【学霸笔记】高中数学同步周测7《阶段滚动卷》人教A版 选择性必修第一册（教师版）
文档属性
| 名称 | 【学霸笔记】高中数学同步周测7《阶段滚动卷》人教A版 选择性必修第一册（教师版） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 219.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 00:00:00 | ||
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文档简介
周测7 阶段滚动卷
(时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若直线l的方向向量是e=(1)，则直线l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由直线l的方向向量是e=(1)得直线l的斜率为设直线l的倾斜角是α(0≤α<π)，则tan α=解得α=.
2.过点A(2，1)且与直线l：2x-4y+3=0垂直的直线方程是( )
A.x-2y=0 B.2x+y-5=0
C.2x-y-3=0 D.x+2y-4=0
答案 B
解析 由题意可设所求直线的方程为4x+2y+m=0，
将点A(2，1)代入直线方程4x+2y+m=0中，得4×2+2×1+m=0，解得m=-10，
所以所求直线的方程为4x+2y-10=0，即2x+y-5=0.
3.已知向量a=(1，0，m)，b=(2，0，-2)，若a∥b，则|a|等于( )
A.1 B. C. D.2
答案 D
解析 由a∥b，得a=λb，即(1，0，m)=λ(2，0，-2)，
有1=2λ，m=-2λ，
所以λ=m=-2×=-
所以a=(1，0，-)，
则|a|==2.
4.已知单位向量a，b满足|a+b|=则a在b上的投影向量为( )
A.a B.a C.b D.b
答案 C
解析 由题意知|a|=|b|=1，
∵|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=2+2a·b=3，∴a·b=
∴|a|cos 〈a，b〉==
∴a在b上的投影向量为b.
5.设O为坐标原点，向量=(1，2，3)=(2，1，2)=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则·的最小值为( )
A. B.- C. D.-
答案 B
解析 ∵=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，
∴可设=λ=(λ，λ，2λ).
又向量=(1，2，3)=(2，1，2)，
∴=(1-λ，2-λ，3-2λ)=(2-λ，1-λ，2-2λ)，
∴·=(1-λ)×(2-λ)+(2-λ)×(1-λ)+(3-2λ)×(2-2λ)=6λ2-16λ+10.
易得当λ=时·取得最小值-.
6.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知A(-2，0)，B(2，0)，C(0，4)，P为△ABC内一点，记f(P)=|PA|+|PB|+|PC|，则f(P)的最小值为( )
A.2 B.4+2
C.4+ D.2+
答案 B
解析 设O(0，0)为坐标原点，由A(-2，0)，B(2，0)，C(0，4)，
知|AC|=|BC|=2且△ABC为锐角三角形，
因此，费马点M在线段OC上，设M(0，h)，如图，
则△MAB为顶角是120°的等腰三角形，故h=|OB|tan 30°=
所以f(P)≥f(M)=|MA|+|MB|+|MC|=4h+4-h=4+2
则f(P)的最小值为4+2.
7.如图，已知某光线从点A(-2，0)射出，经过直线y=x上的点B后第一次反射，此反射光线经过直线x=4上的点C后再次反射，该反射光线经过点D(2，10)，则直线BC的斜率为( )
A. B. C. D.2
答案 D
解析 设点A(-2，0)关于y=x的对称点为A1(x1，y1)，
则有
解得所以A1(0，-2).
又点D(2，10)关于直线x=4的对称点为D1(6，10)，
根据光的反射原理，可知点A1(0，-2)与点D1(6，10)均在直线BC上，
所以kBC==2.
8.正方形ABB1A1的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边AA1，A1B1的距离分别为3，2，点Q到边BB1，AB的距离也是3和2.现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和A1B1重合(如图).则此时P，Q两点间的距离为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 过点P作平行于底面的截面圆O1，过点Q作平行于底面的截面圆O2，O1O2=6，
设圆柱的底面圆半径为r，则2πr=12，解得r=于是==
由=++
得||=
=
==
所以P，Q两点间的距离为.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.关于空间向量，以下说法不正确的是( )
A.对于向量a，b，若a·b=0，则a⊥b
B.若对空间中任意一点O，有=++则P，A，B，C四点共面
C.设{a，b，c}是空间的一个基底，则{a-b，b+c，a+c}也是空间的一个基底
D.对于空间四个点P，A，B，C，若=+则A，B，C三点共线
答案 AC
解析 对于A，当向量a，b均为非零向量时，由向量垂直的性质可得a⊥b；当向量a，b其中一个为零向量时，则a与b不垂直，故A错误；
对于B，因为++=1，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，设是空间的一个基底，由向量的加法法则可知a-b=-(b+c)+(a+c)，所以不能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D，由=+及共线向量定理可知A，B，C三点共线，故D正确.
10.下列说法中正确的有( )
A.点斜式y-y1=k(x-x1)可以表示任何直线
B.直线y=4x-2在y轴上的截距为-2
C.直线2x-y+3=0关于x-y=0对称的直线方程是x-2y+3=0
D.点P(2，1)到直线ax+(a-1)y+a+3=0的最大距离为2
答案 BD
解析 对于A，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故A错误；
对于B，令x=0得y=-2，所以直线y=4x-2在y轴上的截距为-2，故B正确；
对于C，由于点(x，y)关于直线x-y=0对称的点为(y，x)，所以直线2x-y+3=0关于x-y=0对称的直线方程是x-2y-3=0，故C错误；
对于D，由于直线ax+(a-1)y+a+3=a(x+y+1)-(y-3)=0，即直线过定点Q(-4，3)，所以点P(2，1)到直线ax+(a-1)y+a+3=0的最大距离为|PQ|=2故D正确.
11.如图，在多面体ABCDE中，△ABC是以角A为直角的等腰直角三角形，AB=2，△BCD是等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，E是空间中的一点，满足=2则下列说法正确的是( )
A.BC⊥DE
B.在上的投影向量为
C.直线AB上的点到直线CD的最短距离为2
D.平面ABC与平面CDE夹角的余弦值为
答案 BD
解析 取BC的中点为O，连接OA，OD.因为△BCD是等边三角形，所以OD⊥BC，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，OD 平面BCD，所以OD⊥平面ABC，因为△ABC是以角A为直角的等腰直角三角形，所以AO⊥OC，故以点O为坐标原点的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0)，B(0，-0)，C(00)，D(0，0)，因为=2=(0)，所以E故·=(0，20)·=2≠0，故A错误；
==(0，-)，故在上的投影向量为·=·=故B正确；
因为AC=2，若直线AB上的点到直线CD的最短距离为2，则AC是直线AB与直线CD的公垂线.连接DA，则DA=DC==2则△ACD为等腰三角形，AC，CD不可能垂直，故AC不是直线AB与直线CD的公垂线，故C错误；
设平面CDE的法向量为m=(x，y，z)，则即
令y=则x=0，z=1，则m=(01)，
易知平面ABC的一个法向量为n=(0，0，1)，
故平面ABC与平面CDE夹角的余弦值为|cos〈m，n〉|==故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知直线AB过点A(3，2，0)，它的单位方向向量为m=(0，0，1)，则点C(3，0，1)到直线AB的距离为 .
答案 2
解析 因为=(0，-2，1)，||=
·m=1，
所以点C(3，0，1)到直线AB的距离为d===2.
13.已知m∈R，动直线l1：x+my-1=0过定点A，动直线l2：mx-y-2m+3=0过定点B，若l1与l2交于点P(异于点A，B)，则△PAB的面积的最大值是 .
答案
解析 根据题意，对于直线l1：x+my-1=0，其恒过定点A，则A(1，0)；
对于直线l2：mx-y-2m+3=0，变形可得l2：m(x-2)=y-3，恒过定点B，则B(2，3)，
动直线l1：x+my-1=0，动直线l2：mx-y-2m+3=0，有1×m+m×(-1)=0，
则动直线l1与动直线l2互相垂直，又由直线l1与l2交于点P，则点P在以AB为直径的圆上(除去点(1，0)，(2，3)，(2，0))，
又由A(1，0)，B(2，3)，
所以|AB|==
当△PAB为等腰直角三角形时，其面积取得最大值，
即当|PA|=|PB|=×=时，△PAB的面积取得最大值，此时△PAB的面积的最大值为××=.
14.如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角A-CD-E的大小为60°，M，N分别为对角线AC和FD上的动点，且满足AM=FN，则线段MN长度的最小值为 .
答案
解析 由题意知，四边形ABCD，CDEF都是正方形，
则DA=DC=DE=2，且DA⊥DC，DE⊥DC，
所以∠ADE即为二面角A-CD-E的平面角，即∠ADE=60°.
因为AM=FN，AC=DF，设AM=λAC，0≤λ≤1，
则DN=DF-FN=(1-λ)DF，且=λ=(1-λ)
则=++
=-λ-+(1-λ)
=λ-λ-+(1-λ)+(1-λ)
=(λ-1)-(2λ-1)-(λ-1)
则=[(λ-1)-(2λ-1)-(λ-1)·]2
=(λ-1)2+(2λ-1)2+(λ-1)2-2·(λ-1)2·
=4(λ-1)2+4(2λ-1)2+4(λ-1)2-2×4×(λ-1)2
=20λ2-24λ+8=20+
当λ=时有最小值.
所以||≥.
所以线段MN长度的最小值为.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知△ABC的三个顶点A(m，n)，B(2，1)，C(-2，3).
(1)求BC边所在直线的方程；(5分)
(2)若BC边上中线AD的方程为2x-3y+6=0，且S△ABC=7，求点A的坐标.(8分)
解 (1)因为B(2，1)，C(-2，3)，所以BC边所在直线的方程为=即x+2y-4=0.
(2)因为BC边上中线AD的方程为2x-3y+6=0，所以2m-3n+6=0，
点A到直线BC的距离为=|BC|==2因为S△ABC=7，
所以×2·=7，即|m+2n-4|=7，
因此或
解得或
所以点A的坐标为(3，4)或(-3，0).
16.(15分)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA=2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点.
(1)求证：AE∥平面PFQ；(6分)
(2)求AE到平面PFQ的距离.(9分)
(1)证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵PA=2，AB=BC=AC=4，E，F分别是BC，AC的中点，
∴A(0，0，0)，B(22，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(3，0)，QP(0，0，2).
∴==(3，0)，∴=2
∵AE与FQ无交点，∴AE∥FQ.
又FQ 平面PFQ，AE 平面PFQ，∴AE∥平面PFQ.
(2)解 由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE到平面PFQ的距离.
设平面PFQ的法向量为n=(x，y，z)，
则又=(0，2，-2)，
=
∴
令y=1，则x=-z=1，∴平面PFQ的一个法向量为n=(-1，1).
又=
∴AE到平面PFQ的距离d==.
17.(15分)已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记△AOB的面积为S(O为坐标原点)，点B(a，0).
(1)求实数a的取值范围；(6分)
(2)求当S取得最小值时，直线l的方程.(9分)
解 (1)当直线l与直线l0：y=2x平行时，不能构成△AOB，
此时kBP==2，得a=所以a≠
又因为点B(a，0)在x轴正半轴上，且直线l与定直线l0在第一象限内交于点A，
所以a>.
(2)当直线l的斜率不存在时，即B(2，0)，A(2，4)，
此时S=×2×4=4；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-2)+3，
由于直线l的斜率存在，所以a>且a≠2，
又∵k=∴k>2或k<0，a=
由
得x=y=即A
则S=××=
即(4-S)k2-(12-2S)k+9=0，
当4-S≠0时，Δ=(12-2S)2-36(4-S)≥0，
整理得S(S-3)≥0，得S≥3，即S的最小值为3，
此时k2-6k+9=0，解得k=3，
则直线l的方程为y=3(x-2)+3=3x-3，
综上，直线l的方程为y=3x-3.
18.(17分)如图，在多面体ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.
(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(8分)
(2)求直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值.(9分)
(1)证明 如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的非负半轴，建立空间直角坐标系.
由题意知A(0，-0)，B(1，0，0)，A1(0，-4)，B1(1，0，2)，C1(01).
因此=(12)=(1-2)=(0，2-3).
由·=0得AB1⊥A1B1.
由·=0得AB1⊥A1C1，
又A1B1∩A1C1=A1，A1B1，A1C1 平面A1B1C1，
所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2)解 设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.
由(1)可知=(0，21)=(10)，
=(0，0，2).
设平面ABB1的法向量为n=(x，y，z).
由得
令y=1，则x=-z=0，
可得平面ABB1的一个法向量为n=(-1，0).
所以sin θ=|cosn〉|
==.
因此直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值是.
19.(17分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD，现以AC为折痕把△ABC折起，使点B到达点P的位置，且PA⊥CD.
(1)证明：CD⊥平面PAC；(7分)
(2)若M为PD上一点，且三棱锥D-ACM的体积是三棱锥P-ACM体积的2倍，求平面PAC与平面ACM夹角的余弦值.(10分)
(1)证明 如图，在梯形ABCD中，取AD的中点N，连接CN，
所以BC=AN且BC∥AN，所以四边形ABCN为平行四边形，所以CN=AB，又因为AB=AD，所以CN=AD，
所以点C在以AD为直径的圆上，所以AC⊥CD.
又因为PA⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，所以CD⊥平面PAC.
(2)解 取AC的中点O，连接PO，因为PA=PC，所以PO⊥AC，
由(1)得CD⊥平面PAC，又因为CD 平面ACD，
所以平面PAC⊥平面ACD，因为平面PAC∩平面ACD=AC，PO 平面PAC，所以PO⊥平面ACD，
以O为原点，OA所在直线为x轴，过O且与OA垂直的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=2，则O(0，0，0)，A(0，0)，C(-0，0)，P(0，0，1)，D(-2，0)=(0，0，1)=(-2，-1)=(0，0)，
由VP-ACM∶VD-ACM=1∶2得=
所以=+
=+=
设平面ACM的法向量为n=(x，y，z)，
所以即
取z=-1，则x=0，y=1，所以n=(0，1，-1)，
又因为平面PAC的一个法向量为=(0，2，0)，
设平面PAC与平面ACM的夹角为θ，
所以cos θ=|cos〈n|==
所以平面PAC与平面ACM夹角的余弦值为.
(时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若直线l的方向向量是e=(1)，则直线l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由直线l的方向向量是e=(1)得直线l的斜率为设直线l的倾斜角是α(0≤α<π)，则tan α=解得α=.
2.过点A(2，1)且与直线l：2x-4y+3=0垂直的直线方程是( )
A.x-2y=0 B.2x+y-5=0
C.2x-y-3=0 D.x+2y-4=0
答案 B
解析 由题意可设所求直线的方程为4x+2y+m=0，
将点A(2，1)代入直线方程4x+2y+m=0中，得4×2+2×1+m=0，解得m=-10，
所以所求直线的方程为4x+2y-10=0，即2x+y-5=0.
3.已知向量a=(1，0，m)，b=(2，0，-2)，若a∥b，则|a|等于( )
A.1 B. C. D.2
答案 D
解析 由a∥b，得a=λb，即(1，0，m)=λ(2，0，-2)，
有1=2λ，m=-2λ，
所以λ=m=-2×=-
所以a=(1，0，-)，
则|a|==2.
4.已知单位向量a，b满足|a+b|=则a在b上的投影向量为( )
A.a B.a C.b D.b
答案 C
解析 由题意知|a|=|b|=1，
∵|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=2+2a·b=3，∴a·b=
∴|a|cos 〈a，b〉==
∴a在b上的投影向量为b.
5.设O为坐标原点，向量=(1，2，3)=(2，1，2)=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则·的最小值为( )
A. B.- C. D.-
答案 B
解析 ∵=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，
∴可设=λ=(λ，λ，2λ).
又向量=(1，2，3)=(2，1，2)，
∴=(1-λ，2-λ，3-2λ)=(2-λ，1-λ，2-2λ)，
∴·=(1-λ)×(2-λ)+(2-λ)×(1-λ)+(3-2λ)×(2-2λ)=6λ2-16λ+10.
易得当λ=时·取得最小值-.
6.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知A(-2，0)，B(2，0)，C(0，4)，P为△ABC内一点，记f(P)=|PA|+|PB|+|PC|，则f(P)的最小值为( )
A.2 B.4+2
C.4+ D.2+
答案 B
解析 设O(0，0)为坐标原点，由A(-2，0)，B(2，0)，C(0，4)，
知|AC|=|BC|=2且△ABC为锐角三角形，
因此，费马点M在线段OC上，设M(0，h)，如图，
则△MAB为顶角是120°的等腰三角形，故h=|OB|tan 30°=
所以f(P)≥f(M)=|MA|+|MB|+|MC|=4h+4-h=4+2
则f(P)的最小值为4+2.
7.如图，已知某光线从点A(-2，0)射出，经过直线y=x上的点B后第一次反射，此反射光线经过直线x=4上的点C后再次反射，该反射光线经过点D(2，10)，则直线BC的斜率为( )
A. B. C. D.2
答案 D
解析 设点A(-2，0)关于y=x的对称点为A1(x1，y1)，
则有
解得所以A1(0，-2).
又点D(2，10)关于直线x=4的对称点为D1(6，10)，
根据光的反射原理，可知点A1(0，-2)与点D1(6，10)均在直线BC上，
所以kBC==2.
8.正方形ABB1A1的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边AA1，A1B1的距离分别为3，2，点Q到边BB1，AB的距离也是3和2.现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和A1B1重合(如图).则此时P，Q两点间的距离为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 过点P作平行于底面的截面圆O1，过点Q作平行于底面的截面圆O2，O1O2=6，
设圆柱的底面圆半径为r，则2πr=12，解得r=于是==
由=++
得||=
=
==
所以P，Q两点间的距离为.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.关于空间向量，以下说法不正确的是( )
A.对于向量a，b，若a·b=0，则a⊥b
B.若对空间中任意一点O，有=++则P，A，B，C四点共面
C.设{a，b，c}是空间的一个基底，则{a-b，b+c，a+c}也是空间的一个基底
D.对于空间四个点P，A，B，C，若=+则A，B，C三点共线
答案 AC
解析 对于A，当向量a，b均为非零向量时，由向量垂直的性质可得a⊥b；当向量a，b其中一个为零向量时，则a与b不垂直，故A错误；
对于B，因为++=1，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，设是空间的一个基底，由向量的加法法则可知a-b=-(b+c)+(a+c)，所以不能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D，由=+及共线向量定理可知A，B，C三点共线，故D正确.
10.下列说法中正确的有( )
A.点斜式y-y1=k(x-x1)可以表示任何直线
B.直线y=4x-2在y轴上的截距为-2
C.直线2x-y+3=0关于x-y=0对称的直线方程是x-2y+3=0
D.点P(2，1)到直线ax+(a-1)y+a+3=0的最大距离为2
答案 BD
解析 对于A，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故A错误；
对于B，令x=0得y=-2，所以直线y=4x-2在y轴上的截距为-2，故B正确；
对于C，由于点(x，y)关于直线x-y=0对称的点为(y，x)，所以直线2x-y+3=0关于x-y=0对称的直线方程是x-2y-3=0，故C错误；
对于D，由于直线ax+(a-1)y+a+3=a(x+y+1)-(y-3)=0，即直线过定点Q(-4，3)，所以点P(2，1)到直线ax+(a-1)y+a+3=0的最大距离为|PQ|=2故D正确.
11.如图，在多面体ABCDE中，△ABC是以角A为直角的等腰直角三角形，AB=2，△BCD是等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，E是空间中的一点，满足=2则下列说法正确的是( )
A.BC⊥DE
B.在上的投影向量为
C.直线AB上的点到直线CD的最短距离为2
D.平面ABC与平面CDE夹角的余弦值为
答案 BD
解析 取BC的中点为O，连接OA，OD.因为△BCD是等边三角形，所以OD⊥BC，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，OD 平面BCD，所以OD⊥平面ABC，因为△ABC是以角A为直角的等腰直角三角形，所以AO⊥OC，故以点O为坐标原点的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0)，B(0，-0)，C(00)，D(0，0)，因为=2=(0)，所以E故·=(0，20)·=2≠0，故A错误；
==(0，-)，故在上的投影向量为·=·=故B正确；
因为AC=2，若直线AB上的点到直线CD的最短距离为2，则AC是直线AB与直线CD的公垂线.连接DA，则DA=DC==2则△ACD为等腰三角形，AC，CD不可能垂直，故AC不是直线AB与直线CD的公垂线，故C错误；
设平面CDE的法向量为m=(x，y，z)，则即
令y=则x=0，z=1，则m=(01)，
易知平面ABC的一个法向量为n=(0，0，1)，
故平面ABC与平面CDE夹角的余弦值为|cos〈m，n〉|==故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知直线AB过点A(3，2，0)，它的单位方向向量为m=(0，0，1)，则点C(3，0，1)到直线AB的距离为 .
答案 2
解析 因为=(0，-2，1)，||=
·m=1，
所以点C(3，0，1)到直线AB的距离为d===2.
13.已知m∈R，动直线l1：x+my-1=0过定点A，动直线l2：mx-y-2m+3=0过定点B，若l1与l2交于点P(异于点A，B)，则△PAB的面积的最大值是 .
答案
解析 根据题意，对于直线l1：x+my-1=0，其恒过定点A，则A(1，0)；
对于直线l2：mx-y-2m+3=0，变形可得l2：m(x-2)=y-3，恒过定点B，则B(2，3)，
动直线l1：x+my-1=0，动直线l2：mx-y-2m+3=0，有1×m+m×(-1)=0，
则动直线l1与动直线l2互相垂直，又由直线l1与l2交于点P，则点P在以AB为直径的圆上(除去点(1，0)，(2，3)，(2，0))，
又由A(1，0)，B(2，3)，
所以|AB|==
当△PAB为等腰直角三角形时，其面积取得最大值，
即当|PA|=|PB|=×=时，△PAB的面积取得最大值，此时△PAB的面积的最大值为××=.
14.如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角A-CD-E的大小为60°，M，N分别为对角线AC和FD上的动点，且满足AM=FN，则线段MN长度的最小值为 .
答案
解析 由题意知，四边形ABCD，CDEF都是正方形，
则DA=DC=DE=2，且DA⊥DC，DE⊥DC，
所以∠ADE即为二面角A-CD-E的平面角，即∠ADE=60°.
因为AM=FN，AC=DF，设AM=λAC，0≤λ≤1，
则DN=DF-FN=(1-λ)DF，且=λ=(1-λ)
则=++
=-λ-+(1-λ)
=λ-λ-+(1-λ)+(1-λ)
=(λ-1)-(2λ-1)-(λ-1)
则=[(λ-1)-(2λ-1)-(λ-1)·]2
=(λ-1)2+(2λ-1)2+(λ-1)2-2·(λ-1)2·
=4(λ-1)2+4(2λ-1)2+4(λ-1)2-2×4×(λ-1)2
=20λ2-24λ+8=20+
当λ=时有最小值.
所以||≥.
所以线段MN长度的最小值为.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知△ABC的三个顶点A(m，n)，B(2，1)，C(-2，3).
(1)求BC边所在直线的方程；(5分)
(2)若BC边上中线AD的方程为2x-3y+6=0，且S△ABC=7，求点A的坐标.(8分)
解 (1)因为B(2，1)，C(-2，3)，所以BC边所在直线的方程为=即x+2y-4=0.
(2)因为BC边上中线AD的方程为2x-3y+6=0，所以2m-3n+6=0，
点A到直线BC的距离为=|BC|==2因为S△ABC=7，
所以×2·=7，即|m+2n-4|=7，
因此或
解得或
所以点A的坐标为(3，4)或(-3，0).
16.(15分)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA=2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点.
(1)求证：AE∥平面PFQ；(6分)
(2)求AE到平面PFQ的距离.(9分)
(1)证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵PA=2，AB=BC=AC=4，E，F分别是BC，AC的中点，
∴A(0，0，0)，B(22，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(3，0)，QP(0，0，2).
∴==(3，0)，∴=2
∵AE与FQ无交点，∴AE∥FQ.
又FQ 平面PFQ，AE 平面PFQ，∴AE∥平面PFQ.
(2)解 由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE到平面PFQ的距离.
设平面PFQ的法向量为n=(x，y，z)，
则又=(0，2，-2)，
=
∴
令y=1，则x=-z=1，∴平面PFQ的一个法向量为n=(-1，1).
又=
∴AE到平面PFQ的距离d==.
17.(15分)已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记△AOB的面积为S(O为坐标原点)，点B(a，0).
(1)求实数a的取值范围；(6分)
(2)求当S取得最小值时，直线l的方程.(9分)
解 (1)当直线l与直线l0：y=2x平行时，不能构成△AOB，
此时kBP==2，得a=所以a≠
又因为点B(a，0)在x轴正半轴上，且直线l与定直线l0在第一象限内交于点A，
所以a>.
(2)当直线l的斜率不存在时，即B(2，0)，A(2，4)，
此时S=×2×4=4；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-2)+3，
由于直线l的斜率存在，所以a>且a≠2，
又∵k=∴k>2或k<0，a=
由
得x=y=即A
则S=××=
即(4-S)k2-(12-2S)k+9=0，
当4-S≠0时，Δ=(12-2S)2-36(4-S)≥0，
整理得S(S-3)≥0，得S≥3，即S的最小值为3，
此时k2-6k+9=0，解得k=3，
则直线l的方程为y=3(x-2)+3=3x-3，
综上，直线l的方程为y=3x-3.
18.(17分)如图，在多面体ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.
(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(8分)
(2)求直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值.(9分)
(1)证明 如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的非负半轴，建立空间直角坐标系.
由题意知A(0，-0)，B(1，0，0)，A1(0，-4)，B1(1，0，2)，C1(01).
因此=(12)=(1-2)=(0，2-3).
由·=0得AB1⊥A1B1.
由·=0得AB1⊥A1C1，
又A1B1∩A1C1=A1，A1B1，A1C1 平面A1B1C1，
所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2)解 设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.
由(1)可知=(0，21)=(10)，
=(0，0，2).
设平面ABB1的法向量为n=(x，y，z).
由得
令y=1，则x=-z=0，
可得平面ABB1的一个法向量为n=(-1，0).
所以sin θ=|cosn〉|
==.
因此直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值是.
19.(17分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD，现以AC为折痕把△ABC折起，使点B到达点P的位置，且PA⊥CD.
(1)证明：CD⊥平面PAC；(7分)
(2)若M为PD上一点，且三棱锥D-ACM的体积是三棱锥P-ACM体积的2倍，求平面PAC与平面ACM夹角的余弦值.(10分)
(1)证明 如图，在梯形ABCD中，取AD的中点N，连接CN，
所以BC=AN且BC∥AN，所以四边形ABCN为平行四边形，所以CN=AB，又因为AB=AD，所以CN=AD，
所以点C在以AD为直径的圆上，所以AC⊥CD.
又因为PA⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，所以CD⊥平面PAC.
(2)解 取AC的中点O，连接PO，因为PA=PC，所以PO⊥AC，
由(1)得CD⊥平面PAC，又因为CD 平面ACD，
所以平面PAC⊥平面ACD，因为平面PAC∩平面ACD=AC，PO 平面PAC，所以PO⊥平面ACD，
以O为原点，OA所在直线为x轴，过O且与OA垂直的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=2，则O(0，0，0)，A(0，0)，C(-0，0)，P(0，0，1)，D(-2，0)=(0，0，1)=(-2，-1)=(0，0)，
由VP-ACM∶VD-ACM=1∶2得=
所以=+
=+=
设平面ACM的法向量为n=(x，y，z)，
所以即
取z=-1，则x=0，y=1，所以n=(0，1，-1)，
又因为平面PAC的一个法向量为=(0，2，0)，
设平面PAC与平面ACM的夹角为θ，
所以cos θ=|cos〈n|==
所以平面PAC与平面ACM夹角的余弦值为.