【学霸笔记】高中数学同步周测10《单元检测卷(二)》人教A版 选择性必修第一册（教师版）

周测10　单元检测卷(二)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线l1经过A(-3，4)，B(-8，-1)两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2(　　)
A.垂直 B.平行
C.相交但不垂直 D.不能确定
答案　A
解析　由题意==1，=tan 135°=-1，所以·=-1，所以l1⊥l2.
2.直线5x+12y+4=0与10x+24y-18=0的距离为(　　)
A. B. C. D.1
答案　D
解析　直线10x+24y-18=0即5x+12y-9=0，
所以5x+12y+4=0与5x+12y-9=0的距离为=1.
3.若直线l：(a-2)y=(3a-1)x-1不过第二象限，则a的取值范围为(　　)
A.a<2 B.-2≤a≤3
C.a≥2 D.a≥4
答案　C
解析　若a-2=0，可得a=2，直线l的方程为x=，该直线不过第二象限，符合题意；
若a-2≠0，可得a≠2，直线l的斜截式方程为y=x-，
若直线l不过第二象限，则解得a>2.
综上所述，a≥2.
4.如图，|AC|=2|BC|，CD⊥AB，点D在以AB为直径的半圆弧上，以AC的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(D在第一象限)，则直线BD的斜率为(　　)
A.- B.-
C.-1 D.-2
答案　A
解析　设|AC|=4，则A(-2，0)，C(2，0)，B(4，0)，则AB的中点为(1，0)，且|AB|=6，
则以AB为直径的半圆弧的方程为(x-1)2+y2=9(y≥0)，令x=2，得y2=9-(2-1)2=8，又y≥0，故y=2，即D(2，2)，则kBD==-.
5.若函数f(x)=asin x-bcos x(ab≠0)对任意的实数x都满足f=f，则直线2ax-by+c=0的斜率是(　　)
A.-2 B.2 C. D.-
答案　A
解析　∵函数f(x)=asin x-bcos x(ab≠0)对任意的实数x都满足f =f ，
即x=为函数f(x)的对称轴，
∴f(0)=f ，
即-b=a，∴-=1，
∴直线2ax-by+c=0的斜率为=-2.
6.若直线l：kx-y+4+2k=0与曲线y=有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意知，直线l的方程可化为k(x+2)-y+4=0，所以直线l恒过定点A(-2，4)，y=可化为x2+y2=4(y≥0)，其表示以(0，0)为圆心，2为半径的圆的上半部分，
如图，当直线l与该曲线相切时，点(0，0)到直线l的距离d==2，解得k=-.
设B(2，0)，则kAB==-1.由图可得，若要使直线l与曲线y=有两个交点，
则-1≤k<-.
7.在平面直角坐标系中，已知点A(0，)，B(-2，a)，C(4，3)，若点P是以AB为直径的圆上的动点，且点P关于点C的对称点的轨迹满足方程x2+y2-18x-12y+113=0，则a等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　D
解析　在方程x2+y2-18x-12y+113=0中，(-18)2+(-12)2-4×113=16>0，记该方程表示的圆为圆E，圆心E(9，6).
记以AB为直径的圆为圆D，由A(0，)，B(-2，a)，得圆D的方程为(x-0)(x+2)+(y-)(y-a)=0，整理得x2+y2+2x-(a+)y+a=0.
依题意可知，圆D与圆E关于点C中心对称，因为E(9，6)关于C(4，3)对称的点为(-1，0)，
所以圆D的圆心为D(-1，0)，所以=0，得a=-.
8.已知两个不相等的实数a，b满足以下关系式：a2sin θ+acos θ-=0，b2sin θ+bcos θ-=0，则连接A(a2，a)，B(b2，b)两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
答案　C
解析　因为实数a满足关系式a2sin θ+acos θ-=0，实数b满足关系式b2sin θ+bcos θ-=0，且实数a，b不相等，
所以点A(a2，a)，B(b2，b)为直线sin θ·x+cos θ·y-=0上的两点，
所以直线AB的方程为sin θ·x+cos θ·y-=0，
因为圆心(0，0)到直线AB的距离d==>1，
所以直线AB与圆心在原点的单位圆的位置关系为相离.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知A(2，2)，B(1，0)，C(3，-2)，且四边形ABCD是平行四边形，则(　　)
A.直线AD的方程为x+y-4=0
B.v=(1，2)是直线CD的一个方向向量
C.|BC|=4
D.四边形ABCD的面积为3
答案　ABD
解析　设D(x，y)，由四边形ABCD是平行四边形，可得=，即(1-2，0-2)=(3-x，-2-y)，解得x=4，y=0，所以D(4，0)，kAD==-1，直线AD的方程为y=-1×(x-4)=-x+4，即x+y-4=0，故A正确；kCD==2，所以v=(1，2)是直线CD的一个方向向量，故B正确；|BC|==2，故C错误；B到直线AD的距离h===，所以四边形ABCD的面积为|AD|·h=|BC|·h=×2×=3，故D正确.
10.下列命题正确的有(　　)
A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3，3)
B.已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2-2x-2y+1=0相交于A，B两点，则直线AB的方程为2x+2y+5=0
C.若圆(x+1)2+y2=1与圆(x-2)2+(y-4)2=20-m恰有三条公切线，则m=4
D.已知点P，Q分别为圆(x-1)2+(y+2)2=1与直线3x+4y-5=0上的动点，则|PQ|的最小值为3
答案　AC
解析　对于A，直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)可化为m(x+3)+3x+4y-3=0，
令解得所以直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3，3)，故A正确；
对于B，两圆的方程相减得2x+2y-1=4，所以直线AB的方程为2x+2y-5=0，故B错误；
对于C，因为圆(x+1)2+y2=1与圆(x-2)2+(y-4)2=20-m 恰有三条公切线，所以两圆外切，
所以圆心距=1+，解得m=4，故C正确；
对于D，已知点P，Q分别为圆(x-1)2+(y+2)2=1与直线3x+4y-5=0上的动点，则|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，圆心(1，-2)到直线3x+4y-5=0的距离为=2，所以|PQ|的最小值为2-1=1，故D错误.
11.过直线x+y=4(0A.直线OP为线段AB的中垂线
B.四边形PAOB面积的最小值为2
C.|OM|+|ON|的最小值为4
D.|AB|的最小值为2
答案　ACD
解析　对于A，由题意得|PA|=|PB|，|OA|=|OB|，所以直线OP为线段AB的中垂线，故A正确；
对于B，S四边形PAOB=|OA|·|AP|=2，所以当|OP|最小时，四边形PAOB的面积最小，因为当OP与直线x+y-4=0垂直时，|OP|最小，为d==2，所以S四边形PAOB=2=4，故B错误；
对于C，设P(a，b)，则a+b=4(0对于D，因为直线AB的方程为ax+by=4，且a+b=4(0三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心T出发，先沿北偏西θ方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B，C都在圆T上，则在以线段BC的中点为坐标原点O，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的平面直角坐标系中，圆T的标准方程为　　　　　　　　　　.
答案　x2+(y-9)2=225
解析　|TB|2=|TA|2+|AB|2-2|TA|·|AB|cos A=169+196-2×13×14×=225，|OT|=14-13×cos θ=9，∴圆T的标准方程为x2+(y-9)2=225.
13.若实数x，y满足x2+y2+2x=0，则的最大值是　　　　.
答案　
解析　圆x2+y2+2x=0的圆心坐标为(-1，0)，半径r=1，令=k，则y=k(x-1)，则直线y=k(x-1)与圆x2+y2+2x=0有公共点，则≤1，解得-≤k≤，则的最大值是.
14.已知定点B(3，0)，点A在圆x2+y2=1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　.
答案　+y2=
解析　如图，由角平分线定理可得==，则=4，
设M(x，y)，A(x0，y0)，则(3-x0，-y0)=4(x-x0，y-y0)，
故解得
代入圆的方程x2+y2=1得+y2=，即为点M的轨迹方程.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(1)已知A(-2，3)，B(-3，0)两点，求线段AB的中垂线所在的直线方程；(6分)
(2)已知直线l1与直线l2：3x+4y-5=0平行，直线l1与两坐标轴所围成的三角形的面积为12，求直线l1的方程.(7分)
解　(1)线段AB中点的坐标为，
线段AB所在直线的斜率为=3，
所以线段AB的中垂线所在直线的斜率为-，
所以线段AB的中垂线所在直线方程为y-=-，即y=-x+.
(2)设l1的方程为3x+4y+c=0，c≠0，
则直线l1过点，
所以××=12，解得c=±12，
所以直线l1的方程为3x+4y+12=0或3x+4y-12=0.
16.(15分)在平面直角坐标系Oxy中，△ABC的顶点A的坐标为(-4，2)，AB边上的高线CM所在的直线方程为2x+y-2=0，∠B的平分线所在直线方程为x-y+1=0.
(1)求点B的坐标；(7分)
(2)求直线BC的方程.(8分)
解　(1)由2x+y-2=0，得y=-2x+2，
所以直线CM的斜率为kCM=-2，
因为AB⊥CM，所以kAB·kCM=-1，
即kAB=-=，
所以直线AB的方程为y-2=(x+4)，
即x-2y+8=0，
由解得
所以点B的坐标为(6，7).
(2)由内角平分线的性质，可得A关于直线x-y+1=0的对称点A'在直线BC上.
设A'(a，b)，则由直线AA'和x-y+1=0垂直，且线段AA'的中点在x-y+1=0上，
可得
解得所以A'(1，-3)，
所以直线BC的方程为=，
即2x-y-5=0.
17.(15分)已知点M与点N关于直线l：y=2x+对称，圆M：x2+(y-4)2=r2(0(1)求r的取值范围；(7分)
(2)当r=3时，求△MNA的面积.(8分)
解　(1)设点M(0，4)关于直线l的对称点为N(a，b)，
则解得
故圆N为(x-2)2+(y-3)2=(6-r)2，
因为圆M与圆N交于A，B两点，
所以|6-2r|<|MN|=解得(2)当r=3时，圆M：x2+(y-4)2=9，
圆N：(x-2)2+(y-3)2=9，
故△MNA是以A为顶点的等腰三角形，
由(1)可知|MN|=，|AM|=|AN|=3，
所以MN边上的高为=，
所以△MNA的面积为××=.
18.(17分)VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地(包含边界和内部，A为坐标原点)，AB长12米，AD长5米.在A处有一只电子狗，在AB边上距离A点6米的E点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时到达某点P，那么电子狗被机器人捕获，称点P为成功点.
(1)求成功点P的轨迹方程；(7分)
(2)为了记录比赛情况，摄影机从AD边上某点F处沿直线方向往C点运动，要求直线FC与点P的轨迹没有公共点，求点F纵坐标y0的取值范围.(10分)
解　(1)设P(x，y)，0≤x≤12，0≤y≤5，机器人运动速度为v，
由题意可得=，
化简得(x-8)2+y2=16.
由于点P在矩形场地内，则0≤y≤4.
所以成功点P的轨迹方程为(x-8)2+y2=16(0≤y≤4).
(2)由题意可知直线FC的斜率存在，不妨设直线FC：y=k(x-12)+5，
直线FC与点P的轨迹没有公共点，
由直线与圆的位置关系可得d=>4，解得k<.
则点F的纵坐标y0=-12k+5>，
又因为y0∈[0，5]，所以y0∈.
19.(17分)已知圆C1与圆C2：(x-1)2+(y+2)2=6关于直线2x-y+1=0对称.
(1)求圆C1的方程并判断圆C1与圆C2的位置关系；(8分)
(2)设直线l：y=kx+3与圆C1交于A，B两点，O为坐标原点，当·=-时，求直线l的方程.(9分)
解　(1)由题知，圆C2：(x-1)2+(y+2)2=6，圆心为C2(1，-2)，半径r2=，
设C1(a，b)，r1=，
因为圆C1与圆C2关于直线2x-y+1=0对称，
所以
解得a=-3，b=0，
所以C1(-3，0)，
所以圆C1：(x+3)2+y2=6，
因为|C1C2|==2，
所以|r1-r2|<|C1C2|所以圆C1与圆C2相交.
(2)由(1)得圆C1：(x+3)2+y2=6，
因为直线l：y=kx+3与圆C1交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x1，y1)，=(x2，y2)，
联立方程消去y得
(1+k2)x2+(6+6k)x+12=0，
所以x1+x2=-，x1x2=，
所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+3)(kx2+3)=x1x2+k2x1x2+3k(x1+x2)+9
=++3k·+9
=21-=-，即k2-5k+6=0，解得k=2或k=3，
当k=2或k=3时，都有Δ=(6+6k)2-48(1+k2)>0，
所以直线l的方程为y=2x+3或y=3x+3.