【学霸笔记】高中数学同步周测3《空间向量的应用》人教A版 选择性必修第一册（教师版）

周测3　空间向量的应用
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.设平面α的一个法向量为m=(2，-1，z)，平面β的一个法向量为n=(4，-2，-2)，若平面α⊥平面β，则实数z的值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　C
解析　因为平面α⊥平面β，所以m⊥n，即m·n=0，所以8+2-2z=0，解得z=5.
2.若直线l的一个方向向量为a=(2，1，m)，平面α的一个法向量为n=且l∥α，则实数m的值为(　　)
A.- B.- C.4 D.
答案　B
解析　因为l∥α，所以a⊥n，即a·n=2++2m=0，解得m=-.
3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥AC，D为CC1的中点，AB=AC=AA1，则AB1，A1D所成角的余弦值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，则A(0，0，0)，B1(2，0，2)，A1(0，0，2)，D(0，2，1)，
所以=(2，0，2)=(0，2，-1)，设AB1，A1D所成的角为θ，则cos θ===.
4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则原点O到平面ABC的距离是(　　)
A. B. C.2 D.3
答案　A
解析　∵A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，
∴=(-1，1，0)=(-1，0，1)，
设平面ABC的法向量为n=(a，b，c)，
∴∴令a=1，则n=(1，1，1)，
又=(1，0，0)，∴原点O到平面ABC的距离d===.
5.在矩形ABCD中，AB=1，BC=PA⊥平面ABCD，PA=1，则PC与平面ABCD所成的角是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　A
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，C(10)，
∴=(1-1)，
易知平面ABCD的一个法向量为n=(0，0，1)，
∴|cosn〉|==
∴PC与平面ABCD所成的角为30°.
6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，G，E分别是CC1，AB的中点，P是四边形CC1D1D内(包括边界)一动点=若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为(　　)
A. B.4 C.5 D.
答案　D
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0，0)，E(4，2，0)，F(1，4，0)，G(0，4，2)=(-3，2，0)=(-4，2，2).
设平面EFG的法向量为u=(x，y，z)，
则即
令x=2，可得平面EFG的一个法向量为u=(2，3，1).
设P(0，m，n)(0≤m≤4，0≤n≤4)，则=(-4，m，n).
因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以AP∥平面EFG，则⊥u，
所以-8+3m+n=0，即n=8-3m，
则≤m≤
AP=||=
==
当m=时，AP取得最小值，最小值为=.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)，则下列结论正确的有(　　)
A.与是共线向量
B.与共线的单位向量是(1，1，0)
C.与夹角的余弦值是-
D.平面ABC的一个法向量是(1，-2，5)
答案　CD
解析　对于A=(2，1，0)=(-1，2，1)，不存在实数λ，使得=λ所以与不是共线向量，所以A错误；
对于B，因为=(2，1，0)，所以与共线的单位向量为或所以B错误；
对于C，向量=(2，1，0)=(-3，1，1)，所以cos==-所以C正确；
对于D，设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)，因为=(2，1，0)=(-1，2，1)，所以即令x=1，则n=(1，-2，5)，所以D正确.
8.《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，E，F分别为PD，PB的中点，则(　　)
A.EF⊥平面PAC
B.AB∥平面EFC
C.点F到直线CD的距离为
D.点A到平面EFC的距离为
答案　AD
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意可知，A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(0，1，1)，F(1，0，1)，D(0，2，0)，
所以=(1，-1，0)=(0，0，2)=(2，2，-2)=(2，1，-1).
因为·=0-0+0=0，所以⊥即EF⊥AP，
又·=2-2+0=0，所以⊥即EF⊥PC.又AP∩PC=P，AP，PC 平面PAC，
所以EF⊥平面PAC，故A正确；
设平面EFC的法向量为m=(x，y，z)，
则即
令x=1，则y=1，z=3，所以m=(1，1，3).
因为=(2，0，0)，所以·m=2≠0，故B不正确；
设点F到直线CD的距离为h=(-1，-2，1)=(-2，0，0)，则h2=||2-=5，即h=所以点F到直线CD的距离为故C不正确；
设点A到平面EFC的距离为d=(2，2，0)，则
d===所以点A到平面EFC的距离为故D正确.
9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中=λ=μλ，μ∈(0，1)，则下列说法正确的是(　　)
A.当λ=μ时，B1C1∥平面D1PQ
B.当λ=时，四面体APQD1的体积为定值
C.当μ=时， λ∈(0，1)，使得A1Q⊥平面D1PA
D.三棱锥P-CBD体积的取值范围为
答案　ABD
解析　对于A，当λ=μ时=-=λ(-)=λ即PQ∥B1C1，而PQ 平面D1PQ，B1C1 平面D1PQ，因此B1C1∥平面D1PQ，故A正确；对于B，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，当λ=时，△AD1P的面积是定值，又BC1∥AD1，AD1 平面AD1P，BC1 平面AD1P，则BC1∥平面AD1P，所以点Q到平面AD1P的距离是定值，因此四面体APQD1的体积为定值，故B正确；对于C，当μ=时=-=-(+)=+)-(+)=--+而=-=λ-则·=·(λ-)=-λ+=4-2λ≠0，因此A1Q不垂直于AP，则不存在λ∈(0，1)，使得A1Q⊥平面D1PA，故C错误；对于D，显然三棱锥P-CBD的体积V=×S△CBD×PB，因为S△CBD为定值，所以PB的长度决定三棱锥P-CBD体积的取值范围，因为PB∈(0，2)，则V=××2×2×PB∈所以三棱锥P-CBD体积的取值范围是故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若直线l的一个方向向量为m=(x，-1，2)，平面α的一个法向量为n=(-2，-2，4)，且直线l⊥平面α，则实数x的值是　　　　.
答案　-1
解析　由题意知m∥n，即向量m与向量n共线，∴==解得x=-1.
11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且=2.点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为　　　　.
答案　
解析　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，
因为=2所以M
所以=(-1，-1，1)=
因为点P在平面A1B1C1D1上，设P(x，y，1)，则=(x-1，y，1)，
由AP⊥平面MBD1，
得解得
所以=
||==则线段AP的长为.
12.已知在平面内，点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0(A，B，C∈R，A2+B2≠0)的距离d=.此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法.在空间直角坐标系中，定义平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A，B，C，D∈R，A2+B2+C2≠0)，则点P(x0，y0，z0)到平面α的距离d=.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥P-MNST中，点S到侧面PMN的距离为　　　　　.
(备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面)
答案　
解析　如图，以底面MNST的中心O为原点，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，M(1，1，0)，N(-1，1，0)，P(0，0，2)，S(-1，-1，0)，设平面PMN的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A，B，C，D∈R，A2+B2+C2≠0)，因为不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面，
所以将M，N，P的坐标代入，
得解得
由题知A，B，C不全为0，所以D≠0，所以方程为-Dy-Dz+D=0，即2y+z-2=0，所以点S到侧面PMN的距离d==.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，PA=4，AB=AD=BC=2，E为棱BC上的点，且BE=BC.
(1)求证：DE⊥平面PAC；(6分)
(2)求点E到平面PCD的距离.(6分)
(1)证明　由PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，
所以PA，AB，AD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，4，0)，D(0，2，0)，E(2，1，0)，P(0，0，4)，
故=(2，-1，0)=(0，0，4)=(2，4，0)，
设m=(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，
则
取x=2，则m=(2，-1，0)，
显然=m，故DE⊥平面PAC.
(2)解　由(1)得=(0，-2，4)=(2，2，0)，
设n=(a，b，c)是平面PCD的一个法向量，
则
取a=2，则n=(2，-2，-1)，
由(1)得=(0，3，0)，则点E到平面PCD的距离为==2.
14.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O，∠BAD=且PA=AB=2，OP=1.
(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(4分)
(2)若PD=PB，且=2求平面PAD与平面ADM夹角的余弦值.(8分)
(1)证明　因为四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O，所以AC⊥BD，又∠BAD=AB=2，
所以AO=又PA=2，OP=1，
得PA2=OP2+AO2，
所以AO⊥OP，又OP∩BD=O，OP 平面PBD，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD，又AC 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBD.
(2)解　因为PD=PB，O为BD的中点，
所以OP⊥BD，
因为OP⊥AC，AC∩BD=O，AC，BD 平面ABC，
所以OP⊥平面ABC，
以O为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0)，D(0，-1，0)，P(0，0，1)，M
设平面PAD的法向量为m=(x，y，z)=(0，1，1)=(0，-1)，
则即
令z=得m=(1，-)，
设平面ADM的法向量为n=(a，b，c)=(1，0)=
则即
令a=1，得n=(1，-5)，
所以|cos〈m，n〉|===
所以平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为.
15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PD=AD=AB=1，CD=2，点E是PA的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PB⊥平面DEF；(3分)
(2)求平面PEB与平面PDB夹角的余弦值；(5分)
(3)在DC上是否存在一点G，使PG∥平面EDB，若存在，求出DG的长；若不存在，说明理由.(5分)
(1)证明　由于PD⊥平面ABCD，PD 平面PDA，
故平面PDA⊥平面ABCD，且平面PDA∩平面ABCD=AD，
AB⊥AD，AB 平面ABCD，
故AB⊥平面PDA，
又DE 平面PDA，故AB⊥DE，
又PD=AD=1，E是PA的中点，故PA⊥DE，AB∩PA=A，AB，PA 平面PAB，
故DE⊥平面PAB，又PB 平面PAB，
故DE⊥PB，
又EF⊥PB，EF∩DE=E，EF，DE 平面DEF，故PB⊥平面DEF.
(2)解　由于DA，DC，DP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)，E
故==(1，1，-1)=(1，1，0)，
设平面PEB的法向量为m=(x，y，z)，
则
取x=1，则z=1，y=0，故m=(1，0，1)，
设平面PDB的法向量为n=(a，b，c)，
则
取a=1，则b=-1，c=0，故n=(1，-1，0)，
设平面PEB与平面PDB的夹角为θ，
则cos θ=|cos〈m，n〉|===
故平面PEB与平面PDB夹角的余弦值为.
(3)解　假设存在点G满足条件，
设G(0，t，0)，0≤t≤2，
则=(0，t，-1)==(1，1，0)，
设平面EDB的法向量为k=(x0，y0，z0)，
则
取x0=1，则y0=-1，z0=-1，
故k=(1，-1，-1)，
若PG∥平面EDB，则⊥k，
故·k=-t+1=0，解得t=1，故DG=1，
故在DC上存在一点G，
当G为DC的中点时，PG∥平面EDB.