【学霸笔记】高中数学同步周测9《直线与圆及圆与圆的位置关系》人教A版 选择性必修第一册（教师版）

周测9　直线与圆及圆与圆的位置关系
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.圆x2+(y+1)2=1与直线x+2y+3=0的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
答案　A
解析　圆x2+(y+1)2=1的圆心为(0，-1)，半径为1，
所以圆心到直线x+2y+3=0的距离d==<1，
所以直线与圆的位置关系是相交.
2.以点(-2，3)为圆心且与圆(x-1)2+(y+1)2=1内切的圆的方程为(　　)
A.(x-2)2+(y-3)2=36
B.(x+2)2+(y+3)2=25
C.(x+2)2+(y-3)2=36
D.(x+2)2+(y-3=25
答案　C
解析　设以点(-2，3)为圆心的圆的半径为r，
因为以点(-2，3)为圆心的圆与圆(x-1)2+(y+1)2=1内切，且点(-2，3)在圆(x-1)2+(y+1)2=1外，
所以=r-1，解得r=6，
故所求圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=36.
3.当圆C：x2+y2-2y-80=0截直线l：mx-2y-m+6=0所得的弦长最短时，实数m等于(　　)
A.- B.-1 C. D.1
答案　B
解析　将直线l的方程变形为m(x-1)-2(y-3)=0，由可得所以直线l经过定点A(1，3)，圆C的标准方程为x2+(y-1)2=81，圆心为C(0，1)，因为12+(3-1)2<81，即点A在圆C内，故当AC⊥l时，圆心C到直线l的距离取最大值，此时直线l截圆C所得弦长最短，kAC==2，直线l的斜率为，所以2×=-1，解得m=-1.
4.已知直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A.[2，4] B.[2，6]
C.[，3] D.[2，3]
答案　B
解析　由题意得A(-2，0)，B(0，-2)，则|AB|=2，圆(x-2)2+y2=2的圆心坐标为(2，0)，半径为，圆心(2，0)到直线x+y+2=0的距离d==2，
∴圆(x-2)2+y2=2上的点P到直线x+y+2=0的最小距离为，最大距离为3.
∴△ABP面积的最小值为×2×=2，最大值为×2×3=6.
∴△ABP面积的取值范围是[2，6].
5.一条光线从点A(-2，3)射出，经x轴反射后，与圆C：(x-3)2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在的直线方程为(　　)
A.3x-4y-6=0或4x-3y-1=0
B.4x-3y+6=0或3x-4y-1=0
C.4x+3y-6=0或3x-4y-1=0
D.3x-4y+6=0或4x+3y-1=0
答案　A
解析　点A(-2，3)关于x轴的对称点为A'(-2，-3)，
所以反射光线所在直线经过A'，
当反射光线所在直线与x轴垂直时，即x=-2，
圆心C(3，2)到直线x=-2的距离为5，
因为5>1，所以直线x=-2与圆相离，
故反射光线所在直线的斜率存在，设为k，
则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x+2)，即kx-y+2k-3=0，
因为反射光线与圆C相切，所以=1，解得k=或k=，
所以反射光线所在直线的方程为y+3=(x+2)或y+3=(x+2)，
整理得3x-4y-6=0或4x-3y-1=0.
6.过点P与圆C：x2+y2-4x+7=0相切的两条直线的夹角为90°，则点P到原点距离的最小值为(　　)
A.1 B. C.2 D.3
答案　B
解析　圆x2+y2-4x+7=0，即(x-2)2+y2=1，则C(2，0)，r=1.
设过点P与圆C相切的两条直线的切点分别为A，B，两条切线的夹角为90°，则∠APB=90°，所以∠APC=45°，又因为∠PAC=90°，所以|AP|=|AC|=1，所以|CP|==，设P(x，y)，可得|CP|==，即得+y2=2，设x-2=cos θ，y=sin θ，则点P到原点的距离==，当cos θ=-1时，点P到原点的距离最小，为.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知动点P到原点O与A(2，0)的距离之比为2，动点P的轨迹记为C，直线l：3x-4y-3=0，则下列结论中正确的是(　　)
A.C的方程为+y2=
B.动点P到直线l的距离的取值范围为
C.直线l被C截得的弦长为
D.C上存在三个点到直线l的距离为
答案　AD
解析　设P(x，y)，因为|PO|=2|PA|，所以=2，
所以C的方程为+y2=，故A正确；
因为圆心C到直线l：3x-4y-3=0的距离d==1所以直线l与圆C相交，且弦长为2=，故C错误；
动点P到直线l的距离的取值范围为，故B错误，D正确.
8.已知圆O1：x2+y2-2x-3=0和圆O2：x2+y2-2y-1=0交于A，B两点，则(　　)
A.两圆的圆心距|O1O2|=2
B.直线AB的方程为x-y+1=0
C.|AB|=
D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+
答案　BD
解析　由圆O1的方程知，圆心O1(1，0)，半径r1=×=2；
由圆O2的方程知，圆心O2(0，1)，半径r2=×=.
对于A，圆心距|O1O2|==，A错误；
对于B，两圆方程作差可得直线AB的方程为-2x+2y-2=0，即x-y+1=0，B正确；
对于C，圆心O1到直线AB的距离d==，则|AB|=2=2，C错误；
对于D，圆O1上的点到直线AB的最大距离为r1+d=2+，D正确.
9.已知圆M：(x-1)2+(y-1)2=4，直线l：x+y-6=0，A为直线l上一点，若M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标可能取值为(　　)
A.0 B.2 C.4 D.6
答案　BC
解析　根据题意，从直线l上的点向圆M上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时构成的角最大，
不妨设切线为AP，AQ，则当∠PAQ=60°时，∠PMQ=120°，所以MA的长度为4，
把问题转化为在直线l上找到一点，使它到点M的距离为4，
设A(x0，6-x0)，又M(1，1)，所以(x0-1)2+(5-x0)2=16，解得x0=1或x0=5，
所以点A的横坐标x0的取值范围是[1，5]，
结合选项，可得B，C都符合题意.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.设a>0，若圆(x-a)2+y2=1与圆x2+y2=25有公共点，则a的取值范围为　　　　　　.
答案　[4，6]
解析　圆(x-a)2+y2=1，圆心为(a，0)，半径为1，圆x2+y2=25，圆心为(0，0)，半径为5，若圆(x-a)2+y2=1与圆x2+y2=25有公共点，
则4≤|a|≤6，又a>0，所以4≤a≤6.
11.过点(4，3)作圆C：(x-2)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为　　　　　　　　.
答案　2x+3y-5=0
解析　圆(x-2)2+y2=1的圆心为C(2，0)，半径r=1，
设D(4，3)，|CD|==，
所以切线长为=2，
以D为圆心，2为半径的圆的方程为(x-4)2+(y-3)2=12，
即x2+y2-8x-6y+13=0，①
圆(x-2)2+y2=1即x2+y2-4x+3=0，②
由①-②得直线AB的方程为-4x-6y+10=0，
即2x+3y-5=0.
12.已知点A(-2，0)，B(2，0)，若圆(x-a)2+(y-a-3)2=1上存在点M满足·=5，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.
答案　
解析　设M(x，y)，则=(-2-x，-y)，
=(2-x，-y)，因为·=5，
则(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=5，
即x2+y2=9，圆心坐标为(0，0)，半径为3，
因为M也在圆(x-a)2+(y-a-3)2=1上，
圆心坐标为(a，a+3)，半径为1，
故(3-1)2≤a2+(a+3)2≤(3+1)2，
整理得
解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x-2)2+(y-1)2=9.
(1)求两圆的公共弦长；(6分)
(2)求两圆的公切线方程.(6分)
解　(1)如图，设两圆的交点为A，B，易知圆O的圆心坐标为(0，0)，半径为1，圆M的圆心坐标为(2，1)，半径为3，
将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为l：4x+2y+3=0，
所以点O到l的距离为d==，
所以公共弦长为|AB|=2=.
(2)由图象可知，有一条公切线的方程为x=-1，
直线OM：y=x与x=-1的交点为，
设另一条公切线的方程为y+=k(x+1)，
即kx-y+k-=0，
则点M(2，1)到此公切线的距离d==3，解得k=-，
所以另一条公切线的方程为y=-x-，
综上，两圆的公切线方程为x=-1和y=-x-.
14.(12分)已知圆C：(x-1)2+(y+1)2=4.
(1)过点P(3，2)向圆C作切线l，求切线l的方程；(6分)
(2)若Q为直线m：3x-4y+8=0上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求|QM|的最小值.(6分)
解　(1)若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为x=3，满足题意；
若切线l的斜率存在，设切线l的方程为y-2=k(x-3)，即kx-y-3k+2=0.
因为直线l与圆C相切，所以圆心C(1，-1)到l的距离为2，即=2，解得k=，
所以切线l的方程为y-2=(x-3)，即5x-12y+9=0.
综上，切线l的方程为x=3或5x-12y+9=0.
(2)因为圆心C到直线m的距离为=3>2，所以直线m与圆C相离，
因为|QM|2=|QC|2-4，所以当|QC|最小时，|QM|有最小值.
当QC⊥m时，|QC|最小，最小值为=3，
所以|QM|的最小值为=.
15.(13分)已知点P(0，-2)关于直线y=-x的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线y=-x相交于A，B两点，且|AB|=2.
(1)求圆Q的方程；(5分)
(2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：|OC|·|OD|为定值.(8分)
(1)解　点P(0，-2)关于直线y=-x的对称点为Q(2，0)，
由于点Q到直线y=-x的距离d=，
所以半径r==3，
所以圆Q的方程为(x-2)2+y2=9.
(2)证明　当直线CD的斜率不存在时，|OC|=|OD|==，所以|OC|·|OD|=5.
当直线CD的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y=kx，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立得(1+k2)x2-4x-5=0，
所以x1+x2=，x1x2=-，|OC|·|OD|
==
=
==5.
综上，|OC|·|OD|为定值5.