【学霸笔记】高中数学同步周测5《直线的倾斜角与斜率及直线的方程》人教A版 选择性必修第一册（教师版）

周测5　直线的倾斜角与斜率及直线的方程
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.已知直线l：3x+y+6=0，则直线l的倾斜角是(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案　C
解析　因为3x+y+6=0，所以y=-x-2
设直线l的倾斜角为α，则tan α=-因为0°≤α<180°，所以α=120°.
2.已知直线l1：ax+y-2=0，l2：(3a-2)x+ay-4=0，则a=1是l1∥l2的(　　)
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.既不充分也不必要条件
D.必要不充分条件
答案　B
解析　若两直线平行，则a2-(3a-2)×1=0，解得a=2或a=1.当a=2时，两直线重合，不符合题意，舍去；当a=1时，两直线平行，符合题意.所以a=1是l1∥l2的充要条件.
3.已知点A(1，1)和点B(4，5)，点P在y轴上，且∠APB为直角，则点P的坐标为(　　)
A.(0，2) B.(0，1)
C.(0，4) D.(0，3)
答案　D
解析　由题意，设点P(0，y)，如图所示，
∵∠APB为直角，∴AP⊥BP，
由kAP==1-y，kBP=
∴kAP·kBP=(1-y)·=-1，
解得y=3，∴点P的坐标为(0，3).
4.已知点A(1，2)，B(2，1)，若直线l：ax+y+1=0与线段AB有交点，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3，-1]
B.[1，3]
C.(-∞，-3]∪[-1，+∞)
D.(-∞，1]∪[3，+∞)
答案　A
解析　如图所示，
直线l：ax+y+1=0过定点P(0，-1)，
且kPA==3，kPB==1，
因为直线l与线段AB有交点，
则 kPB≤kl≤kPA，即 1≤-a≤3，
解得 -3≤a≤-1，
所以实数a的取值范围是[-3，-1].
5.已知直线Ax+By+1=0在y轴上的截距是-1，其倾斜角是直线x-y=0的倾斜角的2倍，则(　　)
A.A=B=1 B.A=-B=-1
C.A=B=-1 D.A=-B=1
答案　A
解析　由直线Ax+By+1=0在y轴上的截距是-1，得直线过点(0，-1)，可得A·0+B·(-1)+1=0，解得B=1；由直线x-y=0，设该直线的倾斜角为α，则tan α=解得α=60°，设直线Ax+y+1=0的倾斜角为β，斜率为k，由β=2α=120°，则k=tan β=tan 120°=-由k=-A，则-A=-解得A=.
6.图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为=0.5=k1=k2=k3.已知k2-k1=0.1，k3-k2=0.1，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于(　　)
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.9
答案　D
解析　设|OD1|=|DC1|=|CB1|=|BA1|=1，则|DD1|=0.5，|CC1|=k1，|BB1|=k2，|AA1|=k3，
依题意，有k3-0.2=k1，k3-0.1=k2，且=0.725，
所以=0.725，解得k3=0.9.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知直线l的倾斜角为120°，且l经过点(-1)，则下列结论中正确的有(　　)
A.l的一个方向向量为u=
B.l与两坐标轴围成三角形的面积为
C.l与直线x-3y+2=0垂直
D.l与直线x+y+2=0平行
答案　AC
解析　由题意得直线l的斜率k=tan 120°=-又直线l经过点(-1)，所以直线l的方程为y-1=-(x+)，即x+y+2=0，
它与直线x+y+2=0重合，故D错误；
因为=-所以向量u=是直线l的一个方向向量，故A正确；
在直线l的方程中，令y=0得x=-令x=0得y=-2，
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积为××2=故B错误；
由于×+1×(-3)=0，故C正确.
8.已知直线l：ax+ay-=0(a≠0)，则下列说法正确的是(　　)
A.无论a如何变化，直线l恒过定点
B.无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限
C.无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限
D.当|a|取不同数值时，可得到一组平行直线
答案　BD
解析　直线l：ax+ay-=0(a≠0)，即a2x+a2y-1=0(a≠0)，
即y=-x+(a≠0)，
因为直线l的斜率k=-1，与y轴的交点为(a≠0)，交于y轴的正半轴，
故直线l恒过第一、二、四象限，不过第三象限，故B正确，C错误；
当|a|取不同数值时也随着改变，直线l与y轴的交点也随着改变，又直线l的斜率不变，
所以当|a|取不同数值时，可得到一组平行直线，故D正确；
由D可知直线l不过定点，故A错误.
9.若直线l经过点(4，-2)，且l与坐标轴围成的三角形面积为2，则l的方程可能是(　　)
A.x-y-2=0 B.2x+y-6=0
C.x+y-2=0 D.x+4y+4=0
答案　CD
解析　易知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为y=k(x-4)-2，k≠0，令x=0，得y=-4k-2；令y=0，得x=+4，故围成的三角形面积为S=×|-4k-2|=2，
解得k=-1或k=-.
故直线l的方程为y=-(x-4)-2或y=-(x-4)-2，即x+y-2=0或x+4y+4=0.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.设点A(-2，1)，B(4，-2)，C(1，1+2a)，若A，B，C三点共线，则实数a的值为　　　　.
答案　-
解析　因为A，B，C三点共线，所以=解得a=-.
11.已知一束光线从点(2，3)射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与直线2x+4y-3=0垂直，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　.
答案　2x-y+7=0
解析　因为反射光线所在直线与直线2x+4y-3=0垂直，
所以可设反射光线所在直线的方程为4x-2y+m=0，
点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为(-2，3)，
显然点(-2，3)在直线4x-2y+m=0上，
所以4×(-2)-2×3+m=0，解得m=14，所以反射光线所在直线的方程为4x-2y+14=0，即2x-y+7=0.
12.直线2x+(1-cos 2θ)y-sin θ=0(θ∈R且不是π的整数倍)和两坐标轴围成图形的面积为　　　　.
答案　
解析　因为θ∈R且不是π的整数倍，所以1-cos 2θ≠0，又直线2x+(1-cos 2θ)y-sin θ=0，
令x=0，得到y=令y=0，得到x=所以直线2x+(1-cos 2θ)y-sin θ=0和两坐标轴围成图形的面积为S=××=×
=×=.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)请分别求出满足下列条件的直线方程.
(1)求过点(1，0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程；(6分)
(2)求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.(6分)
解　(1) 设与直线x-2y-2=0垂直的直线方程为2x+y+m=0，
把点(1，0)代入2x+y+m=0，可得2+m=0，解得m=-2.
故所求直线方程为2x+y-2=0.
(2) 方法一　由题意可设直线方程为3x-4y+n=0(n≠7)，
则直线在x轴、y轴上的截距分别为-.
由-+=1知n=-12.
故所求直线方程为3x-4y-12=0.
方法二　显然直线在两坐标轴上的截距不为0，则设直线方程为+=1，
由题意得解得
故所求直线方程为+=1，即3x-4y-12=0.
14.(12分)△ABC的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求：
(1)边BC上的中线所在直线的方程；(4分)
(2)边BC上的高所在直线的方程；(4分)
(3)边BC的垂直平分线的方程.(4分)
解　(1)边BC的中点坐标为(3，5)，
则边BC上的中线所在直线的方程为y=×(x-4)=-5x+20.
(2)边BC的斜率为=则边BC上的高所在直线的斜率为-
则边BC上的高所在直线的方程为y=-(x-4)=-x+6.
(3)由(1)知边BC的中点坐标为(3，5)，由(2)知高所在直线的斜率为-
则边BC的垂直平分线的方程为y=-(x-3)+5=-x+.
15.(13分) 在平面直角坐标系Oxy中，已知点P，B，C的坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，2)，E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点A.
(1)当点E的坐标为时，求过点E且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程；(5分)
(2)求△BOE与△ABE面积之和S的最小值.(8分)
解　(1)令过点E且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为l，
当直线l过原点时，直线l在x，y轴上的截距都为0，其方程为y=3x；
当直线l不过原点时，设直线l的方程为+=1或+=1，
于是得+=1或+=1，
解得a=2或a=-1，直线l的方程为x+y=2或x-y=-1，
故所求直线方程为3x-y=0或x+y-2=0或x-y+1=0.
(2)依题意，直线BC：+=1，因为点E在线段BC上，且直线EP与x轴负半轴相交，则可设点E(t，2-t)，0设A(x0，0)，x0<0，
则=(t，1-t)=(x0，-1)，由∥得
x0(1-t)=-t，
则x0=-0S△BOE=|OB|·(2-t)=2-t，
S△ABE=|AB|·(2-t)=(2-t)，
S=2-t+(2-t)
=2(2-t)+=2+
≥2+=2+
当且仅当3(1-t)=即t=1-时取等号，
所以△BOE与△ABE面积之和S的最小值为2+.