2025-2026学年人教版八年级数学上册 期中提优测评卷（含答案）

期中提优测评卷
时间:100分钟 总分:100分
第Ⅰ卷(选择题 共20分)
一、选择题(每题2分，共20分)
1.(2025·广东东莞期末)下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）.
2.(2025·广东潮州湘桥区期末)如图,在△ABC中,BC边上的高为( ).
A. BE B. CF C. BD D. AF
3.(2025·河南漯河期末)如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC=BC=18cm，则折叠凳的宽AB 可能为( ).
A. 70 cm B. 55 cm
C. 40 cm D. 25 cm
4.(2025·辽宁沈阳铁西区期末)如图,已知∠AOB 与∠EO'F(∠AOB>∠EO'F),分别以点O,O'为圆心,以同样长为半径画弧,分别交OA,OB 于点A',B',交O'E,O'F 于点E',F'.以点B'为圆心，以E'F'长为半径画弧，在∠AOB 的内部交弧A'B'于点H.下列结论正确的是（ ）.
A. ∠AOB=2∠EO'F B. ∠AOH=∠EO'F
C. ∠AOH=∠BOH D. ∠HOB=∠EO'F
5.(2024·河南长垣期中)如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,以点A 为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC 于点D,E,再分别以点 D,E 为圆心,以大于 DE 的长度为半径作弧，两弧交于点F,作射线AF 交BC 于点G,若AB=12,CG=3,则△ABG 的面积是( ).
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
6.(2025·江苏南京五十中月考)下列说法中，正确的有（ ）.
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④若底角的平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形
A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个
7.(2025·山东泰安岱岳区期中)如图，已知 点 D 为BA 边上一点,BD=10,点O 为线段BD 的中点，以点O为圆心，线段OB 长为半径作弧，交 BC 于点E，连接DE，则 BE 的长是( ).
A. 5 B. 10 C. 2.5 D. 3
8.(2025·福建福州期末)如图,在四边形ABCD 中,BD平分∠ABC,且AD=CD,若∠CBD=α,则∠ADC 一定等于( ).
A. 3α
9.(2025·广东汕头潮阳区期末)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,P 是△ABC 内一点,点 D,E,F 分别是点 P 关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：
①AE=AD;
②∠DPE=90°;
③∠ADC+∠BFC+∠BEA=270°.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）.
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
10.(2024·湖南长沙期中)如图,已知∠AOB=120°,点 D 是∠AOB 的平分线上的一个定点,点E,F分别在射线OA 和射线OB上,且∠EDF=60°.下列结论:①△DEF 是等边三角形;②四边形DEOF 的面积是一个定值;③当DE⊥OA 时,△DEF 的周长最小;④当DE∥OB 时,DF也平行于OA.其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第Ⅱ卷(非选择题 共80分)
二、填空题(每题2分，共16分)
11.(2025·重庆长寿区期末)如图,△ABC≌△A'BC',∠BAC=66°,∠ABC'=26°,此时A'点恰好在线段A′C′上,则∠C 的度数为 .
12. (2024·河南漯河实验中学期中)图中
13.在平面直角坐标系中，点A(-5,-8)关于 y轴的对称点的坐标是 .
14.(2025·广东云浮罗定期末)如图, 中∠BAC 的外角的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点 P， 则 的度数是 .
15.(2024·枣庄滕州模拟)在同一平面内,将一副直角三角板 ABC 和EDF 如图放置(∠C=60°, 其中直角顶点 D 是BC 的中点，点A 在DE 上，则
16.(2025·北京十一中期中)在等边三角形ABC中,M,N,P 分别是边AB,BC,CA 上的点(不与端点重合)，对于任意等边三角形ABC，下面四个结论中所有正确结论的序号是 .
①存在无数个 是等腰三角形；
②只存在一个 是等边三角形；
③存在无数个△MNP 是等腰直角三角形；
④存在一个△MNP 在所有△MNP 中面积最小.
17.(2025·湖南衡阳耒阳期末)如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC.若 的平分线AE 交CD于点E,连接BE,且 BE 平分∠ABC,得到如下结论:①∠AEB=90°;②BC+AD=AB;③BE=CD;④BC=CE,那么以上结论正确的是 .(填序号)
18.如图,在△ABC中,AB=20cm,AC=12cm,点P 从点B 出发以每秒3cm的速度向点A 运动，点Q从点A 同时出发以每秒2cm的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒.
三、解答题(第19~21题每题6分,第22,23题每题8分,其余每题10分,共64分)
19.如图,已知D是BC上一点,AB=BD,DE∥AB,∠A=∠DBE.
求证:AC=BE.
20.(2025·贵州毕节威宁期末)如图,在△ABC 中,∠ABD=24°,∠A=45°,∠ACE=12°.
(1)求∠BFC 的度数;
(2)若∠ABC=90°,求证:
21.(2025·浙江台州期中)如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D,E,F 分别在AB,BC,AC 边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF 是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF 的度数.
22.如图,已知D是BC的中点,过点 D 作BC 的垂线交∠BAC 的平分线于点E,EF⊥AB 于点F,EG⊥AC于点G.
(1)求证:BF=CG;
(2)若AB=10,AC=6,求线段CG 的长.
23.已知在四边形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为F,BF 与AC 交于点G,∠BGE=∠ADE.
(1)如图(1),求证:AD=CD;
(2)如图(2),BH 是△ABE 的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图(2)中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍.
24.希望同学们在问题(1)解决过程中有所悟，再继续探索研究问题(2).
(1)如图(1),∠B=∠C,BD=CE,AB=DC.
①求证：△ADE 为等腰三角形；
②若∠B=60°,求证:△ADE 为等边三角形.
(2)如图(2),射线AM与BN,MA⊥AB,NB⊥AB,点 P 是AB上一点,在射线AM 与BN上分别作点C，D，满足：△CPD为等腰直角三角形.(要求：利用直尺与圆规，不写作法，保留作图痕迹)
25.(1)如图(1),在四边形ABCD 中, 点E 是BC 的中点,若AE 是∠BAD 的平分线,试判断AB，AD，DC 之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC,，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断. AB，AD，DC 之间的等量关系为 .
(2)问题探究:如图(2),在四边形ABCD 中, AF 与DC的延长线交于点 F,点 E 是BC 的中点,若AE 是 的平分线，试探究AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论.
26.(2025·浙江杭州期中)如图所示, 和 都是边长为4 厘米等边三角形，两个动点 P，Q同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A→C→B 的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D 的方向运动，当点Q运动到D 点时，P，Q两点同时停止运动.设P，Q运动的时间为t秒.
(1)点P，Q从出发到相遇所用时间是 秒.
(2)当t 取何值时, 也是等边三角形 请说明理由.
(3)当0期中提优测评卷
1. D 2. D 3. D
4. D [解析]连接 HB'和E'F',
由作图过程可知，(OH=O'E',OB'=O'F',B'H=F'E'.
在△HOB'和△E'O'F'中
所以△HOB′≌△E′O′F′(SSS),
所以∠HOB=∠EO'F.故选 D.
5. B [解析]如图,过点G作GH⊥AB 于点 H,根据题意，得AF 是∠CAB 的平分线，
∵∠C=90°,
∴AC⊥CG.
∵GH⊥AB,
∴CG=GH.
∵CG=3,
12×3=18.
6. D
7. A [解析]∵BD=10,O为线段BD 的中点,
以点O为圆心，线段OB 长为半径作弧，交BC 于点E，如图所示，连接OE，
∴OB=OE.
∵∠ABC=60°,∴△OBE 为等边三角形,
∴BE=OB=5.故选 A.
8. D [解析]作 DF⊥BC 于点F,DE⊥AB 交BA 的延长线于点E,则∠E=∠BFD=∠DFC=90°.
∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,∠ABD=∠CBD=α.在 Rt△ADE 和Rt△CDF 中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠ADE=∠CDF,
∴∠ADC=∠CDF+∠ADF=∠ADE+∠ADF=∠EDF.
∵∠EDF=360°-∠E-∠BFD-∠ABC=180°-2α,
故选 D.
9. A [解析]如图,连接AP,CP,BP,
∵点D,E,F 分别是点 P 关于直线AC,AB,BC 的对称点,∴AC,AB,BC分别为PD,PE,PF 的垂直平分线,
∴AD=AP,AE=AP,∴AE=AD,故①正确;
∵AC,AB分别为PD,PE 的垂直平分线,∠BAC=90°,
∴∠AMP=∠ANP=∠CAB=90°,
∴∠DPE=90°,故②正确;
∵AC 为PD 的垂直平分线,∴AD=AP,CD=CP,
∴∠ADP=∠APD,∠CDP=∠CPD,
∴∠ADC=∠APC,
同理得∠BFC=∠BPC,∠BEA=∠APB.
∵∠APC+∠BPC+∠APB=360°,
∴∠ADC+∠BFC+∠BEA=360°,故③错误.故选 A.
10. C [解析]过点 D 作 DM⊥OB 于点 M,DN⊥OA 于点N，如图所示.
∵点 D 是∠AOB 的平分线上的一点，
∴DM=DN.
∵∠AOB=120°,∠DNO=∠DMO=90°,
∴∠MDN=60°.
∵∠EDF=60°,
∴∠EDN=∠FDM,
∴△DEN≌△DFM(ASA),∴DE=DF,
∴△DEF 是等边三角形，故①正确；
∵S△DEN=S△DFM,
∴S△DEN+S四边形DEOM=S四边形DEOM +S△DFM,
即 S四边形DEOF =S四边形DMON.
∵点 D 是∠AOB 的平分线上的一个定点，
∴四边形 DMON 的面积是一个定值，
∴四边形 DEOF 的面积是一个定值，故②正确；
∵DE⊥OA,∴点 E 与N 重合.
∵垂线段最短，∴DE 的值最小.
当DE 最小时,△DEF 的周长最小,∴当 DE⊥OA 时,DE 最小,△DEF 的周长最小,故③正确;
∵DE∥OB,∴∠EDF=∠DFB=60°.
∵∠AOB=120°,∴∠DFB≠∠AOB,
∴DF 一定与OA 不平行,故④错误.故选 C.
11.40°[解析]∵△ABC≌△A'BC',
∴∠A'=∠BAC=66°,∠C=∠C',BA=BA',
∴∠C=40°.
12. 180 [解析]如图,连接CD,设AC,BD 交于点F,
∵ ∠A + ∠B + ∠AFB =∠CDF+∠DCF +∠CFD=180°,∠AFB=∠CFD,
∴∠A+∠B
=∠CDF+∠DCF,
∴∠A+∠B+∠ACE+∠BDE+∠E=∠CDF+∠DCF+∠FCE+∠FDE+∠E=180°.
13.(5,-8) [解析]在平面直角坐标系中,点A(-5,-8)关于 y轴的对称点的坐标是(5，-8).
14.40°[解析]∵BP 平分∠ABC,AP 平分∠CAM,
∵∠MAP=∠ABP+∠APB,
15.15
16.①③ [解析]如图(1),当 AM=BN=PC 时,可证△PMN 是等边三角形，这样的三角形有无数个.
如图(2),当NM=NP,∠MNP=90°时,△MNP 是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个(见图(3)).
△PNM 的面积不存在最小值(面积可以接近0，没有最小值).
17.①② [解析]∵在四边形ABCD 中,AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵∠DAB 的平分线AE 交CD 于E,BE平分∠ABC,
∴∠DAB=2∠BAE=2∠DAE,∠ABC=2∠ABE=2∠CBE,∴2∠BAE+2∠ABE=180°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
，故①正确；如图，延长AE 与BC 的延长线交于点F，
∵AD∥BC,∴∠F=∠EAD,∴∠F=∠EAB,
∴BF=BA.
∵BE平分∠ABC,∴BE 垂直平分AF,∴AE=EF.在△FEC 和△AED 中,
∴△FEC≌△AED(ASA),
∴FC=AD,CE=DE,即(
∴BC+AD=BC+CF=AB,故②正确;
∵BE与CE不一定相等，
不一定成立，故③错误；
∵AB 与CD 不一定平行,∴∠ABE 与∠BEC 不一定相等,即∠CBE 与∠BEC不一定相等,∴BC与CE 不一定相等，故④错误.综上，正确的是①②.
18.4 [解析]设运动的时间为x，
在△ABC 中,AB=20cm,AC=12cm,
点 P 从点B 出发以每秒3c m的速度向点 A 运动，点 Q从点A 同时出发以每秒 2cm 的速度向点 C 运动，当△APQ 是以PQ为底的等腰三角形时,AP=AQ,AP=20-3x,AQ=2x,即20-3x=2x,解得x=4.
19.∵DE∥AB,∴∠EDB=∠CBA.
又∠A=∠DBE,AB=BD,
∴△ABC≌△BDE(ASA).∴AC=BE.
20.(1)∵∠BFC=∠BEF+∠EBF,∠BEF=∠A+∠ACE,∴∠BFC=∠A+∠ACE+∠ABD=45°+24°+12°=81°.
(2)∵∠ABC=90°,∠ABD=24°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABD=66°.
∵∠BFC=81°.∴∠BCF=180°-81°-66°=33°,
21.(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.在△DBE 和△ECF 中,
∴△DBE≌△ECF(SAS),
∴DE=EF,∴△DEF 是等腰三角形.
(2)∵△DBE≌△ECF,∴∠1=∠3,∠2=∠4.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠1+∠2=110°,
∴∠3+∠2=110°,
∴∠DEF=70°.
22.(1)如图,连接EC,EB.
∵AE 是∠CAB 的平分线,EF⊥AB 于点F,EG⊥AC于点G,∴EG=EF.
又 ED 垂直平分BC,∴EC=EB.
∴Rt△CGE≌Rt△BFE(HL).∴BF=CG.
(2)在 Rt△AEF 和 Rt△AEG 中,
∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL).∴AF=AG.
∵BF=CG,∴AB+AC=AF+BF+AG-CG=2AG.
∵AB=10,AC=6,∴AG=8.
∴CG=AG-AC=2.
23.(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,
∴∠ADE=∠CGF.∵AC⊥BD,BF⊥CD,
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF=90°.
∴∠DAE=∠GCF.∴AD=CD.
(2)设DE=a,则AE=2DE=2a,EG=DE=a,
∵BH 是△ABE 的中线,∴AH=HE=a.
∵AD=CD,AC⊥BD,∴CE=AE=2a.
则 在△ADE和△BGE中,
∴△ADE≌△BGE(ASA).∴BE=AE=2a.
综上，面积等于△ADE 面积的2倍的三角形有△ACD，△ABE,△BCE,△BHG.
24.(1)①在△ABD 和△DCE中
∴△ABD≌△DCE(SAS).
∴DA=DE,即△ADE 为等腰三角形.
②∵△ABD≌△DCE,∴∠BAD=∠CDE.
∵∠B=60°,∴∠BAD+∠ADB=120°.
∴∠CDE+∠ADB=120°.∴∠ADE=60°.
又△ADE 为等腰三角形，∴△ADE 为等边三角形.
(2)有三种情况,PC=PD,CP=CD,DC=DP,如图所示：
25.(1)AD=AB+DC [解析]∵AB∥CD,∴∠F=∠BAE.∵点E 是BC 的中点,∴CE=BE.
又∠F=∠BAE,∠CEF=∠AEB,
∴△CEF≌△BEA(AAS).∴AB=CF.
∵AE 是∠BAD 的平分线,∴∠DAF=∠BAE.
∴∠DAF=∠F.∴AD=DF.
∴AD=CF+CD=AB+CD.
(2)AB=AF+CF,证明如下:
如图，延长AE 交DF 的延长线于点G.
∵E 是BC 的中点,
∴CE=BE.
∵AB∥DC,
∴∠BAE=∠G.
又∠AEB=∠GEC,BE=CE,
∴△AEB≌△GEC(AAS).
∴AB=GC.
∵AE 是∠BAF 的平分线,
∴∠BAG=∠FAG.
又∠BAG=∠G,
∴∠FAG=∠G.∴FA=FG.
∵CG=FG+CF,∴AB=AF+CF.
26.(1)4 [解析]设点 P,Q 从出发到相遇所用时间是t,根据题意,得t+2t=AC+AB+BC=12,解得t=4.
(2)如图(1),若△APQ 是等边三角形,此时点 P 在BC上,点 Q 在CD上,且易证△ADQ≌△ACP,
则CP=DQ,即t-4=4-(2t-8),解得
(3)PQ与AC互相垂直，理由如下：
如图(2)所示,根据题意,得AQ=2AP,取AQ的中点 N,则AN=NQ=AP.
∵∠PAQ=60°,∴△APN 是等边三角形,
∴PN=AN= NQ,∠ANP = 60°,∴∠NPQ=∠NQP=30°,
∴∠APQ=90°,即当0