23.6图形与坐标
【知识点1】坐标与图形变化-平移 1
【知识点2】规律型：点的坐标 2
【知识点3】坐标与图形变化-旋转 3
【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标 4
【知识点5】坐标确定位置 4
【知识点6】坐标与图形变化-对称 5
【知识点7】关于原点对称的点的坐标 5
【知识点8】坐标与图形性质 6
【知识点9】点的坐标 6
【题型1】关于x轴、y轴对称的点的坐标变化 7
【题型2】用方向角确定位置 7
【题型3】关于原点对称的坐标变化 9
【题型4】关于旋转变换的坐标变化 9
【题型5】用坐标确定位置 10
【题型6】关于直线对称的点的坐标变化 12
【题型7】根据规律求点的坐标 13
【题型8】坐标与图形性质 15
【题型9】平面直角坐标系中点的坐标特征 16
【题型10】关于点的平移的坐标变化 16
【题型11】以原点为位似中心的点坐标变化 18
【知识点1】坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x-a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
1.（2025 揭西县二模）将点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（ ）
A．（4，-1） B．（2，1） C．（2，-3） D．（0，-1）
【知识点2】规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
1.（2025春 招远市期中）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（-1，1），A5（-1，-1），A6（2，-1），A7（2，2），…，若到达终点An（-505，-505），则n的值为（ ）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2027
2.（2024春 端州区校级期中）点O为平面直角坐标系的坐标原点，点A的坐标为（2，0），取OA的中点记为点A1，取AA1的中点记为点A2，取AA2的中点记为点A3，取AA3的中点记为点A4，……，以此类推，则点A2024的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【知识点3】坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（-x，-y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
1.（2024 普宁市校级三模）如图，在Rt△ABO中，AB=OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，-3） B．（-1，3） C． D．（3，1）
2.（2025 沈丘县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将OA绕点O顺时针旋转45°得到OA1，过点A1作A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°得到OA3，过点A3作A3A4⊥OA3交y轴于点A4；…；按此规律循环下去，则点A2025的坐标是（ ）
A．（-2505，2505） B．（0，4253）
C．（2506，2506） D．（2253，2253）
【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
1.（2025 武侯区校级模拟）若点P（3，a-2）和点Q（3，-2）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【知识点5】坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b=0；②y轴上：b为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b．
1.（2025春 连江县期中）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为（1，2），（-1，3），点B的坐标为（ ）
A．（-2，-1） B．（0，0） C．（-2，0） D．（0，-1）
2.（2025春 涪城区期中）在某电影院里，如果用（3，6）表示3排6号，那么7排9号可以表示为（ ）
A．（7，9） B．（9，7） C．（3，6） D．（6，3）
【知识点6】坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x=m对称，P（a，b） P（2m-a，b）
②关于直线y=n对称，P（a，b） P（a，2n-b）
1.如图，直角坐标系中，点A的坐标是A（-2，1），则点A关于直线l对称点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（-2，-1） C．（4，1） D．（4，-1）
2.已知点A（-2，1）与B点关于直线x=1成轴对称，则点B的坐标是（ ）
A．（4，1） B．（4，-2） C．（-4，1） D．（-4，-1）
【知识点7】关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
1.（2025春 蒸湘区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（-2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【知识点8】坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
1.（2024秋 历城区校级月考）已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．-1 D．3
2.（2024春 韶关期末）在平面直角坐标系中，点A（-3，4），点B是x轴上任意一点，则线段AB的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【知识点9】点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
1.（2025春 千阳县月考）在平面直角坐标系中，点A（a,b）在x轴上方，且ab＜0，则点A在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.（2024秋 绥化期末）点P（-2，4）所在的象限是（ ）
A．第三象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限
【题型1】关于x轴、y轴对称的点的坐标变化
【典型例题】某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，A，B两处桂花树的位置关于小路对称．在如图所示的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣8，2），则点B的坐标为（ ）
A.（2，8） B.（2，﹣8） C.（﹣8，﹣2） D.（8，2）
【举一反三1】在平面直角坐标系中，将点A（5，6）的横坐标乘﹣1，纵坐标不变，得到点A'，则点A与点A'的关系是（ ）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于x轴、y轴均不对称
D.不确定
【举一反三2】在平面直角坐标系中，A（3，3）和B（3，﹣3）关于 对称．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，若点M在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点M关于x轴对称的点N的坐标为 ．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，已知点P（2m+4，m﹣1），点P与点Q关于x轴对称，点Q在第一象限，求m的取值范围．
【题型2】用方向角确定位置
【典型例题】海事救灾船前去救援某海域失火货轮，需要确定（ ）
A.方向
B.距离
C.方向和距离
D.失火轮船的国籍
【举一反三1】如图，一艘船在A处遇险后向相距50海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（ ）
A.南偏西75°，50海里
B.南偏西15°，50海里
C.北偏东15°，50海里
D.北偏东75°，50海里
【举一反三2】小明家的坐标为（1，2），小丽家的坐标为（﹣2，﹣1），则小丽家在小明家的（ ）
A.东偏南方向 B.东偏北方向 C.西偏南方向 D.西偏北方向
【举一反三3】已知A（1，1）是平面直角坐标系内一点，若以y轴的正方向为正北方向，以x轴的正方向为正东方向，则点A位于坐标原点O的 度方向，与点O的距离为 ．
【举一反三4】如图，一艘船在A处遇险后向相距100海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ．
【举一反三5】某次海上起台风，风源点的坐标为P（1，﹣2），台风通过时影响的半径为300千米，台风沿西北方向运动．如图中A，B，C为海上三处位置，是否受台风影响？为什么（1个单位表示100千米）？
【题型3】关于原点对称的坐标变化
【典型例题】已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【举一反三1】若点P（a，3）与Q（﹣2，b）关于坐标原点对称，则a，b的值分别为（ ）
A.﹣2和3 B.2和﹣3 C.2和3 D.﹣2和﹣3
【举一反三2】在平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣3）关于原点成中心对称的点的坐标是（ ）
A.（1，﹣3） B.（1，3） C.（﹣1，3） D.（3，﹣3）
【举一反三3】若点A（m，﹣3）与点B（﹣4，n）关于原点对称，则m+2n＝ ．
【举一反三4】若△ABC的三边a、b、c且A（|2c﹣16|，（a﹣4）2）与B（，﹣4）关于原点对称，则△ABC的形状是 ．
【举一反三5】已知点A（﹣2m﹣4，3m）关于原点对称的点在第四象限，求m的取值范围．
【举一反三6】已知点M（x﹣1，x+y）与点N（﹣y，﹣3）关于原点对称，求点M、N两点的坐标．
【题型4】关于旋转变换的坐标变化
【典型例题】如图，已知点P（﹣2，2），将OP绕O点逆时针方向旋转45°到OQ，则点Q的坐标是（ ）
A.（﹣2，0） B.（﹣，0） C.（﹣，） D.（，2）
【举一反三1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（ ）
A.（，1） B.（，﹣1） C.（2，1） D.（0，2）
【举一反三2】点A（3，2）经过某种图形变化后得到点B（﹣2，3），这种图形变化可以是（ ）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.绕原点逆时针旋转90°
D.绕原点顺时针旋转90°
【举一反三3】将直角坐标系中的点（4，3）绕原点O沿顺时针方向旋转90°，最终得到的点的坐标为 ．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO'，求点A'的坐标．
【题型5】用坐标确定位置
【典型例题】将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：
，，3，2，；
3，，2，3，；
……
若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中的位置记为（ ）
A.（6，4） B.（5，3） C.（5，2） D.（6，5）
【举一反三1】如图是天安门广场周围的景点分布示意图．在图中，分别以正东，正北方向为x轴y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示故宫的点的坐标为（0，1）时，表示王府井的点的坐标为（3，1）；
②当表示天安门的点的坐标为（﹣1，1），表示人民大会堂的点的坐标为（﹣2，0）表示故宫的点的坐标为（﹣1，2）；
③当表示电报大楼的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示王府井的点的坐标为（6，0）时表示前门的点的坐标为（3，﹣4.5）；
④当表示美术馆的点的坐标为（﹣7，3），表示故宫的点的坐标为（﹣9，0）时，表中国国家博物馆的点的坐标为（﹣8，﹣6）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④
【举一反三2】小明家位于公园的正东方向500m处，从小明家出发向北走600m就到小华家．若选取小华家所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则公园的坐标是（ ）
A.（﹣600，﹣500） B.（500，600） C.（﹣500，﹣600） D.（600，500）
【举一反三3】居委会需要在街道旁修建临时奶站C，向居民区A，B提供牛奶，要求CA＝CB．如图，已知A（0，2），B（6，4），则C点坐标为 ．
【举一反三4】小明家位于公园的正东200m处，从小明家出发向北走300m就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1m，则公园的坐标是 ．
【举一反三5】遗爱湖公园的亲水平台修建了许多台阶（如图所示），春季湖水上涨后有一部分在水下．如果点C的坐标为（﹣1，1），D点的坐标为（0，2）．（点C、D分别在第3、4级）
（1）请建立适当的直角坐标系，并写出A，B，E，F的坐标；
（2）某一公司准备在湖边开展“母子亲水”活动，为防止滑倒要将8级台阶全铺上2米宽的防滑地毯，经测量每级台阶宽高都为0.3米，你能帮该公司算一下地毯要多少平方米吗？
【举一反三6】教室中有9排5列座位，请根据下面四个同学的描述，在图中标出“5号”小明的位置．
1号说：“小明在我的右后方．”
2号同学说：“小明在我的左后方．”
3号同学说：“小明在我的左前方．”
4号同学说：“小明离1号和3号同学的距离一样远．
【题型6】关于直线对称的点的坐标变化
【典型例题】点A（﹣3，5）与B（5，5）关于某一直线对称，则对称轴是（ ）
A.x轴 B.y轴 C.直线x＝1 D.直线y＝1
【举一反三1】点M（1，4﹣m）关于直线y＝﹣3对称的点的坐标为（1，7），则m＝（ ）
A.16 B.27 C.17 D.15
【举一反三2】在平面直角坐标系中，点A（3，0）关于直线y＝x对称的点A′的坐标为 ．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，过点A作AD⊥y轴，垂足为D，点B关于直线AD的对称点为C，连接AC，AB，BC，已知AD＝10，OD＝2．
（1）点A的坐标为 ；
（2）若点C（﹣4，﹣4），请判断△ABC的形状，并说明理由．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，有点A（a，3）、点B（﹣2，b）．
（1）当A、B两点关于直线x＝﹣1对称时，求AB的长；
（2）当线段AB∥y轴，且AB＝4时，求△AOB的面积．
【题型7】根据规律求点的坐标
【典型例题】如图，已知点A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…则点A2024的坐标为（ ）
A.（﹣507，﹣507） B.（507，507） C.（507，﹣506） D.（﹣506，﹣506）
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，﹣2），A2（2，0），A3（3，2），A4（4，0），…．根据这个规律，点A2024的坐标是（ ）
A.（2023，0） B.（2024，2） C.（2024，﹣2） D.（2024，0）
【举一反三2】一只跳蚤每秒跳一格，起点A处用有序数对表示为（0，0），按如图所示的规律一直跳下去，第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（ ）
A.（0，1012） B.（1012，4） C.（1012，0） D.（4，1012）
【举一反三3】在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…．的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ．
【举一反三4】（2023春 凤台县期末）在直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…．
（1）依次写出x1、x2、x3、x4、x5、x6的值；
（2）计算x1+x2+…+x8的值；
（3）计算x1+x2+…+x2003+x2004的值．
【题型8】坐标与图形性质
【典型例题】如图，已知点A（﹣2，1），B（﹣2，﹣4），点C（x，y）在线段AB上运动，当OC＞OA时，y的取值范围为（ ）
A.﹣1＜y＜1 B.y＜1 C.﹣4≤y＜﹣1 D.﹣4≤y≤﹣1
【举一反三1】在平面直角坐标系中，点A（a+1，a﹣1）是x轴上一点，线段AB＝2，若AB∥y轴，则点B的坐标是（ ）
A.（2，2） B.（﹣2，2） C.（﹣2，2）或（﹣2，2） D.（2，2）或（2，﹣2）
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且OM＝6，∠OMN＝30°，等边△AOB的顶点A，B分别在线段MN，OM上，则OB的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为．现有A（3，8），B（1，4），C（﹣1，6）三点，点D为线段AB的中点，点C为线段AE的中点，则线段DE的中点坐标为 ．
【举一反三4】如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上什么位置时，使S△ACP＝2S△ABC？
（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上什么位置时，使S△BCQ＝2S△ABC？
【题型9】平面直角坐标系中点的坐标特征
【典型例题】若xy＝0，则点P（x，y）一定在（ ）
A.x轴上 B.y轴上 C.坐标轴上 D.原点
【举一反三1】已知|a+2|+|b﹣3|＝0，则点（a，b）位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【举一反三2】点A（a﹣3，a+2）在横轴上，则a＝ ．
【举一反三3】若点A（a，b）在第一象限，则点B（﹣a，b+3）在第 象限．
【举一反三4】已知a，b都是实数，设点A（a，b），若满足3a＝4b+3，则称点A为“梦想点”．
（1）判断点B（5，3）是否为“梦想点”；
（2）若点C（2m+1，m﹣2）是“梦想点”，求点C到x轴的距离．
【题型10】关于点的平移的坐标变化
【典型例题】第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A.（﹣4，0） B.（4，0） C.（0，2） D.（0，﹣2）
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，﹣2），D（﹣1，0），点D经过平移后得到点D'，且将A，B，C，D'四点两两连接后，组成的图形是轴对称图形．对于小明，小亮，小红的说法，下列判断正确的是（ ）
小明：将点D向下平移2个单位长度；
小亮：将点D先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
小红：将点D先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度．
A.小明对，小亮对
B.小亮对，小红错
C.小明对，小红对
D.三个人都对
【举一反三2】如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（x，y），将线段AB平移至A′B′的位置，点A′的坐标为（0，4），则点B′的坐标为（ ）
A.（x﹣3，y﹣3） B.（x+3，y﹣3） C.（x+3，y+3） D.（x+3，y+4）
【举一反三3】将点A（﹣5，2）先向右平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度之后，到两坐标轴的距离相等，则k＝ ．
【举一反三4】如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（1，n），则m﹣n的值为 ．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，OA＝2，OB＝3，现同时将点A，B向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）写出点A，B，C，D的坐标；
（2）在线段CO上是否存在一点P，使得S△CDP＝S△PBO，如果存在，试求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【举一反三6】已知点P（m﹣1，2m﹣1），Q（m2+m，m+1）．
（1）若点Q是由点P左右平移得到的，求出m的可值，并说明平移的方向和距离．
（2）点Q能否由点P上下平移得到？说明理由．
【题型11】以原点为位似中心的点坐标变化
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣6），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A在第一象限的对应点A′的坐标是（ ）
A.（1，3） B.（2，1） C.（，） D.（﹣1，﹣3）
【举一反三1】如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，且A′B′＝2AB．已知mn＝3（m，n为正实数），在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则t的值等于（ ）
A. B.1 C. D.
【举一反三2】已知△ABC与△DEF是与原点为位似中心的位似图形，位似比为，则A（﹣1，1）的对应点D的坐标为 ．
【举一反三3】在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（1，4），（3，4），且点N在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′（n＞1）．
（1）k的值为 ；
（2）若线段M′N′与反比例函数的图象总有交点，则n的最大值为 ．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC下的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2，并写出点B2的坐标．23.6图形与坐标
【知识点1】坐标与图形变化-平移 1
【知识点2】规律型：点的坐标 2
【知识点3】坐标与图形变化-旋转 4
【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标 6
【知识点5】坐标确定位置 7
【知识点6】坐标与图形变化-对称 8
【知识点7】关于原点对称的点的坐标 9
【知识点8】坐标与图形性质 10
【知识点9】点的坐标 11
【题型1】关于x轴、y轴对称的点的坐标变化 12
【题型2】用方向角确定位置 14
【题型3】关于原点对称的坐标变化 17
【题型4】关于旋转变换的坐标变化 19
【题型5】用坐标确定位置 21
【题型6】关于直线对称的点的坐标变化 25
【题型7】根据规律求点的坐标 27
【题型8】坐标与图形性质 31
【题型9】平面直角坐标系中点的坐标特征 34
【题型10】关于点的平移的坐标变化 36
【题型11】以原点为位似中心的点坐标变化 39
【知识点1】坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x-a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
1.（2025 揭西县二模）将点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（ ）
A．（4，-1） B．（2，1） C．（2，-3） D．（0，-1）
【答案】A
【分析】直接利用平移的性质得出A′的坐标．
【解答】解：∵点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，
∴A′的坐标是：（4，-1）．
故选：A．
【知识点2】规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
1.（2025春 招远市期中）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（-1，1），A5（-1，-1），A6（2，-1），A7（2，2），…，若到达终点An（-505，-505），则n的值为（ ）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2027
【答案】A
【分析】寻找在第四象限内的点的坐标变化的规律：第m个点An（-m,-m），n=4m+1，即可求解．
【解答】解：在第四象限内的点：
第1个点A5（-1，-1），5=4×1+1，
第2个点A9（-2，-2），9=4×2+1，
第3个点A13（-3，-3），13=4×3+1，
…，
第m个点An（-m,-m），n=4m+1，
∴An（-505，-505），
∴n=4×505+1=2021，
故选：A．
2.（2024春 端州区校级期中）点O为平面直角坐标系的坐标原点，点A的坐标为（2，0），取OA的中点记为点A1，取AA1的中点记为点A2，取AA2的中点记为点A3，取AA3的中点记为点A4，……，以此类推，则点A2024的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意依次求出AA1=1，……，即可总结出，然后即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵OA的中点记为点A1，
∴AA1=1，
∵取AA1的中点记为点A2，
∴，
∵取AA2的中点记为点A3，
∴，
……以此类推，，
∴，
∴点A2024的坐标为，
故选：B．
【知识点3】坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（-x，-y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
1.（2024 普宁市校级三模）如图，在Rt△ABO中，AB=OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，-3） B．（-1，3） C． D．（3，1）
【答案】D
【分析】由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解．
【解答】解：∵360°÷45°=8，
∴经过8次旋转后图形回到原位置．
∵2024÷8=253，
∴旋转2024次后恰好回到原来图形位置，
过点D作DE⊥x轴于点E．
由题意可得AO=2，△ABO是等腰直角三角形，
∴，∠BAO=45°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，∠BAD=90°，
∴∠DAE=45°，
∴在Rt△ADE中，，
∴OE=AO+AE=3，
∴点D的坐标为（3，1）．
故选：D．
2.（2025 沈丘县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将OA绕点O顺时针旋转45°得到OA1，过点A1作A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°得到OA3，过点A3作A3A4⊥OA3交y轴于点A4；…；按此规律循环下去，则点A2025的坐标是（ ）
A．（-2505，2505） B．（0，4253）
C．（2506，2506） D．（2253，2253）
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，得到△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、 、都是等腰直角三角形，分别求出OA2=2，，OA6=4，进而得A1（1，1），，A5（-2，-2），，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可．
【解答】解：将OA绕点O顺时针旋转45°得到OA1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2，
∴∠AOA1=45°，，∠OA1A2=90°，
∴∠A1OA2=90°-∠AOA1=45°，
∴∠OA2A1=90°-∠A1OA2=45°，
∴△A1OA2是等腰直角三角形，
∴，
∴OA2=2，
同理可得：△A3OA4、△A5OA6、 、都是等腰直角三角形，，OA6=4…，
∴A1（1，1），，A5（-2，-2），…，
∵（2025+1）÷2÷4=253 1，
∴点A2025在第一象限，坐标为即（2506，2506），
故选：C．
【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
1.（2025 武侯区校级模拟）若点P（3，a-2）和点Q（3，-2）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解．
【解答】解：∵点P（3，a-2）和点Q（3，-2）关于x轴对称，
∴a-2+（-2）=0，
∴a=4，
故选：D．
【知识点5】坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b=0；②y轴上：b为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b．
1.（2025春 连江县期中）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为（1，2），（-1，3），点B的坐标为（ ）
A．（-2，-1） B．（0，0） C．（-2，0） D．（0，-1）
【答案】A
【分析】先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标．
【解答】解：建立坐标系如图所示：
∴点B的坐标为（-2，-1）．
故选：A．
2.（2025春 涪城区期中）在某电影院里，如果用（3，6）表示3排6号，那么7排9号可以表示为（ ）
A．（7，9） B．（9，7） C．（3，6） D．（6，3）
【答案】A
【分析】根据用（3，6）表示3排6号可知第一个数表示排，第二个数表示号，进而可得答案．
【解答】解：∵（3，6）表示3排6号，
∴7排9号可以表示为（7，9），
故选：A．
【知识点6】坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x=m对称，P（a，b） P（2m-a，b）
②关于直线y=n对称，P（a，b） P（a，2n-b）
1.（2019秋 西城区校级期中）如图，直角坐标系中，点A的坐标是A（-2，1），则点A关于直线l对称点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（-2，-1） C．（4，1） D．（4，-1）
【答案】C
【分析】设点（-2，1）为A点，其对称点为B点，根据轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质在坐标系中得到对应点的坐标．
【解答】解：设点（-2，1）为A点，其对称点为B点，连接AB与直线x=1相交于C点，A（-2，1），
又关于直线x=1对称，所以AC=BC=2+1=3，所以对称点B的坐标为（4，1）．
故选：C．
2.（2021秋 抚远市期中）已知点A（-2，1）与B点关于直线x=1成轴对称，则点B的坐标是（ ）
A．（4，1） B．（4，-2） C．（-4，1） D．（-4，-1）
【答案】A
【分析】根据关于直线x=1对称，则纵坐标相等，横坐标关于直线x=1对称，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（-2，1）与B点关于直线x=1成轴对称，
∴B点与A点纵坐标相等，横坐标到直线x=1的距离相等，
∴点B的坐标是（4，1）．
故选：A．
【知识点7】关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
1.（2025春 蒸湘区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（-2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m,n的值，进而得出m-n的值，即可判断所在象限．
【解答】解：∵a2+1＞0，
∴点P（-2，a2+1）在第二象限，
∴点P（-2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是第四象限．
故选：D．
【知识点8】坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
1.（2024秋 历城区校级月考）已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．-1 D．3
【答案】C
【分析】根据直线AB∥x轴，即可得到A、B的纵坐标相同，由此求解即可．
【解答】解：∵点A（m+1，-2），点B（3，m-1），
∴m-1=-2，
解得m=-1，
故选：C．
2.（2024春 韶关期末）在平面直角坐标系中，点A（-3，4），点B是x轴上任意一点，则线段AB的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】过点A作AB⊥x轴，此时AB的长度最小，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，
过点A作AB⊥x轴，此时AB的长度最小，
即AB的最小值为4．
故选：B．
【知识点9】点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
1.（2025春 千阳县月考）在平面直角坐标系中，点A（a,b）在x轴上方，且ab＜0，则点A在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据x轴上方的点的纵坐标为正得出b＞0，结合ab＜0得出a＜0，从而判断点A所在的象限即可．
【解答】解：∵点A（a,b）在x轴上方，
∴b＞0，
∵ab＜0，
∴a＜0，
∴点A（a,b）在第二象限，
故选：B．
2.（2024秋 绥化期末）点P（-2，4）所在的象限是（ ）
A．第三象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】点P（-2，4）横坐标为负，纵坐标为正，根据象限内点的符号，确定象限．
【解答】解：∵-2＜0，4＞0，
∴点P（-2，4）在第二象限，
故选：B．
【题型1】关于x轴、y轴对称的点的坐标变化
【典型例题】某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，A，B两处桂花树的位置关于小路对称．在如图所示的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣8，2），则点B的坐标为（ ）
A.（2，8） B.（2，﹣8） C.（﹣8，﹣2） D.（8，2）
【答案】D
【解析】∵A，B关于y轴对称，点A的坐标为（﹣8，2），
∴点B的坐标为（8，2），
故选：D．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，将点A（5，6）的横坐标乘﹣1，纵坐标不变，得到点A'，则点A与点A'的关系是（ ）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于x轴、y轴均不对称
D.不确定
【答案】B
【解析】在平面直角坐标系中，将点A（5，6）的横坐标乘﹣1，纵坐标不变，得到点A'，则点A与点A'的关系是关于y轴对称．
故选：B．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，A（3，3）和B（3，﹣3）关于 对称．
【答案】x轴
【解析】A（3，3）和B（3，﹣3）的横坐标与点B的横坐标相同，都是3，它们的纵坐标互为相反数，所以点A和点B关于x轴对称．
故答案为：x轴．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，若点M在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点M关于x轴对称的点N的坐标为 ．
【答案】（﹣2，3）
【解析】∵点M在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴M（﹣2，﹣3），
∴点M关于x轴对称点N的坐标为：（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，已知点P（2m+4，m﹣1），点P与点Q关于x轴对称，点Q在第一象限，求m的取值范围．
【答案】解 ∵点P与点Q关于x轴对称，点Q在第一象限，
∴点P在第四象限，
∴，
解得：﹣2＜m＜1．
【题型2】用方向角确定位置
【典型例题】海事救灾船前去救援某海域失火货轮，需要确定（ ）
A.方向
B.距离
C.方向和距离
D.失火轮船的国籍
【答案】C
【解析】海事救灾船前去救援海域失火轮船，需要确定方位角还有距离，
故选：C．
【举一反三1】如图，一艘船在A处遇险后向相距50海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（ ）
A.南偏西75°，50海里
B.南偏西15°，50海里
C.北偏东15°，50海里
D.北偏东75°，50海里
【答案】B
【解析】由题意可得：∠ABC＝15°，AB＝50海里，
故遇险船相对于救生船的位置是：南偏西15°，50海里，
故选：B．
【举一反三2】小明家的坐标为（1，2），小丽家的坐标为（﹣2，﹣1），则小丽家在小明家的（ ）
A.东偏南方向 B.东偏北方向 C.西偏南方向 D.西偏北方向
【答案】C
【解析】如图，设小明家的位置在A点，小丽家的位置在B点，建立如图所示的平面直角坐标系，然后在A点建立上北下南，左西右东的方位图，
小丽家在小明家的的西偏南方向．
故选：C．
【举一反三3】已知A（1，1）是平面直角坐标系内一点，若以y轴的正方向为正北方向，以x轴的正方向为正东方向，则点A位于坐标原点O的 度方向，与点O的距离为 ．
【答案】北偏东45 ．
【解析】如图所示：∵A（1，1），
∴点A位于坐标原点O的北偏东45度方向，与点O的距离为：．
故答案为：北偏东45，．
【举一反三4】如图，一艘船在A处遇险后向相距100海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ．
【答案】南偏西15°方向上且两船相距100海里
【解析】由题意得，救生船相对于遇险穿的位置为北偏东15°方向上且两船相距100海里，
∴遇险船相对于救生船的位置为南偏西15°方向上且两船相距100海里，
故答案为：南偏西15°方向上且两船相距100海里．
【举一反三5】某次海上起台风，风源点的坐标为P（1，﹣2），台风通过时影响的半径为300千米，台风沿西北方向运动．如图中A，B，C为海上三处位置，是否受台风影响？为什么（1个单位表示100千米）？
【答案】解 台风经过的路线如图所示，
台风经过A、B两处，受影响，
由垂线段最短，C到台风经过路线的距离小于2，即200千米，
所以，C处也受影响，
故A，B，C为海上三处受台风影响．
【题型3】关于原点对称的坐标变化
【典型例题】已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】∵点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′（a2，a﹣1），
∵a＜0，
∴a2＞0，﹣a+1＜0，
∴点P′在第四象限，
故选：D．
【举一反三1】若点P（a，3）与Q（﹣2，b）关于坐标原点对称，则a，b的值分别为（ ）
A.﹣2和3 B.2和﹣3 C.2和3 D.﹣2和﹣3
【答案】B
【解析】∵点P（a，3）与Q（﹣2，b）关于坐标原点对称，
∴a，b分别为2，﹣3；
故选：B．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣3）关于原点成中心对称的点的坐标是（ ）
A.（1，﹣3） B.（1，3） C.（﹣1，3） D.（3，﹣3）
【答案】B
【解析】点（﹣1，﹣3）关于原点成中心对称的点的坐标是（1，3）．
故选：B．
【举一反三3】若点A（m，﹣3）与点B（﹣4，n）关于原点对称，则m+2n＝ ．
【答案】10
【解析】∵点A（m，﹣3）与点B（﹣4，n）关于原点对称，
∴m＝4，n＝3，
∴m+2n＝4+6＝10．
故答案为：10．
【举一反三4】若△ABC的三边a、b、c且A（|2c﹣16|，（a﹣4）2）与B（，﹣4）关于原点对称，则△ABC的形状是 ．
【答案】直角三角形
【解析】由题意得：2c﹣16＝0，b﹣10＝0，（a﹣4）2＝4，
解得：c＝8，b＝10，a＝6或2，
∵a、b、c是三角形三边，
∴根据三角形的三边关系可得c＝8，b＝10，a＝6，
∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【举一反三5】已知点A（﹣2m﹣4，3m）关于原点对称的点在第四象限，求m的取值范围．
【答案】解 ∵A（﹣2m﹣4，3m）关于原点对称的点在第四象限，
∴A（﹣2m﹣4，3m）在第二象限，
∴，
解得m＞0．
【举一反三6】已知点M（x﹣1，x+y）与点N（﹣y，﹣3）关于原点对称，求点M、N两点的坐标．
【答案】解 ∵M（x﹣1，x+y）与点N（﹣y，﹣3）关于原点对称，
∴解得，
∴点M（1，3），点N（﹣1，﹣3）．
【题型4】关于旋转变换的坐标变化
【典型例题】如图，已知点P（﹣2，2），将OP绕O点逆时针方向旋转45°到OQ，则点Q的坐标是（ ）
A.（﹣2，0） B.（﹣，0） C.（﹣，） D.（，2）
【答案】B
【解析】∵P（﹣2，2），
∴OP＝2，
∴OQ＝OP＝2，
∴Q（﹣2，0）．
故选：B．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（ ）
A.（，1） B.（，﹣1） C.（2，1） D.（0，2）
【答案】A
【解析】如图，作AE⊥y轴于E，A′F⊥x轴于F．
∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°
∴∠AOE＝∠A′OF，
∵OA＝OA′，
∴△AOE≌△A′OF（A.A.S.），
∴OF＝OE＝，A′F＝AE＝1，
∴A′（，1）．
故选：A．
【举一反三2】点A（3，2）经过某种图形变化后得到点B（﹣2，3），这种图形变化可以是（ ）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.绕原点逆时针旋转90°
D.绕原点顺时针旋转90°
【答案】C
【解析】如图，观察图象可知：点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B．
故选：C．
【举一反三3】将直角坐标系中的点（4，3）绕原点O沿顺时针方向旋转90°，最终得到的点的坐标为 ．
【答案】（3，﹣4）
【解析】将直角坐标系中的点（4，3）绕原点O沿顺时针方向旋转90°，
最终得到的点的坐标为（3，﹣4）．
故答案为：（3，﹣4）．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO'，求点A'的坐标．
【答案】解 作A'C⊥x轴于点C，
由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，
∴四边形O'BCA'为矩形，
∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，
∴OC＝OB+BC＝7，
∴点A'坐标为（7，4）．
【题型5】用坐标确定位置
【典型例题】将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：
，，3，2，；
3，，2，3，；
……
若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中的位置记为（ ）
A.（6，4） B.（5，3） C.（5，2） D.（6，5）
【答案】A
【解析】由题意可知，每行5个数，
∵87＝3×29，
∴是第29个数，
∵29÷5＝5…4，
∴是第6行的第4个数，
∴的位置记为（6，4），
故选：A．
【举一反三1】如图是天安门广场周围的景点分布示意图．在图中，分别以正东，正北方向为x轴y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示故宫的点的坐标为（0，1）时，表示王府井的点的坐标为（3，1）；
②当表示天安门的点的坐标为（﹣1，1），表示人民大会堂的点的坐标为（﹣2，0）表示故宫的点的坐标为（﹣1，2）；
③当表示电报大楼的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示王府井的点的坐标为（6，0）时表示前门的点的坐标为（3，﹣4.5）；
④当表示美术馆的点的坐标为（﹣7，3），表示故宫的点的坐标为（﹣9，0）时，表中国国家博物馆的点的坐标为（﹣8，﹣6）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④
【答案】C
【解析】①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示故宫的点的坐标为（0，1）时，表示王府井的点的坐标为（3，1），结论正确，符合题意；
②当表示天安门的点的坐标为（﹣1，1），表示人民大会堂的点的坐标为（﹣2，0）表示故宫的点的坐标为（﹣1，2）；结论正确，符合题意；
③当表示电报大楼的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示王府井的点的坐标为（6，0）时表示前门的点的坐标为（3，﹣4.5），结论正确，符合题意；
④当表示美术馆的点的坐标为（﹣7，3），表示故宫的点的坐标为（﹣9，0）时，表中国国家博物馆的点的坐标为（﹣8，﹣2），故结论不正确，不符合题意，
所以①②③正确．
故选：C．
【举一反三2】小明家位于公园的正东方向500m处，从小明家出发向北走600m就到小华家．若选取小华家所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则公园的坐标是（ ）
A.（﹣600，﹣500） B.（500，600） C.（﹣500，﹣600） D.（600，500）
【答案】C
【解析】根据题意画出平面直角坐标系如图：
由图可知公园的坐标为（﹣500，﹣600），
故选：C．
【举一反三3】居委会需要在街道旁修建临时奶站C，向居民区A，B提供牛奶，要求CA＝CB．如图，已知A（0，2），B（6，4），则C点坐标为 ．
【答案】（4，0）
【解析】设C点的坐标为（m，0），
∵CA＝CB，
∴m2+22＝（m﹣6）2+42，
解得m＝4，
∴C点坐标为（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【举一反三4】小明家位于公园的正东200m处，从小明家出发向北走300m就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1m，则公园的坐标是 ．
【答案】（﹣200，﹣300）
【解析】如图所示：公园的坐标是：（﹣200，﹣300）．
故答案为：（﹣200，﹣300）．
【举一反三5】遗爱湖公园的亲水平台修建了许多台阶（如图所示），春季湖水上涨后有一部分在水下．如果点C的坐标为（﹣1，1），D点的坐标为（0，2）．（点C、D分别在第3、4级）
（1）请建立适当的直角坐标系，并写出A，B，E，F的坐标；
（2）某一公司准备在湖边开展“母子亲水”活动，为防止滑倒要将8级台阶全铺上2米宽的防滑地毯，经测量每级台阶宽高都为0.3米，你能帮该公司算一下地毯要多少平方米吗？
【答案】解 （1）平面直角坐标系为：
坐标系为：A（﹣3，﹣1），B（﹣2，0），E（1，3），F（2，4）；
（2）0.3×（8+7）×2＝9（平方米），
答：该公司算一下地毯要9平方米．
【举一反三6】教室中有9排5列座位，请根据下面四个同学的描述，在图中标出“5号”小明的位置．
1号说：“小明在我的右后方．”
2号同学说：“小明在我的左后方．”
3号同学说：“小明在我的左前方．”
4号同学说：“小明离1号和3号同学的距离一样远．
【答案】解 根据由1、2和3号同学的说法，可知小明在第3列，再由4号同学的说法，可知小明在第5排第3列．
【题型6】关于直线对称的点的坐标变化
【典型例题】点A（﹣3，5）与B（5，5）关于某一直线对称，则对称轴是（ ）
A.x轴 B.y轴 C.直线x＝1 D.直线y＝1
【答案】C
【解析】∵点A（﹣3，5）与B（5，5），两点纵坐标相等，
∴两点关于过线段中点的直线对称，即关于直线x＝＝1对称．
故选：C．
【举一反三1】点M（1，4﹣m）关于直线y＝﹣3对称的点的坐标为（1，7），则m＝（ ）
A.16 B.27 C.17 D.15
【答案】C
【解析】∵点M（1，4﹣m）与点（1，7）关于直线y＝﹣3对称，
∴＝﹣3，
解得：m＝17，
故选：C．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，点A（3，0）关于直线y＝x对称的点A′的坐标为 ．
【答案】（0，3）
【解析】如图，A，A′关于直线y＝x对称，
∵直线y＝x是第一、三象限的平分线，点A（3，0），
∴A′在y轴上，OA′＝OA＝3，
∴A′的坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，过点A作AD⊥y轴，垂足为D，点B关于直线AD的对称点为C，连接AC，AB，BC，已知AD＝10，OD＝2．
（1）点A的坐标为 ；
（2）若点C（﹣4，﹣4），请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】解 （1）∵AD⊥y轴，AD＝10，OD＝2，
∴点A的坐标为（﹣10，2）．
故答案为：（﹣10，2）；
（2）△ABC为等腰直角三角形．
理由：如图．设直线AD与BC交于点E．
∵点B关于直线AD的对称点为C，
∴BC⊥AD，BE＝CE．
∴AB＝AC．
∵点C的坐标为（﹣4，﹣4），
∴点E的坐标为（﹣4，2），
∴AE＝CE＝6，
∴∠CAE＝∠C＝45°．
∵AB＝AC．
∴∠C＝∠B＝45°，
∴∠BAC＝90°．
∴△ABC为等腰直角三角形．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，有点A（a，3）、点B（﹣2，b）．
（1）当A、B两点关于直线x＝﹣1对称时，求AB的长；
（2）当线段AB∥y轴，且AB＝4时，求△AOB的面积．
【答案】解 （1）∵A、B关于直线x＝﹣1对称，
∴A、B的纵坐标相同，a﹣（﹣1）＝﹣1﹣（﹣2），
∴b＝3，a＝0，
即A（0，3）、B（﹣2，3），
∴AB＝2；
（2）当线段AB∥y轴时，有A、B的横坐标相同，
∴a＝﹣2，
∵AB＝4，
∴S△AOB＝×4×2＝4．
【题型7】根据规律求点的坐标
【典型例题】如图，已知点A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…则点A2024的坐标为（ ）
A.（﹣507，﹣507） B.（507，507） C.（507，﹣506） D.（﹣506，﹣506）
【答案】D
【解析】由图观察点的规律，点A4（﹣1，﹣1），A8（﹣2，﹣2），A12（﹣3，﹣3），A16（﹣4，﹣4），…得点A4n（﹣n，﹣n），
∵2024÷4＝506，
∴点A2024在第三象限，故横坐标为﹣506，纵坐标为﹣506，
∴A2024的坐标是（﹣506，﹣506）．
故选：D．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，﹣2），A2（2，0），A3（3，2），A4（4，0），…．根据这个规律，点A2024的坐标是（ ）
A.（2023，0） B.（2024，2） C.（2024，﹣2） D.（2024，0）
【答案】D
【解析】观察图形可知，
点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，
2024÷4＝506，
所以点A2024坐标是（2024，0）．
故选：D．
【举一反三2】一只跳蚤每秒跳一格，起点A处用有序数对表示为（0，0），按如图所示的规律一直跳下去，第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（ ）
A.（0，1012） B.（1012，4） C.（1012，0） D.（4，1012）
【答案】C
【解析】由图可得：从起点（0，0）开始，坐标依次为（0，1），（0，2），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（3，0），（4，0），（4，1），（4，2）……，
∴纵坐标的循环周期为8，
2024÷8＝253，
纵坐标为0，
横坐标每个周期增加4，
∴横坐标为：253×4＝1012，
即第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（1012，0），
故选：C．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…．的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ．
【答案】（0，﹣2）
【解析】∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10，
2016÷10＝201…6，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第6个单位长度的位置，
即CD中间的位置，点的坐标为（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2）．
【举一反三4】（2023春 凤台县期末）在直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…．
（1）依次写出x1、x2、x3、x4、x5、x6的值；
（2）计算x1+x2+…+x8的值；
（3）计算x1+x2+…+x2003+x2004的值．
【答案】解 （1）根据平面坐标系结合各点横坐标得出：
x1、x2、x3、x4、x5、x6的值分别为：1，﹣1，﹣1，3，3，﹣3；
（2）∵x1+x2+x3+x4＝1﹣1﹣1+3＝2；
x5+x6+x7+x8＝3﹣3﹣3+5＝2；
∴x1+x2+…+x8＝2+2＝4；
（3）∵x1+x2+x3+x4＝1﹣1﹣1+3＝2；
x5+x6+x7+x8＝3﹣3﹣3+5＝2；
…
x97+x98+x99+x100＝2…
∴x1+x2+…+x2003+x2004＝2×（2004÷4）＝1002．
【题型8】坐标与图形性质
【典型例题】如图，已知点A（﹣2，1），B（﹣2，﹣4），点C（x，y）在线段AB上运动，当OC＞OA时，y的取值范围为（ ）
A.﹣1＜y＜1 B.y＜1 C.﹣4≤y＜﹣1 D.﹣4≤y≤﹣1
【答案】C
【解析】如图，作点A关于x轴的对称点A′，则A′（﹣2，﹣1）．
∵OC＞OA，
∴点C在A′B上，且不与A′重合．
∵B（﹣2，﹣4），
∴y的取值范围为﹣4≤y＜﹣1．
故选：C．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，点A（a+1，a﹣1）是x轴上一点，线段AB＝2，若AB∥y轴，则点B的坐标是（ ）
A.（2，2） B.（﹣2，2） C.（﹣2，2）或（﹣2，2） D.（2，2）或（2，﹣2）
【答案】D
【解析】∵点A是x轴上一点，
∴a﹣1＝0，
解得a＝1，
∴a+1＝1+1＝2，
∴点A的坐标为：（2，0）．
又∵线段AB＝2，若AB∥y轴，
∴点B在x轴上方时，
点B坐标为：（2，2）；
点B在x轴下方时，
点B坐标为：（2，﹣2），
故选：D．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且OM＝6，∠OMN＝30°，等边△AOB的顶点A，B分别在线段MN，OM上，则OB的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】∵△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴∠OAM＝180°﹣∠OMN﹣∠AOM＝90°，
∴△OAM为直角三角形，
∵∠OMN＝30°，
∴；
故选：C．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为．现有A（3，8），B（1，4），C（﹣1，6）三点，点D为线段AB的中点，点C为线段AE的中点，则线段DE的中点坐标为 ．
【答案】（﹣，5）
【解析】∵点D为线段AB的中点，A（3，8），B（1，4），
∴D（2，6）．
∵点C为线段AE的中点，A（3，8），C（﹣1，6），
∴E（﹣5，4），
∴线段DE的中点坐标为（﹣，7）．
故答案为：（﹣，5）．
【举一反三4】如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上什么位置时，使S△ACP＝2S△ABC？
（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上什么位置时，使S△BCQ＝2S△ABC？
【答案】解 （1）∵A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0），
∴AC＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
点B到AC的距离为3，
∴△ABC的面积＝×4×3＝6；
（2）∵S△ACP＝2S△ABC，
3×2＝6，
∴点P在y轴正半轴时，P（0，6）；
点P在y轴负半轴时，P（0，﹣6）；
（3）∵S△BCQ＝2S△ABC，
4×2＝8，
∴点Q在C的左边时，Q（﹣3﹣8，0），即Q（﹣11，0）；
点Q在C的右边时，Q（﹣3+8，0），即Q（5，0）．
【题型9】平面直角坐标系中点的坐标特征
【典型例题】若xy＝0，则点P（x，y）一定在（ ）
A.x轴上 B.y轴上 C.坐标轴上 D.原点
【答案】C
【解析】∵xy＝0，
∴x、y至少有一个数为0，
x＝0时，点P在y轴上，
y＝0时，点P在x轴上，
x＝y＝0时，点P为坐标原点，
∴点P（x，y）一定在坐标轴上．
故选：C．
【举一反三1】已知|a+2|+|b﹣3|＝0，则点（a，b）位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】∵|a+2|+|b﹣3|＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
∴点（a，b）位于第二象限．
故选：B．
【举一反三2】点A（a﹣3，a+2）在横轴上，则a＝ ．
【答案】﹣2
【解析】∵点A（a﹣3，a+2）在x轴上，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【举一反三3】若点A（a，b）在第一象限，则点B（﹣a，b+3）在第 象限．
【答案】二
【解析】∵点A（a，b）在第一象限，
∴a＞0，b＞0，
∴﹣a＜0，b+3＞0，
∴点B（﹣a，b+3）在第二象限，
故答案为：二．
【举一反三4】已知a，b都是实数，设点A（a，b），若满足3a＝4b+3，则称点A为“梦想点”．
（1）判断点B（5，3）是否为“梦想点”；
（2）若点C（2m+1，m﹣2）是“梦想点”，求点C到x轴的距离．
【答案】解 （1）当B（5，3）时，3×5＝15，4×3+3＝15，
∴.3×5＝4×3+5，
∴B（5，3）是“梦想点”；
（2）∵点C（2m+1，m﹣2）是“梦想点”，
∴3（2m+1）＝4（m﹣2）+3，
解得m＝﹣4，
∴2m+1＝﹣7，m﹣2＝﹣6，
∴点C坐标为（﹣7，﹣6），
∴点C到x轴的距离为6．
【题型10】关于点的平移的坐标变化
【典型例题】第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A.（﹣4，0） B.（4，0） C.（0，2） D.（0，﹣2）
【答案】A
【解析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
∵P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣4﹣m＝﹣4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；
故选：A．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，﹣2），D（﹣1，0），点D经过平移后得到点D'，且将A，B，C，D'四点两两连接后，组成的图形是轴对称图形．对于小明，小亮，小红的说法，下列判断正确的是（ ）
小明：将点D向下平移2个单位长度；
小亮：将点D先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
小红：将点D先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度．
A.小明对，小亮对
B.小亮对，小红错
C.小明对，小红对
D.三个人都对
【答案】C
【解析】由题意可得：
∴小明、小红说法组成的图形是轴对称图形，
故选：C．
【举一反三2】如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（x，y），将线段AB平移至A′B′的位置，点A′的坐标为（0，4），则点B′的坐标为（ ）
A.（x﹣3，y﹣3） B.（x+3，y﹣3） C.（x+3，y+3） D.（x+3，y+4）
【答案】C
【解析】由点A（﹣3，1）平移至点A′（0，4），可得平移方式为：向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴点B′的坐标为（x+3，y+3）．
故选：C．
【举一反三3】将点A（﹣5，2）先向右平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度之后，到两坐标轴的距离相等，则k＝ ．
【答案】3.5
【解析】将点A（﹣5，2）先向右平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度之后得到的点坐标为（﹣5+k，2﹣k），
由题意得|﹣5+k|＝|2﹣k|，
解得k＝3.5．
故答案为：3.5．
【举一反三4】如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（1，n），则m﹣n的值为 ．
【答案】﹣1
【解析】∵点A（1，0）平移后得到点C（﹣2，1），
∴线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向左平移3个单位，
∴m+1＝n，
∴m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，OA＝2，OB＝3，现同时将点A，B向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）写出点A，B，C，D的坐标；
（2）在线段CO上是否存在一点P，使得S△CDP＝S△PBO，如果存在，试求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】解 （1）根据题意得，OA＝2，OB＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
∵点A，B向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得对应点C，D，
∴C（0，2），D（5，2）．
（2）存在．
理由：如图所示，
CD＝5，OB＝3，设P（0，a），则CP＝2﹣a，
∴S△CDP＝CD CP＝×5×（2﹣a）＝（2﹣a），S△PBO＝OB OP＝×3a＝a，
∴，解得，．
∴点P存在，且坐标为．
【举一反三6】已知点P（m﹣1，2m﹣1），Q（m2+m，m+1）．
（1）若点Q是由点P左右平移得到的，求出m的可值，并说明平移的方向和距离．
（2）点Q能否由点P上下平移得到？说明理由．
【答案】解 （1）∵点Q是由点P左右平移得到的，
∴2m﹣1＝m+1，
∴m＝2，
当m＝2时，P（1，3），Q（6，3），
∴点P向右移动5个单位长度得到点Q；
（2）不能，
理由：当m﹣1＝m2+m时，即m2＝﹣1，
此方程无解，
故点Q不能由点P上下平移得到．
【题型11】以原点为位似中心的点坐标变化
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣6），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A在第一象限的对应点A′的坐标是（ ）
A.（1，3） B.（2，1） C.（，） D.（﹣1，﹣3）
【答案】A
【解析】∵以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（﹣2，﹣6），
∴A的对应点A'的坐标为[﹣2×（﹣），﹣6×（﹣）]，即（1，3），
故选：A．
【举一反三1】如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，且A′B′＝2AB．已知mn＝3（m，n为正实数），在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则t的值等于（ ）
A. B.1 C. D.
【答案】A
【解析】∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，A′B′＝2AB，顶点A的坐标为（1，t），
∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，
∴点C的坐标为（﹣1，﹣t），矩形A′B′C′D′也关于点O成中心对称，
∴C′点的坐标是（﹣2，﹣2t），
∵mn＝3，
即n＝，
∵以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，
∴反比例函数n＝的图象只经过点A′或C′，
∵矩形A′B′C′D′关于点O成中心对称，反比例函数n＝的图象关于点O成中心对称，
∴反比例函数n＝的图象经过C′点，
∴﹣2 （﹣2t）＝3，
解得t＝．
故选：A．
【举一反三2】已知△ABC与△DEF是与原点为位似中心的位似图形，位似比为，则A（﹣1，1）的对应点D的坐标为 ．
【答案】（﹣，）或（，﹣）
【解析】∵A点的横纵坐标同时乘以或﹣
∴点D的坐标为（﹣，）或（，﹣）
故答案为：（﹣，）或（，﹣）．
【举一反三3】在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（1，4），（3，4），且点N在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′（n＞1）．
（1）k的值为 ；
（2）若线段M′N′与反比例函数的图象总有交点，则n的最大值为 ．
【答案】（1）12（2）
【解析】（1）∵点N（3，4）在反比例函数的图象上，
∴，
∴k＝12，
故答案为：12；
（2）∵以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′（n＞1），
∴M′（n，4n），
∵线段M′N′与反比例函数的图象总有交点，
∴当M′在反比例函数图象上时，n的值最大，
∴，
解得： 或（不符合题意，舍去），
∴n的最大值为，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC下的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2，并写出点B2的坐标．
【答案】解 （1）如图A1B1C1为所作：
（2）如图A2B2C2为所作：B2（﹣4，﹣6）．
