23.4中位线
【知识点1】三角形中位线定理 1
【知识点2】梯形中位线定理 2
【题型1】利用三角形中位线定理求周长 3
【题型2】利用三角形中位线定理求度数 3
【题型3】利用三角形中位线定理求长度 5
【题型4】利用三角形中位线定理求面积 6
【知识点1】三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=BC．
1.（2025 泰安模拟）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
2.（2025 志丹县二模）在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F．AB=8，BC=6，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点2】梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即
梯形的面积=×2×中位线的长×高=中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
1.已知：如图，O为AB中点，BD⊥CD，AC⊥CD，OE⊥CD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．CE=ED B．OC=OD C．∠ACO=∠ODB D．OE=CD
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．15
【题型1】利用三角形中位线定理求周长
【典型例题】如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是（ ）
A.15 B.16 C.17 D.18
【举一反三1】如图，△ABC的边AB，BC，CA上的中点分别是D，E，F，且AB＝5cm，AC＝6cm，则四边形ADEF的周长为（ ）
A.9cm B.10cm C.11cm D.12cm
【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，若，则四边形EFGH的周长是 ．
【举一反三3】如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，求△DOE的周长．
【题型2】利用三角形中位线定理求度数
【典型例题】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E是AB的中点，F是DC的中点，EF交AC于点O．∠DAC＝60°，∠ACB＝40°，则∠AOE的度数为（ ）
A.40° B.45° C.50° D.55°
【举一反三1】如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若∠CFE＝55°，则∠ADE的度数为（ ）
A.65° B.60° C.55° D.50°
【举一反三2】在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC的中点，D为AB的中点，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 ．
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若∠A的度数是α，则图中度数等于α的角还有 个．
【举一反三4】（1）如图，点E是AD的中点，点F是AB的中点，过点E画EH∥AC，交DC于点H；过点F画FG∥AC，交BC于点G，测量EH、FG的长度，你有什么发现？
（2）连接EF、GH，通过测量∠FEH、∠EHG、∠HGF、∠GFE的度数，判断其中相等的角有哪些，互补的角有哪些．
【题型3】利用三角形中位线定理求长度
【典型例题】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）
A.2 B.5 C.7 D.9
【举一反三1】如图，在△ABC中，M为BC的中点，MI∥CA，且MI与∠A的平分线AI相交于点I．若AB＝10，AC＝16，则MI长度为（ ）
A.3 B. C.4 D.
【举一反三2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝8，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，AC＝8，AB＝12，分别取AC，BC的中点D，E，连接DE，取DE上一点P，连接PA和PC，且PA⊥PC．则EP的长度为 ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．
【举一反三5】如图，△ABC中，D、E、F分别为CB、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于O点，AB＝6，BC＝10，AC＝8，试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF大小．
【题型4】利用三角形中位线定理求面积
【典型例题】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝5，AF＝3，则△ABC的面积是（ ）
A.20 B.25 C.30 D.35
【举一反三1】已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（ ）
A.40 B. C.20 D.
【举一反三2】如图，DE∥BC，连接BD，△ABC被分成①②③三部分，其中图形①和②的面积相等，则图形②和③的面积比为 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC．M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB＝5cm，BC＝6cm，DE＝3cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，求△BEF的面积．23.4中位线
【知识点1】三角形中位线定理 1
【知识点2】梯形中位线定理 3
【题型1】利用三角形中位线定理求周长 4
【题型2】利用三角形中位线定理求度数 6
【题型3】利用三角形中位线定理求长度 10
【题型4】利用三角形中位线定理求面积 14
【知识点1】三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=BC．
1.（2025 泰安模拟）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB，进而求出DF的长．
【解答】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠EDC=2∠FBD．
在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD，
∴∠DBF=∠DFB，
∴FD=BD=BC=×6=3．
故选：A．
2.（2025 志丹县二模）在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F．AB=8，BC=6，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB，进而求出DF的长，易求EF的长度．
【解答】解：∵在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，
∴DE∥AB，DE=AB=4．
∴∠EDC=∠ABC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠EDC=2∠FBD．
∵在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD，
∴∠DBF=∠DFB，
∴FD=BD=BC=×6=3．
∴FE=DE-DF=4-3=1．
故选：A．
【知识点2】梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即
梯形的面积=×2×中位线的长×高=中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
1.已知：如图，O为AB中点，BD⊥CD，AC⊥CD，OE⊥CD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．CE=ED B．OC=OD C．∠ACO=∠ODB D．OE=CD
【答案】D
【分析】根据梯形中位线求出CE=DE，根据线段垂直平分线求出OC=OD，推出∠OCD=∠ODC，∠ACD=∠BDC=90°，相减即可得出∠ACO=∠BDO，根据直角三角形斜边上中线性质即可判断D．
【解答】解：∵BD⊥CD，AC⊥CD，OE⊥CD，
∴AC∥OE∥DB，
∵O为AB中点，
∴CE=DE，
∵OE⊥CD，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵BD⊥CD，AC⊥CD，
∴∠ACD=∠BDC=90°，
∴∠ACO=∠BDO，∴选项A、B、C正确；
只有当∠COD=90°时，选项D才正确；
故选项D错误；
故选：D．
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．15
【答案】C
【分析】根据梯形的中位线等于两底和的一半解答．
【解答】解：∵E和F分别是AB和CD的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=（AD+BC），
∵EF=6，
∴AD+BC=6×2=12．
故选：C．
【题型1】利用三角形中位线定理求周长
【典型例题】如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是（ ）
A.15 B.16 C.17 D.18
【答案】D
【解析】∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
∵AC2+BC2＝52+122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴DC＝BD＝AB，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，
故选：D．
【举一反三1】如图，△ABC的边AB，BC，CA上的中点分别是D，E，F，且AB＝5cm，AC＝6cm，则四边形ADEF的周长为（ ）
A.9cm B.10cm C.11cm D.12cm
【答案】C
【解析】∵△ABC的边AB，BC，CA上的中点分别是D，E，F，AB＝5cm，AC＝6 cm，
∴，
∴四边形ADEF的周长为2（2.5+3）＝11（cm），
故选：C．
【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，若，则四边形EFGH的周长是 ．
【答案】4
【解析】∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC上的中点，，
∴EF∥AB∥GH，EH∥CD∥FG，EF＝EH＝，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长为2（EF+EH）＝4．
故答案为：4．
【举一反三3】如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，求△DOE的周长．
【答案】解 ∵ ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）＝36，则BC+CD＝18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，
∴OD＝OB＝BD＝6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD+OE+DE＝BD+（BC+CD）＝6+9＝15，
即△DOE的周长为15．
【题型2】利用三角形中位线定理求度数
【典型例题】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E是AB的中点，F是DC的中点，EF交AC于点O．∠DAC＝60°，∠ACB＝40°，则∠AOE的度数为（ ）
A.40° B.45° C.50° D.55°
【答案】C
【解析】取AC的中点G，连接EG、FG，如图所示：
∵E是AB的中点，F是DC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△ACD的中位线，
∴EG∥BC，EG＝BC，FG∥AD，FG＝AD，
∴∠AGE＝∠ACB＝40°，∠AGF+∠DAC＝180°，
∴∠AGF＝180°﹣∠DAC＝120°，
∴∠EGF＝∠AGE+∠AGF＝40°+120°＝160°，
∵AD＝BC，
∴EG＝FG，
∴∠GEF＝∠GFE＝（180°﹣160°）＝10°，
∴∠AOE＝∠GEF+∠AGE＝10°+∠40°＝50°；
故选：C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若∠CFE＝55°，则∠ADE的度数为（ ）
A.65° B.60° C.55° D.50°
【答案】C
【解析】∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴EF∥AB，DF∥AC，
∴∠B＝∠CFE＝55°，
∵DF∥AC，
∴∠ADE＝∠B＝55°，
故选：C．
【举一反三2】在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC的中点，D为AB的中点，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 ．
【答案】60°或105°
【解析】当AB＝AC，∠C＝30°时，∠B＝∠C＝30°，
则∠A＝180°﹣30°×2＝120°，
当BC＝AC，∠C＝30°时，∠A＝∠B＝75°，
∵O为BC的中点，D为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ADO+∠A＝180°，
∴∠ADO为60°或105°，
故答案为：60°或105°．
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若∠A的度数是α，则图中度数等于α的角还有 个．
【答案】4
【解析】∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴∠BFD＝∠BAC＝α，∠FDE＝∠BFD＝α，
同理可得∠CED＝∠CAB＝α，
∵AH⊥BC，E、F分别为AC、AB的中点，
∴AF＝FH，AE＝EH，
∴∠AHF＝∠FAH，∠AHE＝∠EAH，
∴∠AHF+∠AHE＝∠FAH+∠EAH，
即∠FHE＝∠BAC＝α，
故答案为：4．
【举一反三4】（1）如图，点E是AD的中点，点F是AB的中点，过点E画EH∥AC，交DC于点H；过点F画FG∥AC，交BC于点G，测量EH、FG的长度，你有什么发现？
（2）连接EF、GH，通过测量∠FEH、∠EHG、∠HGF、∠GFE的度数，判断其中相等的角有哪些，互补的角有哪些．
【答案】解 （1）经测量，EH＝1.2cm，FG＝1.2cm，
∴EH＝FG；
（2）经测量，∠FEH＝84°，∠EHG＝106°，∠HGF＝84°，∠GFE＝106°，
∴∠FEH＝∠HGF，∠EHG＝∠HGF，∠FEH与∠EHG互补，∠GFE与∠HGF互补，∠EHG与∠HGF互补，∠FEH与∠GFE互补．
【题型3】利用三角形中位线定理求长度
【典型例题】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）
A.2 B.5 C.7 D.9
【答案】B
【解析】连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝13，
∴EF的最大值为6.5．
∵∠A＝90°，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为5；
故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，M为BC的中点，MI∥CA，且MI与∠A的平分线AI相交于点I．若AB＝10，AC＝16，则MI长度为（ ）
A.3 B. C.4 D.
【答案】A
【解析】延长MI交AB于D，
∵M为BC的中点，MI∥CA，
∴MD是△ABC的中位线，
∴MD＝AC＝×16＝8，
∵AI是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠3，
∵MD∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DI，
∵AB＝10，
∴AD＝5，
∴DI＝5，
∴MI＝8﹣5＝3，
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝8，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是 ．
【答案】6
【解析】∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝4，
∵EF＝3DF
∴DE＝4DF，
∴DF＝DE＝1，
∴EF＝DE﹣DF＝3，
∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，
∴AC＝2EF＝6，
故答案为：6．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，AC＝8，AB＝12，分别取AC，BC的中点D，E，连接DE，取DE上一点P，连接PA和PC，且PA⊥PC．则EP的长度为 ．
【答案】2
【解析】∵PA⊥PC，D是AC的中点，AC＝8，
∴PD＝AC＝4，
∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝6，
∴PE＝DE﹣PD＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．
【答案】解 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，
则AC＝＝＝13，
∵AD＝AB＝5，
∴DC＝AC﹣AD＝13﹣5＝8，
∵AD＝AB，AE⊥BD，
∴BE＝ED，
∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝4．
【举一反三5】如图，△ABC中，D、E、F分别为CB、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于O点，AB＝6，BC＝10，AC＝8，试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF大小．
【答案】解 ∵在△ABC中，AB＝6，BC＝10，AC＝8，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°．
∵点O是△ABC的重心，AD＝BC＝5，
∴OA＝AD＝．
在直角△AFC中，CF＝＝＝，
∴OF＝FC＝．
∵△ABC中，D、E、F分别为CB、AC、AB的中点，
∴DE、EF、FD是△ABC的三条中位线．
∴DE＝AB＝3，EF＝BC＝5，FD＝AC＝4，
∴EF2＝DE2+FD2，
∴△EFD是直角三角形，且∠EDF＝90°．
综上所述，DE＝3，OA＝，OF＝，∠EDF＝90°．
【题型4】利用三角形中位线定理求面积
【典型例题】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝5，AF＝3，则△ABC的面积是（ ）
A.20 B.25 C.30 D.35
【答案】C
【解析】∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD＝DB，
∴BC＝2DE＝2×5＝10，
在△AFD和△BGD中，
，
∴△AFD≌△BGD（A.A.S.），
∴BG＝AF＝3，
∴长方形BCHG的面积为：3×10＝30，
∴△ABC的面积是30，
故选：C．
【举一反三1】已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（ ）
A.40 B. C.20 D.
【答案】C
【解析】∵AC＝10，BD＝8，点E，F，G，H分别是边AB，AD，CD，BC的中点，
∴EF∥BD∥HG，EF＝HG＝BD＝4，HE＝GF＝AC＝5，
∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴矩形EFGH的面积＝4×5＝20．
故选：C．
【举一反三2】如图，DE∥BC，连接BD，△ABC被分成①②③三部分，其中图形①和②的面积相等，则图形②和③的面积比为 ．
【答案】1：2
【解析】如图，∵图形①和②的面积相等，图形①和②是同高的两个三角形，
∴AE＝BE，即点E是AB的中点．
又∴ED是△ABC的中位线，且△AED∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴S△AED＝S△ABC，
∴＝，
∴＝，即图形②和③的面积比为 1：2．
故答案为：1：2．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC．M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB＝5cm，BC＝6cm，DE＝3cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【答案】6
【解析】∵点A1，B1是AC，BC两边的中点，
连接MN，作AF⊥BC于F，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN＝BC＝3，MN∥BC，
∴AF⊥MN，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴FC＝BC＝3，
在Rt△AFC中，AF＝＝4，
图中阴影部分的三个三角形的底长都是3cm，高的和为4cm，
∴图中阴影部分的面积＝×3×4＝6（cm2），
故答案为：6．
【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，求△BEF的面积．
【答案】解 连接AC．∵S△ABC＝ BC AB＝＝4，
∵四边形ABCD的面积为6，
∴S△ADC＝6﹣4＝2，
∵S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，
易知S△ABE+S△BCF＝S四边形ABCD＝3，S△EDF＝，
∴S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED＝6﹣3﹣＝．
