23.5位似图形
【知识点1】作图-相似变换 1
【知识点2】几何变换的类型 1
【知识点3】作图-位似变换 2
【知识点4】位似变换 3
【题型1】位似图形的概念 3
【题型2】利用位似图形的性质求周长 4
【题型3】利用位似图形的性质求长度 6
【题型4】相似图形的作图 8
【题型5】位似图形的作图 8
【题型6】利用位似图形的性质求面积 10
【知识点1】作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
【知识点2】几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．______（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．____________（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．______（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．
1.（2024春 鲤城区校级期末）如图，图2可由图1经过怎样的变换得到（ ）
A．中心对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称
2.（2024春 驿城区期中）如图所示，该图案是经过（ ）
A．平移得到的 B．旋转或轴对称得到的
C．轴对称得到的 D．旋转得到的
【知识点3】作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【知识点4】位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
1.（2025 浙江一模）如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4，则AE：BE=（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【题型1】位似图形的概念
【典型例题】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A.①和④ B.②和③ C.①和② D.②和④
【举一反三1】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（ ）
A.2 B.3 C.4 D.1
【举一反三2】“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪个是位似图形 （填最近视力表数据）
【举一反三3】判断每组中两个相似图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心；如果不是，试说明理由．
【举一反三4】如图，在△ABC中，E，F是AB的三等分点，FH∥EG∥AC．
（1）四边形EFHG与四边形FACH是位似图形吗？为什么？
（2）指出图中所有的位似图形．
【题型2】利用位似图形的性质求周长
【典型例题】如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的．AO＝2，则OA′的长度为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
【举一反三1】如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若△ABC和△DEF的周长之比为1：3，则OC：OF＝（ ）
A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：9
【举一反三2】如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A′B′C的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣1，0），若点B的对应点B′的横坐标为5，则点B的横坐标为（ ）
A.﹣5 B.﹣4 C. D.﹣3
【举一反三3】如图，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB'＝4，DD'＝2，则AB＝ ．
【举一反三4】如图，四边形ABCD是正方形，原点O是四边形ABCD和A′B′C′D′的位似中心，点B、C的坐标分别为（﹣8，2），（﹣4，0），点B′是点B的对应点，且点B′的横坐标为﹣1，则四边形A′B′C′D′的周长为 ．
【举一反三5】如图，四边形的周长为12cm，它的位似图形为四边形A'B'C'D'，位似中心为O．若OA：AA'＝1：3，则四边形A'B'C'D'的周长为多少？
【题型3】利用位似图形的性质求长度
【典型例题】如图，△OAB和△OCD是以O为位似中心的位似图形，若OA：OC＝2：1，AB＝，则CD的长度为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3．若AB＝4，则A'B'的长度为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】如图，在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝2，BO＝2，以点O为位似中心，将△AOB缩小为原图形的，得到△COD，则OC的长度是（ ）
A.2 B.3 C.2.5 D.3.5
【举一反三3】在平面直角坐标系中，已知A（6，3）、B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段A′B′，则A′B′的长度等于 ．
【举一反三4】如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，相似比为3：1，若A′C′＝3，则其对应边的长度为 ．
【举一反三5】如图，已知矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形，点A为位似中心，若矩形ABCD的周长为24，BB'＝4，DD'＝2．求边AB与AD的长．
【举一反三6】如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
【题型4】相似图形的作图
【典型例题】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 ．
【举一反三3】如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．
【题型5】位似图形的作图
【典型例题】如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（ ）
A.（m，n+3）
B.（m，n﹣3）
C.（m，n+2）
D.（m，n﹣2）
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（ ）
A.（2，4）
B.（4.2）
C.（2，4）或（﹣2，﹣4）
D.（4，2）或（﹣4，﹣2）
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A.（0，0），2 B.（2，2）， C.（2，2），2 D.（1，1），
【举一反三3】已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出△A1B1C1与△ABC相似，两三角形位于点B同侧且相似比是3，则点C的对应顶点C1的坐标是 ．
【举一反三4】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，4），B（6，0），C（6，6）．以原点O为位似中心画出△ABC的位似△A′B′C′，使得点C′在第三象限，且△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．
（1）请在图中画出△A′B′C′；
（2）点A、A′之间的距离是 ．
【题型6】利用位似图形的性质求面积
【典型例题】如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′＝3：1，△A′B′C′的面积为27，则△ABC的面积为（ ）
A.48 B.24 C.32 D.
【举一反三1】如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OA：OD＝1：2，则下列结论正确的是（ ）
A.△ABC周长：△DEF周长＝1：4 B.△ABC周长：△DEF周长＝1：3 C.△ABC面积：△DEF面积＝1：4 D.△ABC面积：△DEF面积＝1：3
【举一反三2】如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积与△DEF的面积比为9：4，则的比值为 ．
【举一反三3】如图所示，已知五边形ABCDE，O点是五边形ABCDE内一点，A1，B1，C1，D1，E1分别是OA，OB，OC，OD，OE上的点，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，D1E1∥DE，A1E1∥AE．若OD＝2OD1，S五边形ABCDE＝100cm2，求五边形A1B1C1D1E1的面积．
【举一反三4】如图所示，电影放映机的原理利用了位似图形的知识，光源O可看作位似中心，幻灯片与屏幕的距离PP'是6m，光源到幻灯片的距离OP是0.5m，幻灯片上的四边形的面积是20cm2，周长是30cm，那么屏幕上的四边形的面积是多少？周长是多少？23.5位似图形
【知识点1】作图-相似变换 1
【知识点2】几何变换的类型 1
【知识点3】作图-位似变换 3
【知识点4】位似变换 3
【题型1】位似图形的概念 4
【题型2】利用位似图形的性质求周长 6
【题型3】利用位似图形的性质求长度 9
【题型4】相似图形的作图 13
【题型5】位似图形的作图 15
【题型6】利用位似图形的性质求面积 19
【知识点1】作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
【知识点2】几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．______（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．____________（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．______（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．
1.（2024春 鲤城区校级期末）如图，图2可由图1经过怎样的变换得到（ ）
A．中心对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称
【答案】B
【分析】依据图1与图2的几何特征进行判断，即可得到几何变换的类型．
【解答】解：由题可得，图2可由图1经过平移变换得到．
故选：B．
2.（2024春 驿城区期中）如图所示，该图案是经过（ ）
A．平移得到的 B．旋转或轴对称得到的
C．轴对称得到的 D．旋转得到的
【答案】B
【分析】根据旋转和轴对称的性质可得答案．
【解答】解：图案外面是一个圆，里面是均匀分布的三个“花瓣”，
∴图案既可以看成一个“花瓣”绕圆心旋转2次得到的，也可以看成其中一个“花瓣”的对称轴为对称轴通过轴对称得到的，
故选：B．
【知识点3】作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【知识点4】位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
1.（2025 浙江一模）如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4，则AE：BE=（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【答案】B
【分析】结合题意，根据位似图形的性质，得，再结合AB=AE+BE，通过计算即可得到答案．
【解答】解：∵四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4，
∴
∵AB=AE+BE，
∴，
∴4AE=AE+BE
∴3AE=BE
∴AE：BE=1：3，
故选：B．
【题型1】位似图形的概念
【典型例题】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A.①和④ B.②和③ C.①和② D.②和④
【答案】B
【解析】①和④、①和②、②和④，两个图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，都是位似图形；
②和③，对应边不平行，不是位似图形，
故选：B．
【举一反三1】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（ ）
A.2 B.3 C.4 D.1
【答案】B
【解析】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，D中的两个图形是位似图形，C中的两个图形不是位似图形．
故选：B．
【举一反三2】“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪个是位似图形 （填最近视力表数据）
【答案】4.1和0.15
【解析】根据位似变换的特点可知：最上面较大的“E”与4.1和0.15的“E”是位似图形．
故答案为：4.1和0.15．
【举一反三3】判断每组中两个相似图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心；如果不是，试说明理由．
【答案】解 图1是位似图形，位似中心为P．图3是位似图形，位似中心为O．
图2和图4中两个相似图形不是位似图形，理由如下：
两个相似图形的对应边不平行．
【举一反三4】如图，在△ABC中，E，F是AB的三等分点，FH∥EG∥AC．
（1）四边形EFHG与四边形FACH是位似图形吗？为什么？
（2）指出图中所有的位似图形．
【答案】解 （1）四边形EFHG与四边形FACH不是位似图形．
理由：∵EG：FH≠EF：AF，
∴四边形EFGH与四边形FACH不相似，
∴四边形EFHG与四边形FACH不是位似图形．
（2）位似图形有：△BEG与△BFH，△BEG与△BAC，△BFH与△BAC．
【题型2】利用位似图形的性质求周长
【典型例题】如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的．AO＝2，则OA′的长度为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】∵△ABC与△A′B′C′位似，
∴△ABC∽△A′B′C′，且AC∥A′C′，
∵△ABC的周长等于△A′B′C′周长的，
∴相似比为1：4，
∴，
∵AC∥A′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴，
∵AO＝2，
∴，
故选：C．
【举一反三1】如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若△ABC和△DEF的周长之比为1：3，则OC：OF＝（ ）
A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：9
【答案】B
【解析】∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△BOC∽△EOF，
∴OC：OF＝BC：EF，
∵△ABC和△DEF的周长之比为1：3，
∴BC：EF＝1：3，
∴OC：OF＝1：3，
故选：B．
【举一反三2】如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A′B′C的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣1，0），若点B的对应点B′的横坐标为5，则点B的横坐标为（ ）
A.﹣5 B.﹣4 C. D.﹣3
【答案】B
【解析】过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，
则BE∥B′F，
∴△BCE∽△B′CF，
∴，
∵点C的坐标为（﹣1，0），点B'的横坐标为5，
∴CF＝6，
∵△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，
∴△ABC和△A'B'C的相似比为1：2，即＝，
∴，
解得：EC＝3，
∴点B的横坐标为﹣4，
故选：B．
【举一反三3】如图，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB'＝4，DD'＝2，则AB＝ ．
【答案】8
【解析】设AB＝x，则AD＝12﹣x，
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，
∴，即，
解得：x＝8，即AB＝8，
故答案为：8．
【举一反三4】如图，四边形ABCD是正方形，原点O是四边形ABCD和A′B′C′D′的位似中心，点B、C的坐标分别为（﹣8，2），（﹣4，0），点B′是点B的对应点，且点B′的横坐标为﹣1，则四边形A′B′C′D′的周长为 ．
【答案】
【解析】B、C的坐标分别为（﹣8，2），（﹣4，0），则BC＝2，则周长是8．根据点B′是点B的对应点，且点B′的横坐标为﹣1，因而两个四边形的相似比是8：1，则四边形A′B′C′D′的周长为．
故答案为：．
【举一反三5】如图，四边形的周长为12cm，它的位似图形为四边形A'B'C'D'，位似中心为O．若OA：AA'＝1：3，则四边形A'B'C'D'的周长为多少？
【答案】解 ∵OA：AA′＝1：3，
∴OA：OA′＝1：2，
∵四边形ABCD的周长为12cm，它的位似图形为四边形A′B′C′D′，
∴四边形A′B′C′D′的周长为：12×2＝24（cm）．
即四边形A'B'C'D'的周长为24cm．
【题型3】利用位似图形的性质求长度
【典型例题】如图，△OAB和△OCD是以O为位似中心的位似图形，若OA：OC＝2：1，AB＝，则CD的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵△OAB和△OCD是以O为位似中心的位似图形，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
即＝，
解得CD＝．
故选：D．
【举一反三1】如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3．若AB＝4，则A'B'的长度为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3，
∴＝＝，
∵AB＝4，
∴＝，
∴A'B'的长度为：6．
故选：D．
【举一反三2】如图，在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝2，BO＝2，以点O为位似中心，将△AOB缩小为原图形的，得到△COD，则OC的长度是（ ）
A.2 B.3 C.2.5 D.3.5
【答案】A
【解析】在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝2，BO＝2，则：
AO＝＝＝4．
∵将△AOB缩小为原图形的，得到△COD，
∴OC＝AO＝2．
故选：A．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，已知A（6，3）、B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段A′B′，则A′B′的长度等于 ．
【答案】1
【解析】∵A（6，3）、B（6，0），
∴AB＝3，
又∵相似比为，
∴A′B′：AB＝1：3，
∴A′B′＝1．
故答案为：1．
【举一反三4】如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，相似比为3：1，若A′C′＝3，则其对应边的长度为 ．
【答案】9
【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，A′B′∥AB，
∴△OA′C′∽△OAC，
∵相似比为3：1，
∴＝，
∵A′C′＝3，
∴AC＝9，
故答案为：9．
【举一反三5】如图，已知矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形，点A为位似中心，若矩形ABCD的周长为24，BB'＝4，DD'＝2．求边AB与AD的长．
【答案】解 ∵矩形ABCD的周长是24，
∴AB+AD＝12，
∴AD＝12﹣AB，
∴AB′＝AB+4，AD′＝12﹣AB+2＝14﹣AB，
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，
∴CD∥C′D′，BC∥B′C′，
∴，
∴，
解得，AB＝8，
则AD＝12﹣AB＝4．
【举一反三6】如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
【答案】（1）证明∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP；
（2）解 △ADP与△BCP不是位似图形，
因为它们的对应点的连线不平行；
（3）解 ∵△ADP∽△BCP，
∴，又∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴＝，
解得，AP＝6．
【题型4】相似图形的作图
【典型例题】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．∵∠AMN＝∠C，∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ACB，且MN：BC＝1：2；
B．由勾股定理得，MN＝4，
∵，∠M＝∠C，
∴△AMN∽△ACB，
C．△AMC∽△BMA，相似比是＝，
D．相似比不是1：2，故D符合题意．
故选：D．
【举一反三1】如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似；
第2个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似；
第3个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似；
第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似；
故选：D．
【举一反三2】如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 ．
【答案】，2，
【解析】如图所示：△ABC∽△DEF，
DE＝，ED＝2，EF＝．
故答案为：，2，．
【举一反三3】如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．
【答案】解 如图
【题型5】位似图形的作图
【典型例题】如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（ ）
A.（m，n+3）
B.（m，n﹣3）
C.（m，n+2）
D.（m，n﹣2）
【答案】A
【解析】过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，
设C（x，y），
则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m，
∵△AB′C′与△ABC的位似比为2：1，
∴＝＝，即＝，
解得：x＝﹣m，y＝﹣n+3，
∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3），
故选：A．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（ ）
A.（2，4）
B.（4.2）
C.（2，4）或（﹣2，﹣4）
D.（4，2）或（﹣4，﹣2）
【答案】D
【解析】如图，△OA1B1，△OA2B2即为所求，B1（4，2），B2（﹣4，﹣2）．
故选：D．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A.（0，0），2 B.（2，2）， C.（2，2），2 D.（1，1），
【答案】B
【解析】如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），
k的值为：＝．
故选：B．
【举一反三3】已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出△A1B1C1与△ABC相似，两三角形位于点B同侧且相似比是3，则点C的对应顶点C1的坐标是 ．
【答案】（0，﹣3）
【解析】如图，△A1B1C1为所作，点C的对应顶点C1的坐标是（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
【举一反三4】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，4），B（6，0），C（6，6）．以原点O为位似中心画出△ABC的位似△A′B′C′，使得点C′在第三象限，且△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．
（1）请在图中画出△A′B′C′；
（2）点A、A′之间的距离是 ．
【答案】解 （1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）AA′＝4﹣（0﹣2）＝6，
即点A、A′之间的距离是6．
故答案为：6．
【题型6】利用位似图形的性质求面积
【典型例题】如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′＝3：1，△A′B′C′的面积为27，则△ABC的面积为（ ）
A.48 B.24 C.32 D.
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
∵△A′B′C′与△ABC位似，
∴△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′与△ABC的相似比为，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【举一反三1】如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OA：OD＝1：2，则下列结论正确的是（ ）
A.△ABC周长：△DEF周长＝1：4 B.△ABC周长：△DEF周长＝1：3 C.△ABC面积：△DEF面积＝1：4 D.△ABC面积：△DEF面积＝1：3
【答案】C
【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形，且OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．
则△ABC周长：△DEF周长＝1：2，
△ABC面积：△DEF面积＝1：4，
故选：C．
【举一反三2】如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积与△DEF的面积比为9：4，则的比值为 ．
【答案】
【解析】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，＝，
∵△ABC的面积与△DEF的面积比为9：4，
∴＝＝，
∴＝．
故答案为：．
【举一反三3】如图所示，已知五边形ABCDE，O点是五边形ABCDE内一点，A1，B1，C1，D1，E1分别是OA，OB，OC，OD，OE上的点，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，D1E1∥DE，A1E1∥AE．若OD＝2OD1，S五边形ABCDE＝100cm2，求五边形A1B1C1D1E1的面积．
【答案】解 ∵A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，D1E1∥DE，A1E1∥AE．
∴五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1位似，
∵OD＝2OD1，
∴＝，
∴＝，
∵S五边形ABCDE＝100cm2，
∴五边形A1B1C1D1E1的面积为：25cm2．
【举一反三4】如图所示，电影放映机的原理利用了位似图形的知识，光源O可看作位似中心，幻灯片与屏幕的距离PP'是6m，光源到幻灯片的距离OP是0.5m，幻灯片上的四边形的面积是20cm2，周长是30cm，那么屏幕上的四边形的面积是多少？周长是多少？
【答案】解 设幻灯片上的四边形为ABCD，屏幕上的四边形为A′B′C′D′，
∵光源O为位似中心，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB∥A′B′，
∴四边形ABCD的周长：四边形A′B′C′D′的周长＝OP：OP′，
∴四边形A′B′C′D′的周长＝×30＝390（cm），
四边形A′B′C′D′的面积＝（）2×20＝3380（cm2）．
答：屏幕上的四边形的面积是3380cm2，周长为390cm．
