2016年北师大版九年级数学上册同步测试：2.3 用公式法求解一元二次方程（解析版）

2016年北师大版九年级数学上册同步测试：2.3
用公式法求解一元二次方程
一、选择题（共17小题）
1．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（　　）
A．12
B．16
C．20
D．24
2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1
B．a＞1
C．a≤1
D．a＜1
3．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1
B．a＞1
C．a≤1
D．a≥1
4．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜
B．k＞
C．k＜且k≠0
D．k＞且k≠0
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3
B．m＜3
C．m＜3且m≠2
D．m≤3且m≠2
7．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1
B．k≥﹣1
C．k≠0
D．k＜1且k≠0
8．方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（　　）
A．m＞
B．m≤且m≠2
C．m≥3
D．m≤3且m≠2
9．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞
B．m＞且m≠2
C．﹣＜m＜2
D．＜m＜2
10．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥
B．k＞
C．k＜
D．k≤
11．关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥
B．m≤
C．m≥
D．m≤
12．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2+x+1=0
B．4x2+2x+1=0
C．x2+12x+36=0
D．x2+x﹣2=0
13．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．（x﹣1）2=0
B．x2+2x﹣19=0
C．x2+4=0
D．x2+x+l=0
14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数
D．无实数根
15．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1
B．a≤4
C．a≤1
D．a≥1
16．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
17．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（　　）
A．1
B．0，1
C．1，2
D．1，2，3
　
二、填空题（共10小题）
18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　　　　　．
19．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于　　　　　　．
20．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　．
21．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　　　　　　．
22．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m的值为　　　　　　．
23．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，则a的取值范围是　　　　　　．
24．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是　　　　　　．
25．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是　　　　　　．
26．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=　　　　　　，b=　　　　　　．
27．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　．
　
三、解答题（共3小题）
28．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
29．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
30．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
　
2016年北师大版九年级数学上册同步测试：2.3
用公式法求解一元二次方程
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共17小题）
1．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（　　）
A．12
B．16
C．20
D．24
【考点】根的判别式．
【分析】根据题意得到△=64+4a，然后把四个选项中a的值一一代入得到是正整数即可得出答案．
【解答】解：∵一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0的两个根均为整数，
∴△=64+4a，△的值若可以被开平方即可，
A、△=64+4×12=102，
=，此选项不对；
B、△=64+4×16=128，，此选项不对；
C、△=64+4×20=144，
=12，此选项正确；
D、△=64+4×24=160，，此选项不对，
故选：C．
【点评】本题考查了利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．
　
2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1
B．a＞1
C．a≤1
D．a＜1
【考点】根的判别式．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，得出△=16﹣4（5﹣a）≥0，从而求出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a）≥0，
∴a≥1．
故选A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
　
3．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1
B．a＞1
C．a≤1
D．a≥1
【考点】根的判别式．
【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，
∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，
解得：a＞1．
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
　
4．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜
B．k＞
C．k＜且k≠0
D．k＞且k≠0
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣12k＞0，
解得：k＜．
故选A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
　
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】根的判别式；一次函数的图象．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
　
6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3
B．m＜3
C．m＜3且m≠2
D．m≤3且m≠2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是
m≤3且m≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
7．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1
B．k≥﹣1
C．k≠0
D．k＜1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0
【解答】解：依题意列方程组
，
解得k＜1且k≠0．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
　
8．方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（　　）
A．m＞
B．m≤且m≠2
C．m≥3
D．m≤3且m≠2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，然后解不等式组即可．
【解答】解：根据题意得，
解得m≤且m≠2．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
　
9．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞
B．m＞且m≠2
C．﹣＜m＜2
D．＜m＜2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞且m≠2，再利用根与系数的关系得到﹣＞0，则m﹣2＜0时，方程有正实数根，于是可得到m的取值范围为＜m＜2．
【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，
解得m＞且m≠2，
设方程的两根为a、b，则a+b=﹣＞0，ab==1＞0，
而2m+1＞0，
∴m﹣2＜0，即m＜2，
∴m的取值范围为＜m＜2．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
　
10．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥
B．k＞
C．k＜
D．k≤
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】先根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，然后解关于k的一元一次不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，
解得k≤．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
　
11．关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥
B．m≤
C．m≥
D．m≤
【考点】根的判别式．
【分析】方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：由题意知，△=1﹣4m≥0，
∴m≤，
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
　
12．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2+x+1=0
B．4x2+2x+1=0
C．x2+12x+36=0
D．x2+x﹣2=0
【考点】根的判别式．
【分析】由方程有两个相等的实数根，得到△=0，于是根据△=0判定即可．
【解答】解：A、方程x2+x+1=0，∵△=1﹣4＜0，方程无实数根；
B、方程4x2+2x+1=0，∵△=4﹣16＜0，方程无实数根；
C、方程x2+12x+36=0，∵△=144﹣144=0，方程有两个相等的实数根；
D、方程x2+x﹣2=0，∵△=1+8＞0，方程有两个不相等的实数根；
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根
　
13．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．（x﹣1）2=0
B．x2+2x﹣19=0
C．x2+4=0
D．x2+x+l=0
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
【解答】解：A、△=0，方程有两个相等的实数根；
B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△=﹣16＜0，方程没有实数根；
D、△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数
D．无实数根
【考点】根的判别式．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根，是解决问题的关键．
　
15．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1
B．a≤4
C．a≤1
D．a≥1
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
16．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
17．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（　　）
A．1
B．0，1
C．1，2
D．1，2，3
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．
【解答】解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤，
则k的非负整数值为1或0．
∵k≠0，
∴k=1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
　
二、填空题（共10小题）
18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＞﹣且a≠0　．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，
解得：a＞﹣且a≠0．
故答案为：a＞﹣且a≠0．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
　
19．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于　3　．
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．
【解答】解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，
解得k=﹣4或3，
∵k＞0，
∴k=3．
故答案为3．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
　
20．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k≥1　．
【考点】根的判别式．
【分析】根据二次根式有意义的条件和△的意义得到，然后解不等式组即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得k≥1，
∴k的取值范围是k≥1．
故答案为：k≥1．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了二次根式有意义的条件．
　
21．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　k＜2且k≠1　．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
22．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m的值为　3　．
【考点】根的判别式．
【分析】根据题意可知△=0，即42﹣4×2×（m﹣1）=0，解得m=3，
【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
即42﹣4×2×（m﹣1）=0，
解得m=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意△=0 方程有两个相等的实数根．
　
23．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，则a的取值范围是　a＜﹣1　．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，然后求出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，
∴a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，
解得a＜﹣1，
∴a的取值范围是a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
　
24．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是　m＞　．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，
解得：m＞．
故答案为：m＞．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．
　
25．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是　m≤1　．
【考点】根的判别式．
【专题】探究型．
【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，
∵方程有实数根，
∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．
故答案为：m≤1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．
　
26．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=　4　，b=　2　．
【考点】根的判别式．
【专题】开放型．
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．
【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4，
故b=2，a=4时满足条件．
故答案为：4，2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．
　
27．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是　a≤1　．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，
∴△=4﹣4a≥0，
解得：a≤1，
故答案为：a≤1
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．
　
三、解答题（共3小题）
28．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
【考点】根的判别式．
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可．
【解答】解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，
解得m=﹣或m=．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．
　
29．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
【考点】根的判别式．
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；
（2）要使方程有整数解，那么为整数即可，于是p可取0，4，10时，方程有整数解．
【解答】解：（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
，
（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵方程有整数解，
∴为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．
　
30．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
∴m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+|x1x2|，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，
解得m=2，m=﹣14（舍去），
∴m=2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．