23.1成比例线段
【知识点1】比例的性质 1
【知识点2】比例线段 2
【知识点3】平行线分线段成比例 2
【知识点4】黄金分割 3
【题型1】利用黄金分割比的求长度 3
【题型2】利用比例的性质求字母代数式的值 4
【题型3】平行线分线段成比例在三角形中的应用 5
【题型4】比例的基本性质 6
【题型5】判断线段是否成比例线段 6
【题型6】利用平行线分线段成比例求线段的长度 8
【题型7】黄金分割的概念 9
【题型8】利用平行线分线段成比例求线段的比值 10
【题型9】根据成比例线段求线段的长度 11
【题型10】等分线段中的平行线分线段成比例 12
【题型11】成比例线段的应用 13
【知识点1】比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若=，则ad=bc．
②合比性质．若=，则=．
③分比性质．若=，则=．
④合分比性质．若=，则=．
⑤等比性质．若==…=（b+d+…+n≠0），则=．
1.（2025春 南岗区校级月考）已知（a、b、m、n都是不为0的自然数），那么下面的比例式中成立的是（ ）
A．m：n=b：a B．a：b=m：n C．a：n=b：m D．n：b=a：m
2.（2025 深圳二模）如果mn=ab（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【知识点2】比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
1.（2024秋 沙坡头区期中）将两块长为am,宽为bm的长方形红布，加工成一个长为cm,宽为dm的长方形，有人就a,b,c,d的关系写出如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是（ ）
A． B． C． D．
【知识点3】平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
1.（2024秋 宁江区期末）如图，两条直线被三条平行线所截，若AB：BC=2：3，EF=6，则DE=（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【知识点4】黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
1.（2024秋 鲤城区校级月考）“翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定事件
【题型1】利用黄金分割比的求长度
【典型例题】若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A. B.3﹣ C. D.或3﹣
【举一反三1】黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（ ）
A.（﹣1）a
B.（﹣2）a
C.（+1）a
D.（+2）a
【举一反三2】如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段CD＝ ．
【举一反三3】五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为 ．
【举一反三4】已知点C是线段AB的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段AC的长．
【题型2】利用比例的性质求字母代数式的值
【典型例题】若，则mn＝（ ）
A.10 B.7 C. D.
【举一反三1】已知2x＝3y＝6z＝﹣2017，则x+y+z+2017是（ ）
A.正数 B.零 C.负数 D.无法确定
【举一反三2】若===-5，且a+c+e＝20，则b+d+f值为（ ）
A.10 B.4 C.﹣4 D.﹣5
【举一反三3】若x＝2y（y≠0），则＝ ．
【举一反三4】已知，则的值是 ．
【举一反三5】如果，且3a﹣2b+c＝12，求a﹣b+c的值．
【题型3】平行线分线段成比例在三角形中的应用
【典型例题】如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE、AD交于点G，给出下列3个关系式：①＝；②＝；③＝．其中，正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，BE，若BE＝DE，BD：AD＝3：2，则AE：EC为（ ）
A.3：1 B.4：1 C.7：3 D.5：2
【举一反三2】如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则＝ ．
【举一反三3】如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD AG＝AF AB．
【举一反三4】如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC，求BN：NQ：QM的值．
【题型4】比例的基本性质
【典型例题】已知，则下列各式不一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.（）2＝（）2
【举一反三1】下列四个选项中，不正确的是（ ）
A.如果ad＝bc，那么a：b＝c：d
B.如果a：b＝c：d，那么ad＝bc
C.如果a：b＝m：n，b：c＝n：k，那么a：b：c＝m：n：k
D.如果b≠0，m≠0，那么＝
【举一反三2】已知x：y＝2：3，写出下列各式一定成立的序号 ．
①；②；③；④=；⑤．
【举一反三3】已知x：y＝3：4，y：z＝6：7，求x：y：z＝ ．
【举一反三4】若==，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．
【举一反三5】已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．
【题型5】判断线段是否成比例线段
【典型例题】下面两个比不能组成比例的是（ ）
A.10：12 和 35：42
B.0.6：0.2 和 ：
C.： 和 12：8
D.20：10 和 60：20
【举一反三1】有下列各组线段：
（1）a＝12dm，b＝8dm，c＝1.5m，d＝10m；
（2）a＝300dm，b＝20dm，c＝0.8dm，d＝12mm；
（3）a＝7m，b＝4m，c＝3m，d＝5m；
（4）a＝m，b＝m，c＝9m，d＝18m．
其中成比例的线段有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【举一反三2】如图，下列线段成比例的有（ ）
①＝；②＝；③＝；④＝．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】下列线段能构成比例线段的是 （填序号）．
（1）1，2，3，4；
（2）1，，，2 ；
（3），，，1；
（4）2，5，3，4．
【举一反三4】现在有3个数：1.2.3，请你再添上一个数，使这4个数成比例，你所添的数是 ．
【举一反三5】判别下列各组数是否成比例．
（1）1，4，2，8；
（2）1，﹣2，﹣3，﹣6；
（3）﹣，，﹣2，2．
【举一反三6】判断2﹣，1，2，2+四个数是否成比例．如果成比例，试写出一个比例式．
【题型6】利用平行线分线段成比例求线段的长度
【典型例题】已知线段a，b，c，求作线段x，使x=，下列作法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边中点，G为BC边上一点，连接AE，DG，相交于点F．若，则FE的长度是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是（ ）
A.1.5 B.6 C.9 D.12
【举一反三3】如图，AD．BC相交于点O，点E、F分别在BC．AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝6，EO＝4，BO＝5，AF＝6，那么AD＝ ．
【举一反三4】如图，l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝15，则BC的长为 ．
【举一反三5】如图，若直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F．
（1）如果AB＝5，BC＝8，EF＝7，求DE的长；
（2）如果DE：EF＝3：4，AC＝21，求AB的长．
【举一反三6】如图，已知AD∥BE∥CF．它们依次交直线l1，l2，于点A，B，C和点D，E，F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝7，求EF的长．
（2）如果AB：AC＝2：5，EF＝9，线段x是线段DE和线段DF的比例中项，求x的值．
【题型7】黄金分割的概念
【典型例题】如图，P是叶脉AB的黄金分割点（PA＞PB），则＝（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列各式正确的是（ ）
A.= B.= C.= D.=
【举一反三2】已知线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点①AP2＝AB PB；②AP＝AB；③PB＝AB；④=；⑤=．其中正确的是 （填“序号”）
【举一反三3】如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，通过计算可知黄金比值是≈0.618，请你解释黄金分割中的黄金比是怎样求出来的？
【题型8】利用平行线分线段成比例求线段的比值
【典型例题】如图，AB∥CD∥EF，则下列线段的比中，与相等的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A．C．E、B．D．F，若AC＝2，CE＝3，则＝（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，在线段AD上截取AF＝2FD，EF交AC于G，则＝（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
【举一反三4】如图，＝＝，则＝ ，＝ ．
【举一反三5】如图，已知AC∥FE∥BD，求证：+＝1．
【举一反三6】如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交点A．B．C和点D．E、F．若＝，求的值．
【题型9】根据成比例线段求线段的长度
【典型例题】若线段a＝1m，b＝50cm，则＝（ ）
A.2 B.1 C. D.50
【举一反三1】如图，已知“人字梯”的顶端离地面的高度AD是180cm，，则“人字梯”的底部宽度BC的长是（ ）
A.36cm B.72cm C.108cm D.144cm
【举一反三2】已知a，b，c，d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm，则线段d的长度为 cm．
【举一反三3】若a＝2，b＝6，c＝5，当d＝ 时，a，b，c，d是成比例线段．
【举一反三4】已知a，b，c，d是成比例线段，且a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，求线段d的长．
【题型10】等分线段中的平行线分线段成比例
【典型例题】如图，D，F是AB边上的三等分点，EG在AC上，且DE∥FG∥BC，则AE与GC的关系是（ ）
A.AE＜GC B.AE＞GC C.AE＝GC D.不能确定
【举一反三1】已知△ABC，BC＝4cm，B1、B2、B3是AB边的四等分点，并且B1C1∥B2C2∥B3C3∥BC，则B1C1+B2C2+B3C3+BC＝（ ）
A.10cm B.8cm C.12cm D.14 cm
【举一反三2】已知：AD是△ABC的中线，E是CA的三等分点，BE与AD相交于点F，则AF：FD为 ．
【举一反三3】如图，AB＝AC，E是线段AB的三分之一点，∠ADB＝90°，求证：点F是AD的中点．
【举一反三4】如图，在△ABC中，点D为线段BC的三等分点（BD＜DC），连接AD，取AD的中点F，连接BF并延长交AC于点E．已知AE＝2，求线段AC的长．
【题型11】成比例线段的应用
【典型例题】下列所列的四个比例尺中，最小的是（ ）
A.图上1厘米代表实际距离100千米
B.
C.五十万分之一
D.1：1000000
【举一反三1】在一幅比例尺是1：1000000的地图上，用（ ）厘米表示60千米．
A.0.06 B.6 C.0.6 D.60
【举一反三2】一幅平面图的比例尺是10：1，实际距离1厘米在这幅图上应画（ ）
A.1毫米 B.1厘米 C.1分米 D.10分米
【举一反三3】一幅实验学校新校区的教学大楼平面图的比例尺是1：400，在图上量得一间教室的长是2厘米，宽是1.5厘米，这间教室的实际面积是________平方米．
【举一反三4】在一幅比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间高速公路之间的距离是5.5cm．在另一幅比例尺是1：5000000的地图上，这条公路的图上距离是多少？23.1成比例线段
【知识点1】比例的性质 1
【知识点2】比例线段 2
【知识点3】平行线分线段成比例 3
【知识点4】黄金分割 4
【题型1】利用黄金分割比的求长度 4
【题型2】利用比例的性质求字母代数式的值 7
【题型3】平行线分线段成比例在三角形中的应用 8
【题型4】比例的基本性质 12
【题型5】判断线段是否成比例线段 14
【题型6】利用平行线分线段成比例求线段的长度 17
【题型7】黄金分割的概念 21
【题型8】利用平行线分线段成比例求线段的比值 23
【题型9】根据成比例线段求线段的长度 26
【题型10】等分线段中的平行线分线段成比例 28
【题型11】成比例线段的应用 31
【知识点1】比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若=，则ad=bc．
②合比性质．若=，则=．
③分比性质．若=，则=．
④合分比性质．若=，则=．
⑤等比性质．若==…=（b+d+…+n≠0），则=．
1.（2025春 南岗区校级月考）已知（a、b、m、n都是不为0的自然数），那么下面的比例式中成立的是（ ）
A．m：n=b：a B．a：b=m：n C．a：n=b：m D．n：b=a：m
【答案】D
【分析】比例的内项之积等于外项之积，由此即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴mn=ab,
∴n：b=a：m.
故选：D．
2.（2025 深圳二模）如果mn=ab（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、= ab=mn,故正确；
B、= mb=na,故错误；
C、= ab=mn,故正确；
D、= mn=ab,故正确．
故选：B．
【知识点2】比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
1.（2024秋 沙坡头区期中）将两块长为am,宽为bm的长方形红布，加工成一个长为cm,宽为dm的长方形，有人就a,b,c,d的关系写出如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由长方形的面积关系得出2ab=cd,得出，，，得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：2ab=cd,
∴，，，
∴A、B、C正确，D不正确．
故选：D．
【知识点3】平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
1.（2024秋 宁江区期末）如图，两条直线被三条平行线所截，若AB：BC=2：3，EF=6，则DE=（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】由两条直线被三条平行线所截，利用平行线分线段成比例，即可求出DE的长．
【解答】解：∵两条直线被三条平行线所截，
∴AB：BC=DE：EF，
∵AB：BC=2：3，EF=6，
∴DE：6=2：3，
∴DE=4．
故选：B．
【知识点4】黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
1.（2024秋 鲤城区校级月考）“翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定事件
【答案】C
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、确定事件的定义判断即可得出结论．
【解答】解：“翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是随机事件，
故选：C．
【题型1】利用黄金分割比的求长度
【典型例题】若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A. B.3﹣ C. D.或3﹣
【答案】D
【解析】当AC＜BC时，BC＝AB＝﹣1；
当AC＞BC时，BC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故选：D．
【举一反三1】黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（ ）
A.（﹣1）a
B.（﹣2）a
C.（+1）a
D.（+2）a
【答案】D
【解析】设AB＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝x，
∵矩形ABFG是黄金矩形，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝（2+2）a，
经检验：x＝（2+2）a是原方程的根，
∴AB＝（2+2）a，
故选：D．
【举一反三2】如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段CD＝ ．
【答案】﹣2
【解析】∵线段AB＝1，点C是AB黄金分割点，
∴较小线段AD＝BC＝1×，
则CD＝AB﹣AD﹣BC＝1﹣2×＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【举一反三3】五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为 ．
【答案】10﹣20
【解析】∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC＝BD＝AB＝﹣1，BC＝AB＝3﹣，
∴CD＝BD﹣BC＝（﹣1）﹣（3﹣）＝2﹣4，
∴五边形CDEFG的周长＝5（2﹣4）＝10﹣20．
故答案为：10﹣20．
【举一反三4】已知点C是线段AB的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段AC的长．
【答案】解 设分成的两部分中较长线段的长为x，
可得x2＝（x﹣2）（x+x﹣2），
x2﹣6x+4＝0，
解得x=3，
而x﹣2＞0，
所以，AC=3+或．
线段AC的长为3+或1+．
【题型2】利用比例的性质求字母代数式的值
【典型例题】若，则mn＝（ ）
A.10 B.7 C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴mn＝10，
故选：A．
【举一反三1】已知2x＝3y＝6z＝﹣2017，则x+y+z+2017是（ ）
A.正数 B.零 C.负数 D.无法确定
【答案】B
【解析】∵2x＝3y＝6z＝﹣2017，
∴x＝﹣1008，y＝﹣672，z＝﹣336，
∴x+y+z+2017＝﹣1008﹣672﹣336+2017＝0．
故选：B．
【举一反三2】若===-5，且a+c+e＝20，则b+d+f值为（ ）
A.10 B.4 C.﹣4 D.﹣5
【答案】C
【解析】∵===-5，
∴＝＝﹣5，
∵a+c+e＝20，
∴＝﹣5，
∴b+d+f＝﹣＝﹣4．
故选：C．
【举一反三3】若x＝2y（y≠0），则＝ ．
【答案】2
【解析】∵x＝2y，
∴＝2．
故答案为：2．
【举一反三4】已知，则的值是 ．
【答案】
【解析】设＝k，
∴a＝7k，b＝5k，c＝3k，
∴＝＝＝，
故答案为：．
【举一反三5】如果，且3a﹣2b+c＝12，求a﹣b+c的值．
【答案】解 令＝k，
∴a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵3a﹣2b+c＝12，
∴9k﹣8k+5k＝12，
∴k＝2，
∴a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10，
∴a﹣b+c＝6﹣8+10＝8．
【题型3】平行线分线段成比例在三角形中的应用
【典型例题】如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE、AD交于点G，给出下列3个关系式：①＝；②＝；③＝．其中，正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【答案】B
【解析】连接DE，
∵BD＝DC，EF＝FC＝AE，
∴DF∥BE，
∴＝＝＝，＝＝，
∴GE＝DF，DF＝BE，
∴＝，
∴＝，
故①③正确，②错误；
故选：B．
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，BE，若BE＝DE，BD：AD＝3：2，则AE：EC为（ ）
A.3：1 B.4：1 C.7：3 D.5：2
【答案】C
【解析】如图，过点E作EH⊥AB于点H．
∵EB＝EA，EH⊥AB，
∴HB＝HD，
∵∠AHE＝∠ABC＝90°，
∴EH∥CB，
∴＝，
∵＝，DH＝BH，
∴＝，
∴＝，
故选：C．
【举一反三2】如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则＝ ．
【答案】
【解析】∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC中点，
∵EF＝FC，
∴点F是EC中点，
∴DF是△CEB中位线，
∴DF∥BE，BE＝2DF，
∴GE是△ADF中位线，
∴＝，
设GE＝x，则DF＝2x，BE＝4x，
∴BG＝3x，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD AG＝AF AB．
【答案】（1）解 ∵DE∥BC，
∴＝，
又＝，AE＝3，
∴＝，
解得AC＝9，
∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；
（2）证明 ∵DE∥BC，EF∥CG，
∴＝＝，
∴AD AG＝AF AB．
【举一反三4】如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC，求BN：NQ：QM的值．
【答案】解 连接MF，如图，
∵M是AC的中点，EF＝FC，
∴MF为△CEA的中位线，
∴AE＝2MF，AE∥MF，
∵NE∥MF，
∴＝＝1，＝＝，
∴BN＝NM，MF＝2NF，
设BN＝a，NE＝b，则NM＝a，MF＝2b，AE＝4b，
∴AN＝3b，
∵AN∥MF，
∴＝＝＝，
∴NQ＝a，QM＝a，
∴BN：NQ：QM＝a：a：a＝5：3：2．
【题型4】比例的基本性质
【典型例题】已知，则下列各式不一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.（）2＝（）2
【答案】B
【解析】∵，
∴ad＝bc．
A．∵，
∴+1＝+1，即＝，故本选项一定成立，不符合题意；
B．∵d与b不一定相等，ad＝bc，
∴ad+d与bc+b不一定相等，
∴与不一定相等，故本选项不一定成立，符合题意；
C．∵，
∴＝，故本选项一定成立，不符合题意；
D．∵，
∴（）2＝（）2，故本选项一定成立，不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】下列四个选项中，不正确的是（ ）
A.如果ad＝bc，那么a：b＝c：d
B.如果a：b＝c：d，那么ad＝bc
C.如果a：b＝m：n，b：c＝n：k，那么a：b：c＝m：n：k
D.如果b≠0，m≠0，那么＝
【答案】A
【解析】A．如果ad＝bc≠0，那么a：b＝c：d，故本选项错误，符合题意；
B．如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，故本选项正确，不符合题意；
C．如果a：b＝m：n，b：c＝n：k，那么a：b：c＝m：n：k，故本选项正确，不符合题意；
D．如果b≠0，m≠0，那么＝，故本选项正确，不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】已知x：y＝2：3，写出下列各式一定成立的序号 ．
①；②；③；④=；⑤．
【答案】②④
【解析】∵x：y＝2：3，
∴＝
设x＝2k，y＝3k，
∴＝＝≠，∴①错误；
＝＝，∴②正确；
＝≠，∴③错误；
＝＝，∴④正确；
＝≠，∴⑤错误；
故答案为：②④．
【举一反三3】已知x：y＝3：4，y：z＝6：7，求x：y：z＝ ．
【答案】9：12：14
【解析】∵x：y＝3：4，y：z＝6：7，
∴x：y＝9：12，y：z＝12：14，
∴x：y：z＝9：12：14．
故答案为：9：12：14．
【举一反三4】若==，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．
【答案】解 设＝＝＝k，
则a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，
所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，
解得k＝2，
所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，
所以a：b：c＝4：8：7．
【举一反三5】已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．
【答案】解 ∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，
∴设，解得，
∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°．
【题型5】判断线段是否成比例线段
【典型例题】下面两个比不能组成比例的是（ ）
A.10：12 和 35：42
B.0.6：0.2 和 ：
C.： 和 12：8
D.20：10 和 60：20
【答案】D
【解析】A．因为10×42＝12×35，所以10：12和35：42能组成比例；
B．因为0.6×＝0.2×，所以0.6：0.2 和 ：能组成比例；
C．因为×8＝×12，所以： 和 12：8能组成比例；
D．因为20×20≠10×60，所以20：10和60：20不能组成比例．
故选：D．
【举一反三1】有下列各组线段：
（1）a＝12dm，b＝8dm，c＝1.5m，d＝10m；
（2）a＝300dm，b＝20dm，c＝0.8dm，d＝12mm；
（3）a＝7m，b＝4m，c＝3m，d＝5m；
（4）a＝m，b＝m，c＝9m，d＝18m．
其中成比例的线段有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【答案】A
【解析】（1）a＝12dm＝1.2m，b＝8dm＝0.8m，c＝1.5m，d＝10m，0.8×10≠1.2×1.5，不是比例线段；
（2）a＝300dm，b＝20dm，c＝0.8dm，d＝12mm＝0.12dm，300×0.12≠20×0.8，不是比例线段；
（3）a＝7m，b＝4m，c＝3m，d＝5m，7×3≠4×5，不是比例线段；
（4）a＝m，b＝m，c＝9m，d＝18m，×18＝×9，是比例线段．
故选：A．
【举一反三2】如图，下列线段成比例的有（ ）
①＝；②＝；③＝；④＝．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】∵AC＝3，CD＝4，BD＝6，
∴＝，＝＝，
∴≠，故①错误；
∵AB＝1，BC＝2，CD＝4，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝，故②正确；
∵AB＝1，BC＝2，CD＝4，
∴＝，＝＝，
∴＝，故③正确；
∵CD＝4，BD＝6，AD＝7，AB＝1
∴＝＝，＝＝7，
∴≠，故④错误．
故选：B．
【举一反三3】下列线段能构成比例线段的是 （填序号）．
（1）1，2，3，4；
（2）1，，，2 ；
（3），，，1；
（4）2，5，3，4．
【答案】（2）
【解析】（1）1×4≠2×3，故不能构成比例线段；
（2）1×2＝×，故能构成比例线段；
（3）1×≠×，故不能构成比例线段；
（4）2×5≠3×4，故不能构成比例线段．
故答案为：（2）．
【举一反三4】现在有3个数：1.2.3，请你再添上一个数，使这4个数成比例，你所添的数是 ．
【答案】6，，
【解析】当1：2＝3：x时，x＝6；
当1：3＝2：x时，x＝6；
当1：x＝2：3时，x＝
当1：x＝3：2时，x＝；
所以可以添加的数有：6，，；
【举一反三5】判别下列各组数是否成比例．
（1）1，4，2，8；
（2）1，﹣2，﹣3，﹣6；
（3）﹣，，﹣2，2．
【答案】解 （1）由于4×2＝8×1，所以四条线段成比例；
（2）由于1×（﹣6）≠（﹣3）×（﹣2），所以四条线段不能成比例；
（3）由于﹣2×＝﹣×2，所以四条线段成比．
【举一反三6】判断2﹣，1，2，2+四个数是否成比例．如果成比例，试写出一个比例式．
【答案】解 ＝2﹣，＝2﹣，
则比例式是：＝．
【题型6】利用平行线分线段成比例求线段的长度
【典型例题】已知线段a，b，c，求作线段x，使x=，下列作法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．根据平行线的性质得=，故x＝，故此选项错误；
B．根据平行线的性质得=，故x＝，故此选项错误；
C．根据平行线的性质得=，故x＝，故此选项错误；
D．根据平行线的性质得=故x＝，故此选项正确．
故选：D．
【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边中点，G为BC边上一点，连接AE，DG，相交于点F．若，则FE的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，作FH∥BC交CD于H，
则＝＝，
∵E为CD边中点，
∴＝，
∵FH∥AD，
∴＝＝，
∵AE＝＝2，
∴FE＝．
故选：A．
【举一反三2】如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是（ ）
A.1.5 B.6 C.9 D.12
【答案】C
【解析】∵AD∥BE∥CF，
∴=，
∵AB＝4，BC＝8，DE＝3，
∴=，
∴EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝3+6＝9，
故选：C．
【举一反三3】如图，AD．BC相交于点O，点E、F分别在BC．AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝6，EO＝4，BO＝5，AF＝6，那么AD＝ ．
【答案】10
【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵CE＝6，EO＝4，BO＝5，AF＝6，
∴＝，
∴DF＝4，
∴AD＝AF+DF＝6+4＝10．
故答案为：10．
【举一反三4】如图，l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝15，则BC的长为 ．
【答案】18
【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝6，DE＝5，EF＝15，
∴，
解得：BC＝18．
故答案为：18．
【举一反三5】如图，若直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F．
（1）如果AB＝5，BC＝8，EF＝7，求DE的长；
（2）如果DE：EF＝3：4，AC＝21，求AB的长．
【答案】解 （1）∵AD∥BE∥CF，
∴AB：BC＝DE：EF，
∵AB＝5，BC＝8，EF＝7，
∴5：8＝DE：7，
∴DE＝；
（2）∵AD∥BE∥CF，
∴AB：BC＝DE：EF，
∵DE：EF＝3：4，
∴AB：AC＝3：7，
∵AC＝21，
∴AB＝9，
∴BC＝AC﹣AB＝12．
【举一反三6】如图，已知AD∥BE∥CF．它们依次交直线l1，l2，于点A，B，C和点D，E，F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝7，求EF的长．
（2）如果AB：AC＝2：5，EF＝9，线段x是线段DE和线段DF的比例中项，求x的值．
【答案】解 （1）∵AD∥BE∥CF，
∴，即＝，
解得：EF＝4；
（2）∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
解得；DF＝15，
∴DE＝DF﹣EF＝15﹣9＝6，
∴x＝＝＝3．
【题型7】黄金分割的概念
【典型例题】如图，P是叶脉AB的黄金分割点（PA＞PB），则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据黄金分割数的性质可知=．
故选：A．
【举一反三1】如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列各式正确的是（ ）
A.= B.= C.= D.=
【答案】B
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴＝，
∴B正确，
A．C．D不正确，
故选：B．
【举一反三2】已知线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点①AP2＝AB PB；②AP＝AB；③PB＝AB；④=；⑤=．其中正确的是 （填“序号”）
【答案】①②③④
【解析】∵P为AB的黄金分割点，
∴＝，
∴AP2＝AB PB，故①小题正确；
AP2＝AB （AB﹣AP），
AP2+AB AP﹣AB2＝0，
解得AP＝AB，故②小题正确；
（AB﹣PB）＝AB，
整理得，PB＝AB，故③小题正确；
∵PB＝AB，
∴PA＝AB﹣BP＝AB，
∴＝＝，故④小题正确；
＝，故⑤小题错误．
综上所述，①②③④正确．
故答案为：①②③④．
【举一反三3】如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，通过计算可知黄金比值是≈0.618，请你解释黄金分割中的黄金比是怎样求出来的？
【答案】解 设AB＝1，AC＝x，则BC＝1﹣x，
由＝，得AC2＝AB CB，
则x2＝1×（1﹣x）
整理得；x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
则黄金比＝＝≈0.618．
【题型8】利用平行线分线段成比例求线段的比值
【典型例题】如图，AB∥CD∥EF，则下列线段的比中，与相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴＝．
故选：D．
【举一反三1】如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A．C．E、B．D．F，若AC＝2，CE＝3，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】AC＝2，CE＝3，
∴AE＝5，
∵a∥b∥c，
∴＝．
故选：B．
【举一反三2】在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，在线段AD上截取AF＝2FD，EF交AC于G，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，E点作EO∥AF交AC于O，
∵点E是AB的中点，
∴点O为AC的中点，
∴OE＝BC，
而四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
∴OE＝AD，
而AF＝2FD，
∴OE＝×AF＝AF，
∵OE∥AF，
∴△GAF∽△GOE，
∴＝＝，
∴＝＝．
故选：B．
【举一反三3】如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵OF＝1，FD＝2，
∴OD＝OF+FD＝1+2＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，＝＝，则＝ ，＝ ．
【答案】
【解析】∵＝＝，
∴＝＝，
＝；
故答案为：，．
【举一反三5】如图，已知AC∥FE∥BD，求证：+＝1．
【答案】证明 ∵AC∥EF，
∴=①，
∵FE∥BD，
∴=②，
①+②，得：+=+=，
即+=1．
【举一反三6】如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交点A．B．C和点D．E、F．若＝，求的值．
【答案】解 ∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，
∴＝．
【题型9】根据成比例线段求线段的长度
【典型例题】若线段a＝1m，b＝50cm，则＝（ ）
A.2 B.1 C. D.50
【答案】C
【解析】∵a＝1m＝100cm，b＝50cm，
∴==．
故选：C．
【举一反三1】如图，已知“人字梯”的顶端离地面的高度AD是180cm，，则“人字梯”的底部宽度BC的长是（ ）
A.36cm B.72cm C.108cm D.144cm
【答案】D
【解析】∵AD＝180cm，，
∴＝，
解得CD＝72，
由等腰三角形三线合一的性质可得BC＝2CD＝144cm．
故选：D．
【举一反三2】已知a，b，c，d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm，则线段d的长度为 cm．
【答案】32
【解析】 ∵a，b，c，d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm，
∴，
∴，
解得d＝32（cm），
故答案为：32．
【举一反三3】若a＝2，b＝6，c＝5，当d＝ 时，a，b，c，d是成比例线段．
【答案】15
【解析】∵a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
即2：6＝5：d，
∴d＝＝15．
故答案为：15．
【举一反三4】已知a，b，c，d是成比例线段，且a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，求线段d的长．
【答案】解 ∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，
∴d＝4cm．
【题型10】等分线段中的平行线分线段成比例
【典型例题】如图，D，F是AB边上的三等分点，EG在AC上，且DE∥FG∥BC，则AE与GC的关系是（ ）
A.AE＜GC B.AE＞GC C.AE＝GC D.不能确定
【答案】C
【解析】∵D，F是AB边上的三等分点，
∴AD＝DF＝FB，
∵DE∥FG∥BC，
∴AE＝EG＝GC．
故选：C．
【举一反三1】已知△ABC，BC＝4cm，B1、B2、B3是AB边的四等分点，并且B1C1∥B2C2∥B3C3∥BC，则B1C1+B2C2+B3C3+BC＝（ ）
A.10cm B.8cm C.12cm D.14 cm
【答案】A
【解析】∵B1、B2、B3是AB边的四等分点，
∴AB1＝B1B2＝B2B3＝B3B，
∵B1C1∥B2C2∥B3C3∥BC，
∴AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C，
∴B2C2＝BC＝2cm，
∴B1C1+B2C2＝2B2C2＝4cm，
∴B1C1+B2C2+B3C3+BC＝4+2+4＝10cm．
故选：A．
【举一反三2】已知：AD是△ABC的中线，E是CA的三等分点，BE与AD相交于点F，则AF：FD为 ．
【答案】4：1
【解析】过D作DG∥AC交BE于G，
∵D是BC的中点，
∴DG＝EC，
又∵AE＝2EC，
∴AF：FD＝AE：DG＝2EC：EC＝4：1．
故答案为：4：1．
【举一反三3】如图，AB＝AC，E是线段AB的三分之一点，∠ADB＝90°，求证：点F是AD的中点．
【答案】解 过D作DH∥CE于H，
∵AB＝AC，∠ADB＝90°，
∴BD＝CD，
∴BH＝EH，
∵E是线段AB的三分之一点，
∴AE＝EH，
∴AF＝DF，
∴点F是AD的中点．
【举一反三4】如图，在△ABC中，点D为线段BC的三等分点（BD＜DC），连接AD，取AD的中点F，连接BF并延长交AC于点E．已知AE＝2，求线段AC的长．
【答案】解 如图，过点E作EH∥CB交AD于点H．
∵EH∥DB，
∴＝＝1，
∴EH＝BD，
∵CD＝2BD，
∴CD＝2EH，
∵EH∥CD，
∴＝＝，
∵AE＝2，
∴AC＝4．
【题型11】成比例线段的应用
【典型例题】下列所列的四个比例尺中，最小的是（ ）
A.图上1厘米代表实际距离100千米
B.
C.五十万分之一
D.1：1000000
【答案】A
【解析】根据比例尺的定义进行计算，再选择答案即可．
A．比例尺为1：10000000是最小的比例尺，故本选项正确；
B．＞1：10000000，故本选项错误；
C．＞，故本选项错误；
D．1：1000000＞，故本选项错误；
故选：A．
【举一反三1】在一幅比例尺是1：1000000的地图上，用（ ）厘米表示60千米．
A.0.06 B.6 C.0.6 D.60
【答案】B
【解析】60千米＝6000000，
设用x厘米表示60千米，则：
＝，
解得x＝6．
故选：B．
【举一反三2】一幅平面图的比例尺是10：1，实际距离1厘米在这幅图上应画（ ）
A.1毫米 B.1厘米 C.1分米 D.10分米
【答案】C
【解析】设实际距离1厘米在这幅图上应画xcm，
根据题意得x：1＝10：1，
解得x＝10cm＝1分米．
故选：C．
【举一反三3】一幅实验学校新校区的教学大楼平面图的比例尺是1：400，在图上量得一间教室的长是2厘米，宽是1.5厘米，这间教室的实际面积是________平方米．
【答案】48
【解析】由题意知，实际长为2×400＝800cm＝8m，
实际宽为1.5×400＝600cm＝6m，
实际面积为8×6＝48m2，
故答案为：48．
【举一反三4】在一幅比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间高速公路之间的距离是5.5cm．在另一幅比例尺是1：5000000的地图上，这条公路的图上距离是多少？
【答案】解 设甲、乙两城高速公路实际距离x cm．依题意有：
1：2000000＝5.5：x，
x＝2000000×5.5，
解得：x＝11000000，
设高速公路在1：5000000地图上图上距离为y cm．依题意有：
1：5000000＝y：11000000，
5000000y＝11000000，
解得：y＝2.2．
答：这条公路的图上距离是2.2cm．
