【学霸笔记】高中数学同步周测6《直线的交点坐标与距离公式》人教A版 选择性必修第一册（教师版）

周测6　直线的交点坐标与距离公式
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为(　　)
A. B. C. D.7
答案　C
解析　由已知两条直线平行，得=所以a=6，
所以直线3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0，
则两平行线间的距离d==.
2.已知直线l1：x-y+1=0，l2：x-2=0，则过l1和l2的交点且与直线3x+4y-5=0垂直的直线方程为(　　)
A.3x-4y-1=0 B.3x-4y+1=0
C.4x-3y-1=0 D.4x-3y+1=0
答案　D
解析　由于所求直线与直线3x+4y-5=0垂直，
所以设所求直线方程为4x-3y+m=0，
由得
即l1和l2的交点坐标为(2，3)，
因为直线4x-3y+m=0过点(2，3)，
所以8-9+m=0，得m=1，
所以所求直线方程为4x-3y+1=0.
3.若直线l1：y=kx+k+2与直线l2：y=-2x+4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　)
A.k>- B.k<2
C.-2
答案　C
解析　方法一　由直线l1，l2有交点，得k≠-2.
由得即交点坐标为.又交点在第一象限内，所以解得-方法二　由题意知，直线l1：y-2=k(x+1)过定点P(-1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4).若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括点A，B).因为kPA=-kPB=2，所以-4.已知实数x，y满足3x-4y+2=0，那么x2+y2-4x+6y+13的最小值为(　　)
A.16 B.4 C.2 D.
答案　A
解析　x2+y2-4x+6y+13可变形为(x-2)2+(y+3)2，
可以看作直线3x-4y+2=0上的动点(x，y)与点(2，-3)的距离的平方，
又因为点(x，y)与(2，-3)的最小距离为点(2，-3)到直线3x-4y+2=0的距离，
即=4，
故x2+y2-4x+6y+13的最小值为16.
5.点P(-2，-1)到直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线l的方程分别为(　　)
A.x+y-2=0
B.3x+y-4=0
C.3x+2y-5=0
D.2x-3y+1=0
答案　C
解析　直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)可变形为x+y-2+(3x+y-4)λ=0，
由解得
故直线l过定点A(1，1)，
故|PA|为点P(-2，-1)到直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)距离的最大值，
即|PA|==
且此时直线PA的斜率为kPA==
故此时直线l的方程为y-1=-(x-1)，
整理得3x+2y-5=0.
6.已知点A(-3，5)，B(2，15)，在直线l：3x-4y+4=0上存在一点P，使|PA|+|PB|的值最小，则点P坐标为(　　)
A.(0，1) B.
C. D.(8，7)
答案　C
解析　设B'(m，n)为点B关于直线l的对称点，则BB'的中点为
由轴对称的性质，可得
解得即点B'(14，-1).
直线AB'的方程为=
即y=-x+
由解得
即直线AB'与l交于点Q.
|PA|+|PB|=|PA|+|PB'|≥|AB'|，当点A，P，B'三点共线时，
即直线l上的点P与Q重合时，|PA|+|PB|取得最小值，
故满足条件的点P坐标为.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知直线l过点P(1，2)，且点A(2，3)，B(4，-5)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是(　　)
A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0
C.3x+2y-7=0 D.2x+3y-7=0
答案　AC
解析　由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，
当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为=-4，
所以直线l的方程是y-2=-4(x-1)，即4x+y-6=0；
当直线l经过线段AB的中点(3，-1)时，直线l的斜率为=-
则直线l的方程是y-2=-(x-1)，即3x+2y-7=0.
8.已知A(4，-3)，B(2，-1)和直线l：4x+3y-2=0，若在坐标平面内存在一点P，使得|PA|=|PB|，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为(　　)
A. B.(1，-4)
C. D.
答案　BD
解析　设点P的坐标为(a，b)，线段AB的中点M的坐标为(3，-2)，kAB==-1，
∴AB的垂直平分线的方程为y+2=x-3，即x-y-5=0，
∵点P(a，b)在直线x-y-5=0上，
∴a-b-5=0，①
又点P(a，b)到直线l：4x+3y-2=0的距离为2，∴=2，
即4a+3b-2=±10，②
联立①②可得a=1，b=-4或a=b=-
∴所求点P的坐标为(1，-4)或.
9.已知直线l1：ax-y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，O为坐标原点，则以下结论正确的是(　　)
A.不论a为何值，l1与l2都互相垂直
B.当a变化时，l1与l2分别恒过定点(0，1)和(-1，0)
C.不论a为何值，l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是
答案　ABD
解析　对于A，∵a×1+(-1)×a=0恒成立，∴l1⊥l2恒成立，A正确；
对于B，对于直线l1，当x=0时，y=1恒成立，则l1过定点(0，1)；
对于直线l2，当y=0时，x=-1恒成立，则l2恒过定点(-1，0)，B正确；
对于C，在l1上任取一点(x，ax+1)，关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1，-x)，
代入l2方程知，点(-ax-1，-x)不在l2上，C错误；
对于D，联立解得
即M
∴|MO|==≤即|MO|的最大值是D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若直线m经过直线x-y-1=0与直线2x+y-2=0的交点，且点(2，2)到直线m的距离为1，则直线m的方程为　　　　　　　　　　.
答案　3x-4y-3=0或x=1
解析　方法一　由得两直线的交点坐标为(1，0).
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k(x-1)，
则=1，解得k=
此时直线m的方程为3x-4y-3=0；
当直线m的斜率不存在时，x=1，点(2，2)到直线m的距离等于1，满足条件.
综上，直线m的方程为3x-4y-3=0或x=1.
方法二　设直线m的方程为x-y-1+λ(2x+y-2)=0，即(2λ+1)x+(-1+λ)y-1-2λ=0，则=1，
解得λ=-或λ=1，
所以直线m的方程为3x-4y-3=0或x=1.
11.直线x-2y+3=0关于点(1，1)对称的直线方程为　　　　　　　　　　.
答案　x-2y-1=0
解析　设直线x-2y+3=0关于点(1，1)对称的直线为l'，
在l'上任取一点P(x，y)，
则点P关于点(1，1)对称的点P'的坐标为(2-x，2-y)，
由题意可知点P'在直线x-2y+3=0上，
故(2-x)-2(2-y)+3=0，整理可得x-2y-1=0.
12.已知△ABC的顶点A(1)，∠ACB的角平分线所在的直线方程为x+3y-2=0，边AC上的高所在的直线方程为x-3y=0，则直线BC的方程为　　　　　　　.
答案　y=0
解析　因为边AC上的高所在的直线方程为x-3y=0，
所以kAC=-边AC所在直线方程为
y=-(x-1)+=-x+2
由解得即C(2，0).
因为∠ACB的角平分线所在的直线方程为x+3y-2=0，
所以点A(1)关于直线x+3y-2=0对称的点A'(x0，y0)在直线BC上，
所以
解得x0=y0=0，即A'(0，0)，
所以直线BC的方程为y=0.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)在平行四边形ABCD中，A(-1，1)，B(1，2)，C(3，-2)，点E是线段BC的中点.
(1)求直线CD的方程；(5分)
(2)求四边形ABED的面积.(7分)
解　(1)由AB∥CD，kAB==
得直线CD的方程为y-(-2)=(x-3)，即x-2y-7=0.
(2)由题意知四边形ABED为梯形，因为E是线段BC的中点，则E(2，0)，
直线AD的方程为y-1=(x+1)，即2x+y+1=0，
则点E到直线AD的距离为=
又|AD|=|BC|==2点E是线段BC的中点，所以|BE|=|BC|=
故四边形ABED的面积为=.
14.(12分)如图，在一段直的河岸同侧有A，B两个村庄，相距5 km，它们距河岸的距离分别为3 km、6 km.现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水.如果预计修建抽水站需8.25万元(含设备购置费和人工费)，铺设输水管每米需用24.5元(含人工费和材料费).现由镇政府拨款30万元，问A，B两村至少还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？(精确到100元)
(参考数据：≈8.06≈9.85≈3.28≈6.57)
解　建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，3).
由|AB|=5，可知B(4，6)，那么点A关于x轴的对称点A'(0，-3).
连接A'B交x轴于点C.
由平面几何知识可知，当抽水站建在C处时，铺设的输水管道最短.
∵|AC|+|BC|=|A'B|，∴|A'B|==≈9.85(km)，
∴铺设管道所需资金约为24.5×9.85×1 000=241 325(元)，
总费用为8.25×10 000+241 325=323 825≈323 900(元).
∴323 900-300 000=23 900(元).
因此至少需要两村共同自筹资金23 900元.
15.(13分)如图，已知A(6，6)，B(0，0)，C(12，0)，直线l：(k+)x-y-2k=0.
(1)求直线l经过的定点坐标；(5分)
(2)若P(2，2)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC(反射点为K)、AC(反射点为I)反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程.(8分)
解　(1)由直线l：(k+)x-y-2k=0，即k(x-2)+x-y=0，
令解得
故直线l恒过定点(2，2).
(2)设点P关于BC的对称点为P1，
则P1(2，-2)，
点P关于AC的对称点为P2(m，n)，
由直线AC的方程为=
即y=-(x-12)，
所以
解得所以P2(14，6)，
由题意得P1，K，I，P2四点共线=
由对称性得kPK=-
所以入射光线PK的直线方程为y-2=-(x-2)，
即2x+y-10=0.