3.3 幂函数 过关练 2025-2026学年数学
高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过，两点
C．幂函数图象不可能在第四象限内
D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的严格增函数
6．幂函数在上是减函数，则实数的值为（ ）
A．2或 B． C．2 D．或
7．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．幂函数都有成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或
C．是偶函数 D．是奇函数
二、多选题
9．下列关于幂函数说法不正确的是（ ）
A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数
C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限
10．已知函数（ ）
A．的值域为 B．的值域为
C．的值域为 D．的值域为
11．设函数，则（ ）
A．存在实数，使的定义域为R
B．若函数在区间上递增，则
C．函数一定有最小值
D．对任意的负实数，的值域为
三、填空题
12．幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是 .
13．已知幂函数过点，则 .
14．函数的定义域为 .
四、解答题
15．已知幂函数的图像经过点．
(1)求此幂函数的表达式和定义域；
(2)若，求实数的取值范围．
16．已知幂函数．
(1)求的解析式；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
17．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
18．已知幂函数
(1)求的解析式；
(2)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间；
(3)若图像经过坐标原点，解不等式.
19．已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B C B A D AD ABD
题号 11
答案 ABC
1．B
【分析】利用幂函数定义直接判断作答.
【详解】函数是幂函数，
函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数，
所以所给函数中幂函数的个数是1.
故选：B
2．D
【分析】先根据已知条件求出的解析式，然后可求出.
【详解】设，由，得，
，则.
故选：D
3．B
【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断.
【详解】由题意结合图象可知.
故选：B.
4．B
【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可．
【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，
则函数的值域要包括，即最小值要小于等于．
当时，显然不成立，
所以，当时，则有，解得，
所以的取值范围是.
故选：B．
5．C
【分析】由幂函数的图象与性质判断即可.
【详解】对A，当时，函数的图象是一条直线除去点，所以A项不正确；
对B，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过，所以B项不正确；
对C，幂函数的图象不可能在第四象限内，所以C项正确；
对D，当时，幂函数为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确；
故选：C.
6．B
【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值.
【详解】由题意可知，，解得：或，
当时，，函数在上是减函数，成立，
当时，，函数在上是增函数，不成立，
所以.
故选：B
7．A
【分析】利用图象上的点求出函数解析式，根据幂函数的性质选项正确选项.
【详解】设幂函数，则，即，解得，即，
的定义域是，，函数为偶函数，
由，则在上递增且越来越慢.
故选：A.
8．D
【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果.
【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或，
因为，都有成立，所以该函数在是减函数，
所以，故A，B错误；
，定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以是奇函数，故D正确，C错误.
故选：D.
9．AD
【分析】根据幂函数随着变化的图像与性质，即可判断正误.
【详解】幂函数的解析式为.
当时，，此函数先单调递减再单调递增，
则都是单调函数不成立，A选项错误；
当时，，定义域为，此函数为偶函数，
当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，
所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；
当时，无论取何值，都有，
图像必过点，C选项正确；
当时， 图像经过一三象限，D选项错误.
故选：AD.
10．ABD
【分析】选项A，变形为与二次函数有关的复合函数值域求解；
选项B，利用两个减函数的和为减函数，利用单调性求值域；
选项C，平方变形与A同理可求；
选项D，变形为与分式函数有关的复合函数值域求解，
关键是根号内函数分离常数变形为反比例函数求解即可.
【详解】要使，都有意义，则有，
故，
选项A，设，，
，
，
则的值域为，故A正确；
选项B，设，，
则在单调递减，
故，
，
则的值域为，故B正确；
选项C，设，
，
，
由选项A知，的值域为，则的值域为，
又，所以的值域为，故C错误；
选项D，设，且
，
由，则，
令，则，
则关于的函数在单调递减，
则的值域为，
即的值域为，故D正确.
故选：ABD.
11．ABC
【分析】根据复合函数的单调性与二次函数的单调性与最值情况分别判断各选项.
【详解】A选项：函数，当时，即时，其定义域为，故A选项正确；
B选项：当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，不成立；
当，即时，，在上单调递增，满足在区间上递增，成立；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故，且，即；综上所述，若函数在区间上递增，，故B选项正确；
C选项：由恒成立，，
当时，，时取最小值为；
当且时，在或时取最小值为；当时，，时取最小值为；
当时，在或时取最小值为；故C选项正确；
D选项：当时，，其值域为，
当且时，在时取最大值为，其值域为，故D选项错误；
故选：ABC.
12．
【分析】将代入即可求解.
【详解】将代入可得，解得，
故答案为：
13．
【分析】设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式，最后代入求值即可.
【详解】设，则，解得，
所以，则.
故答案为：
14．
【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可.
【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为.
故答案为：
15．(1)，
(2)
【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域；
（2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得.
【详解】（1）设，则有，解得，
故，即，则其定义域为；
（2）由，则在上单调递减，
故有，即，即.
16．(1)
(2)为奇函数，理由见解析
【分析】（1）根据幂函数的定义求出可得答案；
（2）为奇函数，利用奇函数的定义判断可得答案.
【详解】（1）依题意可得，
解得，所以；
（2）为奇函数．
理由如下：
的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数．
17．(1)且；
(2)或.
【分析】（1）由幂函数的区间单调性有求参数范围，结合及对称性确定参数值，并写出解析式；
（2）由偶函数的区间单调性有，两边平方并解一元二次不等式求参数范围.
【详解】（1）由幂函数在上单调递增知，又，
当或，为奇函数，关于原点对称，不合题设；
当，为偶函数，关于轴对称，符合；
综上，且.
（2）由偶函数在上单调递增，则在上单调递减，
由，则，
所以，可得或.
18．(1)或；
(2)，单调递减区间为，无递增区间；
(3)
【分析】（1）根据函数为幂函数得到，求出答案；
（2）在（1）的基础上，得到，得到函数单调区间；
（3）在（1）的基础上，得到，解不等式，求出解集.
【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或2，
故或.
（2）当时，的图像经过坐标原点，不满足要求，
当，的图像不经过坐标原点，此时的单调递减区间为，无递增区间；
（3）若图像经过坐标原点，则，
由可得，解得，
所以原不等式的解集为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用幂函数的定义求参数m，然后利用偶函数即可求解解析式.
（2）利用幂函数单调性解不等式即可，注意定义域的限制.
【详解】（1）由于函数是幂函数，故，
解得或，
当时，不是偶函数，不合题意；
当时，是偶函数，符合题意.故.
（2）由（1）知，则原不等式化为，
结合幂函数在上为增函数，得，
解得，即实数的取值范围为.
