1)＋f(0＋1)＝2，即f(1)＝1，由f(x)＋f(x＋2)＝2，
可得f(1)＋f(3)＝2，所以f(3)＝1，B错误；
对于C：由B项中分析可得f(x＋2)＋f(－x)＝2，又f(x)＋f(x＋2)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，C正确；
对于D：因为函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在区间(－1，0)上单调递减，又f(x)是周期为4的周期函数，所以函数f(x)在区间(3，4)上单调递减，D正确；故选ACD.]
12.x2－2x(答案不唯一) [取f(x)＝x2－2x，其对称轴为x＝1，
满足①f(1－x)＝f(1＋x)；
令f(x)＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f(x)至少有两个零点；
f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x＝1，f(x)min＝－1，满足③f(x)有最小值.
故可取f(x)＝x2－2x(答案不唯一).]
13.(－∞，2) [当x≥0时，f(x)＝ex为增函数，且f(x)≥1；当x<0时，f(x)＝x＋1为增函数，且f(x)<1，则f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，则不等式f(x)14. [因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)＋g(x)＝ax2＋x＋2，
可得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝ax2－x＋2，联立方程组
解得g(x)＝ax2＋2，又因为对任意的1－3成立，
所以g(x1)－g(x2)<－3x1＋3x2，所以g(x1)＋3x1构造h(x)＝g(x)＋3x＝ax2＋3x＋2，所以由上述过程可得h(x)＝ax2＋3x＋2在x∈(1，2)上单调递增，
(i)若a<0，则对称轴x0＝－≥2，解得－≤a<0；
(ii) 若a＝0，h(x)＝3x＋2在x∈(1，2)上单调递增，满足题意；
(iii) 若a>0，则对称轴x0＝－≤1恒成立；综上可得，a≥－，即实数a的取值范围为.]
小题精练5 基本初等函数
1.C [因为幂函数f(x)＝(m2＋m－1)x－2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，所以解得m＝1.故选C.]
2.D [因为函数y＝f(x)与y＝3x是互为反函数，所以f(x)＝log3x，则f()＝log3＝－2，f()＝log3＝－1，f(1)＝log31＝0，f(3)＝log33＝1，故选D.]
3.A [对于A：若f(x)＝x，则f(x1x2)＝(x1x2)，f(x1)f(x2)＝x1·x2＝(x1x2)，
f(x1x2)＝f(x1)f(x2)，成立；
对于B：若f(x)＝ln x，由f(x1x2)＝f(x1)f(x2)，得ln(x1x2)＝ln x1ln x2，取x1＝1，x2＝2，得ln 2＝0不成立；
对于C：若f(x)＝2x2，由f(x1x2)＝f(x1)f(x2)，得2xx＝4xx，取x1＝x2＝1，得2＝4不成立；
对于D：若f(x)＝－x3，由f(x1x2)＝f(x1)f(x2)，得－xx＝xx，取x1＝x2＝1，得－1＝1不成立.故选A.]
4.C [对于A中，由指数函数的性质，可得函数y＝ex为非奇非偶函数，所以A不符合题意；
对于B中，函数f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
且f(－x)＝－(x－)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数f(x)＝|x3|的定义域为R关于原点对称，
且满足f(－x)＝|－x3|＝|x3|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以C符合题意；
对于D中，函数y＝cos x在区间(0，＋∞)上不是单调递增函数，所以D不符合题意.故选C.]
5.A [由题意得f(－x)＝－f(x)，即＝－，
故＝·＝＝－，所以a－1＝1，解得a＝2，经检验，a＝2满足题意.故选A.]
6.B [由f(x)＝|ln x|，易知a＝f()＝|ln |＝ln 3＝f(3)，所以a＝ln 3，b＝ln 2，c＝ln 4，由y＝ln x在(0，＋∞)上为单调递增函数可得ln 27.B [由题意可知，定义域为(0，＋∞)，函数f(x)在定义域内单调递增，函数g(x)在定义域内单调递减，则|AB|＝loga4－log4＝loga4＋2，所以loga4＋2＝3，解得a＝4，所以h(x)＝log4x＋logx＝log4x－log2x＝log4x－2log4x＝－log4x.故选B.]
8.A [由a＝e，得到f(x)＝k·eb－x，故当x＝1时，f(1)＝k·eb－1；
当x＝2时，f(2)＝keb－2.依题意，明年(x＝2)的产量将是今年的e倍，得：
＝eb－2－b－1＝e，
故－＝1，即b2＋b－1＝0，解得b＝.∵b>0，∴b＝.
故选A.]
9.AB [A选项，x＋m>0，解得x>－m，故f(x)＝logm(x＋m)(m>1)的定义域为(－m，＋∞)，故－m＝－4，解得m＝4，A正确；
B选项，f(x)＝log4(x＋4)，f(－2)＝log4(－2＋4)＝，B正确；
C选项，令f(x)＝0，即log4(x＋4)＝0，解得x＝－3，故－3是f(x)的零点，C错误；
D选项，当x＝1时，f(＋1)＝f(2)，故D错误.故选AB.]
10.BC [f(x)＝|3x－1|＝故可作出f(x)＝|3x－1|的图象如图所示，
由图可知，要使cf(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0，故必有3c<1且3a>1，又f(c)－f(a)>0，即为1－3c－(3a－1)>0，所以3c＋3a<2.由于函数y＝3x为单调递增函数，且c11.ACD [对于函数f(x)＝＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0，
所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；
因为2x>0，当2x－1>0时>0，所以＋a>a，当－1<2x－1<0时<－2，所以＋a<－2＋a，综上可得f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误；
当a＝1时f(x)＝＋1＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确；
当a＝2时f(x)＝＋2＝＋1，则f(－x)＋f(x)＝＋1＋＋1＝2，
故D正确.故选ACD.]
12.2(答案不唯一) [取a＝－1，b＝1，则f(a)＝f(－1)＝e0＝1，g(b)＝g(1)＝1，满足f(a)＝g(b)，此时b－a＝2(答案不唯一).]
13.(0，) [依题意，函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)在定义域R上为单调递增函数，则t≥0，而t＝0时，g(x)＝2x不满足条件②，所以t>0，设存在[m，n]，使得g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，所以即
所以m，n是方程(ax)2－ax＋t＝0的两个不等的实根，设y＝ax，
则y>0，
所以方程等价为y2－y＋t＝0有两个不等的正实根，即
解得014.[1，2] [当x>1时，x－1>0，此时y＝22－|x－1|－3＝22－x＋1－3＝23－x－3单调递减，
当－1所以y＝22－|x－1|－3在(－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，y＝22－|x－1|－3取得最大值，为22－3＝1，作出y＝log(1－x)与y＝22－|x－1|－3在[－1，＋∞)上的图象如图所示：
当n∈[0，)，x∈[－1，n]时，1－x∈[1－n，2]，此时f(x)＝log(1－x)∈[－1，
log(1－n)]，此时－1≤f(x)≤log(1－n)<1，因为f(x)的值域为[－1，1]，则x∈(n，m]时，f(x)＝1必有解，即22－|x－1|－3＝1，解得x＝1，由图知m∈[1，2].]
小题精练6 函数的图象
1.C [由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以02.C [因为y＝－3－x，即－y＝3－x，所以函数y＝－3－x与y＝3x的图象关于原点对称.故选C.]
3.A [因为f(x)＝ex－e－x，所以f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，即f(x)的图象关于原点对称，
函数y＝f(x－1)＋1的图象可由f(x)的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以函数y＝f(x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称.故选A.]
4.C [由题意可知：f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－＝＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，排除AB，且f(1)＝－1<0，排除D.故选C.]
5.A [由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；由图可知，当x→＋∞时，y→－∞，而对于D选项，当x→＋∞时，y→0，故排除D.故选A.]
6.D [因为将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝loga，即g(x)＝logax－loga3，
将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式y＝logax－loga3＋2，
因为所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，所以－loga3＋2＝0，所以a2＝3，又a>0且a≠1，解得a＝，故选D.]
7.C [作出函数y＝f(x)的图象，如图所示：将原问题转化为求直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数，
由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点；
当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点；
所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有两个交点.故选C.]
8.C [由图可知，“心形”关于y轴对称，所以上部分的函数为偶函数，
则函数y＝x和y＝都不满足，故排除BD；
y＝|x|的图象过点(0，0)，(－2，0)，(2，0)，且0y＝|x|≤＝2，当且仅当x＝时，等号成立，
即函数y＝|x|的最大值为2，又“心形”函数的最大值为1，故排除A；
由y＝的图象过点(0，0)，(－2，0)，(2，0)，且0y＝＝＝≤1，当x＝1时，等号成立，
即函数y＝的最大值为1，满足题意，故C满足.故选C.]
9.ACD [由题意，函数f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图象知，f(x)有且仅有一个极小值点为，所以A正确；
函数有两个极大值点1和3，所以B错误；
令f(x)≤1，可得x≤1或或
解得x≤2或x≥5，
即当x∈(－∞，2]∪[5，＋∞)时，f(x)≤1，所以C正确；
由图象知，当x＝3时，函数f(x)的最大值f(3)＝3，
所以存在实数k≥3，使得f(x)≤k恒成立，所以D正确.故选ACD.]
10.ABD [由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当m>0时，f′(x)＝3x2＋>0，函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故B正确；
当m＝0时，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2>0，所以在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故D正确；
当m<0时，当x>0时，f(x)＝x3－>0；
当x<0时，f(x)＝x3－<0；
故A正确；C错误.故选ABD.]
11.BC [当1≤x<2时，∈，则f(x)＝2＝x－1，
当2≤x<4，∈[1，2)，f(x)＝2(x－1)＝x－2，……，可以画出f(x)的大致图象如图，则f(x)在定义域内不是增函数，故A错误；
利用函数图象可得y＝f(x)与y＝－＋1有两个交点，故B正确；
在图象中作出y＝x，利用函数图象可得f(x)<在整个定义域内恒成立，故C正确；
由f(x)的零点可知，当n∈N*，f(2n)＝0，故D错误.故选BC.]
12.[－5，－3)∪(0，2) [ x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，<0，所以f(x)在x∈[0，＋∞)单调递减，
又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)是R上的减函数，且f(0)＝0，
f(xg(x＋1))>0＝f(0) xg(x＋1)<0
或即或
解得x∈[－5，－3)∪(0，2).]
13.7 [依题意，函数f2(x)＝|x|－1|－1|的定义域为R，
f2(－x)＝|－x|－1|－1|＝f2(x)，
即函数f2(x)是偶函数，当x≥0时，
f2(x)＝x－1|－1|，当0≤x≤2时，
f2(x)＝＝＝x＋，
当x>2时，f2(x)＝|(x－1)－1|＝|x－|＝
作出函数y＝f2(x)在x≥0时的图象，利用偶函数性质得y＝f2(x)在R上的图象，如图，
其中点A(0，)，B(2，1)，C(6，0)，E(－2，1)，D(－6，0)，
所以函数y＝f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是：
S梯形CBED－S△ABE＝(4＋12)×1－×4×＝7.]
14.49或 [由f(x＋2)＝－，可得f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，且f(x)＝()x－2(－2≤x≤0)，故可作出函数f(x)的图象如图所示：
若关于x的方程f(x)－2loga(3x＋1)＝0有两解，
则y＝f(x)与y＝2loga(3x＋1)的图象有两个交点，
当a>1，则y＝2loga(3x＋1)过点A(2，1)，
所以1＝2loga(3×2＋1)，解得a＝49，
当0所以－1＝2loga(3×4＋1)，解得a＝，
综上所述：a的值为49或.]
小题精练7 函数与方程
1.B [令f(x)＝ax－a＝0，解得x＝1，即函数的零点为1.故选B.]
2.C [因为函数f(x)＝2x＋x－4是R上的增函数，又f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0，f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(1，2).故选C.]
3.B [因为函数f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3均为增函数，
又f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
所以函数f(x)的零点在(1，2)上，即a∈(1，2)，
因为g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3>0，
所以函数g(x)的零点在(2，3)上，即b∈(2，3)，
因为h(0)＝－2<0，h(1)＝e－2>0，所以函数h(x)的零点在(0，1)上，即c∈(0，1)，
综上，c4.B [根据题意得解不等式组得a≥2.
故a的最小值为2.故选B.]
5.D [因为f(x)＝sin x－sin 2x＝sin x－2sin xcos x＝sin x(1－2cos x)，
令f(x)＝0，得sin x＝0或1－2cos x＝0，即sin x＝0或cos x＝，
又x∈[0，2π]，
所以当sin x＝0时，解得x＝0或x＝π或x＝2π；当cos x＝时，解得x＝或x＝；
所以函数f(x)＝sin x－sin 2x在[0，2π]上共有5个零点.故选D.]
6.C [当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，当07.C [由f2(x)－3tf(x)＋2t2＝0得f(x)＝t或f(x)＝2t，作出函数f(x)的图象，易知当t≤0时，不符合题意；
当t>0时，2t>t，结合函数f(x)的图象知，要使方程f2(x)－3tf(x)＋2t2＝0有三个不同的解，
需满足方程f(x)＝t有两个解，方程f(x)＝2t有且只有一个解，
由图象知所以≤t<1.故选C.]
8.A [作出函数y＝f(x)和函数y＝m的图象可知，
假设两个函数的图象共有4个交点A，B，C，D，
且横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x1由f(x1)＝f(x2)，得|log2x1|＝|log2x2|，则有－log2x1＝log2x2，所以log2x1＋log2x2＝0，所以x1x2＝1.由于二次函数y＝x2－8x＋13图象的对称轴为直线x＝4，C，D两点关于直线x＝4对称，所以x3＋x4＝8，则＝8x3.令x2－8x＋13＝0，解得x＝4－或x＝4＋，所以x3∈(2，4－)，所以＝8x3∈(16，32－8).故选A.]
9.ABD [对于A，因为a>1，函数y＝logax在(a，＋∞)上单调递增，所以当x∈(a，＋∞)时，f(x)＝logax>f(a)＝logaa＝1，正确；
对于B，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增知，
解得1对于C，当a＝2.1时，函数f(x)＝作出函数y＝f(x)的图象，如图1，由图知，直线y＝2.1与函数y＝f(x)有两个交点，则方程2.1＝f(x)有两个根，即函数y＝f(x)－2.1有2个零点，显然2.1 (1，2]，错误；
对于D，易知函数y＝x2－3的图象与函数y＝－x2＋3的图象关于原点对称，作出示意图2，要使f(x)的图象上不存在关于原点对称的点，则即解得≤a<，即a的取值范围是[，)，正确.故选ABD.]
10.BC [依题意，x1＋ex1＝0 ex1＝－x1，x2＋ln x2＝0 ln x2＝－x2，
则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝lnx图象交点的横坐标，
而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称， 又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点(x1，ex1)与点(x2，ln x2)关于直线y＝x对称，
则x2＝ex1＝－x1>0，于是x1＋x2＝0，x1x2<0，ex1＋ln x2＝0，BC正确，A错误；
x1x2－x1＋x2－1＝(x1－1)(x2＋1)<0，即x1x2－x1＋x2<1，D错误.故选BC.]
11.AD [对于A，由f(x)＝x，得－x＝x，而x>0，解得x＝，因此f(x)为“不动点”函数，A正确；
对于B，由f(x)＝x，得＋x－3＝x，即＝3，即x2＋5＝9，解得x＝±2，
经检验符合题意，因此f(x)的不动点为±2，B错误；
对于C，当x≤1时，f(x)＝2x2－3，由f(x)＝x，得2x2－3＝x，解得x＝－1；
当x>1时，f(x)＝|2－x|，由f(x)＝x，得|2－x|＝x，无解，因此函数f(x)只有一个不动点，C错误；
对于D，设该不动点为t，即f(t)＝t，由f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，
得f(x)－x2＋x＝t，即f(x)＝x2－x＋t，于是t2－t＋t＝t，解得t＝0或t＝1，
当t＝0时，f(x)＝x2－x，由f(x)＝x，得x2－x＝x，解得x＝0或x＝2，此时f(x)有两个不动点，不符合题意，
当t＝1时，f(x)＝x2－x＋1，由f(x)＝x，得x2－x＋1＝x，解得x＝1，f(x)只有一个不动点，符合题意，因此f(x)＝x2－x＋1，D正确.故选AD.]
12.1 [设t＝1－x，则x＝1－t，
则lg(1－x)－2x＝1变形为lg t－2(1－t)＝1，即2t＋lg t＝3，
由题意知x1满足2x＋lg x＝3，则2x1＋lgx1＝3，
易知函数y＝2x＋lg x－3在(0，＋∞)上单调递增，
所以此函数只有一个零点，
因为2t＋lg t＝3，所以t＝x1，
又t＝1－x2，所以x1＝1－x2，所以x1＋x2＝1.]
13.4 [由题意知函数f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)＝f(x＋2)知f(x)的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝log5(x＋1)的图象，如图所示：
共有4个不同的交点，即g(x)＝f(x)－log5(x＋1)有4个零点.]
14.∪(0，1] [①当a＝0时，
如图1，f(x)＝由于x≤0时00时x－1>－1，
此时f(x)只有一个零点，所以a＝0不符合题意；
②当a＜0时，f(x)＝函数f(x)的大致图象如图2所示，由于x≤0时，ex＋(－a)＞0，x＞0时，x＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当x＝，即x＝时取等号，此时在(0，＋∞)上有f(x)min＝2－1，要使f(x)有两个零点，只需f(x)min＝2－1＜0，即－＜a＜0；
③当a＞0时，f(x)＝函数f(x)的图象如图3所示，由于函数y＝x－－1在(0，＋∞)上是增函数，x→0，f(x)→－∞，x→＋∞，f(x)→＋∞，故与x轴有且只有一个交点，要使f(x)有两个零点，只需函数y＝ex－a(x≤0)有一个零点即可，当0＜a≤1时，y＝ex－a(x≤0)恰好只有一个零点.综上所述，实数a的取值范围是∪(0，1].]
小题精练8 抽象函数问题(突破练)
1.A [因为f(x)是奇函数且定义域为R，所以f(0)＝0，由f(x)＝f(2－x)，则f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为4，所以f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)＝0.故选A.]
2.B [若f(x)，g(x)均为奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－[f(x)＋g(x)]＝－h(x)，所以“h(x)为奇函数”，故充分性成立，若h(x)为奇函数，如h(x)＝x，f(x)＝x2＋x，g(x)＝－x2，而f(x)，g(x)均不是奇函数，故必要性不成立.故选B.]
3.B [任取x10，所以f(x2－x1)>1，
所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在R上单调递增.故选B.]
4.C [不妨令00，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)①当x>0时，由不等式xf(－x)>0，则f(－x)>0，所以－f(x)>0，即f(x)<0，所以f(x)②当x<0时，由不等式xf(－x)>0，则f(－x)<0，所以－f(x)<0，即f(x)>0，
所以f(x)>f(－5)，解得－5综上可得，不等式xf(－x)>0的解集为(－5，0)∪(0，5).
故选C.]
5.D [令x＝y＝0，则f(f(0))＝f(0)＋f(0)，f(0)＝1，所以f(1)＝2，
令y＝－x，则f(f(0))＝f(x)＋f(－x)，即f(1)＝f(x)＋f(－x)，又2＝f(x)＋f(－x)，
所以y＝f(x)关于(0，1)对称，所以f(x＋1)关于(－1，1)对称，故A不正确；
f(x)＋1关于(0，2)对称，故B不正确；由A可知|f(x＋1)|关于x＝－1对称，故C不正确；
由A可知f(x)－1关于(0，0)对称，故f(x)－1为奇函数，所以|f(x)－1|为偶数，故D正确.
故选D.]
6.D [f(x)的图象关于(1，0)中心对称，则f(x)＝－f(－x＋2)(*)；
f(2x＋2)是偶函数，则f(2x＋2)＝f(－2x＋2)，则f(x)的图象关于x＝2轴对称，则f(x)＝f(－x＋4)(**)；令x＝1代入(*)得，f(1)＝－f(1)，解得f(1)＝0，代入 (**)得到f(1)＝f(3)＝0.故选D.]
7.D [对于A，f(x＋2y)＝4f(x)·f2(y)，取y＝0，则f(x)＝4f(x)f2(0)，f(0)＝，选项A正确；
对于B，取y＝－x，则f(－x)＝4f(x)·f2(－x)，则f(x)·f(－x)＝，选项B正确；
对于C，取x＝0，y＝，则f(1)＝4f(0)f2，则f2＝，
取y＝，f(x＋1)＝4f(x)·f2＝2f(x)，f(k)＝××…××f(1)＝2k－1，k∈Z，
则f(k)＝1＋2＋…＋22 023＝＝22 024－1，所以f(k)是奇数，选项C正确；
取函数f(x)＝2x－1，符合题目条件，但此时f(x)无最小值，故选项D错误.故选D.]
8.C [由函数f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，得f(x)的图象关于点(0，0)对称，即函数f(x)是奇函数，由f(1＋x)＝f(1－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，
f(x＋4)＝f[(x＋3)＋1]＝f[1－(x＋3)]＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f[(x＋1)＋1]
＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)＝f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，①正确；
对任意的x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，均有xf(x1)＋xf(x2)>xf(x2)＋xf(x1)，
不妨设x1>x2，则(x－x)f(x1)>(x－x)f(x2)，即f(x1)>f(x2)，因此f(x)在[0，1]上单调递增，
f(－)＝f(－＋8)＝f()＝f()，f()＝f(－8)＝f()>f()，②正确；
由函数f(x)是R上的奇函数，在[0，1]上单调递增，得函数f(x)在[－1，1]上单调递增，
在[1，3]上单调递减，在(3，5)上单调递增，故在[2，4]上不单调，③错误；
由f(2)＝f(0)＝0，f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，得当x∈[－1，3]时，若f(x)≥0，则有x∈[0，2]，又函数f(x)是以4为周期的周期函数，因此不等式f(x)≥0的解集为[4k，4k＋2](k∈Z)，④正确.故选C.]
9.ACD [令x＝2，y＝1，则f2(2)－f2(1)＝f(3)f(1)，解得f(2)＝0，故A正确；
令x＝1，y＝0，则f2(1)－f2(0)＝f(1)f(1)，解得f(0)＝0，
令x＝0，则－f2(y)＝f(y)f(－y)，即f(y)[f(y)＋f(－y)]＝0，
因为f(y)不恒为0，所以f(y)＋f(－y)＝0，且定义域为R，故函数为奇函数，故C正确；
令y＝x－2，则f2(x)－f2(x－2)＝f(2x－2)f(2)＝0，因为f(x)不恒为0，且f(3)≠f(1)，
所以只能f(x)＝－f(x－2)，从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，周期为4，显然f(4)＝f(0)＝0，故B错误D正确.故选ACD.]
10.ACD [对于A，由f(x)是偶函数，f(x)＋f(2＋x)＝0，得f(－1)＋f(1)＝2f(1)＝0，则f(1)＝0，A正确；
对于B，由对任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，
得f(x)在[0，1]上单调递增，则f(0)于是f(2)＝－f(0)>0>f(0)，因此2不是f(x)的周期，B错误；
对于C，由f(x)＋f(2＋x)＝0，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，则函数f(x)图象关于点(1，0)对称，于是函数f(x)在[1，2]上单调递增，在(2，3)上单调递减，C正确；
对于D，由f(2＋x)＝－f(x)，得f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，4是f(x)的一个周期，
f(4－x)＝f(－x)＝f(x)，则函数f(x)图象关于直线x＝2对称，D正确；故选ACD.]
11.ABD [对于A，令y＝x，则f(2x)＋f(2x)·f(0)＝0，即f(2x)(1＋f(0))＝0，又函数f(x)不为常数，故1＋f(0)＝0，即f(0)＝－1，故A正确；
对于B，令x＝1，y＝0，则f(2)＝－[f(1)]2，令x＝0，y＝1，则f(0)＋f(1)·f(－1)＝0，得f(1)＝，令x＝1，y＝2，则f(2)＋f(3)·f(－1)＝0，得f(3)＝－·f(2)＝f(1)·f(2)＝[f(1)]3，故B正确；
对于C，令x＝0，则f(0)＋f(y)·f(－y)＝0，所以f(y)·f(－y)＝1，即f(x)·f(－x)＝1，故C错误；
对于D，令y＝0，则f(2x)＝－f2(x)<0，所以f(x)<0，则－f(x)>0，－f(－x)>0，又f(x)·f(－x)＝1，故f(x)＋f(－x)＝－[(－f(x))＋(－f(－x))]≤－2＝
－2，
当且仅当f(x)＝f(－x)＝－1时等号成立，故D正确.故选ABD.]
12.(3，4] [令x＝4，y＝2，则f(2)＝f(4)－f(2)，则f(4)＝2，由f(x)－f()≤2可得：f(x(x－3))≤f(4)，因为f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，所以解得：313.6 [因为g(x＋1)是偶函数，又因为g(x＋1)＝xf(x＋1)，其中y＝x为奇函数，
所以y＝f(x＋1)必为奇函数，即有f(1－x)＝－f(x＋1)，f(－x)＝－f(x＋2)，
又因为f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期为4，
由函数g(x＋1)是偶函数，可得g(－x＋1)＝g(x＋1)，即g(－x)＝g(x＋2)，
所以g(－0.5)＝g(2.5)＝1.5f(2.5)＝1.5f(－2.5)＝1.5f(－2.5＋4×2)＝1.5f(5.5)＝6.]
14.4 048 [因为对于任意的x1，x2∈[－2 024，2 024]，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2 024，
所以令x1＝x2＝0，得f(0)＝2 024，再令x1＝x，x1＋x2＝0，将f(0)＝2 024代入可得f(x)＋f(－x)＝4 048，设x10，
f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－2 024>2 024，所以f(x2)>4 048－f(－x1)＝f(x1)，
所以f(x)在[－2 024，2 024]上单调递增，所以f(x)的最大值为M＝f(2 024)，最小值为N＝f(－2 024)，所以M＋N＝f(2 024)＋f(－2 024)＝4 048.]
小题精练9 导数的运算及几何意义
1.B [因为 ＝2，则f′(1)＝ ＝ ＝，所以 f(x)在x＝1处的切线的斜率为，故选B.]
2.A [因为f(x)＝ln x－x＋1，则f(1)＝ln 1－1＋1＝0，f′(x)＝－1，所以f′(1)＝0，所以切点为(1，0)，则切线方程为y＝0.故选A.]
3.B [可依次作出函数f(x)在x1，x2，x3处的切线(图略)，
观察可得f′(x2)>f′(x3)>0>f′(x1).故选B.]
4.A [由图可知：y＝f(x)过(3，1)，所以f(3)＝1，
又y＝kx＋2过(3，1)，所以1＝3k＋2，k＝－，即f′(3)＝－.
而g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0，故选A.]
5.B [对于A，y＝x4，y″＝12x2和y?＝24x的零点均为0，所以曲线y＝x4无拐点，故A错误；
对于B, y＝x4－4x2，y″＝12x2－8和y?＝24x的零点不相等，所以曲线y＝x4－4x2有拐点，故B正确；
对于C，y＝x3，y″＝6x，y?＝6，所以曲线y＝x3有拐点，故C错误；
对于D, y＝x5－5x3，y″＝20x3－30x，y?＝60x2－30，故(0，0)是y＝x5－5x3的拐点，即D错误.故选B.]
6.D [由xy2＋ln y＝2，得(xy2)′＋(ln y)′＝2′，则y2＋2xyy′＋·y′＝0，将点(2，1)的坐标代入，得1＋4y′|x＝2＋y′|x＝2＝0，即y′|x＝2＝－，所以所求切线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋5y－7＝0.故选D.]
7.C [设切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，x1>0，x2>0，且导数为f′(x)＝，g′(x)＝ex，
所以切斜方程分别为y－(2＋ln x1)＝(x－x1)，
与y－ex2＝ex2(x－x2)，所以
且ln ＝ln ex2 －ln x1＝x2，
所以1＋ln x1＝(1＋ln x1)× (1＋ln x1)(x1－1)＝0，
所以x1＝1或x1＝，
所以公切线的斜率为k＝＝1或e.故选C.]
8.B [因为y＝ln x＋1，则y′＝，设切点坐标为(x0，ln x0＋1)，则切线斜率k＝，
则切线方程为y－ln x0－1＝(x－x0)，整理得y＝x＋ln x0，又因为切线过点(a，b)，则b＝＋ln x0，设f(x)＝ln x＋，函数定义域是(0，＋∞), 则直线y＝b与曲线f(x)＝lnx＋有两个不同的交点，则f′(x)＝－＝，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，不合题意；
当a>0时，令f′(x)<0，解得00，解得x>a；
可知f(x)在(0，a)内单调递减，在(a，＋∞)内单调递增，
则f(x)≥f(a)＝ln a＋1，且当x趋近于0或＋∞时，f(x)趋近于＋∞，结合图象可知b>ln a＋1，综上所述，b>ln a＋1，a>0.故选B.]
9.ACD [由f(x)＝x3得f′(x)＝3x2，
对于A：由f′(1)＝3，所以函数在点A(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，故A正确；
对于B：设切点为(x2，x)，所以f′(x2)＝3x，所以切线方程为y－x＝3x(x－x2)，
又切线过点A(1，1)，所以1－x＝3x(1－x2)，解得x2＝1或x2＝－，所以过点A(1，1)的切线方程为y＝3x－2或3x－4y＋1＝0，故B错误；
对于CD：f′(x1)＝3x，则在点P(x1，x)的切线方程为y－x＝3x(x－x1)，
则x－x＝3x(x0－x1)，即(x0－x1)(x＋x0x1＋x)＝3x(x0－x1)，因为x0≠x1，则x＋x0x1＋x＝3x，即x＋x0x1－2x＝0，即(x0＋2x1)(x0－x1)＝0，所以x0＝－2x1，
又f′(0)＝0，当x≠0时f′(x)＝3x2>0，又点Q(x0，x)(x0≠x1)在函数f(x)＝x3上，且与点P(x1，x)相异，即过曲线上任意点(除原点外)的切线必经过曲线上另一点(不是切点)，对于切线l：y＝kx＋b(k≠0)，则切点不是坐标原点，所以切线l：y＝kx＋b(k≠0)与y＝f(x)的图象必有两个公共点，故CD正确.故选ACD.]
10.CD [对于A，f(x)＝2x＋1，其导数f′(x)＝2，则有f″(x)＝0，不符合“凹函数”的定义，故A错误；
对于B，f(x)＝x3，定义域为R，其导数f′(x)＝3x2，则f″(x)＝6x，在定义域R上f″(x)>0不恒成立，不符合“凹函数”的定义，故B错误；
对于C，f(x)＝x2＋1，定义域为R，其导数f′(x)＝2x，则有f″(x)＝2>0在R上恒成立，符合“凹函数”的定义，故C正确；
对于D，f(x)＝－lg x，定义域为(0，＋∞)，其导数f′(x)＝－，则有f″(x)＝>0在(0，＋∞)上恒成立，符合“凹函数”的定义，故D正确.故选CD.]
11.ABC [对于A，若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x＝sin(x＋)，
f(2)(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，
f(3)(x)＝－cos x＝sin(x＋)，f(4)(x)＝sin x＝sin(x＋2π)，
所以f(n)(x)＝sin(x＋)，A正确；
对于B，若f(x)＝，则f′(x)＝－＝－x－2，f(2)(x)＝(－x－2)′＝2x－3＝(－1)2(2！)x－3，
f(3)(x)＝(2x－3)′＝－6x－4＝(－1)3(3！)x－4，f(4)(x)＝(－6x－4)′＝24x－5＝(－1)4(4！)x－5，
观察可知f(n)(x)＝(－1)n(n！)x－(n＋1)，B正确；
对于C，f(x)＝ex的n阶导数f(n)(x)＝ex，
得T3(x)＝f(0)＋(x－0)＋(x－0)2＋(x－0)2＝1＋x＋＋，C正确；
对于D，记g(x)＝cos x，则g′(x)＝－sin x，g(2)(x)＝－cos x，g(3)(x)＝sin x，
因为g()＝，g′()＝－，g(2)()＝－，g(3)()＝，
所以g(x)在处的3次泰勒多项式T3(x)＝－(x－)－(x－)2＋(x－)3，
T3(1)＝－(1－)－(1－)2＋(1－)3＝－－＋
＝－－＋≈0.54，D错误.故选ABC.]
12.－x2(答案不唯一) [取f(x)＝－x2，其定义域为R，f′(x)＝－2x，显然其图象关于原点对称，且在(0，1)上单调递减，则f′(x)13. [由题意|AB|的最小值为曲线上点A到直线y＝3x－3距离的最小值，
设f(x)＝2ex＋x－(3x－3)＝2ex－2x＋3，则f′(x)＝2ex－2为增函数，
令f′(x)＝0则x＝0，故当x<0时f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时f′(x)>0，f(x)单调递增.故f(x)≥f(0)＝5>0，即y＝3x－3在曲线y＝2ex＋x下方，则当A处的切线与3x－y－3＝0平行时|AB|取得最小值.设A(x0，y0)，因为y′＝2ex＋1，由y′＝3可得x0＝0，故当A(0，2)时取最小值|AB|＝＝.]
14.e x－2y＋e＝0 [设公共点为(x0，y0)(x0>0)，则即ax0＝，所以x0ln a＝ln x0，
所以ln a＝ln x0，由y1′＝x－，y2′＝axln a，
所以y1′|x＝x0＝，y2′|x＝x0＝ax0ln a，
又在公共点处有相同的切线，所以＝ax0ln a，即＝·ln x0，所以ln x0＝1，则x0＝e，y0＝e，则ln a＝ln x0＝ln e＝，则a＝e，所以切线方程为y－e＝e－(x－e)，即x－2y＋e＝0.]
小题精练10 导数的简单应用
1.A [因为f′(x)＝(x2＋2x－8)ex＝(x－2)(x＋4)ex，所以f(x)在(－∞，－4)，(2，
＋∞)上单调递增，在(－4，2)上单调递减，故极小值点为2.故选A.]
2.C [依题意可知，f′(x)＝ex－≥0在(1，2)上恒成立，所以a≤xex，设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，x∈(1，2)，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故a≤e，即a的最大值为e. 故选C.]
3.B [f′(x)＝(x－1)ex－e2，记g(x)＝(x－1)ex－e2，则g′(x)＝xex，
当x>0时，g′(x)>0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，g′(x)<0，函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝0时，g(x)min＝－1－e2<0，
因为g(2)＝0，且当x<0时，g(x)＝(x－1)ex－e2<0，所以当x<2时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上单调递减；当x>2时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，所以当x＝2时，f(x)取得极小值f(x)＝－2e2－2，即f(x)min＝－2e2－2.故选B.]
4.C [当x＝0时，f(0)＝0，可排除A，f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，令f′(x)>0，解得x>或x<－，所以f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增；在(－，)上单调递减，结合图象故选C.]
5.B [由ln x1＝x2－1得x2＝ln x1＋1，则＝，令f(x)＝(x>1)，得f′(x)＝＝，因为x>1，所以f′(x)<0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，则f(x)1，所以ln x＋1>1，所以f(x)>0，则f(x)的值域为(0，1).故选B.]
6.C [由a≥－x2ln x＋x2在x∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝－x2ln x＋x2，x∈[1，2]，
则f′(x)＝－2xln x－x＋2x＝－2xln x＋x＝x(－2ln x＋1).令f′(x)＝0，则x＝，
当x∈(1，)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，)上单调递增；当x∈(，2)时，f′(x)<0，故f(x)在(，2)上单调递减；则f(x)≤f()＝，所以a≥，故选C.]
7.C [函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝，y″＝－，所以曲线y＝lnx的曲率K＝＝，
故K′＝＝，x>0，
当00，当x>时，K′<0，K在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以当x＝时，曲率K取得最大值.故选C.]
8.C [由题意知当x10恒成立，
所以2a≤，设h(x)＝，则h′(x)＝，当01时，
h′(x)>0，故h(x)在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又h(1)＝e，所以2a≤e，即a的取值范围是.故选C.]
9.ABC [f′(x)＝3x2－1，故A正确；
令f′(x)＝0，解得x＝±，当x>或x<－时，f′(x)>0，当－即f(x)极小值＝f()＝－＋1>0，f(x)极大值＝f(－)＝＋1>0，f(x)只有一个零点，故B正确D错误；
f(x)＋f(－x)＝x3－x＋1－x3＋x＋1＝2，所以f(x)关于(0，1)对称，故C正确.故选ABC.]
10.ABC [由函数f(x)＝aln x－2x2＋bx，可得f′(x)＝－4x＋b＝，
因为f(x)＝aln x－2x2＋bx既有极小值又有极大值，可得方程－4x2＋bx＋a＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实数根，则满足可得所以ab<0，a<0，b2＋16a>0，取a＝－1，b＝5时，满足上式，此时|a－b|<4不成立.故选ABC.]
11.ABD [由题意得，f′(x)＝ln x－，所以f(1)＝－2，f′(1)＝－1，故f(x)在x＝1处的切线方程为y＋2＝－(x－1)，即x＋y＋1＝0，A正确；
因为f′(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－>0，故存在x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0，即x0ln x0＝1，当0x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)在x＝x0处取得唯一的极小值，没有极大值，B正确；
由B知，f(x)的极小值f(x0)＝x0ln x0－ln x0－x0－1＝－(x0＋ln x0)＝－(x0＋)∈(－，－2)，x0∈(1，2)，C错误；
由C知f(x0)0，所以f(x)在(x0，＋∞)内存在唯一的根x＝a，所以f(a)＝aln a－ln a－a－1＝0，则1因为f()＝ln －ln －－1＝－ln a＋ln a－－1＝＝0，故x＝也是f(x)在(0，x0)唯一的零点，D正确.故选ABD.]
12.4 [∵f(x)＝x3－ax＋4，则f′(x)＝x2－a，
∴f′(2)＝4－a＝0，∴a＝4.
经检验知a＝4时，f(x)在x＝2处取得极小值.]
13.(0，6] [依题意，设∠OAB＝x(0AP＝OAcos x＝8cos2x，
因此△OAP的面积f(x)＝OA·APsin x＝32sin xcos3x，00，当所以△OAP面积的取值范围是(0，6].]
14.－1(答案不唯一) [0，1]∪[2，＋∞) [①函数f(x)＝3x＋a2在(1，＋∞)上单调递增，f(1)＝3＋a2>0，所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上无零点，则函数f(x)＝x3＋3ax在(－∞，1]上有2个零点，
即x3＋3ax＝0，x(x2＋3a)＝0，则x＝0，或x＝－或x＝，a<0，
则>1，解得：a<－，所以a的一个值可以是－1(答案不唯一)；
②函数f(x)＝3x＋a2在(1，＋∞)上单调递增，
则在(－∞，1]上，f(x)＝x3＋3ax也单调递增，且13＋3a≤3×1＋a2，
若函数在f(x)＝x3＋3ax在区间(－∞，1]上单调递增，则f′(x)＝3x2＋3a≥0，即a≥－x2在区间(－∞，1]上恒成立，即a≥(－x2)max，
即a≥0，
不等式13＋3a≤3×1＋a2，解得：a≥2或a≤1，
综上可知，0≤a≤1或a≥2.]
小题精练11 构造函数技巧(突破练)
1.C [因为′＝>0，所以y＝在(0，＋∞)上是增函数，故选C.]
2.A [令f(x)＝，则f′(x)＝，故当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，而a＝ln ＝＝＝f(4)，
b＝e－1＝＝f(e)，c＝ln＝＝f(3)，所以a3.C [令g(x)＝，则g′(x)＝＝，
因为f′(x)所以g(1)所以f(1)4.B [令F(x)＝，x>0，则F′(x)＝，
因为当x>0时，有f(x)－xf′(x)>0恒成立，即当x>0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以F()F()>F(1)，即>，即2f()>f(1)，CD错误.故选B.]
5.C [令g(x)＝，则g′(x)＝＝>0，所以g(x)在R上单调递增，不等式f(x)>e2x－3等价于g(x)>e－3＝＝g(2)，解得x>2，所以不等式 f(x)>e2x－3的解集为(2，＋∞).故选C.]
6.A [设f(x)＝x－ln x，则f′(x)＝，则在(0，1)上f′(x)<0，f(x)单调递减；
在(1，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增.故x1>x2>1则f(x1)>f(x2)，但f(x1)>f(x2)不能推出x1>x2>1.故“x1>x2>1”是“x1－lnx1>x2－ln x2”的充分不必要条件.故选A.]
7.C [根据题意，g′(a)＝g(a)，又g′(x)＝ex－1，则ea－1＝ea－a，解得a＝1；
同理h′(x)＝，即ln b＝，令m(x)＝ln x－，则m′(x)＝＋>0，所以m(x)在(0，＋∞)上单调递增，又m(1)＝－1<0，m(e)＝1－>0，所以m(x)在(1，e)上存在唯一零点，
∴1所以b>a>c.故选C.]
8.C [由2λe2x＋ln λ≥ln x得2λe2x≥ln x－ln λ＝ln ，即2xe2x≥ln ，
令f(t)＝tet，t∈(0，＋∞)，则f′(t)＝(t＋1)et>0，所以f(t)＝tet在(0，＋∞)上单调递增，
而2xe2x≥ln＝elnln等价于f(2x)≥f(ln)，
所以2x≥ln，即λ≥，
令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝，
所以g(x)在x∈(0，)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；在x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)最大值为g()＝，
∴λ≥.故选C.]
9.BD [对于A，当ab2，故A错误；
对于B，因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a对于C，当a<0对于D，构造函数f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cos x≥0，
故f(x)在R上单调递增，所以a－sin a综上，选BD.]
10.ABD [令f(x)＝ex－ln x，则f′(x)＝ex－，令h(x)＝ex－，则h′(x)＝ex＋>0恒成立，即f′(x)＝ex－在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f′()＝e－e<0，f′(1)＝e－1>0，
因此在区间(，1)上必然存在唯一x0，使得f′(x0)＝0，所以当x∈(0，x0)时f(x)单调递减，当x∈(x0，1)时f(x)单调递增，故A，B均错误；
令g(x)＝，g′(x)＝，当0∵0，即x2ex1>x1ex2，∴选项C正确，D不正确.故选ABD.]
11.BD [令g(x)＝ef(x)，所以g′(x)＝ef(x)＋ef′(x)＝e[f(x)＋2f′(x)]，
因为f(x)＋2f′(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，
所以g(0)则f(2)>f(1)，f(2)12. [令y＝ln x＋x2－x－a＝0，则ln x＋x2－x＝a，
令f(x)＝ln x＋x2－x，x∈[1，4]，则函数y＝f(x)，y＝a的图象在区间[1，4]上有两个交点，f′(x)＝＋x－＝＝，
当1≤x<2时，f′(x)≤0，当20，所以函数f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝ln 2－2，而f(1)＝－，
f(4)＝ln 4－2>－，如图，作出函数y＝f(x)，y＝a的图象，
由图可知a∈时两函数图象有两个交点，原函数有两个零点.]
13.[e，＋∞) [因为f(x)为R上的奇函数，令g(x)＝f(x)－x，
则g(－x)＝f(－x)＋x＝－f(x)＋x＝－g(x)，即g(x)＝f(x)－x为奇函数，g(0)＝f(0)－0＝0，
当x∈(0，＋∞)时，则g′(x)＝f′(x)－1<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)在R上单调递减，又f(2－ln t)－2≥f(ln t)－2ln t，即f(2－ln t)－(2－ln t)≥f(ln t)－ln t，
即g(2－ln t)≥g(ln t)，所以2－ln t≤ln t，解得ln t≥1＝ln e，所以t≥e，即实数t的取值范围为[e，＋∞).]
14. [由aex－x2＋x>2ln x－ln a可得当x∈(0，＋∞)时，
aex＋x＋ln a>x2＋2ln x＝x2＋ln x2，即ex＋ln a＋x＋ln a>eln x2＋ln x2，
令g(x)＝ex＋x，易知g′(x)＝ex＋1>0恒成立，即g(x)在R上单调递增，
由ex＋ln a＋x＋ln a>eln x2＋ln x2可得g(x＋ln a)>g(ln x2)，
故x＋ln a>ln x2，可得ln a>ln x2－x，即ln a>ln ，
故a>，
令h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝，
当x∈(0，2)时，h′(x)>0，此时h(x)在(0，2)上单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，h′(x)<0，此时h(x)在(2，＋∞)上单调递减，故h(x)max＝h(2)＝，可得a>.]
小题精练12 三角恒等变换
1.B [因为cos 145°＝cos(90°＋55°)＝－sin 55°，cos 125°＝cos(90°＋35°)＝
－sin 35°，
所以cos 35°cos 145°＋cos 125°cos 55°＝－cos 35°sin 55°－sin 35°cos 55°
＝－sin(35°＋55°)＝－sin 90°＝－1.故选B.]
2.B [因为＝3，所以1＋tan α＝3，即tan α＝2，
所以tan(α－)＝＝＝，故选B.]
3.B [∵α，β为三角形的两个内角，且cos α＝<，
∴<α<，
sin α＝＝，
∵sin(α＋β)＝<，α＋β>α>，
∴π<α＋β<π，cos(α＋β)＝－＝－，
cos β＝cos(α＋β－α)
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×
＝，∴β＝.故选B.]
4.C [sin 40°(tan 10°－)＝sin 40°·＝
sin 40°·
＝＝＝＝＝＝－1.故选C.]
5.A [由sin(α＋β)＝m得sin αcos β＋sin βcos α＝m，
由＝2得＝2，联立两个方程得：
sin αcos β＝m，sin βcos α＝m，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－sin βcos α＝，故选A.]
6.D [因为cos(α－)＝2cos 2α，所以(cos α＋sin α)＝2(cos2α－sin2α)＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，因为α∈(0，)，所以cos α＋sin α>0，所以cos α－sin α＝，即(cos α－sin α)＝，所以cos(α＋)＝，因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，所以sin(α＋)＝＝＝，所以tan(α＋)＝＝，故选D.]
7.D [依题意，sin(3α－β)＝sin[(2α－β)＋α]＝sin(2α－β)cos α＋cos(2α－β)sin α，sin(α－β)＝sin[(2α－β)－α]＝sin(2α－β)cos α－cos(2α－β)sin α，
则sin(2α－β)cos α＋cos(2α－β)sin α＝msin(2α－β)cos α－mcos(2α－β)sin α，
即＝，即＝＝n.故选D.]
8.B [由＝2sin 18°，且m＝，可得m＝2sin 18°，
则＝＝
＝＝＝＝1.故选B.]
9.BD [对于A，由cos215°－sin15°cos15°＝－sin 30°＝，故A错误；
对于B，(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝tan 44°＋tan 1°＋tan 44°·tan 1°＋1
＝tan(44°＋1°)(1－tan 44°·tan 1°)＋tan 44°·tan 1°＋1＝2，故B正确；
对于C，－＝＝＝＝4，故C错误；
对于D，＝＝＝＝2，故D正确.故选BD.]
10.AD [＝1分子分母都乘以，得＝＝1，
可得tan x＝2，故A选项正确；＝2，sin2x＋cos2x＝1，
sin x＝±，B选项错误；
tan 2x＝＝＝－，C选项错误；
＝2，sin2x＋cos2x＝1，sin2x＝，sin 2x＝2sin xcos x＝sin2x＝，D选项正确.故选AD.]
11.ACD [由α，β∈(0，)，则α＋β∈(0，π)，sin(α＋β)＝＝，故A正确；
由α，β∈(0，)，则α－β∈(－，)，cos(α－β)＝＝，故B错误；
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝，故C正确；
由＝＝＝，则＝，故D正确.故选ACD.]
12.－ [因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝ sin2α＋cos2α＋
2sin αcos α＝ 2sin αcos α＝－ sin 2α＝－.]
13.2 [由sin(2α＋β)＝2sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝2sin(α＋β)cos α－2cos(α＋β)sin α，
整理得sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α，由α，β∈(0，)，
得α＋β∈(0，π)，
则cos α>0，sin(α＋β)>0，cos(α＋β)≠0，于是＝，
又tan α＝，
所以tan(α＋β)＝3tan α＝2.]
14. [因为cos(20°－θ)＋cos(20°＋θ)－cos(40°－θ)＝0，
所以cos 20°cos θ＋sin 20°sin θ＋cos 20°cos θ－sin 20°sin θ－cos 40°cos θ－sin 40°sin θ＝0，
得2cos 20°cos θ－cos 40°cos θ－sin 40°sin θ＝0，
所以2cos 20°－cos 40°－sin 40°tan θ＝0，
则tan θ＝＝
＝＝＝.]
小题精练13 三角函数的图象与性质
1.A [对于函数f(x)＝，令2sin x＋1≥0，即sin x≥－，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数的定义域为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.故选A.]
2.A [f(x)＝－1＝cos(－4x)－＝cos(4x－)－，
故设f(x)的最小正周期为T，T＝＝，故A正确.故选A.]
3.B [由图象可知：＝－ T＝，所以ω＝＝，
把(，0)代入解析式得：tan(·＋φ)＝0 φ＝kπ－(k∈Z)，
因为|φ|<，取k＝1得φ＝，所以f(x)＝tan(x＋)，
则f()＝tan(×＋)＝tan＝－.故选B.]
4.C [由题意得f(x)的最小正周期为T＝，则所求函数为
y＝3sin 3(x＋×)＝3sin(3x＋)＝3cos 3x.故选C.]
5.D [f(x)＝－3cos(2x＋)，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
故kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
故选D.]
6.C [函数f(x)的定义域为{x|x≠，k∈Z}，因为f(－x)＝－tan x－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故排除AB；又因为f()＝2>0，故排除D.故选C.]
7.B [依题意f(x)＝－2sin2x＋3sin x＋2，令sin x＝t，故y＝－2t2＋3t＋2，t∈[，1].
故当t＝时，y有最大值，当t＝1时，y有最小值3，故所求值域为[3，].故选B.]
8.D [对于选项A，由题意，可得g(x)＝f＝cos[2(x＋)－]＝cos(2x＋)＝sin 2x，故A错误；
对于选项B，令－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z) －＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以g(x)在[－，]上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为x∈[0，]，所以2x∈[0，]，故sin 2x∈[0，1], ∴g(x)在[0，]上的最小值为0，故C错误；
对于选项D，函数g(x)＝sin 2x的对称轴方程为2x＝kπ＋(k∈Z)，化简可得x＝＋(k∈Z)，取k＝0，可得x＝，所以x＝是g(x)图象的一条对称轴，故D正确.
故选D.]
9.AD [由题意可得g(x)＝f(x＋)＝2sin(2x＋)，
对于A, f(x)的最小正周期为π，A正确，
对于B，当x∈(，)时，则2x－∈(0，)，故f(x)在(，)上单调递增，
B错误，
对于C，g(x)定义域为R，g(0)＝2sin＋1≠0，故g(x)不是奇函数，C错误，
对于D，y＝f(x)＋g(x)＝2sin(2x－)＋2sin(2x＋)＝2sin 2x，故最大值为2，D正确，故选AD.]
10.BD [因为f(x)＝sin 2x＋2cos2x－＝sin 2x＋cos 2x
＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2sin(2x＋)，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，
故A错误；
因为－1≤sin(2x＋)≤1，所以f(x)≥－2，故B正确；
因为f()＝2sin(2×＋)＝，所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；
当x∈(－，0)，则2x＋∈(－，)，又y＝sin x在(－，)上单调递增，所以f(x)在区间(－，0)上单调递增，故D正确.故选BD.]
11.ACD [f(x)＝|(sin x－cos x)|＝|sin(x－)|，
对于A，因为sin(x－)∈[－1，1]，所以f(x)∈[0，]，故A正确；
对于B，因为y＝sin(x－)的最小正周期为2π，
而y＝|sin(x－)|的图象是由y＝sin(x－)的图象将x轴下方的部分关于x轴对称上去，x轴及x轴上方部分不变，所以y＝|sin(x－)|的最小正周期为π，故B错误；
对于C，当x∈[0，]时，x－∈[－，0]，所以sin(x－)≤0，所以f(x)＝|sin(x－)|＝－sin(x－)，又y＝sin(x－)在[0，]上单调递增，所以f(x)在[0，]上单调递减，故C正确；
对于D，因为f()＝|sin(－)|＝，所以f(x)关于x＝对称，故D正确；故选ACD.]
12.2 [由题意f()＝asin－cos＝0，所以a＝1，所以f(x)＝sin x－cos x＝2(sin x－cos x)＝2sin(x－)，又sin(x－)∈[－1，1]，所以f(x)∈[－2，2]，故f(x)的最大值为2.]
13.1 [因为f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)＝sin，又因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即φ＋＝＋kπ，k∈Z，故φ＝＋kπ(k∈Z)，所以tan φ＝tan(＋kπ)＝1(k∈Z).]
14.sin(4x－) [设A(x1，)，B(x2，)，因为|AB|＝，
可得x2－x1＝，
又因为sin t＝，
所以t＝＋2kπ或t＝＋2kπ，k∈Z，
结合函数的图象，可得ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，
即ω(x2－x1)＝，
所以ω＝4，因为f(π)＝sin(＋φ)＝0，且在单调递增区间内，所以＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝－π＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin(4x－＋2kπ)＝sin(4x－＋2kπ)，k∈Z，所以f(x)＝sin(4x－).]
小题精练14 三角函数中的参数范围问题(突破练)
1.A [函数f(x)＝2cos(2x＋φ)－1的一个零点是，则有f()＝2cos(＋φ)－1＝0，
即cos(＋φ)＝，则＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝±－＋2kπ(k∈Z)，
所以当φ＝－时，|φ|有最小值.故选A.]
2.A [当x∈[－，]时，
ωx＋∈[－，＋]，若函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)在区间[－，]上单调递增，
则k∈Z，解得k∈Z，又ω>0，当k＝0时，可得0<ω≤2.故选A.]
3.B [由方程|f(x)|＝|2sin(ωx＋)|＝1，可得sin(ωx＋)＝±，
所以ωx＋＝kπ±(k∈Z)，
当x∈(0，2π)时，ωx＋∈(，2ωπ＋)，
所以ωx＋的可能取值为，，，，，，…，因为原方程在区间(0，2π)上恰有3个实根，所以<2ωπ＋≤，解得<ω≤1.故选B.]
4.B [当x∈[0，]，则2x＋∈[，]，所以sin(2x＋)∈[－，1]，则h(x)∈[0，3]，
因为对于 x∈[0，]，不等式h(x)≤－5m－2恒成立，所以－5m－2≥3，解得m≤－1，所以实数m的取值范围为(－∞，－1].故选B.]
5.C [将函数f(x)＝sin(2ωx＋)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)＝sin[2ω(x－)＋]＝sin(2ωx)的图象，若函数y＝g(x)在[0，]上为增函数，则有0≤≤，解得0≤ω≤，所以ω的最大值为.故选C.]
6.D [由f(x)＝4cos2(－)－1＝2cos(ωx－)＋1(ω>0)，函数值域为[－1，3]，
又对任意的实数t，f(x)在区间(t，t＋)上的值域均为[－1，3]，
则>T＝，解得ω>3，故选D.]
7.A [将函数f(x)＝sin(2x－)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)＝sin(2x－＋)＝sin(2x＋)，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，若函数g(x)在区间[0，]和[4a，]上均单调递增，则解得≤a<.故选A.]
8.C [当x∈(0，)时，0λtan 2x >λ·，
于是λ<，而＝(＋tan x)＋1，令tan x＝t∈(0，1)，
函数y＝＋t在(0，1)上单调递减，
因此＋tan x>2，即>2，
故λ≤2，所以实数λ的最大值为2.故选C.]
9.BC [因为f(x)≥f()，所以x＝时函数取得最小值，即直线x＝是函数f(x)的一条对称轴，又因为f()＝2，所以f(0)＝2，即f(0)＝mcos 0＋2sin 0＝2，所以m＝2，
所以f(x)＝2cos ωx＋2sin ωx＝4(cos ωx＋sin ωx)＝4sin(ωx＋)，
所以ω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋8k，k∈Z，当k＝0时ω＝，当k＝1时ω＝.故选BC.]
10.ABD [由题意可得f(x)的最小正周期为T＝π，又ω>0，则ω＝＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ－)，
对于A项，因为f(x)为偶函数，
所以φ－＝kπ＋，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ＝，故A正确；
对于B项，因为f(x)的图象关于点(－，0)中心对称，所以2×(－)＋φ－＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，故B正确；
对于C项，由x∈(0，)可得φ－<2x＋φ－<φ＋，因为0<φ<π，且f(x)在区间(0，)上单调递增，
所以解得0<φ≤，故C错误；
对于D项，由x∈[0，π]可得φ－≤2x＋φ－≤φ＋，因为0<φ<π，结合正弦函数图象得解得φ＝，故D项正确.故选ABD.]
11.BD [若ω＝1，则f(x)＝4sincos(＋)＋1，若f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(0)＝f()，又f(0)＝1，f()＝4sincos π＋1＝－1，矛盾，故A错误；
f(x)＝4sincos(＋)＋1＝4sin(cos－sin)＋1
＝2sincos－2sin2＋1＝2sin(ωx＋)，由题意可得≥π T≥2π，则|ω|＝≤1，因为ω>0，所以0<ω≤1，又因为x∈(0，π)，所以<ωx＋<ωπ＋，
又f(x)在区间(0，π)上是单调函数，
所以ωπ＋≤，解得0<ω≤，故B正确；
若ω＝－2，则f(x)＝2sin(－2x＋)，x∈[0，]，
则－2x＋∈[－，]，
所以sin(－2x＋)∈[－1，]，
所以f(x)∈[－2，1]，故C错误；
因为f(x)＝2sin(ωx＋), x∈[0，2π] ωx＋∈[，2ωπ＋]，又f(x)在区间[0，2π]上恰有2个零点，所以2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，故D正确；故选BD.]
12. [由≤x≤m，得≤2x＋≤2m＋，由函数的值域为[－1，]，可知≤2m＋≤，解得≤m≤.]
13. [由函数的图象知，f(x)的周期T＝2(－0)＝，ω＝＝，又f(0)＝2sin φ＝1，解得sin φ＝，而|φ|<，则φ＝，于是f(x)＝2sin(x＋)，g(x)＝f(x－t)＝2sin(x＋－t)，由函数g(x)为奇函数，得－t＝－kπ，k∈Z，而t>0，则t＝＋k，k∈N，所以当k＝0时，tmin＝.]
14. [由题意知x＝是函数f(x)＝sin(3πx＋φ)(0<φ<)的一条对称轴，
故＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ，k∈Z，因为0<φ<，故φ＝，故f(x)＝sin(3πx＋)，
由x∈(－t，t)，则－3πt＋<3πx＋<3πt＋，
又在(－t，t)内恰好存在三个对称中心，
故可得
解得小题精练15 解三角形及其应用
1.C [由余弦定理cos A＝＝＝－，且A∈(0，π)，则A＝.故选C.]
2.B [由题意得B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理得 ＝，则 a＝＝＝，故选B.]
3.A [由正弦定理得＝，即＝，故sin A＝，因为C＝45°，所以A∈(0°，135°)，故A＝30°.故选A.]
4.B [由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C＝32＋12－2×3×1×(－)＝12，即c＝2，
又cos C＝－，C∈(0，π)，则sin C＝，
所以△ABC的面积S△ABC＝absin C＝×3×1×＝，又S△ABC＝c·h，即＝×2h，解得h＝，故选B.]
5.C [因为acos B＝c＋bcos A，由正弦定理得sin Acos B＝sin C＋sin Bcos A，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，则sin Acos B＝sin Acos B＋sin Bcos A＋sin Bcos A，即2sin Bcos A＝0，因为00，则cos A＝0，又06.C [由2bcos C＝2a－c，得2sin Bcos C＝2sin A－sin C，
故2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C，化简得2cos Bsin C－sin C＝0，因为0a＝×sin A＝×＝.故选C.]
7.B [在△ABC中，AB＝100，BC＝35，∠ACB＝53.2°，因为sin 53.2°≈0.8，
所以cos 53.2°≈0.6.由余弦定理得：AB2＝CB2＋CA2－2CA·CB·cos 53.2°，
所以1002＝352＋CA2－2CA×35×0.6 CA2－42CA－8 775＝0 CA＝117或CA＝－75(舍去).因为135－117＝18，所以A0A＝18 mm.故选B.]
8.A [因为acos B＝(2c－b)cos A，由正弦定理可得：sin Acos B＝2sin Ccos A－
sin Bcos A，即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，sin C＝2sin Ccos A，
又C∈(0，π)，sin C≠0，故cos A＝，由A∈(0，π)，解得A＝；由余弦定理，结合a＝3，可得cos A＝＝，即b2＋c2＝bc＋9≥2bc，解得bc≤9，当且仅当b＝c＝3时取得等号，故△ABC的面积S＝bcsin A＝×bc≤×9＝，当且仅当b＝c＝3时取得等号.即△ABC的面积的最大值为.故选A.]
9.ABD [对于A，cos C＝1－2sin2＝1－2×＝，故A正确；
对于B，由A选项知cos C＝，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos C＝1＋25－2×5×＝21，故AB＝，故B正确；
对于C，由于在△ABC中，C∈(0，π)，故sin C>0，所以sin C＝＝，所以S△ABC＝BC·ACsin C＝×5×＝，故C错误；
对于D，设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理得2R＝＝＝2，故D正确.故选ABD.]
10.AC [根据余弦定理cos A＝＝－，
所以A＝，故A正确；
若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，
所以A＝B或A＋B＝，故B错误；
acos B＋bcos A＝a×＋b×＝c，
故C正确；
cos B＝，则sin B＝，sin Acos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，故D错误.故选AC.]
11.ABC [对于A，由S＝(a2＋c2－b2)，得acsin B＝·2accos B，则tan B＝，
而0°对于B，锐角△ABC中，A＝120°－C，30°，
＝＝＋＝＋∈(，2)，则对于C，当b＝2时，则4＝a2＋c2－ac≥ac，
当且仅当a＝c时取等号，
则S＝acsin B＝ac≤，C正确；
对于D，由三角形面积公式得a·sin30°＋c·sin30°＝acsin60°，则a＋c＝ac，
即＋＝1，因此a＋4c＝(a＋4c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝2c＝3时取等号，D错误.故选ABC.]
12.1 [由正弦定理：2sin Asin B＝4sin Csin Asin B，所以sin C＝，从而|cos C|＝.
而4＝a2＋b2－c2＝2ab|cos C|＝ab，
故ab＝4，得S△ABC＝absin C＝×4×＝1.]
13. [因为2sin Asin Bsin C＝3sin2C＋sin2B≥2sin Bsin C，则sin A≥1，当且仅当sin C＝sin B时取等号，又sin A≤1，故sin A＝1，即3sin2C＝sin2B，3c2＝b2，＝.]
14.3 [在△ACF中，∠AFC＝180°－60°＝120°，由正弦定理可知，＝，即＝，则AF＝CE＝2，
在△ACF中，AC2＝AF2＋CF2－2AF·CF·cos∠AFC，39＝4＋CF2－2×2×CF×(－)＝CF2＋2CF＋4，解得CF＝5或CF＝－7(舍去)，
所以EF＝CF－CE＝5－2＝3.]
小题精练16 平面向量的概念及线性运算
1.B [向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，由b＝2a，得(x，4)＝(2，4)，所以x＝2.故选B.]
2.A [a＋2b可以表示向东走了10 km，再向南走了10 km，由勾股定理可知，a＋2b所表示的意义为向东南走了10 km，故选A.]
3.A [在 ABCD中，＝2，＝2，＝a，＝b，
所以＝－＝－＝－a＋b.故选A.]
4.C [因为＝＝(－)＝(－)＝－＋，所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝－.故选C.]
5.D [＝－＝－(＋)＝－－3＝－－3(－)
＝－3＝m－3n，故选D.]
6.C [对于A，由≠，得向量与不共线，A错误；
对于B，由≠，得向量与不共线，B错误；
对于C，＝＋＝－2e1＋4e2，显然＝，则向量与共线，且有公共点A，于是A，C，D三点共线，C正确；
对于D，＝－＝－4e1＋4e2，由≠，
得向量与不共线，D错误.故选C.]
7.D [设A0A2 025的中点为A，
则＋OA2 025＝2＝＋OA2 024＝＋OA2 025－i(i∈[0，2 025]且i∈N)，2＝a＋b，
所以＋＋＋…＋OA2 025＝×2＝1 013(a＋b).故选D.]
8.C [因为＝2，＝，所以＝，＝，
设＝a＋(1－a)(0则＋＝a＋(1－a)＋b＋(1－b)
＝(a＋b)＋(2－a－b)＝(a＋b)＋3(2－a－b)，又
＋＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且，不共线，
则所以2λ＋μ＝6.]
9.BC [因为CD∥AB，CD＝AB，所以＝＋＝－，因为F为AE的中点，
所以＝2＝2(＋)＝2＋2，
所以＝2＋2－＝＋2，
所以λ＝，μ＝2.故选BC.]
10.ABD [根据“仿射坐标”定义，a＝e1＋2e2，b＝me1－e2，
对于A，|a|＝|e1＋2e2|，即|a|2＝|e1＋2e2|2＝|e1|2＋4|e1|·|e2|cos 60°＋4|e2|2＝7，因此|a|＝.故A正确.
对于B，a＝e1＋2e2，b＝3e1－e2，则a＋b＝4e1＋e2，
根据“仿射坐标”定义，a＋b的“仿射坐标”为(4，1).故B正确.
对于C，若a⊥b，则a·b＝(e1＋2e2)·(me1－e2)＝0，化简a·b＝m|e1|2＋(2m－1)|e1|·|e2|cos 60°－2|e2|2＝0，即m＋(2m－1)×－2＝0，解得m＝，故C错误.
对于D，若a∥b，则a＝λb e1＋2e2＝λ(me1－e2)＝λme1－λe2，则1＝λm，2＝－λ，联立得m＝－，λ＝－2，故D正确.故选ABD.]
11.ACD [A选项，由题知＝，故GH＝GA＋AE＋EH＝2BC＋BD＝(＋1)BD，
而GH∥BD，故A正确；
B选项，由题知CF＝2DE，＝＋＝＋，故B错误；
C选项，＝＋＝－，故C正确；
D选项，因为＝＋，＝－，
＝＝(＋)
＝＝＋，
故＝＋，
故D正确.故选ACD.]
12.6 [因为a＝(2，4)，b＝(3，y)，所以a＋b＝(3，y)＋(2，4)＝(5，4＋y),
又a∥(a＋b)，所以2(4＋y)＝4×5，解得y＝6.]
13.－4 [根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，
则a＝(0，4)－(1，6)＝(－1，－2)，b＝(7，2)－(1，6)＝(6，－4)，c＝(2，0)－(7，2)＝(－5，－2)，
所以λa＋μb＝λ(－1，－2)＋μ(6，－4)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ)，
因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
所以(－5，－2)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ)，
所以解得λ＝2，μ＝－，
所以＝－4.]
14. [因平行四边形ABCD的对角线相交于点O，
则＝＋，
而＝m，＝n(m>0，n>0)，
于是得＝＋，
又点M，O，N共线，因此＋＝1，
即mn＋1＝2n，又mn＝，
解得m＝，n＝，
所以m＋n＝.]
小题精练17 平面向量的数量积及其应用
1.B [由题意知，a·b＝sin θ＋cos θ＝0，则tan θ＝－，又θ∈(0，π)，所以θ＝.故选B.]
2.A [依题意，a·b＝－1×(－3)＋2×1＝5，|b|＝＝，所以a在b上的投影向量为b＝b＝(－，).故选A.]
3.B [取线段AB的中点D，得OD⊥AB，所以||cos A＝||＝||，所以·＝||·||·cos A＝·||2＝.故选B.]
4.B [因为|b|＝2，|a|＝，a·b＝2，所以|a－b|＝＝＝，
所以cos〈a，a－b〉＝＝＝.故选B.]
5.A [在△ABC中，若AB＝6，∠BAC＝，∠ACB＝，由正弦定理得BC＝＝3，
所以·＋·＝2＝54.故选A.]
6.B [由|a|＝2，|b|＝3，a·(a－b)＝－1，得a2－a·b＝－1，
则a·b＝a2＋1＝5，
因此(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4×4－4×5＋9＝5，
所以|2a－b|＝.故选B.]
7.D [由题意D为BC边靠近C点的三等分点，
所以＝－＝－＝－(－)＝＋，
所以·＝·(－)＝2－·－2＝2，
又AB＝AC＝2，所以·＝－2.故选D.]
8.C [以A1为原点， A1A2为x轴，A1A6为y轴建立平面直角坐标系，
设N(x1，y1)，M(x2，0)，则＝(x2，0)，＝(x1，y1)，
所以·＝x1x2，由于正八边形的每个外角都为；
则x2∈[0，2]，x1∈[－，2＋]，
所以·＝x1x2∈[－2，4＋2]，故选C.]
9.ABD [若a∥b，则1×x＝－3×，解得x＝－3，故A正确；
若a⊥b，则x＋1×(－3)＝0，解得x＝，故B正确；
若|a＋b|＝＝，x＝0或x＝－2，故C错误；
若〈a，b〉＝，则cos〈a，b〉＝cos＝＝－，
解得x＝－，故D正确，故选ABD.]
10.ACD [∵圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为M(0，1)，半径r＝1，
∴|MB|＝＝，∴||max＝|MB|＋r＝＋1，故A正确；
由题知C(0，2)，故－x＝(2＋2x，－2x)，
故|－x|＝＝2＝2，
当x＝－时，|－x|取得最小值为2＝，故B错误；
根据向量投影的几何意义，知在方向上的投影的取值范围为[－1，1]，||＝2，故·∈[－2，2]，故C正确；
若＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，则A，B，C三点共线.∵直线BC的方程为x＋y－2＝0，∴圆心M到直线BC的距离为＝11.ABC [延长AO交BC于点D.因为O是△ABC的重心，
所以点D是BC中点，＝，则＝(＋).
对于选项A：因为＝＝×(＋)＝＋，故选项A正确；
对于选项B：由＝＋得，＋＝3，
所以92＝(＋)2＝2＋2＋2·≥2||||＋2·，当且仅当||＝||时等号成立.又因为·＝||||cos A＝||||，即||||＝5·，AO＝2，所以2×5·＋2·≤9×22，即·≤3，当且仅当||＝||时等号成立，故选项B正确；
对于选项C：因为||·||＝＝5·≤15，当且仅当||＝||时等号成立，sin A＝＝，所以S△ABC＝||||sin A≤×15×＝3，故选项C正确；
对于选项D：由92＝(＋)2＝2＋2＋2·，AO＝2，
得||2＋||2＝92－2·＝36－2·＝36－||||，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得：
a2＝||2＋||2－2||·||cos A＝36－||||≥36－×15＝24，即a≥2，当且仅当||＝||时等号成立，所以a的最小值是2，故选项D错误.故选ABC.]
12. [因为|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝，所以
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×2×1·cos〈a，b〉＋1＝3，所以cos〈a，b〉＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.]
13.(－，)∪(，＋∞) [∵a与b的夹角为锐角，
∴a·b>0，∵a＝2i＋3j，b＝i＋2λj，
∴a·b＝2i2＋6λj2＋(4λ＋3)i·j＝2＋6λ>0，∴λ>－，
当a与b同向时，设a＝μb，即2i＋3j＝μi＋2μλj，有μ＝2，2μλ＝3，故λ＝，所以a与b的夹角为锐角时，则λ的取值范围是(－，)∪(，＋∞).]
14.＋1 [由题可知|DE|＝，||＝1，则||＝，
所以·＝||||cos60°＝1，·＝||||cos 0°＝，
故·＝(＋)·＝·＋·＝1＋，故＝1＋.]
小题精练18 平面向量中的最值范围问题(突破练)
1.D [因为a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，则a＋b＝(1＋cos θ，sin θ)，可得|a＋b|＝＝，因为θ∈，则∈[，2]，
所以|a＋b|的取值范围是[，2].故选D.]
2.B [由＝＋x可得||2＝(＋x)2＝||2＋x2||2＋2x·
＝1＋2x2＋2x×1×cos45°＝2x2＋2x＋1＝2(x＋)2＋，因x∈R，故x＝－时，||＝，即||的最小值为.故选B.]
3.C [因为向量a，b的夹角为，且|a|＝2|b|＝4，则a·b＝|a||b|cos＝－4，
可得(a＋tb)2＝a2＋2ta·b＋t2b2＝4t2－8t＋16＝4(t－1)2＋12≥12，当且仅当t＝1时，等号成立，所以|a＋tb|(t∈R)的最小值是2.故选C.]
4.B [由投影向量的定义可知，当P在CD上时，·取得最大值，
延长DC交AB的延长线于点T，·的最大值为AB·AT，
其中正八边形的外角为360°÷8＝45°，故AB＝BC＝2，∠CBT＝45°，
故BT＝2cos 45°＝，AT＝AB＋BT＝2＋，故AB·AT＝2(2＋)＝4＋2，
所以·最大值为4＋2.故选B.]
5.C [因为|a＋b|＝|a－2b|，所以|a＋b|2＝|a－2b|2，
则|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，即|b|2＝2a·b≤2|a||b|.
又b为非零向量，|b|＝.
所以|a|≥|b|＝，所以|a|的最小值为，|a|无最大值.故选C.]
6.D [以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，E(，1)，F(x，2)(0≤x≤1)，所以＝(，1)，＝(x，2)，·＝x＋2，
因为x的取值范围是[0，1]，所以·的取值范围是.故选D.]
7.B [设＝2，＝λ＋μ(λ≥0，μ≥0且λ＋2μ＝2)，
则＝＋μ(λ≥0，μ≥0且＋μ＝1)，则P在线段QB上，如图所示，当P与Q重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为|CA|＝1；
当P与B重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为|CB|＝；
则在上的投影向量的长度的取值范围是[，1].故选B.]
8.B [因为|a|＝|b|＝4，|c|＝2，a·b＝－8，且c＝λa＋μb(λ∈R，μ∈R)，
所以c2＝(λa＋μb)2＝λ2a2＋μ2b2＋2λμa·b＝16λ2＋16μ2－16λμ＝4，
所以(2λ－μ)2＋3μ2＝1，令2λ－μ＝cos θ，μ＝sin θ，
所以2λ＋μ＝cos θ＋sin θ＝sin(θ＋φ)，其中cos φ＝，
sin φ＝，
所以2λ＋μ∈[－，]，
即2λ＋μ的取值范围是[－，].故选B.]
9.ABC [＝3，即－＝3(－)，得＝＋，由＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，有＝，＝，则＝＋，由P，D，Q三点共线，有＋＝1，所以有3λ＋μ＝4λμ，A选项正确；
λ>0，μ>0，＋＝1≥2，得λμ≥，
当且仅当λ＝，μ＝时等号成立，
所以λμ的最小值为，B选项正确；
λ＋μ＝(λ＋μ)＝＋＋1≥2＋1＝＋1，当且仅当＝，即λ＝，μ＝时等号成立，所以λ＋μ的最小值为1＋，C选项正确，D选项错误.故选ABC.]
10.BCD [如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设DE＝BF＝x(0≤x≤4)，则C(2，4)，E(0，4－x)，F(5－x，0)，＝(－2，－x)，＝(3－x，－4)，＝(5－x，x－4)，
对于AB，·＝2x－6＋4x＝6x－6∈[－6，18]，故A错误，B正确；
对于C，·＝2x－10－x2＋4x＝－x2＋6x－10＝－(x－3)2－1，
当x＝3时，·取得最大值，且最大值为－1，故C正确；
对于D，△CEF的面积S＝×4－－－
＝－x2＋x＋4＝－2＋，当x＝时，S取得最大值，且最大值为，故D正确.故选BCD.]
11.BCD [以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，所以B(0，2)，A(2，0)，设∠EOA＝θ，
则E(2cos θ，2sin θ)(θ∈[0，])，
＝(2cos θ，2sin θ)，＝(－2，2)，
所以·＝4sin θ－4cos θ＝4sin(θ－)，
因为θ∈[0，]，所以θ－∈[－，]，
所以sin(θ－)∈[－，]，所以·∈[－4，4]，·的最小值为－4，故A错误；
＝(2－2cos θ，－2sin θ)，＝(－2cos θ，2－2sin θ)，
所以·＝－4cos θ＋4cos2θ－4sin θ＋4sin2θ＝4－4sin(θ＋)，因为θ∈[0，]，所以θ＋∈[，]，所以sin(θ＋)∈[，1]，所以4－4sin(θ＋)∈[4－4，0]，·∈[4－4，0]，·的最小值为4－4，故B正确；
因为|CD|＝1，设C(t，0)(t∈[0，1])，所以|OD|＝，
可得D(0，)，
＝(t－2cos θ，－2sin θ)，＝(－2cos θ，－2sin θ)，
所以·＝－2tcos θ＋4cos2θ－2sin θ＋4sin2θ＝4－2(tcos θ＋sin θ)＝4－2sin(θ＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝t，又t∈[0，1]，所以cos φ，sin φ∈[0，1]，所以φ∈[0，]，φ＋θ∈[0，π]，sin(φ＋θ)∈[0，1]，－sin(φ＋θ)∈[－1，0]，所以·∈[2，4]，
·的最小值为2，最大值为4，故C，D正确.故选BCD.]
12.[0，2] [·＝(＋)·＝·＋·＝
－cos〈，〉＋1.
因为－1≤cos〈，〉≤1，所以0≤·≤2，即·的取值范围为[0，2].]
13. 0 [由圆的对称性可得O为MN的中点，所以＝(＋)＝a＋b＝λ1a＋λ2b，所以λ1＝.
因为＝－，所以a·b＝(＋)·(－)＝2－2＝4－2，
所以当||取得最大值2时，a·b的最小值为0.]
14.[－1，0] [如图，过P作PM∥AO，交OE于M，作PN∥OE，交AO的延长线于N，则＝＋，又因为＝x＋y，y＝2，则点M为BE中点，又B是AC的中点，所以CM∥OA，则点P在CM上，
由图形看出，当P与C重合时＝－＋2，此时x取最小值－1，
当P与M重合时＝0·＋2，此时x取最大值0，所以x的范围是[－1，0].]
小题精练19 复 数
1.C [z1－z2＝4－2i－(2－4i)＝4－2i－2＋4i＝2＋2i.故选C.]
2.D [因为z1＝z2，可得2－ai＝b－1＋2i，则解得a＝－2，b＝3.故选D.]
3.C [由复数的几何意义可知z1＝2＋i，z2＝－1＋i，
则z1·2＝(2＋i)(－1－i)＝－2－2i－i－i2＝－1－3i，
对应的点的坐标为(－1，－3)，该点位于第三象限.故选C.]
4.B [＝＝＝－i，
所以的虚部为－.故选B.]
5.C [z＝＝＝＝－＋i，因此＝－－i，