2025-2026学年度高二数学月考模拟卷（范围：第一章空间向量与立体几何第二章直线方程）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年度高二数学月考模拟卷（范围：第一章空间向量与立体几何第二章直线方程）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1020.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-28 09:32:10 | ||
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文档简介
2025-2026学年度高二数学月考模拟卷
（范围：第一章空间向量与立体几何 第二章直线方程）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线经过，两点，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C．2 D．
5．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）．
A． B．0 C．5 D．
8．已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．5
二、多选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
9．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．与平面的夹角的余弦值为
C．是平面PBC的一个法向量 D．
10．对于直线，．以下说法错误的有（ ）
A．的充要条件是 B．当时，
C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5
11．如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．若E为线段的中点，则点E到直线的距离为
D．存在某个点E，使直线与平面所成角为
第II卷（非选择题）
三、填空题题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 .
13．已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ．
14．直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知点，，，向量.
(1)若，求实数的值；
(2)求向量在向量方向上的投影向量.
16．已知顶点、、
(1)求边上中线所在的直线方程；
(2)求边上高线所在的直线方程；
(3)求的面积.
17．如图，在平行六面体中，M为与的交点，N为的靠近B的三等分点，若，，.
(1)用，，表示，向量；
(2)若，，计算.
18．直线过点，且与轴正半轴，轴正半轴分别交于，两点，为坐标原点.
（1）当的面积取得最小值时，求此时直线的一般式方程.
（2）当的截距之和取得最小值时，求此时直线的截距式方程.
19．在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，与交于点O，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)设的中点为M，在棱上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
《2025-2026学年度高二数学月考模拟卷（范围：第一章空间向量与立体几何 第二章直线方程）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D A C D AB AC
题号 11
答案 ABC
1．C
【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案．
【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为.
故选：C
2．D
【分析】结合两点坐标求直线的方程，根据直线方程确定直线的斜率.
【详解】 由已知得，两点的横坐标都是，
所以直线的方程是，直线是一条垂直于x轴的直线，
所以直线的倾斜角为.
故选：D.
3．B
【分析】先求出，，再由空间向量平行关系解出即可.
【详解】由题意：，，
，则存在非零实数，使得，
，解得.
故选：B.
4．B
【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案.
【详解】直线与直线平行，
则，解得，
直线，即，
与的距离为.
故选：B
5．D
【分析】利用空间向量基本定理，得到答案.
【详解】，点为中点，
.
故选：D
6．A
【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.
【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．
由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，
因此直线的倾斜角的取值范围是．
故选：A.
7．C
【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案.
【详解】因为不能构成空间的一个基底，
所以共面，
故存在使得，
即，
故，解得.
故选：C
8．D
【分析】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可.
【详解】将直线l的方程变形为，由，
得，所以直线l过定点，
当时，点P到l的距离最大，故最大距离为.
故选：D.
9．AB
【分析】利用向量的坐标运算解决平行垂直问题，利用向量法求线面角的余弦值.
【详解】是平行四边形，，又，
由，得，即，A选项正确；
，，又，则是平面的法向量，
即平面，在平面内射影为，
与平面的夹角为，，B选项正确；
，不是平面PBC的法向量，C选项错误；
，，无解，不成立，D选项错误.
故选：AB
10．AC
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为，，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，故C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，
到直线的距离最大，最大值为，
故D正确，
故选：AC.
11．ABC
【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项.
【详解】对于A,,所以A正确.
对于B,连接，如图：
在正方体中，，
所以平面，又因为平面，
所以，所以B正确.
对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
即
所以点E到直线的距离，
所以C正确.
对于D,由上面空间直角坐标系可知，，
所以平面的法向量，设，
则，设直线与平面所成角为，则
，
若直线与平面所成角为，
则，
又，所以方程无解，D错误.
故选：ABC.
12．
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解.
【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
因此，
所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
故答案为：
13．
【分析】求得平面的一个法向量为，再根据和向量的数量积的运算，即可求解.
【详解】由，
设平面的法向量为，则，
取，可得，即，
点P到平面ABC的距离等于，所以，即得，且，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
14．4
【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案.
【详解】直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
且两条直线满足,
,即，
,
,当且仅当时，等号成立，
的最大值为4.
故答案为：4.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表达式解方程即可；
（2）利用投影向量公式计算即可.
【详解】（1）由题意，，，
因为，
所以，即，
得.
（2）由题意，，，
所以向量在向量上上的投影向量为：.
16．(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）求出边的中点坐标，由两点式直接写出直线方程；
（2）求出边所在直线的斜率，得到高线的斜率，由点斜式写出直线方程；
（3）点到边所在直线的距离即为三角形高，由三角形面积公式求得面积.
【详解】（1）边的中点，即，
由两点式即可得，即.
（2），所以边上高线的斜率，
由点斜式即可得，即.
（3）由（2）可知，由点斜式即可得，即，
三角形的高是点到直线的距离，所以，
，
.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）以，，为基向量，利用空间向量的线性运算法则表示，向量即可；
（2）结合（1）中的表达，按数量积的运算律转化，再利用数量积的定义求解即可.
【详解】（1）解：因为，所以，
因为，
所以.
（2）解：因为
，
所以.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）设：，由点在直线上可得，结合基本不等式等号成立的条件即可得解；
（2）转化条件为，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设：，
∵，∴，∴，
则，当且仅当时，等号成立，
此时，；
∴：；
（2）由（1）得，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时直线的截距式方程为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线的截距式方程及基本不等式的应用，细心运算即可得解.
19．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）取的中点，利用线面垂直证得，再利用线面垂直的判定定理可证明结论.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解可得结果.
（3）利用空间向量计算线面角的正弦值，列方程求解可得结果.
【详解】（1）
如图，取的中点，连接，由，得，
由是等腰梯形两条对角线的交点，得，则，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）由（1）及，得直线两两垂直，
以点为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
由，得，
所以，故，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，故，
由题意得，平面的法向量，
所以，故平面与平面所成角的余弦值为.
（3）由（2）知，，
所以，.
假设在线段上存在点Q满足条件，则，
所以.
由（2）知平面的法向量，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理得，解得，
所以在线段上存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为，.
答案第2页，共11页
答案第1页，共11页
（范围：第一章空间向量与立体几何 第二章直线方程）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线经过，两点，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C．2 D．
5．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）．
A． B．0 C．5 D．
8．已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．5
二、多选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
9．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．与平面的夹角的余弦值为
C．是平面PBC的一个法向量 D．
10．对于直线，．以下说法错误的有（ ）
A．的充要条件是 B．当时，
C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5
11．如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．若E为线段的中点，则点E到直线的距离为
D．存在某个点E，使直线与平面所成角为
第II卷（非选择题）
三、填空题题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 .
13．已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ．
14．直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知点，，，向量.
(1)若，求实数的值；
(2)求向量在向量方向上的投影向量.
16．已知顶点、、
(1)求边上中线所在的直线方程；
(2)求边上高线所在的直线方程；
(3)求的面积.
17．如图，在平行六面体中，M为与的交点，N为的靠近B的三等分点，若，，.
(1)用，，表示，向量；
(2)若，，计算.
18．直线过点，且与轴正半轴，轴正半轴分别交于，两点，为坐标原点.
（1）当的面积取得最小值时，求此时直线的一般式方程.
（2）当的截距之和取得最小值时，求此时直线的截距式方程.
19．在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，与交于点O，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)设的中点为M，在棱上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
《2025-2026学年度高二数学月考模拟卷（范围：第一章空间向量与立体几何 第二章直线方程）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D A C D AB AC
题号 11
答案 ABC
1．C
【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案．
【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为.
故选：C
2．D
【分析】结合两点坐标求直线的方程，根据直线方程确定直线的斜率.
【详解】 由已知得，两点的横坐标都是，
所以直线的方程是，直线是一条垂直于x轴的直线，
所以直线的倾斜角为.
故选：D.
3．B
【分析】先求出，，再由空间向量平行关系解出即可.
【详解】由题意：，，
，则存在非零实数，使得，
，解得.
故选：B.
4．B
【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案.
【详解】直线与直线平行，
则，解得，
直线，即，
与的距离为.
故选：B
5．D
【分析】利用空间向量基本定理，得到答案.
【详解】，点为中点，
.
故选：D
6．A
【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.
【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．
由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，
因此直线的倾斜角的取值范围是．
故选：A.
7．C
【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案.
【详解】因为不能构成空间的一个基底，
所以共面，
故存在使得，
即，
故，解得.
故选：C
8．D
【分析】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可.
【详解】将直线l的方程变形为，由，
得，所以直线l过定点，
当时，点P到l的距离最大，故最大距离为.
故选：D.
9．AB
【分析】利用向量的坐标运算解决平行垂直问题，利用向量法求线面角的余弦值.
【详解】是平行四边形，，又，
由，得，即，A选项正确；
，，又，则是平面的法向量，
即平面，在平面内射影为，
与平面的夹角为，，B选项正确；
，不是平面PBC的法向量，C选项错误；
，，无解，不成立，D选项错误.
故选：AB
10．AC
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为，，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，故C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，
到直线的距离最大，最大值为，
故D正确，
故选：AC.
11．ABC
【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项.
【详解】对于A,,所以A正确.
对于B,连接，如图：
在正方体中，，
所以平面，又因为平面，
所以，所以B正确.
对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
即
所以点E到直线的距离，
所以C正确.
对于D,由上面空间直角坐标系可知，，
所以平面的法向量，设，
则，设直线与平面所成角为，则
，
若直线与平面所成角为，
则，
又，所以方程无解，D错误.
故选：ABC.
12．
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解.
【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
因此，
所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
故答案为：
13．
【分析】求得平面的一个法向量为，再根据和向量的数量积的运算，即可求解.
【详解】由，
设平面的法向量为，则，
取，可得，即，
点P到平面ABC的距离等于，所以，即得，且，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
14．4
【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案.
【详解】直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
且两条直线满足,
,即，
,
,当且仅当时，等号成立，
的最大值为4.
故答案为：4.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表达式解方程即可；
（2）利用投影向量公式计算即可.
【详解】（1）由题意，，，
因为，
所以，即，
得.
（2）由题意，，，
所以向量在向量上上的投影向量为：.
16．(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）求出边的中点坐标，由两点式直接写出直线方程；
（2）求出边所在直线的斜率，得到高线的斜率，由点斜式写出直线方程；
（3）点到边所在直线的距离即为三角形高，由三角形面积公式求得面积.
【详解】（1）边的中点，即，
由两点式即可得，即.
（2），所以边上高线的斜率，
由点斜式即可得，即.
（3）由（2）可知，由点斜式即可得，即，
三角形的高是点到直线的距离，所以，
，
.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）以，，为基向量，利用空间向量的线性运算法则表示，向量即可；
（2）结合（1）中的表达，按数量积的运算律转化，再利用数量积的定义求解即可.
【详解】（1）解：因为，所以，
因为，
所以.
（2）解：因为
，
所以.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）设：，由点在直线上可得，结合基本不等式等号成立的条件即可得解；
（2）转化条件为，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设：，
∵，∴，∴，
则，当且仅当时，等号成立，
此时，；
∴：；
（2）由（1）得，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时直线的截距式方程为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线的截距式方程及基本不等式的应用，细心运算即可得解.
19．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）取的中点，利用线面垂直证得，再利用线面垂直的判定定理可证明结论.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解可得结果.
（3）利用空间向量计算线面角的正弦值，列方程求解可得结果.
【详解】（1）
如图，取的中点，连接，由，得，
由是等腰梯形两条对角线的交点，得，则，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）由（1）及，得直线两两垂直，
以点为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
由，得，
所以，故，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，故，
由题意得，平面的法向量，
所以，故平面与平面所成角的余弦值为.
（3）由（2）知，，
所以，.
假设在线段上存在点Q满足条件，则，
所以.
由（2）知平面的法向量，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理得，解得，
所以在线段上存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为，.
答案第2页，共11页
答案第1页，共11页
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