【学霸笔记】高中数学同步周测8《圆的方程》人教A版 选择性必修第一册（教师版）
文档属性
| 名称 | 【学霸笔记】高中数学同步周测8《圆的方程》人教A版 选择性必修第一册（教师版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-25 17:55:53 | ||
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文档简介
周测8 圆的方程
(时间：75分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.圆x2+y2+2x-4y-6=0的圆心和半径分别是( )
A.(-1，-2)，11 B.(-1，2)，11
C.(-1，-2) D.(-1，2)
答案 D
解析 把圆化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=11，故圆心为(-1，2)，半径为.
2.若曲线C：x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A.(-2，0) B.(-∞，-2)∪(0，+∞)
C.[-2，0] D.(-∞，-2]∪[0，+∞)
答案 B
解析 由x2+y2+2ax-4ay-10a=0，得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a，
由该曲线表示圆，可知5a2+10a>0，解得a>0或a<-2.
3.与圆(x+2)2+(y-6)2=1关于直线3x-4y+5=0对称的圆的方程是( )
A.(x+4)2+(y+2)2=1
B.(x-4)2+(y-2)2=1
C.(x-4)2+(y+2)2=1
D.(x+4)2+(y-2)2=1
答案 C
解析 设圆心(-2，6)关于直线3x-4y+5=0对称的点的坐标为(m，n)，
所以
解得故对称圆的圆心为(4，-2)，对称圆的半径为1，故对称圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1.
4.某圆拱梁的示意图如图所示，已知圆拱跨度24 m，拱高OP=8 m，桥面每隔2 m有一个支柱，则支柱A1P1的长为( )
A.(-5)m B.(-8)m
C.(-5)m D.(-8)m
答案 C
解析 以O为坐标原点，OA1为x轴，OP为y轴建立平面直角坐标系，如图，
设该圆拱梁所在圆的圆心为C，则圆心在y轴上，由题知圆拱跨度的一半OB=12 m，设该圆的半径为r m，则在Rt△OCB中，r2=(r-8)2+122，解得r=13，故圆的方程为x2+(y+5)2=169.又桥面每隔2 m有一个支柱，故A1(2，0)，将x=2代入圆的方程得22+(y+5)2=169，解得y=-5(舍负).所以支柱A1P1的长为(-5)m.
5.若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则的最小值为( )
A. B.5 C.2 D.10
答案 A
解析 由题意知直线l过圆M的圆心(-2，-1)，∴-2a-b+1=0，即2a+b-1=0，
即点(a，b)在直线2x+y-1=0上，
∵表示直线2x+y-1=0上的点(a，b)到点(2，2)的距离，
∴最小值为=.
6.已知定点P1(-1，0)，P2(1，0)，动点M满足|MP1|=|MP2|，则△MP1P2面积的最大值是( )
A. B.2 C. D.2
答案 B
解析 设M(x，y)(y≠0)，由|MP1|=|MP2|，
可得=(y≠0)，
化简得(x-3)2+y2=8(y≠0)，即动点M在以(3，0)为圆心，2为半径的圆上(除去与x轴的交点)，
又=|P1P2|·|y|=|y|≤2即△MP1P2面积的最大值是2.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知方程x2+y2+2x-m=0，下列叙述正确的是( )
A.方程表示的是圆
B.当m=0时，方程表示过原点的圆
C.方程表示圆时，圆关于直线x+y+1=0对称
D.方程表示圆时，圆心在x轴上
答案 BCD
解析 方程x2+y2+2x-m=0，配方得(x+1)2+y2=m+1，若方程表示一个圆，则m+1>0，从而m>-1，故A错，B正确；方程表示圆时，圆心为(-1，0)，在直线x+y+1=0上，故C，D正确.
8.设有一组圆Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4
答案 AB
解析 圆Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)的圆心坐标为(k，k)，半径r=2.对于A，不论k如何变化，圆心(k，k)始终在直线y=x上，故A正确；对于B，令(3-k)2+(0-k)2=4，整理得2k2-6k+5=0，因为Δ=(-6)2-4×2×5=-4<0，可知方程无实数解，所以所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确；对于C，令(2-k)2+(2-k)2=4，整理得k2-4k+2=0，因为Δ=(-4)2-4×1×2=8>0，可知方程有两个不同的实数解，所以经过点(2，2)的圆Ck有且只有两个，故C错误；对于D，因为半径r=2，所以所有圆的面积均为π×22=4π，故D错误.
9.设曲线C：x2+y2=|x|+|y|，则( )
A.曲线C关于直线y=x对称
B.曲线C的周长为π
C.曲线C围成的图形的面积大于5
D.曲线C上两点之间的距离不大于2
答案 ACD
解析 A选项，设曲线C上的一点为(x，y)，将点(x，y)关于直线y=x对称的点(y，x)代入曲线C：x2+y2=|x|+|y|得y2+x2=|y|+|x|，即点(y，x)满足曲线C的方程，故C：x2+y2=|x|+|y|关于直线y=x对称，A正确；
B选项，当x=y=0时，满足C：x2+y2=|x|+|y|，故原点在C上，当x>0，y>0时，曲线C：x2+y2=x+y，故对应的图形为圆心为半径为的圆在第一象限的半圆部分，
此圆弧的长度为π×=π，同理可得曲线C：x2+y2=|x|+|y|对应的图形如图，故曲线C的周长为4×π=2π，B错误；
C选项，曲线C围成的图形的面积可分割为边长为的正方形和4个半径为的半圆，故曲线C围成的图形的面积为()2+π×2=2+π>5，故C正确；
D选项，过圆心PQ的直线PQ与图形交于点M，N，如图，则|MN|即为曲线C上两点之间距离的最大值，其中|MN|=|MP|+|PQ|+|QN|=++=2故曲线C上两点之间的距离不大于2D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.已知圆C：x2+y2-8x-4y+10=0和点M(3，0)，则直线CM的方程是 .
答案 2x-y-6=0
解析 圆C：x2+y2-8x-4y+10=0化为标准方程为(x-4)2+(y-2)2=10，所以圆心C(4，2)，
kCM==2，直线CM的方程为y-0=2(x-3)，整理得2x-y-6=0.
11.已知圆C1：(x-1)2+(y-3)2=1和圆C2：(x-2)2+(y-4)2=9，M，N分别是圆C1和圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 .
答案 5-4
解析 由题可得C1(1，3)，半径r1=1，
C2(2，4)，半径r2=3，
由题意知，当C1，M，P三点共线时，|PM|最小，当C2，N，P三点共线时，|PN|最小，所以|PM|+|PN|的最小值即|C1P|+|C2P|-r1-r2=|C1P|+|C2P|-4，
设点C1关于x轴的对称点为C1'，则C1'(1，-3)，所以|C1P|+|C2P|的最小值为|C1'C2|==5则|PM|+|PN|的最小值为5-4.
12.已知点A(-2，2)为圆C：(x-2)2+(y-a)2=16上一点，点B在圆C上运动，点M满足=.则点M的轨迹方程为 .
答案 x2+(y-2)2=4
解析 因为点A(-2，2)在圆C上，则(-2-2)2+(2-a)2=16，解得a=2.
设点M(x，y)，B(x0，y0)，则由=可得，(x+2，y-2)=(x0+2，y0-2)，解得x0=2x+2，y0=2y-2，
又因为点B(x0，y0)满足圆的方程，代入可得(2x+2-2)2+(2y-2-2)2=16，化简得x2+(y-2)2=4.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知圆M的圆心M(3，4)和三个点A(-1，1)，B(1，0)，C(-2，3)，求使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆M的一般方程.
解 因为|MA|==5，
|MB|==2
|MC|==
所以|MB|<|MA|<|MC|.
所以点B在圆内，点A在圆上，点C在圆外.
所以圆的半径r=|MA|=5，
所以圆M的方程为(x-3)2+(y-4)2=25，
即x2+y2-6x-8y=0.
14.(12分)在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点B(-1，2)，BC边上的中线AD所在直线的方程为5x-3y-3=0，AB边上的高CH所在直线的方程为2x+y-9=0，求：
(1)顶点A的坐标；(5分)
(2)△ABC外接圆的一般方程.(7分)
解 (1)因为AB边上的高CH所在直线的方程为2x+y-9=0，
所以kAB×(-2)=-1，解得kAB=.
所以直线AB的方程为y-2=(x+1)，即x-2y+5=0.
由解得即A(3，4).
(2)因为点C在直线2x+y-9=0上，所以设C(t，9-2t)，则BC的中点坐标为.
把代入直线AD的方程5x-3y-3=0，得5×-3×-3=0，解得t=4，所以C(4，1).
设经过点A(3，4)，B(-1，2)，C(4，1)的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
所以
解得
所以△ABC外接圆的一般方程为x2+y2-x-y-=0.
15.(13分)已知圆心为C的圆经过点A(-1，1)和B(-2，-2)，且圆心C在直线l：x+y-1=0上.
(1)求圆C的标准方程；(6分)
(2)设点P(x，y)是圆C上的动点，求x2+y2-8y+16的最小值.(7分)
解 (1)因为A(-1，1)，B(-2，-2)，设圆心为C(a，b)，AB的中点为M，所以MkAB=3，则kAB·kCM=-1，kCM=-则lCM的方程为y+=-
联立解得
即r==5，
故圆C的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25.
(2)设N(0，4)，x2+y2-8y+16=(x-0)2+(y-4)2，
故所求问题转化为点P到点N(0，4)距离的平方的最小值，则|NC|==3|PN|min=3-5，
所以(x2+y2-8y+16)min=70-30.
(时间：75分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.圆x2+y2+2x-4y-6=0的圆心和半径分别是( )
A.(-1，-2)，11 B.(-1，2)，11
C.(-1，-2) D.(-1，2)
答案 D
解析 把圆化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=11，故圆心为(-1，2)，半径为.
2.若曲线C：x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A.(-2，0) B.(-∞，-2)∪(0，+∞)
C.[-2，0] D.(-∞，-2]∪[0，+∞)
答案 B
解析 由x2+y2+2ax-4ay-10a=0，得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a，
由该曲线表示圆，可知5a2+10a>0，解得a>0或a<-2.
3.与圆(x+2)2+(y-6)2=1关于直线3x-4y+5=0对称的圆的方程是( )
A.(x+4)2+(y+2)2=1
B.(x-4)2+(y-2)2=1
C.(x-4)2+(y+2)2=1
D.(x+4)2+(y-2)2=1
答案 C
解析 设圆心(-2，6)关于直线3x-4y+5=0对称的点的坐标为(m，n)，
所以
解得故对称圆的圆心为(4，-2)，对称圆的半径为1，故对称圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1.
4.某圆拱梁的示意图如图所示，已知圆拱跨度24 m，拱高OP=8 m，桥面每隔2 m有一个支柱，则支柱A1P1的长为( )
A.(-5)m B.(-8)m
C.(-5)m D.(-8)m
答案 C
解析 以O为坐标原点，OA1为x轴，OP为y轴建立平面直角坐标系，如图，
设该圆拱梁所在圆的圆心为C，则圆心在y轴上，由题知圆拱跨度的一半OB=12 m，设该圆的半径为r m，则在Rt△OCB中，r2=(r-8)2+122，解得r=13，故圆的方程为x2+(y+5)2=169.又桥面每隔2 m有一个支柱，故A1(2，0)，将x=2代入圆的方程得22+(y+5)2=169，解得y=-5(舍负).所以支柱A1P1的长为(-5)m.
5.若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则的最小值为( )
A. B.5 C.2 D.10
答案 A
解析 由题意知直线l过圆M的圆心(-2，-1)，∴-2a-b+1=0，即2a+b-1=0，
即点(a，b)在直线2x+y-1=0上，
∵表示直线2x+y-1=0上的点(a，b)到点(2，2)的距离，
∴最小值为=.
6.已知定点P1(-1，0)，P2(1，0)，动点M满足|MP1|=|MP2|，则△MP1P2面积的最大值是( )
A. B.2 C. D.2
答案 B
解析 设M(x，y)(y≠0)，由|MP1|=|MP2|，
可得=(y≠0)，
化简得(x-3)2+y2=8(y≠0)，即动点M在以(3，0)为圆心，2为半径的圆上(除去与x轴的交点)，
又=|P1P2|·|y|=|y|≤2即△MP1P2面积的最大值是2.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知方程x2+y2+2x-m=0，下列叙述正确的是( )
A.方程表示的是圆
B.当m=0时，方程表示过原点的圆
C.方程表示圆时，圆关于直线x+y+1=0对称
D.方程表示圆时，圆心在x轴上
答案 BCD
解析 方程x2+y2+2x-m=0，配方得(x+1)2+y2=m+1，若方程表示一个圆，则m+1>0，从而m>-1，故A错，B正确；方程表示圆时，圆心为(-1，0)，在直线x+y+1=0上，故C，D正确.
8.设有一组圆Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4
答案 AB
解析 圆Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)的圆心坐标为(k，k)，半径r=2.对于A，不论k如何变化，圆心(k，k)始终在直线y=x上，故A正确；对于B，令(3-k)2+(0-k)2=4，整理得2k2-6k+5=0，因为Δ=(-6)2-4×2×5=-4<0，可知方程无实数解，所以所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确；对于C，令(2-k)2+(2-k)2=4，整理得k2-4k+2=0，因为Δ=(-4)2-4×1×2=8>0，可知方程有两个不同的实数解，所以经过点(2，2)的圆Ck有且只有两个，故C错误；对于D，因为半径r=2，所以所有圆的面积均为π×22=4π，故D错误.
9.设曲线C：x2+y2=|x|+|y|，则( )
A.曲线C关于直线y=x对称
B.曲线C的周长为π
C.曲线C围成的图形的面积大于5
D.曲线C上两点之间的距离不大于2
答案 ACD
解析 A选项，设曲线C上的一点为(x，y)，将点(x，y)关于直线y=x对称的点(y，x)代入曲线C：x2+y2=|x|+|y|得y2+x2=|y|+|x|，即点(y，x)满足曲线C的方程，故C：x2+y2=|x|+|y|关于直线y=x对称，A正确；
B选项，当x=y=0时，满足C：x2+y2=|x|+|y|，故原点在C上，当x>0，y>0时，曲线C：x2+y2=x+y，故对应的图形为圆心为半径为的圆在第一象限的半圆部分，
此圆弧的长度为π×=π，同理可得曲线C：x2+y2=|x|+|y|对应的图形如图，故曲线C的周长为4×π=2π，B错误；
C选项，曲线C围成的图形的面积可分割为边长为的正方形和4个半径为的半圆，故曲线C围成的图形的面积为()2+π×2=2+π>5，故C正确；
D选项，过圆心PQ的直线PQ与图形交于点M，N，如图，则|MN|即为曲线C上两点之间距离的最大值，其中|MN|=|MP|+|PQ|+|QN|=++=2故曲线C上两点之间的距离不大于2D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.已知圆C：x2+y2-8x-4y+10=0和点M(3，0)，则直线CM的方程是 .
答案 2x-y-6=0
解析 圆C：x2+y2-8x-4y+10=0化为标准方程为(x-4)2+(y-2)2=10，所以圆心C(4，2)，
kCM==2，直线CM的方程为y-0=2(x-3)，整理得2x-y-6=0.
11.已知圆C1：(x-1)2+(y-3)2=1和圆C2：(x-2)2+(y-4)2=9，M，N分别是圆C1和圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 .
答案 5-4
解析 由题可得C1(1，3)，半径r1=1，
C2(2，4)，半径r2=3，
由题意知，当C1，M，P三点共线时，|PM|最小，当C2，N，P三点共线时，|PN|最小，所以|PM|+|PN|的最小值即|C1P|+|C2P|-r1-r2=|C1P|+|C2P|-4，
设点C1关于x轴的对称点为C1'，则C1'(1，-3)，所以|C1P|+|C2P|的最小值为|C1'C2|==5则|PM|+|PN|的最小值为5-4.
12.已知点A(-2，2)为圆C：(x-2)2+(y-a)2=16上一点，点B在圆C上运动，点M满足=.则点M的轨迹方程为 .
答案 x2+(y-2)2=4
解析 因为点A(-2，2)在圆C上，则(-2-2)2+(2-a)2=16，解得a=2.
设点M(x，y)，B(x0，y0)，则由=可得，(x+2，y-2)=(x0+2，y0-2)，解得x0=2x+2，y0=2y-2，
又因为点B(x0，y0)满足圆的方程，代入可得(2x+2-2)2+(2y-2-2)2=16，化简得x2+(y-2)2=4.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知圆M的圆心M(3，4)和三个点A(-1，1)，B(1，0)，C(-2，3)，求使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆M的一般方程.
解 因为|MA|==5，
|MB|==2
|MC|==
所以|MB|<|MA|<|MC|.
所以点B在圆内，点A在圆上，点C在圆外.
所以圆的半径r=|MA|=5，
所以圆M的方程为(x-3)2+(y-4)2=25，
即x2+y2-6x-8y=0.
14.(12分)在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点B(-1，2)，BC边上的中线AD所在直线的方程为5x-3y-3=0，AB边上的高CH所在直线的方程为2x+y-9=0，求：
(1)顶点A的坐标；(5分)
(2)△ABC外接圆的一般方程.(7分)
解 (1)因为AB边上的高CH所在直线的方程为2x+y-9=0，
所以kAB×(-2)=-1，解得kAB=.
所以直线AB的方程为y-2=(x+1)，即x-2y+5=0.
由解得即A(3，4).
(2)因为点C在直线2x+y-9=0上，所以设C(t，9-2t)，则BC的中点坐标为.
把代入直线AD的方程5x-3y-3=0，得5×-3×-3=0，解得t=4，所以C(4，1).
设经过点A(3，4)，B(-1，2)，C(4，1)的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
所以
解得
所以△ABC外接圆的一般方程为x2+y2-x-y-=0.
15.(13分)已知圆心为C的圆经过点A(-1，1)和B(-2，-2)，且圆心C在直线l：x+y-1=0上.
(1)求圆C的标准方程；(6分)
(2)设点P(x，y)是圆C上的动点，求x2+y2-8y+16的最小值.(7分)
解 (1)因为A(-1，1)，B(-2，-2)，设圆心为C(a，b)，AB的中点为M，所以MkAB=3，则kAB·kCM=-1，kCM=-则lCM的方程为y+=-
联立解得
即r==5，
故圆C的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25.
(2)设N(0，4)，x2+y2-8y+16=(x-0)2+(y-4)2，
故所求问题转化为点P到点N(0，4)距离的平方的最小值，则|NC|==3|PN|min=3-5，
所以(x2+y2-8y+16)min=70-30.