23.2相似图形
【知识点1】相似图形 1
【知识点2】相似多边形的性质 2
【题型1】利用相似多边形性质的求值 3
【题型2】相似多边形的性质 6
【题型3】相似图形的判别 9
【知识点1】相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
1.（2023秋 辽中区期末）下列说法不一定正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似
B．有一个角是100°的等腰三角形相似
C．所有的正方形都相似
D．所有的矩形都相似
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、所有的等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
B、有一个角是100°的等腰三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
C、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误．
故选：D．
2.（2024秋 东昌府区校级月考）在一张由复印机放大复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1cm变成了4cm,那么这次复印的面积变为原来的（ ）
A．不变 B．2倍 C．3倍 D．16倍
【答案】D
【分析】复印前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，本题按照相似多边形的性质求解．
【解答】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=1：4，
所以面积之比=（1：4）2=1：16．
故选：D．
【知识点2】相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
1.（2022秋 顺德区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E=80°，∠G=90°，∠D=120°，则∠B等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E=80°，∠G=90°，∠D=120°，
∴∠E=∠A=8°，∠G=∠C=90°，
∴∠B=360°-∠A-∠D-∠C=360°-80°-120°-90°=70°，
故选：C．
【题型1】利用相似多边形性质的求值
【典型例题】如图，一块平行四边形的土地被分成4块小平行四边形，用来种植红、黄、蓝、白四种不同颜色的花卉，其中种植红、黄、蓝颜色花卉土地的面积分别是20m2，30m2，36m2，则种植白色花卉土地的面积为（ ）
A.46m2 B.50m2 C.54m2 D.60m2
【答案】C
【解析】设种植白色花卉土地的面积为xcm2，由题意得，
20：30＝36：x，
解得x＝54．
故选：C．
【举一反三1】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（ ）
A. B.6 C. D.9
【答案】A
【解析】设CE＝x，
∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，
∴＝，
∵AB＝3，BE＝2，EF＝AB，
∴＝，
解得：x＝4.5，
故选：A．
【举一反三2】两个相似的七边形的相似比为3：4，它们的面积之差为28，则面积之和为 .
【答案】100
【解析】两个相似的七边形的相似比为3：4，
面积的比是9：16，
因而可以设较小的七边形的面积是9x，
则较大的边的面积是9x，
根据面积之差为28，
得到：16x﹣9x＝28
解得：x＝4，
则面积的和是9x+16x＝100．
故答案为：100．
【举一反三3】书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 ．
【答案】12
【解析】由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A'B'＝（90+2a）cm，A'D'＝30+8＝38cm，
∵矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，
∴，
∴=，
解得a＝12，
故答案为：12．
【举一反三4】如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
【答案】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解 连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴由（1）知GD＝EB＝．
【题型2】相似多边形的性质
【典型例题】如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）
A.∠E＝2∠K B.BC＝2HI C.六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长 D.六边形ABCDEF的面积：六边形GHIJKL的面积＝2：1
【答案】B
【解析】A．∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，
∴∠E＝∠K，
故本选项不符合题意；
B．∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，
∴BC＝2HI，
故本选项符合题意；
C．∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，
∴六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长×2，
故本选项不符合题意；
D．∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，
∴S六边形ABCDEF＝4S六边形GHIJKL，
故本选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为y cm的纸条、上下同时剪去宽为x cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则x与y满足的关系式为（ ）
A.x＝y B.3x＝5y C.5x＝3y D.4x＝3y
【答案】D
【解析】∵剩下的矩形与原来的矩形相似，
∴＝，
整理得：30y＝40x，
则4x＝3y．
故选：D．
【举一反三2】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A.1：2 B.1：4 C.2：1 D.4：1
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴相似比＝＝＝2，
故选：C．
【举一反三3】将一张矩形纸片沿两条较长边的中点所在直线对折，如果得到的两个矩形都和原矩形相似，那么原来矩形较长的边与较短的边的比为 .
【答案】：1
【解析】设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得x：y＝：1．
故答案为：：1．
【举一反三4】为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
（1）每块地砖的长与宽分别为多少？
（2）这样的地砖与所铺成的每一部分矩形地面是否相似？试说明理由．
【答案】解 （1）设每块地砖的长与宽分别为xcm，ycm．
由题意：，
解得．
答：每块地砖的长与宽分别为45cm，15cm．
（2）矩形地面的长为90，宽为60，
∴≠，
∴地砖与所铺成的每一部分矩形地面不相似．
【举一反三5】小明同学把一幅矩形图放大欣赏，经测量其中一条边由10cm变成了40cm，那么这次放大的比例是多少？这幅图的面积发生了怎样的变化？
【答案】解 ∵多边形的一条边由原图中的10cm变成了40cm，
∴这次放大的比例是40：10＝4：1，
∴这个多边形的面积变为原来的16倍．
【题型3】相似图形的判别
【典型例题】如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP：PC＝AD：AB＝4：3，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ）
A.甲、乙不相似
B.甲、丁不相似
C.丙、乙相似
D.丙、丁相似
【答案】A
【解析】∵AP：PC＝AD：AB＝4：3，AD∥BC，
∴＝＝＝，
∴甲与丁相似，故选项B错误，
∵当＝，
AM＝EP，
∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误，
∵＝，＝，DM＝PF，
∴当＝，MP＝AE，
∴甲与乙一定不相似，故选项A正确，
丙、乙不相似，故选项C错误，
故选：A．
【举一反三1】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连接小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ）
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和④
【答案】D
【解析】设线段的全长为x，
设小长方形的长为2，宽为1．则图①中的三角形的三边长分别为：2，2，2，
图②中的三角形的三边长分别为：2，，5，
图③中的三角形的三边长分别为：2，2，4
图④中的三角形的边长分别为：，，5，
只有①④的三角形的三边成比例，
故选：D．
【举一反三2】小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（ ）
A.结论1、结论2都正确
B.结论1正确、结论2不正确
C.结论1不正确、结论2正确
D.结论1、结论2都不正确
【答案】B
【解析】如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确；
如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确；
故选：B．
【举一反三3】有以下说法：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②一匹骏马在草原上奔跑，摄影师在某处随机拍下几张照片，这些照片中的骏马形状是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形．其中正确的说法是 .（填序号）
【答案】①
【解析】①用眼睛和望远镜看月亮，形状相同，但大小不一定相同，看到的图象是相似的图形，正确；
②马在草原上奔跑，摄影师随机拍的照片，马跑的姿态不一定和摄影师拍的一样，不一定是相似图形，故错误；
③粉笔写“天”和用毛笔写“天”字体不一定相同，不一定是相似图形，故错误．
故答案为：①．
【举一反三4】在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．
【答案】（3），（5），（6）；（1），（2），（4）
【解析】根据相似图形的定义可知：
（3），（5），（6）是相似图形，
（1），（2），（4）不是相似图形．
故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4）．
【举一反三5】小华、小红、小刚三名同学，在观察如图所示的三组图形后，交流了对相似形的理解，看法如下：以上三名同学谁对三组图形的判断是正确的？你是怎样理解相似形与全等形的区别及联系的？
【答案】解 小华同学的判断是正确的，
全等形是相似比为1的特殊的相似形．
【举一反三6】（1）两个全等的图形是相似图形吗？为什么？
（2）任意两个正方形相似吗？任意两个矩形相似吗？菱形呢？为什么？
【答案】解 （1）两个全等的图形是相似图形，它们的对应角相等，对应边成比例，比例为1；
（2）任意两个正方形相似，但任意两个矩形不一定相似，菱形不一定相似，因为矩形的对应边不一定成比例，菱形的对应角不一定相等．23.2相似图形
【知识点1】相似图形 1
【知识点2】相似多边形的性质 1
【题型1】利用相似多边形性质的求值 2
【题型2】相似多边形的性质 3
【题型3】相似图形的判别 5
【知识点1】相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
1.（2023秋 辽中区期末）下列说法不一定正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似
B．有一个角是100°的等腰三角形相似
C．所有的正方形都相似
D．所有的矩形都相似
2.（2024秋 东昌府区校级月考）在一张由复印机放大复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1cm变成了4cm,那么这次复印的面积变为原来的（ ）
A．不变 B．2倍 C．3倍 D．16倍
【知识点2】相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
1.（2022秋 顺德区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E=80°，∠G=90°，∠D=120°，则∠B等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【题型1】利用相似多边形性质的求值
【典型例题】如图，一块平行四边形的土地被分成4块小平行四边形，用来种植红、黄、蓝、白四种不同颜色的花卉，其中种植红、黄、蓝颜色花卉土地的面积分别是20m2，30m2，36m2，则种植白色花卉土地的面积为（ ）
A.46m2 B.50m2 C.54m2 D.60m2
【举一反三1】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（ ）
A. B.6 C. D.9
【举一反三2】两个相似的七边形的相似比为3：4，它们的面积之差为28，则面积之和为 .
【举一反三3】书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 ．
【举一反三4】如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
【题型2】相似多边形的性质
【典型例题】如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）
A.∠E＝2∠K B.BC＝2HI C.六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长 D.六边形ABCDEF的面积：六边形GHIJKL的面积＝2：1
【举一反三1】如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为y cm的纸条、上下同时剪去宽为x cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则x与y满足的关系式为（ ）
A.x＝y B.3x＝5y C.5x＝3y D.4x＝3y
【举一反三2】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A.1：2 B.1：4 C.2：1 D.4：1
【举一反三3】将一张矩形纸片沿两条较长边的中点所在直线对折，如果得到的两个矩形都和原矩形相似，那么原来矩形较长的边与较短的边的比为 .
【举一反三4】为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
（1）每块地砖的长与宽分别为多少？
（2）这样的地砖与所铺成的每一部分矩形地面是否相似？试说明理由．
【举一反三5】小明同学把一幅矩形图放大欣赏，经测量其中一条边由10cm变成了40cm，那么这次放大的比例是多少？这幅图的面积发生了怎样的变化？
【题型3】相似图形的判别
【典型例题】如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP：PC＝AD：AB＝4：3，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ）
A.甲、乙不相似
B.甲、丁不相似
C.丙、乙相似
D.丙、丁相似
【举一反三1】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连接小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ）
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和④
【举一反三2】小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（ ）
A.结论1、结论2都正确
B.结论1正确、结论2不正确
C.结论1不正确、结论2正确
D.结论1、结论2都不正确
【举一反三3】有以下说法：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②一匹骏马在草原上奔跑，摄影师在某处随机拍下几张照片，这些照片中的骏马形状是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形．其中正确的说法是 .（填序号）
【举一反三4】在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．
【举一反三5】小华、小红、小刚三名同学，在观察如图所示的三组图形后，交流了对相似形的理解，看法如下：以上三名同学谁对三组图形的判断是正确的？你是怎样理解相似形与全等形的区别及联系的？
【举一反三6】（1）两个全等的图形是相似图形吗？为什么？
（2）任意两个正方形相似吗？任意两个矩形相似吗？菱形呢？为什么？
