3.4 函数的应用（一） 过关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

3.4 函数的应用（一） 过关练 2025-2026学年
数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（ ）
A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg
2．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（ ）
A． B． C． D．
3．某制药厂研制出一种新型药物，根据市场调研，药品利润（万元）与投放市场后其广告投入（万元）满足关系式：，已知去年投入广告费用为2万元，药品利润为12万元，若今年的广告投入相较于去年增加3万元，则今年的药品利润预计相较于去年将会增加（ ）
A．2万元 B．3万元 C．5万元 D．7万元
4．如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．若汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度满足关系，某种型号的汽车以的速度行驶时，紧急刹车后滑行的距离为20m．若一辆该型号的汽车以的速度行驶时，突然紧急刹车，则汽车急刹车后的“刹车距离”为（ ）
A．20m B．40m C．45m D．60m
6．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋（，）层，每层2800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，（注：综合费用＝建筑费用＋购地费用），则该楼房最多建的层数为（ ）
A．11 B．8 C．12 D．10
7．当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数：下列说法不正确的是（ ）
A．时， B．时，函数取得最大值
C．函数的值域是 D．函数在上是增函数
8．在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大．则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（ ）

A．测试结束时，该手机剩余电量为85%
B．该手机在前内电量始终在匀速下降
C．该手机在内电量下降的速度比在内下降的速度更慢
D．该手机在进行了充电操作
10．（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现推出了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱
B．当打车距离为时，乘客选择甲、乙方案均可
C．打车以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多
D．打车内（含）时，选甲方案需付费元，行程大于时，每增加费用增加0．7元
11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第个月的需求量（万件 ）近似地满足，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是（ ）
A．8月 B．9月 C．10月 D．11月
12．市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（ ）
A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升
B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟
C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升
D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污
三、填空题
13．为了鼓励市民节约用电，某地电力公司规定以下用电计费方法：
每户每月用电量 电价
不超过100千瓦时的部分 0.5元/千瓦时
超过100千瓦时但不超过150千瓦时的部分 元/千瓦时
超过150千瓦时的部分 0.7元/千瓦时
若某户居民本月用电量为168千瓦时，共缴纳电费93.6元，则 ．
14．随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投人100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为 万元．
四、解答题
15．“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
(2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
16．某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系.
24 31 39 49
44 30 20 12
根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律.
(1)求与之间的函数解析式；
(2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？
17．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．

(1)设，求关于的函数的解析式及其定义域；
(2)求面积的最大值及相应的值．
18．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元.
(1)求a，b；
(2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
(3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
19．娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为.
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D C C D A AD BC
题号 11 12
答案 CD ABD
1．D
【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得.
【详解】依题意，设，由，得，则，
当时， ，所以．
故选：D
2．B
【分析】解方程即可.
【详解】因为茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，
且喝茶的最佳口感水温大约是，
当时，由可得，合乎题意；
当时，由，解得，舍去.
综上所述，.
因此，需要等待的时间为.
故选：B.
3．B
【分析】根据已知求函数解析式中的参数，再将求函数值，即可得答案.
【详解】当时，，解得，则，
今年的广告投入为，则今年的药品利润（万元），
所以今年的药品利润预计相较于去年将会增加（万元）．
故选：B
4．D
【分析】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解.
【详解】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为，
设所建造的禽舍总面积为，
则，
所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值.
故选：D.
5．C
【分析】根据给定模型及已知求得，再将代入函数求值即可.
【详解】因为汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度满足关系，
又，所以，解得，即．
当时，解得．
故选：C
6．C
【分析】根据实际问题建立函数关系式，再利用一元二次不等式解出范围，根据变量的取值范围即可得答案.
【详解】设该楼房每平方米的平均综合费用为元，
则，即，
则，解得．
因为，所以该楼房最多建12层．
故选：C.
7．D
【分析】求出函数值判断A；求出最大值判断；求出值域判断C；取特值计算判断D.
【详解】对于A，当时，，A正确；
对于B，当时，，
当且仅当时取等号，而当时，，
又，因此当时，函数取得最大值，B正确；
对于C，函数在上递增，，
在上递增，，因此函数的值域是，C正确；
对于D，，因此函数在上不单调，D错误.
故选：D
8．A
【分析】根据条件建立分段函数关系，利用待定系数法求出，的值，利用二次函数的最值性质进行求解即可．
【详解】，
则当时，，
当时，，即，解得，，
故，
当时，的最大值为时，；
当时，，
根据二次函数的对称轴方程为，得的最大值为时，．
故选：A．
9．AD
【分析】由函数图象逐一判断即可.
【详解】对于A，由图象可得，当时，，所以测试结束时，该手机剩余电量为85%，故A正确；
对于B，当时，函数图象不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误；
对于C，由图象可得，在内电量下降的速度为，在内电量下降的速度为，
因为，所以该手机在内电量下降的速度比在内下降的速度更快，故C错误；
对于D，由图象可得该手机在电量上升了55%，所以进行了充电操作，故D正确．
故选：AD.
10．BC
【分析】根据函数图象对应的函数值的大小关系判断每个选项是否省钱
【详解】对于A，当打车距离为时，甲对应的函数图象在乙图象的下方，即甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱，即A错误；
对于B，当打车距离为时，由图可知，甲、乙均为12元，因此乘客选择甲 乙方案均可，即B正确；
对于C，打车以上时，甲方案每公里增加的费用为（元），乙方案每公里增加的费用为（元），故每公里增加的费用甲方案比乙方案多，即C正确；
对于D，由图可知，甲方案内（含）内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加1元，故D错误；
故选：BC
【点睛】考查对函数图像的理解
11．CD
【分析】根据二次函数性质即可求.
【详解】因为，且，
所以当或时，需求量取最大.
故选：CD
12．ABD
【分析】对于A，由题意可得，当时代入函数解析式即可判断；对于B，分两种情况求解即可；对于C，当时，由基本不等式即可求解；对于D，因为，结合函数解析式利用不等式即可求解最小值，判断即可.
【详解】对于A，由题意可得，当时，，
当10时，，当时，，故A正确；
对于B，当时，，解得，故，
当时，，解得，故，
综上所述，，
若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟，故B正确；
对于C，当时，
，
当时，，故C错误；
对于D，因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以有最小值，
所以接下来的4分钟能够持续有效去污，故D正确.
故选：.
13．0.62/
【分析】根据题设描述写出电费与电价的分段函数形式，再由已知列方程求参数即可.
【详解】设用电量为千瓦时，电费元，则，
由题知，，则．
故答案为：0.62
14．
【分析】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为，得出函数的解析式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数的最大值，即可求解．
【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元），
由题意可得，
即，
当时，函数的对称轴为，则；
当时，，
当且仅当时，取得最大值，
综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元．
故答案为：．
15．(1)A品牌垃圾桶100元，B品牌垃圾桶150元
(2)最多16个
【分析】（1）根据题意，列出方程，分别解出购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶的价格；
（2）根据题意，设购买m个B品牌垃圾桶列出不等式，求得m的最值即可．
【详解】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需(x+50)元，
依题意，得：，解得：x＝100，经检验x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+50＝150．
答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买(50m)个A品牌垃圾桶，
依题意，得：100×0.9(50m)+150×(1+20%)m6000，解得：m．
因为m是正整数，所以m最大值是16．
答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶．
16．(1)，；
(2)，，销售单价39元.
【分析】（1）取数据对代入求出即可求出解析式.
（2）求出日销售利润函数，再利用基本不等式求解.
【详解】（1）取数据对，则，解得，
由实际意义知，，解得，
所以与之间的函数解析式，.
（2）由（1）得，日销售利润，，
，当且仅当，即时取等号，
所以当销售单价为39元时，获得最大日销售利润400元.
17．(1)定义域为；
(2)的面积有最大值，此时cm.
【分析】（1）根据题意，，利用三角形全等以及勾股定理建立等量关系，即可得函数解析式及定义域；
（2）表达出的面积，结合基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为矩形的周长为，，则，
又，即，又，，
易知≌，所以，
在中，根据勾股定理得，即，
整理得，
故，定义域为.
（2）由题意，
，当且仅当时，等号成立.
所以，当时，的面积有最大值．
18．(1)
(2)
(3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元.
【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果.
（2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果.
（3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果.
【详解】（1）依题意，，所以.
（2）当时，，
当时，，
所以所求函数解析式为.
（3）当时，，
此时由二次函数单调性可知；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为，
所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元.
19．(1)第7年时，可获得最大利润45万元
(2)
【分析】（1）对已知的二次函数配方可求得结果；
（2）设这批机器的年平均利润为，则且然后利用基本不等式可得其最大值.
【详解】（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元；
（2）记年平均利润为，则14
当且仅当，即时，等号成立.