24.3锐角三角函数
【知识点1】同角三角函数的关系 2
【知识点2】锐角三角函数的增减性 2
【知识点3】特殊角的三角函数值 2
【知识点4】锐角三角函数的定义 3
【知识点5】互余两角三角函数的关系 4
【知识点6】计算器—三角函数 4
【题型1】直接由定义求余弦值 4
【题型2】平面直角坐标系中求正弦值 5
【题型3】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数 6
【题型4】特殊角的三角函数值运算 7
【题型5】在正方形网格中求正切值 8
【题型6】直接由定义求正弦值 9
【题型7】直接由定义求正切值 10
【题型8】在正方形网格中求余弦值 11
【题型9】已知三角函数值，求另一个三角函数值 13
【题型10】锐角三角函数的定义 14
【题型11】利用勾股定理求正弦值 14
【题型12】求特殊角的三角函数值 15
【题型13】根据正弦值确定角的大小 16
【题型14】锐角三角函数值的变化情况 16
【题型15】利用勾股定理求余弦值 17
【题型16】用计算器求锐角三角函数值 18
【题型17】平面直角坐标系中求正切值 20
【题型18】根据余弦值确定角的大小 21
【题型19】平面直角坐标系中求余弦值 22
【题型20】同角三角函数的关系 23
【题型21】正弦值的变化情况 24
【题型22】利用勾股定理求正切值 24
【题型23】余弦值的变化情况 25
【题型24】由特殊角的三角函数值求角的度数 25
【题型25】已知锐角三角函数值用计算器求锐角度数 26
【题型26】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 26
【题型27】根据正切值确定角的大小 27
【题型28】先求三角函数值再求角的度数 27
【题型29】互余两角的三角函数关系 28
【题型30】正切值的变化情况 29
【题型31】在正方形网格中求正弦值 29
【知识点1】同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA cosA．
1.（2022秋 东港区校级期末）若α为锐角，且sinα=，则tanα为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023秋 鲤城区校级月考）已知，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【知识点2】锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
1.（2022秋 环翠区校级期末）已知∠A为锐角，且cosA≤，那么（ ）
A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90° C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90°
2.（2021秋 东平县校级月考）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（ ）范围内
A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°
【知识点3】特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=；tan30°=；
sin45°=；cos45°=；tan45°=1；
sin60°=；cos60°=； tan60°=；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
1.（2025春 西湖区校级月考）已知∠α为锐角，且cosα=，那么∠α=（ ）
A．60° B．90° C．30° D．45°
2.（2024秋 龙口市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=5，用科学计算器计算∠A，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【知识点4】锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA=∠A的对边除以斜边=．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA=∠A的邻边除以斜边=．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
1.（2024秋 滑县期末）如图，在Rt△ABC中，，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则cosD的值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025 鞍山模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【知识点5】互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．
1.（2022秋 南关区校级期末）在△ABC中，∠C=90°，若cosB=，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【知识点6】计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα=0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
1.已知sinA=0.8192，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【题型1】直接由定义求余弦值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则cosB的值等于( )
A. B. C. D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝4，BC＝2，则cosB等于( )
A. B. C. D. 1
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cosB等于( )
A. B. C. D.
【举一反三5】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cosB＝________.
【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则cosA＝________.
【举一反三7】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则cosA＝________.
【举一反三8】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，那么∠A的余弦值是________．
【题型2】平面直角坐标系中求正弦值
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线OA上，射线OA与x轴的正半轴的夹角为α，则sinα等于( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线OA上，射线OA与x轴的正半轴的夹角为α，则sinα等于( )
A. B. C. D.
【题型3】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数
【典型例题】在△ABC中，若|sinA－|＋（cosB-）2＝0，则∠C的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【举一反三1】如果△ABC的∠A、∠B满足|2sinA－1|＋(2cosB-)2＝0，那么∠C的度数是( )
A. 45° B. 75° C. 90° D. 105°
【举一反三2】如果△ABC的∠A、∠B满足|2sinA－1|＋(2cosB-)2＝0，那么∠C的度数是( )
A. 45° B. 75° C. 90° D. 105°
【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则∠B为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【举一反三4】已知△ABC，若有|sinA－|与(tan B-)2互为相反数，则∠C的度数是__________．
【举一反三5】已知△ABC，若有|sinA－|与(tan B-)2互为相反数，则∠C的度数是__________．
【举一反三6】在△ABC中，(tan A-)2＋|－cosB|＝0，则∠C的度数为__________．
【题型4】特殊角的三角函数值运算
【典型例题】sin2 30°的相反数是( )
A. - B. - C. －4 D. －2
【举一反三1】下列计算正确的是( )
A. sin30°＋sin45°＝sin75°
B. cos30°＋cos45°＝cos75°
C. sin60°－cos30°＝cos30°
D. sin60°cos30°－tan 45°＝
【举一反三2】 2cos45°－(π＋1)0＝____________ .
【举一反三3】计算：2sin60°＝__________.
【举一反三4】计算：sin45°＋cos2 30°-tan60°＋2sin60°.
【举一反三5】计算：sin45°＋sin60°－2tan 45°.
【题型5】在正方形网格中求正切值
【典型例题】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanA的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】已知∠BAC在正方形网格线中的位置如图所示，则tan A的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在3×3的正方形的网格中标出了∠1，则tan∠1的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是
A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 2.5
【举一反三5】如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tanA＝__________.
【举一反三6】如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是__________．
【举一反三7】如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是________．
【题型6】直接由定义求正弦值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为( )
A. B. C. D. 1
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sinA等于( )
A. B. C. D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB＝5，AC＝4，那么sin∠ADC1的值是__________．
【举一反三3】在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB＝________.
【举一反三4】如图直线y=x+与x轴交于点A，与直线y=2x交于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求sin∠BAO的值.
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝.
(1)求sinA的值．
(2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由．
【题型7】直接由定义求正切值
【典型例题】如果方程x2－8x＋15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tan A的值为( )
A. B. C. D. 或
【举一反三1】如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为
A. 5 B. C. 3 D.
【举一反三2】如图，在点O处测得远处动点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，则tan∠OAB的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，则tan A＝________.
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b＝3a，则tan A＝__________.
【举一反三5】在正方形ABCD中，E是AD的中点，求tan∠ABE的值．
【题型8】在正方形网格中求余弦值
【典型例题】如图，在边长为1的小正方形组成的网络中，△ABC的三个顶点在格点上，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】现有一个由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形组成的网格，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值( )
A. B. C. D.
【举一反三2】三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三4】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三5】如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC＝________.
【举一反三6】如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的余弦值是__________．
【举一反三7】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，点A、B、O均在格点处，则cos∠AOB＝__________.
【举一反三8】如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为________．
【题型9】已知三角函数值，求另一个三角函数值
【典型例题】已知：2cos(x＋15°)＝1，则sinx的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】已知sinA＝，则cosA的值是( )
A. 2 B. C. D.
【举一反三2】已知sinA＝，∠A为锐角，则cos2A等于( )
A. B. C. D. 1
【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tan A的值为( )
A. B. 1 C. D.
【举一反三4】若∠A为锐角，当tanA＝时，cosA＝__________________________.
【举一反三5】已知∠B是锐角，若sin＝，则tan B的值为__________．
【举一反三6】在△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则tan A＝__________.
【题型10】锐角三角函数的定义
【典型例题】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝3，则cosA的值是（ ）
A. B. C.3 D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则cosB＝ ．
【举一反三3】已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，则cosB的值是 ．
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，求sinC，cosC，tanC的值．
【题型11】利用勾股定理求正弦值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，则sinB的值是( )
A. B. C. D. 2
【举一反三1】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则sinB的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝______________.
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC∶AC＝5∶12，求sinA的值．
【举一反三4】已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式(2b)2＝4(c＋a)(c－a)，且5a－3c＝0，求sinA＋sinB的值．
【题型12】求特殊角的三角函数值
【典型例题】tan 60°的值等于( )
A. B. C. D.
【举一反三1】在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，则tan B等于( )
A. 1 B. C. D.
【举一反三2】在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝45°，∠C＝15°，则cosB等于( )
A. B. C. D.
【举一反三3】已知∠α与∠β互补，且∠α＝120°，则∠β的正弦值为________．
【举一反三4】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝.
(1)试仿照例题，求出cos15°的准确值；
(2)我们知道，tan α＝sinαcosα，试求出tan 15°的准确值．
【举一反三5】课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.
(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；
(2)探究tan A·cot A的值．
【题型13】根据正弦值确定角的大小
【典型例题】α为锐角，且sinα＝0.6，则( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
【举一反三1】如果∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A的范围是( )
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
【举一反三2】如果∠A为锐角，sinA＝，那么( )
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
【举一反三3】如果∠A为锐角，sinA＝，那么( )
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
【举一反三4】如果角α为锐角，且sinα＝，那么( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
【题型14】锐角三角函数值的变化情况
【典型例题】如图，梯子跟地面的夹角为∠α，关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A.sinα的值越小，梯子越陡
B.cosα的值越小，梯子越陡
C.tanα的值越小，梯子越陡
D.陡缓程度与∠α的函数值无关
【举一反三1】在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角A的各个三角函数值（ ）
A.都缩小 B.都不变 C.都扩大5倍 D.无法确定
【举一反三2】已知：∠A为锐角，且cosA，则（ ）
A.0°＜∠A≤60° B.60°≤∠A＜90° C.O°＜∠A≤30° D.30°≤∠A＜90°
【举一反三3】梯子与地面的夹角为A，tanA的值越 ，梯子越陡；sinA的值越 ，梯子越陡；cosA的值越 ，梯子越陡．
【举一反三4】对于锐角α，sinα的值随α的增大而 ，cosa的值随α的增大而 ，tanα的值随α的增大而 ．
【举一反三5】当0°＜∠A＜90°时，sinA的值在什么范围内变化？为什么？
【题型15】利用勾股定理求余弦值
【典型例题】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是( )
A. B. C. D. 2
【举一反三2】在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，AB＝5，则cos∠BCD的值为________．
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．
【题型16】用计算器求锐角三角函数值
【典型例题】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】利用如图所示的计算器进行计算，下列说法正确的是（ ）
A.按DEL键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号
B.在计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是sin
C.按2ndFx2键可求出一个数的倒数的平方
D.要将最终答案存储起来，可按键＝键
【举一反三2】如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：
显示屏显示的结果为88.99102049，将这个数据精确到0.001后，下列说法正确的是（ ）
A.56.78°的正切函数值约为88.991
B.正切函数值为56.78的角约是88.991°
C.56°78′的正切函数值约为88.991
D.正切函数值为56.78的角约是88°991′
【举一反三3】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin72°38′25″，按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三4】若tanA＝0.6440，则利用科学计算器求∠A的度数（精确到′）的按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三5】用科学计算器计算：12×tan13°＝________.(结果精确到0.01)．
【举一反三6】用科学计算器计算：10cos32°≈________.(精确到0.01)
【举一反三7】用科学计算器计算：10cos32°≈________.(精确到0.01)
【举一反三8】用科学计算器计算：12×tan13°＝________.(结果精确到0.01)．
【题型17】平面直角坐标系中求正切值
【典型例题】如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)和点B(7,0)，则tan∠ABO的值等于( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，点B(0，－4)，则tan∠OAB的值为( )
A. - B. C. D. -
【举一反三3】如图，点A(t,4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tan α＝，则t的值为________．
【举一反三4】如图，在直角坐标系平面内有一点P(3,4)，求OP与x轴的正半轴的夹角α及y轴的正半轴的夹角β的正切值．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2)，BA⊥x轴于A.求tan∠BOA的值．
【题型18】根据余弦值确定角的大小
【典型例题】若α为锐角，且cosα＝0.6，则( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
【举一反三1】若cosα＝，则锐角α的大致范围是( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 0°＜α＜90°
【举一反三2】若α是锐角，且cosα＝0.7，则( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°≤α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°≤α＜90°
【举一反三3】若α是锐角，且cosα＝0.7，则( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°≤α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°≤α＜90°
【举一反三4】当锐角A的cosA＞时，∠A的值为( )
A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°
【举一反三5】若cosA＞cos60°，则锐角A的取值范围是________．
【举一反三6】已知∠A为锐角，且cosA≤，那么∠A的范围是__________．
【举一反三7】已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是______________．
【举一反三8】α为锐角，且cosα＜，则α的取值范围是__________．
【题型19】平面直角坐标系中求余弦值
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线OA上，射线OA与x轴的正半轴的夹角为α，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，OB＝2，PB＝，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，点B(0，－4)，则cos∠OAB的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，OB＝2，PB＝，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【题型20】同角三角函数的关系
【典型例题】设45°＜α＜90°，则下列式子成立的是（ ）
A.cosα＜tanα＜sinα
B.sinα＜tanα＜cosα
C.cosα＜sinα＜tanα
D.sinα＜cosα＜tanα
【举一反三1】已知∠A是锐角，，则tanA的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝__________．
【举一反三3】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求证：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA+cosA，求sinA cosA的值．
【题型21】正弦值的变化情况
【典型例题】当锐角a＜60°，sina的值( )
A.小于 B.大于 C.小于 D.大于
【举一反三1】已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是( )
A.0＜n＜ B.0＜n＜ C.0＜n＜ D.0＜n＜
【举一反三2】把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为( )
A.sinA＝3sinA′ B.sinA＝sinA′ C.3sinA＝sinA′ D.不能确定
【举一反三3】若∠A为锐角，sinA＝3m－2，则m的范围是( )
A.＜m＜1 B.2＜m＜3 C.0＜m＜1 D.＜m＜
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA的取值范围为__________．
【举一反三5】比较大小：sin65°__________sin55°(用“＞”或“＜”填空)．
【举一反三6】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA的取值范围为__________．
【题型22】利用勾股定理求正切值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝4，则tan B的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】等腰三角形中，腰长为5 cm，底边为8 cm，则它的底角的正切值为________．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________.
【举一反三4】如图，锐角△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值．
【题型23】余弦值的变化情况
【典型例题】把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值( )
A. 不变 B. 缩小为原来的13 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定
【举一反三1】随着锐角α的增大，cosα的值( )
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 增大还是减小不确定
【举一反三2】把△ABC三边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值( )
A. 不变 B. 缩小为原来的12 C. 扩大为原来的2倍 D. 不能确定
【举一反三3】把Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系是( )
A. cosA＝cosA′ B. cosA＝5cosA′ C. 5cosA＝cosA′ D. 不能确定
【举一反三4】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是( )
A. ＜cosα＜ B. ＜cosα＜ C. ＜cosα＜ D. ＜cosα＜
【举一反三5】若α为锐角，且cosα＝，则m的取值范围是________．
【举一反三6】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大5倍，那么它的两个锐角的余弦值________．
【举一反三7】比较大小：cos36°________cos37°.
【题型24】由特殊角的三角函数值求角的度数
【典型例题】已知锐角α满足sin(α＋20°)＝1，则锐角α的度数为( )
A. 10° B. 25° C. 40° D. 45°
【举一反三1】已知α为锐角，如果sinα＝，那么α等于( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 不确定
【举一反三2】已知∠A为锐角且tanA＝，则∠A为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 不能确定
【举一反三3】若∠A是锐角，且cosA＝sinA，则∠A的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 不能确定
【举一反三4】已知α是锐角，且tan (90°－α)＝，则α＝________.
【举一反三5】已知∠A是锐角，且3tan A－＝0，则∠A＝__________.
【举一反三6】已知α是锐角，tanα＝2cos30°，那么α＝________度．
【题型25】已知锐角三角函数值用计算器求锐角度数
【典型例题】已知tan α＝6.866，用计算器求锐角α(精确到1″)，按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】已知sinα＝0.5，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键( )
A. AC10N B. SHIET C. MODE D. SHIFT
【举一反三2】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：(精确到秒)
(1)sinA＝0.6374，则∠A＝________；sinB＝0.0438，则∠B＝________；
(2)cosA＝0.6241，则∠A＝________；cosB＝0.1742，则∠B＝________；
(3)tan A＝4.8525，则∠A＝________；tan B＝0.8234，则∠B＝________.
【举一反三3】利用计算器求锐角的度数：
①已知sin α＝0.256 8.则∠α＝________；
②已知cos α＝0.256 8，则∠α＝________；
③已知tan α＝0.256 8，则∠α＝________.
【举一反三4】已知三角函数值，求锐角(精确到1″)．
(1)已知sinα＝0.501 8，求锐角α；
(2)已知tanθ＝5，求锐角θ.
【题型26】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【典型例题】在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则这个三角形一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形
【举一反三1】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC是( )
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
【举一反三2】在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且有|tan A－1|＋(2cosB-)2＝0，则△ABC的形状是__________________．
【举一反三3】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状．
【举一反三4】在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，cosB恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
【题型27】根据正切值确定角的大小
【典型例题】若α为锐角，且tan α＝，则有( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
【举一反三1】已知锐角A的tan A＜，则锐角A的取值范围是( )
A. 0＜A＜60° B. 60°＜A＜90° C. 0＜A＜30° D. 30°＜A＜90°
【举一反三2】已知锐角A的tan A＜，则锐角A的取值范围是( )
A. 0＜A＜60° B. 60°＜A＜90° C. 0＜A＜30° D. 30°＜A＜90°
【举一反三3】已知tan α＝，则锐角α的取值范围是( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
【举一反三4】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜，那么∠A的取值范围是________．
【举一反三5】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)．
【举一反三6】若∠B为锐角，且tan B＜tan 65°，则∠B________65°(填“＜”或“＞”)．
【举一反三7】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜，那么∠A的取值范围是________．
【题型28】先求三角函数值再求角的度数
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB∶AC＝2∶1，则∠A的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，下列判断正确的是( )
A. ∠A＝30° B. ∠A＝45° C. cosA＝ D. tanA＝
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，则∠A的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，则∠A的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
【举一反三4】在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝BC，则∠C等于( )
A. 45° B. 30° C. 60° D. 50°
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么∠A＝____________.
【举一反三6】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么∠A＝____________.
【举一反三7】在直角△ABC中，∠C＝90°，如果b∶a＝3∶，那么∠A＝____________.
【题型29】互余两角的三角函数关系
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式成立的是（ ）
A.sinA＝sinB B.cosA＝cosB C.sinA＝cosB D.tanA＝tanB
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】设0°＜∠A＜∠B＜90°，下列说法中错误的是（ ）
A.sinA＜sinB
B.cosA＜cosB
C.若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB
D.若sinA＝cosB，则∠A+∠B＝90°
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°．若tanA，则sinB的值是 ．
【举一反三4】观察下列等式：
①sin30°，cos60°；
②sin45°，cos45°；
③sin60°，cos30°．
（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝ ．
（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．
【题型30】正切值的变化情况
【典型例题】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是( )
A. 22＜tanα＜ B. ＜tanα＜ C. ＜tanα＜ D. ＜tanα＜
【举一反三1】随着锐角α的增大，tanα的值( )
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 增大还是减小不确定
【举一反三2】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是( )
A. 22＜tanα＜ B. ＜tanα＜ C. ＜tanα＜ D. ＜tanα＜
【举一反三3】若把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角∠A的正切值( )
A. 扩大为原来的5倍 B. 不变 C. 缩小为原来的5倍 D. 不能确定
【举一反三4】已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．
【举一反三5】比较大小：tan 50°________tan48°.
【举一反三6】已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．
【举一反三7】比较大小：tan36°________tan37°.
【题型31】在正方形网格中求正弦值
【典型例题】如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sinC的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，则的正弦值是
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，在2×2正方形网格中，则sin∠CAB的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三5】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是____________．
【举一反三6】如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA＝__________.
【举一反三7】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是____________．24.3锐角三角函数
【知识点1】同角三角函数的关系 2
【知识点2】锐角三角函数的增减性 3
【知识点3】特殊角的三角函数值 3
【知识点4】锐角三角函数的定义 4
【知识点5】互余两角三角函数的关系 6
【知识点6】计算器—三角函数 6
【题型1】直接由定义求余弦值 7
【题型2】平面直角坐标系中求正弦值 9
【题型3】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数 11
【题型4】特殊角的三角函数值运算 13
【题型5】在正方形网格中求正切值 14
【题型6】直接由定义求正弦值 17
【题型7】直接由定义求正切值 20
【题型8】在正方形网格中求余弦值 23
【题型9】已知三角函数值，求另一个三角函数值 26
【题型10】锐角三角函数的定义 27
【题型11】利用勾股定理求正弦值 29
【题型12】求特殊角的三角函数值 31
【题型13】根据正弦值确定角的大小 32
【题型14】锐角三角函数值的变化情况 33
【题型15】利用勾股定理求余弦值 35
【题型16】用计算器求锐角三角函数值 37
【题型17】平面直角坐标系中求正切值 40
【题型18】根据余弦值确定角的大小 42
【题型19】平面直角坐标系中求余弦值 44
【题型20】同角三角函数的关系 46
【题型21】正弦值的变化情况 48
【题型22】利用勾股定理求正切值 49
【题型23】余弦值的变化情况 51
【题型24】由特殊角的三角函数值求角的度数 52
【题型25】已知锐角三角函数值用计算器求锐角度数 53
【题型26】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 54
【题型27】根据正切值确定角的大小 55
【题型28】先求三角函数值再求角的度数 57
【题型29】互余两角的三角函数关系 58
【题型30】正切值的变化情况 60
【题型31】在正方形网格中求正弦值 61
【知识点1】同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA cosA．
1.（2022秋 东港区校级期末）若α为锐角，且sinα=，则tanα为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的关系，可得α余弦，根据正弦、余弦、正切的关系，可得答案．
【解答】解：由α为锐角，且sinα=，得
cosα===，
tanα===，
故选：D．
2.（2023秋 鲤城区校级月考）已知，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意设BC=4k,则AB=5k,利用勾股定理求得AC的长，再利用正弦函数的定义求解即可．
【解答】解：∵，
∴设BC=4k,则AB=5k,
∴，
∴，
故选：C．
【知识点2】锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
1.已知∠A为锐角，且cosA≤，那么（ ）
A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90° C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90°
【答案】B
【分析】首先明确cos60°=，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．
【解答】解：∵cos60°=，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤时，∠A≥60°．
又∠A是锐角，
∴60°≤A＜90°．
故选：B．
2.（2021秋 东平县校级月考）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（ ）范围内
A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°
【答案】B
【分析】因为cos30°=≈0.866，cos45°=≈0.707，所以可判断∠1在45°到60°之间．
【解答】解：∵cos30°=≈0.866，cos45°=≈0.707，cos∠1=0.8，
∴30°＜∠1＜45°．
故选：B．
【知识点3】特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=；tan30°=；
sin45°=；cos45°=；tan45°=1；
sin60°=；cos60°=； tan60°=；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
1.（2025春 西湖区校级月考）已知∠α为锐角，且cosα=，那么∠α=（ ）
A．60° B．90° C．30° D．45°
【答案】C
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵∠α为锐角，且cosα=，
∴∠α=30°．
故选：C．
2.（2024秋 龙口市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=5，用科学计算器计算∠A，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出锐角三角函数值，再由计算器求出相应的角度即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=5，用科学计算器计算∠A，按键顺序如下：
故选：B．
【知识点4】锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA=∠A的对边除以斜边=．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA=∠A的邻边除以斜边=．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
1.（2024秋 滑县期末）如图，在Rt△ABC中，，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则cosD的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点C作CE⊥AB，根据勾股定理可以求出CD=AB=2，△ACB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再根据余弦的定义可以求出∠D的余弦值．
【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥AB，
在Rt△ABC中，，
∴，
∴CD=AB=2，∠A=∠CBA=45°，
∴，
在Rt△CED中，，
∴．
故选：B．
2.（2025 鞍山模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理计算出BC=，然后利用正弦的定义求解即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=2，AC=1，
∴BC==，
∴sinA==．
故选：D．
【知识点5】互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．
1.（2022秋 南关区校级期末）在△ABC中，∠C=90°，若cosB=，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角形的内角和定理判断出∠B是锐角及∠A，∠B的度数，再根据特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，cosB=，
∴∠B=30°，∠A=60°．
∴sinA=sin60°=．
故选：C．
【知识点6】计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα=0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
1.已知sinA=0.8192，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题求正弦值0.8129对应的锐角，需要计算器的2ndf键．
【解答】解：求多少度的正弦值是0.8192，需要先按2ndf键，接着按sin键，再输入数值．
故选：D．
【题型1】直接由定义求余弦值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则cosB的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，得cosB＝＝，故选D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】cosA＝＝＝.故选B.
【举一反三2】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝5，∴cosB＝＝，故选A.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝4，BC＝2，则cosB等于( )
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴cosB＝＝＝.
故选A.
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cosB等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，∴cosB＝＝.故选A.
【举一反三5】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cosB＝________.
【答案】
【解析】如图所示，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴cosB＝＝＝.
【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则cosA＝________.
【答案】
【解析】cosA＝＝，故答案为.
【举一反三7】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则cosA＝________.
【答案】
【解析】cosA＝＝，故答案为.
【举一反三8】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，那么∠A的余弦值是________．
【答案】
【解析】cosA＝＝，故答案为.
【题型2】平面直角坐标系中求正弦值
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线OA上，射线OA与x轴的正半轴的夹角为α，则sinα等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点P作PB⊥OB于点B.
∵点P(5，12)，∴OB＝5，PB＝12，
由勾股定理得OP＝13，∴sinα＝＝.故选C.
【举一反三1】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作AC⊥x轴于点C，由题意得，BC＝3，AC＝4，
由勾股定理得AB＝5，则sinα＝＝，故选D.
【举一反三2】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作AC⊥x轴于点C，由题意得，BC＝3，AC＝4，
由勾股定理得AB＝5，则sinα＝＝，故选D.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线OA上，射线OA与x轴的正半轴的夹角为α，则sinα等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点P作PB⊥OB于点B.
∵点P(5，12)，∴OB＝5，PB＝12，
由勾股定理得OP＝13，∴sinα＝＝.故选C.
【题型3】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数
【典型例题】在△ABC中，若|sinA－|＋（cosB-）2＝0，则∠C的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】D
【解析】由题意得sinA＝，cos B＝，
则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝180°－30°－60°＝90°.
故选D.
【举一反三1】如果△ABC的∠A、∠B满足|2sinA－1|＋(2cosB-)2＝0，那么∠C的度数是( )
A. 45° B. 75° C. 90° D. 105°
【答案】D
【解析】由|2sin A－1|＋(2cos B-)2＝0，得2sinA－1＝0,2cos B-＝0，
解得∠A＝30°，∠B＝45°，
由三角形内角和定理，得C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－45°＝105°，故选D.
【举一反三2】如果△ABC的∠A、∠B满足|2sinA－1|＋(2cosB-)2＝0，那么∠C的度数是( )
A. 45° B. 75° C. 90° D. 105°
【答案】D
【解析】由|2sin A－1|＋(2cos B-)2＝0，得2sinA－1＝0,2cos B-＝0，
解得∠A＝30°，∠B＝45°，
由三角形内角和定理，得C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－45°＝105°，故选D.
【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则∠B为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】C
【解析】∵sin 60°＝，∴∠B＝60°.故选C.
【举一反三4】已知△ABC，若有|sinA－|与(tan B-)2互为相反数，则∠C的度数是__________．
【答案】90°
【解析】∵|sin A－|与(tanB-)2互为相反数，
∴sin A－＝0，tanB-＝0，则sinA＝，tanB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，则∠C的度数是90°.
【举一反三5】已知△ABC，若有|sinA－|与(tan B-)2互为相反数，则∠C的度数是__________．
【答案】90°
【解析】∵|sin A－|与(tanB-)2互为相反数，
∴sin A－＝0，tanB-＝0，则sinA＝，tanB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，则∠C的度数是90°.
【举一反三6】在△ABC中，(tan A-)2＋|－cosB|＝0，则∠C的度数为__________．
【答案】75°
【解析】由题意得tan A＝，cos B＝.∠A＝60°，∠B＝45°.∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
【题型4】特殊角的三角函数值运算
【典型例题】sin2 30°的相反数是( )
A. - B. - C. －4 D. －2
【答案】A
【解析】∵sin30°＝，∴sin2 30°＝，所以其相反数为-.故选A.
【举一反三1】下列计算正确的是( )
A. sin30°＋sin45°＝sin75°
B. cos30°＋cos45°＝cos75°
C. sin60°－cos30°＝cos30°
D. sin60°cos30°－tan 45°＝
【答案】D
【解析】∵sin60°cos30°－tan45°＝－1＝－1＝，
∴sin60°cos30°－tan45°＝，故选D.
【举一反三2】 2cos45°－(π＋1)0＝____________ .
【答案】－1
【解析】原式＝2×－1＝－1.
【举一反三3】计算：2sin60°＝__________.
【答案】
【解析】2sin60°＝2×＝.
【举一反三4】计算：sin45°＋cos2 30°-tan60°＋2sin60°.
【答案】解 原式＝×＋()2-＋2×＝＋-＋＝1.
【举一反三5】计算：sin45°＋sin60°－2tan 45°.
【答案】解 原式＝×＋×－2×1＝＋.
【题型5】在正方形网格中求正切值
【典型例题】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanA的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接CD，∵CD2＝2，AC2＝4＋16＝20，AD2＝9＋9＝18，
∴AC2＝CD2＋AD2，AD＝＝3，CD＝，∴∠ADC＝90°，
∴tanA＝＝＝.故选C.
【举一反三1】已知∠BAC在正方形网格线中的位置如图所示，则tan A的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，设每个小正方形边长为1，∠BAC的两边分别经过格点D、E，连接DE，
则△ADE是直角三角形．DE⊥AE，故AE＝2，DE＝3，则tanA＝＝，故选D.
【举一反三2】如图，在3×3的正方形的网格中标出了∠1，则tan∠1的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设每个小正方形边长为1，∵∠1所在的直角三角形中的对边为3，邻边为2，
∴tan ∠1＝，故选C.
【举一反三3】如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设每个小正方形边长为1，过C点作CD⊥AB，垂足为D.
根据旋转性质可知，∠B′＝∠B.
在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝3，
故tan B＝＝，则tanB′＝tanB＝.故选B.
【举一反三4】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是
A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 2.5
【答案】A
【解析】如图，连接格点，．
由网格和勾股定理可求得；，，，
，是直角三角形．
在RtABE中，．
，，，
故选：A．
【举一反三5】如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tanA＝__________.
【答案】
【解析】设每个小正方形的边长为1，作BE⊥AC交AC的延长线于点E，
则BE＝6，AE＝5，故tan A＝＝.
【举一反三6】如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是__________．
【答案】
【解析】作BD⊥AC于点D，
∵BC＝2，AC＝＝3，点A到BC的距离为3，AB＝＝，
∴S△ABC=AC·BD＝BC·3，即3×BD＝2×3，解得BD＝，
∴AD＝＝＝2，∴tan A＝＝＝.
【举一反三7】如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是________．
【答案】
【解析】如图，过A作AC⊥BO于点C，设小正方格的边长为1，则AC＝2，OC＝4，
在Rt△AOC中，tan∠AOB＝＝＝.
【题型6】直接由定义求正弦值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】∵∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sinA＝＝，故选A.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sinA等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】sinA＝＝，故选B.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB＝5，AC＝4，那么sin∠ADC1的值是__________．
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，
∵将△BCD沿着直线BD折叠，
∴C1点恰好在斜边AB上，
∴∠DC1A＝90°，
∴∠ADC1＝∠ABC，
∵AB＝5，AC＝4，
∴sin∠ADC1＝.
故答案为.
【举一反三3】在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB＝________.
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，
∴sinB＝，
∵AB＝5，AC＝4，
∴sinB＝＝.
【举一反三4】如图直线y=x+与x轴交于点A，与直线y=2x交于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求sin∠BAO的值.
【答案】解：(1)由解得，∴B(1，2).
(2)如图，过点B作BC垂直于x轴，垂足为点C.
当y=0时，x+=0，解得x=-3，
∴.A(-3，0).
∴AC=1-(-3)=4，BC=2，AB==2，
∴sin∠BAO==.
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝.
(1)求sinA的值．
(2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由．
【答案】解：(1)在Rt△ABC中，sinA＝＝＝；
(2)能．∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠CBD＋∠C＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴sin∠CBD＝sinA＝.
【题型7】直接由定义求正切值
【典型例题】如果方程x2－8x＋15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tan A的值为( )
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】∵x2－8x＋15＝0，∴(x－3)(x－5)＝0，解得x＝3或5，
①当3和5为直角边时：tanA＝.
②当5为斜边时，另一直角边为4，tanA＝.故选D.
【举一反三1】如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为
A. 5 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】如图，延长交于点．平分，于点，
，．
在和中，，
(ASA)，，
，，
，，
，
，
故选：B．
【举一反三2】如图，在点O处测得远处动点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，则tan∠OAB的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，延长OB到D使OB＝BD，连接CD，AD，
∵由已知可知：AB＝BC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴∠CDO＝∠AOB＝90°，
∵∠BOC＝30°，
∴OD＝CD＝OA，
∴OB＝BD＝OA，
∴tan∠OAB＝＝＝，
故选B.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，则tan A＝________.
【答案】
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，∴tanA＝＝，故答案为.
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b＝3a，则tan A＝__________.
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，∴tan A＝ab，
∵2b＝3a，∴＝，∴tanA＝＝.
【举一反三5】在正方形ABCD中，E是AD的中点，求tan∠ABE的值．
【答案】解 ∵在正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝AB，
∴tan∠ABE＝＝.
【题型8】在正方形网格中求余弦值
【典型例题】如图，在边长为1的小正方形组成的网络中，△ABC的三个顶点在格点上，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，
∴cosA＝＝.故选D.
【举一反三1】现有一个由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形组成的网格，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作AD⊥BC的延长线于点D，如图，∵由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形，
∴∠D＝90°，AD＝3×1＝3(cm)，BD＝2×2＝4(cm)，
∴在Rt△ABD中，AB＝＝5(cm)，∴cos∠ABC＝＝.故选D.
【举一反三2】三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设每个小正方形边长为1，
由图可知，α所在的直角三角形的两直角边分别为3、4，
根据勾股定理，斜边＝＝5，
∵α的邻边为4，∴cosα＝.故选C.
【举一反三3】如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，设每个小正方形边长为1，作CD⊥AB的延长线于点D，
由勾股定理，得AC＝＝＝2，则cosA＝＝＝，故选D.
【举一反三4】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设每个小正方形边长为1，
如图，α在一个直角边分别为3和4的直角三角形中，
∴斜边等于5，∴cosα＝.故选B.
【举一反三5】如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC＝________.
【答案】
【解析】设每个小正方形边长为1，作AD⊥CB的延长线于点D，
在格点三角形ADC中，AD＝2，CD＝4，∴AC＝＝＝2，
∴cosC＝＝＝，故答案为.
【举一反三6】如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的余弦值是__________．
【答案】
【解析】如图，作OC⊥AB的延长线于点C，
在Rt△OAC中，AC＝4，OA＝＝2，
则cos ∠OAB＝＝＝＝.
【举一反三7】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，点A、B、O均在格点处，则cos∠AOB＝__________.
【答案】
【解析】如图，连接AB，过A作AD⊥OB于点D，设每个小正方形边长为1，
∵S△AOB＝3×3－×1×3×2－×2×2＝4，由勾股定理可得OA＝OB＝，
∴AD＝＝，∴OD＝，∴cos∠AOB＝＝，故答案为.
【举一反三8】如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为________．
【答案】
【解析】如图所示，作AD⊥BC的延长线于点D，设每个小正方形边长为1，
∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5，∴cos∠ABC＝＝，故答案为.
【题型9】已知三角函数值，求另一个三角函数值
【典型例题】已知：2cos(x＋15°)＝1，则sinx的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵2cos(x＋15°)＝1，即cos(x＋15°)＝，∴x＋15°＝45°，即x＝30°，
则sinx＝sin30°＝，故选B.
【举一反三1】已知sinA＝，则cosA的值是( )
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】∵sinA＝，∴∠A＝30°，∴cosA＝.故选D.
【举一反三2】已知sinA＝，∠A为锐角，则cos2A等于( )
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】∵sinA＝，∠A为锐角，∴∠A＝30°，∴cos2A＝cos 60°＝.故选A.
【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tan A的值为( )
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinB＝，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，
∴tanA＝.故选A.
【举一反三4】若∠A为锐角，当tanA＝时，cosA＝__________________________.
【答案】
【解析】∵∠A为锐角，tanA＝，∴∠A＝30°，则cosA＝cos30°＝.
【举一反三5】已知∠B是锐角，若sin＝，则tan B的值为__________．
【答案】
【解析】∵∠B是锐角，sin＝，∴＝30°，∠B＝60°，则tanB＝tan60°＝.
【举一反三6】在△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则tan A＝__________.
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，cos A＝，∴∠A＝60°，∴tanA＝tan60°＝.
【题型10】锐角三角函数的定义
【典型例题】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴tanA．
故选：B．
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝3，则cosA的值是（ ）
A. B. C.3 D.
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝3，
∴cosA．
故选：A．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则cosB＝ ．
【答案】
【解析】设BC为x，则AB＝3x，cosB，
故答案为：．
【举一反三3】已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，则cosB的值是 ．
【答案】
【解析】∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，
∴cosB，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．
【答案】解：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5，
∴BC4，
又AC＝AD+CD＝8，
∴AB4，
则sinA，
cosA，
tanA．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，求sinC，cosC，tanC的值．
【答案】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
则sinC；cosC；tanC．
【题型11】利用勾股定理求正弦值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，则sinB的值是( )
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】根据勾股定理可得AC＝＝，
∴sin B＝＝.故选C.
【举一反三1】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则sinB的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴由勾股定理，得AC＝4，
∴sinB＝＝.故选C.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝______________.
【答案】
【解析】如图所示，∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝=＝13，
∴sinA＝.
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC∶AC＝5∶12，求sinA的值．
【答案】解 ∵BC∶AC＝5∶12，
∴可设BC＝5k，则AC＝12k.
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝＝13k，
∴sinA＝＝＝.
【举一反三4】已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式(2b)2＝4(c＋a)(c－a)，且5a－3c＝0，求sinA＋sinB的值．
【答案】解 ∵(2b)2＝4(c＋a)(c－a)，∴4b2＝4(c2－a2)，
∴b2＝c2－a2，∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.
∵5a－3c＝0，∴＝，∴sinA＝.
设a＝3k，c＝5k，∴b＝＝4k，
∴sinB＝＝＝.∴sinA＋sinB＝＋＝.
【题型12】求特殊角的三角函数值
【典型例题】tan 60°的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】tan 60°＝，故选D.
【举一反三1】在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，则tan B等于( )
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】∵2∠B＝∠A＋∠C，∠B＋∠A＋∠C＝180°，
∴3∠B＝180°，∴∠B＝60°，∴tanB＝tan60°＝，故选B.
【举一反三2】在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝45°，∠C＝15°，则cosB等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵cos 45°＝，∴cos B＝.故选D.
【举一反三3】已知∠α与∠β互补，且∠α＝120°，则∠β的正弦值为________．
【答案】
【解析】∵∠α与∠β互补，且∠α＝120°，
∴∠β＝180°－120°＝60°，sin60°＝.
【举一反三4】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝.
(1)试仿照例题，求出cos15°的准确值；
(2)我们知道，tan α＝sinαcosα，试求出tan 15°的准确值．
【答案】解 (1)cos15°＝cos(45°－30°)=cos45°cos30°＋sin 45°sin30°
＝×＋×＝；
(2)tan15°＝＝÷＝2－.
【举一反三5】课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.
(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；
(2)探究tan A·cot A的值．
【答案】解 (1)由题意得：cot 45°＝1，cot 60°＝；
(2)∵tanA＝，cotA＝，∴tanA·cotA＝·＝1.
【题型13】根据正弦值确定角的大小
【典型例题】α为锐角，且sinα＝0.6，则( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
【答案】B
【解析】∵sin30°＝0.5，sin45°＝≈0.71，
又sinα＝0.6，∴30°＜α＜45°.故选B.
【举一反三1】如果∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A的范围是( )
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
【答案】C
【解析】∵sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝，
又∵＜＜，∴45°＜∠A＜60°，故选C.
【举一反三2】如果∠A为锐角，sinA＝，那么( )
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
【答案】A
【解析】∵sin30°＝12，0＜＜，∴0°＜∠A＜30°.故选A.
【举一反三3】如果∠A为锐角，sinA＝，那么( )
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
【答案】A
【解析】∵sin30°＝12，0＜＜，∴0°＜∠A＜30°.故选A.
【举一反三4】如果角α为锐角，且sinα＝，那么( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
【答案】A
【解析】∵sin0°＝0，sinα＝，sin30°＝，又0＜＜，∴0°＜α＜30°.故选A.
【题型14】锐角三角函数值的变化情况
【典型例题】如图，梯子跟地面的夹角为∠α，关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A.sinα的值越小，梯子越陡
B.cosα的值越小，梯子越陡
C.tanα的值越小，梯子越陡
D.陡缓程度与∠α的函数值无关
【答案】B
【解析】sinα的值越小，∠α越小，梯子越平缓；
cosα的值越小，∠α就越大，梯子越陡；
tanα的值越小，∠α越小，梯子越平缓，
所以B正确．
故选：B．
【举一反三1】在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角A的各个三角函数值（ ）
A.都缩小 B.都不变 C.都扩大5倍 D.无法确定
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，设∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
则b．
如果在△A′B′C′中，B′C′a，A′B′c，
即一条直角边a和斜边c的长度都缩小至原来的．
那么由勾股定理，可知A′C′b．
∵a：ab：bc：c，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴∠A′＝∠A，
∴锐角A的各个三角函数值都不变．
故选：B．
【举一反三2】已知：∠A为锐角，且cosA，则（ ）
A.0°＜∠A≤60° B.60°≤∠A＜90° C.O°＜∠A≤30° D.30°≤∠A＜90°
【答案】A
【解析】∵cos60°，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA时，∠A≤60°．
又∠A是锐角，
∴0°＜A≤60°．
故选：A．
【举一反三3】梯子与地面的夹角为A，tanA的值越 ，梯子越陡；sinA的值越 ，梯子越陡；cosA的值越 ，梯子越陡．
【答案】大；大；小
【解析】梯子与地面的夹角为A，tanA的值越大，梯子越陡；sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.
故答案为：大；大；小．
【举一反三4】对于锐角α，sinα的值随α的增大而 ，cosa的值随α的增大而 ，tanα的值随α的增大而 ．
【答案】增大；减小；增大
【解析】由三角函数的增减性可得，对于锐角α，sinα的值随α的增大，而cosa的值随α的增大而减小，tanα 的值随α的增大而增大．
故答案为：增大；减小；增大．
【举一反三5】当0°＜∠A＜90°时，sinA的值在什么范围内变化？为什么？
【答案】解：∵0°＜∠A＜90°，
∴0＜sinA＜1．
【题型15】利用勾股定理求余弦值
【典型例题】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】AB＝＝＝13，则cosA＝＝.故选C.
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是( )
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
由勾股定理，得AB＝＝.
由锐角的余弦，得cosB＝＝＝，故选B.
【举一反三2】在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，∴设BC＝5x，CA＝12x，AB＝13x，
∵BC2＋CA2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，
根据三角函数性质，cosB＝＝＝，故选C.
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，AB＝5，则cos∠BCD的值为________．
【答案】
【解析】∵AC＝4，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝＝3，
∵AB·CD＝AC·BC，∴CD＝6，CD＝，
∴cos∠BCD＝＝÷3＝.
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．
【答案】解 ∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，
∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，
∴MN＝＝，
∴cosB＝cos∠AMN＝＝.
【题型16】用计算器求锐角三角函数值
【典型例题】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是D选项中的顺序，
故选：D．
【举一反三1】利用如图所示的计算器进行计算，下列说法正确的是（ ）
A.按DEL键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号
B.在计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是sin
C.按2ndFx2键可求出一个数的倒数的平方
D.要将最终答案存储起来，可按键＝键
【答案】A
【解析】∵按DEL键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号，
∴选项A符合题意；
∵计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是2ndf，
∴选项B不符合题意；
∵按2ndFx2键的作用是求数的倒数，
∴选项C不符合题意；
∵要将最终答案存储起来，可按键M+键，
∴选项D不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：
显示屏显示的结果为88.99102049，将这个数据精确到0.001后，下列说法正确的是（ ）
A.56.78°的正切函数值约为88.991
B.正切函数值为56.78的角约是88.991°
C.56°78′的正切函数值约为88.991
D.正切函数值为56.78的角约是88°991′
【答案】B
【解析】根据计算器功能键作用知：
该组按键表示：正切函数值为56.78的角约是88.991°．
故选：B．
【举一反三3】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin72°38′25″，按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据计算器的使用方法可知，
依次输入sin，72，DMS，38，DMS，25，DMS，＝．
故选：D．
【举一反三4】若tanA＝0.6440，则利用科学计算器求∠A的度数（精确到′）的按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】tanA＝0.6440，
在计算器中用2ndF开启已知三角函数值求角功能，
将所求的结果用DMS功能，将显示数字转换为度﹣分﹣秒格式，
故选：C．
【举一反三5】用科学计算器计算：12×tan13°＝________.(结果精确到0.01)．
【答案】2.77
【解析】12×tan13°≈12×0.231≈2.77.
【举一反三6】用科学计算器计算：10cos32°≈________.(精确到0.01)
【答案】2.68
【解析】10cos32°＝3.162 3×0.8480≈2.68.
【举一反三7】用科学计算器计算：10cos32°≈________.(精确到0.01)
【答案】2.68
【解析】10cos32°＝3.162 3×0.8480≈2.68.
【举一反三8】用科学计算器计算：12×tan13°＝________.(结果精确到0.01)．
【答案】2.77
【解析】12×tan13°≈12×0.231≈2.77.
【题型17】平面直角坐标系中求正切值
【典型例题】如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】如图，tan α＝＝2，即3t＝2，解得t＝1.5.故选B.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)和点B(7,0)，则tan∠ABO的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过A作AC⊥BO于点C，
∵点A(3,3)和点B(7,0)，∴BC＝7－3＝4，AC＝3，
∴tan∠ABO＝＝，故选A.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，点B(0，－4)，则tan∠OAB的值为( )
A. - B. C. D. -
【答案】C
【解析】∵点A(3,0)，点B(0，－4)，∴OB＝4，OA＝3.
∴tan∠OAB＝＝.故选C.
【举一反三3】如图，点A(t,4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tan α＝，则t的值为________．
【答案】3
【解析】过点A作AB⊥x轴于点B，
∵点A(t,4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，
∴tanα＝＝＝.解得t＝3.
【举一反三4】如图，在直角坐标系平面内有一点P(3,4)，求OP与x轴的正半轴的夹角α及y轴的正半轴的夹角β的正切值．
【答案】解 过P作PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，
∵P点坐标为(3,4)，∴OA＝PB＝3，OB＝AP＝4，
∴tanα＝＝，tanβ＝＝.
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2)，BA⊥x轴于A.求tan∠BOA的值．
【答案】解 tan∠BOA＝＝＝.
【题型18】根据余弦值确定角的大小
【典型例题】若α为锐角，且cosα＝0.6，则( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
【答案】C
【解析】cos60°＝，cos45°＝，0＜α＜90°时，cosα随着角度的增大而减小，
∵＜0.6＜，∴45°＜α＜60°.故选C.
【举一反三1】若cosα＝，则锐角α的大致范围是( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 0°＜α＜90°
【答案】C
【解析】∵cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜，
∴cos 45°＜cosα＜cos 60°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.
【举一反三2】若α是锐角，且cosα＝0.7，则( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°≤α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°≤α＜90°
【答案】C
【解析】∵在锐角三角函数中，余弦值都是随着角的增大而减小，
又知cos60°＝，cos45°＝，故45°＜α＜60°.故选C.
【举一反三3】若α是锐角，且cosα＝0.7，则( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°≤α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°≤α＜90°
【答案】C
【解析】∵在锐角三角函数中，余弦值都是随着角的增大而减小，
又知cos60°＝，cos45°＝，故45°＜α＜60°.故选C.
【举一反三4】当锐角A的cosA＞时，∠A的值为( )
A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°
【答案】A
【解析】根据cos45°＝，锐角的余弦值随角增大而减小，则∠A一定小于45°.
故选A.
【举一反三5】若cosA＞cos60°，则锐角A的取值范围是________．
【答案】0°＜A＜60°
【解析】由cosA＞cos60°，得0°＜A＜60°，故答案为0°＜A＜60°.
【举一反三6】已知∠A为锐角，且cosA≤，那么∠A的范围是__________．
【答案】60°≤∠A＜90°
【解析】∵cos60°＝，锐角的余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤时，∠A≥60°.又∵∠A是锐角，∴60°≤∠A＜90°.
【举一反三7】已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是______________．
【答案】20°＜∠A＜30°
【解析】∵＜cosA＜sin 70°，sin70°＝cos20°，
∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°.
【举一反三8】α为锐角，且cosα＜，则α的取值范围是__________．
【答案】0°＜α＜90°
【解析】∵cos30°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴锐角α的取值范围是30°＜α＜90°.
【题型19】平面直角坐标系中求余弦值
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线OA上，射线OA与x轴的正半轴的夹角为α，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点P作PB⊥OB于点B.∵点P(5，12)，∴OB＝5，PB＝12，
∴OP＝13(勾股定理)，∴cosα＝＝.故选A.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过A作AB⊥x轴于B，∵A(4，3)，∴PB＝3，OB＝4，
由勾股定理得OA＝＝5，所以cosα＝＝.故选D.
【举一反三2】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，OB＝2，PB＝，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，
∴在Rt△POB中，OP＝＝3，
根据锐角三角函数的定义，cosα＝＝.故选A.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，点B(0，－4)，则cos∠OAB的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意得Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4.由勾股定理可得AB＝5.
∴cos∠OAB＝＝.故选B.
【举一反三4】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，OB＝2，PB＝，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，
∴在Rt△POB中，OP＝＝3，
根据锐角三角函数的定义，cosα＝＝.故选A.
【题型20】同角三角函数的关系
【典型例题】设45°＜α＜90°，则下列式子成立的是（ ）
A.cosα＜tanα＜sinα
B.sinα＜tanα＜cosα
C.cosα＜sinα＜tanα
D.sinα＜cosα＜tanα
【答案】C
【解析】由题可知45°＜α＜90°，则取α＝60°，
即sin60°，cos60°，tan60°．
，
即cosα＜sinα＜tanα．
故选：C．
【举一反三1】已知∠A是锐角，，则tanA的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵∠A是锐角，sinA，且sin2A+cos2A＝1，
∴cosA，
∴tanA．
故选：B．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝__________．
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，
∴sinA，
设BC＝24x，AB＝25x，
∴BC7x，
∴tanA．
故答案为：．
【举一反三3】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求证：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA+cosA，求sinA cosA的值．
【答案】（1）证明：∵sinA，cosA，
∴sin2A+cos2A，
∵∠C＝90°，
∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，
∴sin2A+cos2A＝1．
（2）解：∵sinA+cosA，
∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA cosA，
∵sin2A+cos2A＝1，
∴1+2sinA cosA，
∴sinA cosA．
【题型21】正弦值的变化情况
【典型例题】当锐角a＜60°，sina的值( )
A.小于 B.大于 C.小于 D.大于
【答案】A
【解析】∵sin60°＝，a＜60°，∴sinα＜sin60°＝.故选A.
【举一反三1】已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是( )
A.0＜n＜ B.0＜n＜ C.0＜n＜ D.0＜n＜
【答案】A
【解析】根据题意，知0°＜∠B＜45°.又sin45°＝，∴0＜n＜.故选A.
【举一反三2】把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为( )
A.sinA＝3sinA′ B.sinA＝sinA′ C.3sinA＝sinA′ D.不能确定
【答案】B
【解析】∵由Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
∴∠A＝∠A′，∴sin A＝sinA′，故选B.
【举一反三3】若∠A为锐角，sinA＝3m－2，则m的范围是( )
A.＜m＜1 B.2＜m＜3 C.0＜m＜1 D.＜m＜
【答案】A
【解析】∵∠A为锐角，0＜sinA＜1，∴0＜3m－2＜1，即＜m＜1.故选A.
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA的取值范围为__________．
【答案】0＜sinA＜1
【解析】如图所示，∵sinA＝ ，BC＜AB，∴sinA的取值范围为0＜sinA＜1.
故答案为0＜sinA＜1.
【举一反三5】比较大小：sin65°__________sin55°(用“＞”或“＜”填空)．
【答案】＞
【解析】∵65°＞55°，∴sin65°＞sin55°.
【举一反三6】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA的取值范围为__________．
【答案】0＜sinA＜1
【解析】如图所示，∵sinA＝ ，BC＜AB，∴sinA的取值范围为0＜sinA＜1.
故答案为0＜sinA＜1.
【题型22】利用勾股定理求正切值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由勾股定理，得AC＝＝4，由正切函数的定义，得tanA＝＝，
故选A.
【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝4，则tan B的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】AC＝＝＝2，则tanB＝＝＝.故选D.
【举一反三2】等腰三角形中，腰长为5 cm，底边为8 cm，则它的底角的正切值为________．
【答案】
【解析】如图，作底边BC上的高AD，∵底边为8 cm，∴BD＝BC＝×8＝4(cm)，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝3 (cm)，∴底角的正切值tanB＝＝.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________.
【答案】
【解析】设a＝x，则c＝4x，由勾股定理得b＝x，tanA＝＝，故答案为.
【举一反三4】如图，锐角△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值．
【答案】解 过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC＝27，∴×9×AH＝27，∴AH＝6，
∵AB＝10，∴BH＝＝＝8，∴tanB＝＝＝.
【题型23】余弦值的变化情况
【典型例题】把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值( )
A. 不变 B. 缩小为原来的13 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定
【答案】A
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.
【举一反三1】随着锐角α的增大，cosα的值( )
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 增大还是减小不确定
【答案】B
【解析】随着锐角α的增大，cosα的值减小．故选B.
【举一反三2】把△ABC三边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值( )
A. 不变 B. 缩小为原来的12 C. 扩大为原来的2倍 D. 不能确定
【答案】A
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.
【举一反三3】把Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系是( )
A. cosA＝cosA′ B. cosA＝5cosA′ C. 5cosA＝cosA′ D. 不能确定
【答案】A
【解析】∵Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的15得Rt△A′B′C′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴∠A＝∠A′，∴cos A＝cosA′.故选A.
【举一反三4】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是( )
A. ＜cosα＜ B. ＜cosα＜ C. ＜cosα＜ D. ＜cosα＜
【答案】C
【解析】∵cos30°＝，cos60°＝，锐角的余弦函数是减函数，
∴＜cosα＜.故选C.
【举一反三5】若α为锐角，且cosα＝，则m的取值范围是________．
【答案】－＜m＜
【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得－＜m＜，故答案为－＜m＜.
【举一反三6】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大5倍，那么它的两个锐角的余弦值________．
【答案】不变
【解析】∵锐角的余弦值是该角的邻边与斜边的比，∴当各边都扩大为原来的5倍时，比值不变．
【举一反三7】比较大小：cos36°________cos37°.
【答案】＞
【解析】因为锐角的余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．
所以cos36°＞cos37°.故答案为＞.
【题型24】由特殊角的三角函数值求角的度数
【典型例题】已知锐角α满足sin(α＋20°)＝1，则锐角α的度数为( )
A. 10° B. 25° C. 40° D. 45°
【答案】B
【解析】∵sin(α＋20°)＝1，∴sin (α＋20°)＝.
∴α＋20°＝45°，∴α＝45°－20°＝25°.故选B.
【举一反三1】已知α为锐角，如果sinα＝，那么α等于( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 不确定
【答案】B
【解析】∵α为锐角，sinα＝，∴α＝45°.故选B.
【举一反三2】已知∠A为锐角且tanA＝，则∠A为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 不能确定
【答案】C
【解析】∵∠A为锐角，tanA＝，∴∠A＝60°.故选C.
【举一反三3】若∠A是锐角，且cosA＝sinA，则∠A的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 不能确定
【答案】B
【解析】∵∠A是锐角，且cosA＝sinA，∴cos 45°＝sin45°，∴∠A＝45°.故选B.
【举一反三4】已知α是锐角，且tan (90°－α)＝，则α＝________.
【答案】30°
【解析】∵tan (90°－α)＝，∴90°－α＝60°，∴α＝30°.
【举一反三5】已知∠A是锐角，且3tan A－＝0，则∠A＝__________.
【答案】30°
【解析】∵3tanA－＝0，∴tan A＝，则∠A＝30°.
【举一反三6】已知α是锐角，tanα＝2cos30°，那么α＝________度．
【答案】60
【解析】∵tanα＝2cos30°＝2×＝，∴α＝60°.
【题型25】已知锐角三角函数值用计算器求锐角度数
【典型例题】已知tan α＝6.866，用计算器求锐角α(精确到1″)，按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由tanα＝6.866，得2nd tan 6.866，故选D.
【举一反三1】已知sinα＝0.5，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键( )
A. AC10N B. SHIET C. MODE D. SHIFT
【答案】D
【解析】 “SHIFT”表示使用该键上方的对应的功能．故选D.
【举一反三2】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：(精确到秒)
(1)sinA＝0.6374，则∠A＝________；sinB＝0.0438，则∠B＝________；
(2)cosA＝0.6241，则∠A＝________；cosB＝0.1742，则∠B＝________；
(3)tan A＝4.8525，则∠A＝________；tan B＝0.8234，则∠B＝________.
【答案】(1)39°35′24″；2°30′36″
(2)51°22′48″；79°57′36″
(3)78°21′0″；39°27′36″
【解析】(1)sinA＝0.6374，则∠A＝39°35′24″；sinB＝0.043 8，则∠B＝2°30′36″；
(2)cosA＝0.624 1，则∠A＝51°22′48″；cosB＝0.174 2，则∠B＝79°57′36″；
(3)tan A＝4.852 5，则∠A＝78°21′0″；tan B＝0.823 4，则∠B＝39°27′36″.
【举一反三3】利用计算器求锐角的度数：
①已知sin α＝0.256 8.则∠α＝________；
②已知cos α＝0.256 8，则∠α＝________；
③已知tan α＝0.256 8，则∠α＝________.
【答案】①14°53′
②75°7′
③14°24′
【解析】用计算器按MODE，有DEG后，
①先按shift键，再按三角函数sin键，再依次输入0.2568，就可以出来答案：α≈14°53′，
②先按shift键，再按三角函数cos键，再依次输入0.256 8，就可以出来答案：α≈75°7′，
③先按shift键，再按三角函数tan键，再依次输入0.256 8，就可以出来答案：α≈14°24′.
【举一反三4】已知三角函数值，求锐角(精确到1″)．
(1)已知sinα＝0.501 8，求锐角α；
(2)已知tanθ＝5，求锐角θ.
【答案】解 (1)∵sinα＝0.501 8，∴α≈30.119 1°.∴a≈30°7′9″；
∵tanθ＝5，∴θ＝78.690 0°≈78°41′24″.
【题型26】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【典型例题】在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则这个三角形一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形
【答案】D
【解析】∵cosA＝，tan B＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°，
则这个三角形一定是锐角三角形．故选D.
【举一反三1】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC是( )
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
【答案】B
【解析】先∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cos B＝，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴∠C＝180°－30°－30°＝120°，
∴△ABC是钝角三角形．故选B.
【举一反三2】在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且有|tan A－1|＋(2cosB-)2＝0，则△ABC的形状是__________________．
【答案】等腰直角三角形
【解析】∵|tanA－1|＋(2cosB-)2＝0，∴tanA－1＝0,2cosB-＝0，
∴tanA＝1，cosB＝，∴∠A＝45°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－45°＝90°，
则△ABC是等腰直角三角形．
【举一反三3】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状．
【答案】解 由△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cos B＝，得∠A＝∠B＝30°，
△ABC是等腰三角形．
【举一反三4】在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，cosB恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
【答案】解 ∵∠A＝60°，∴tan A＝.
把x＝代入方程2x2－3mx＋3＝0，得2()2－3m＋3＝0，解得m＝.
把m＝代入方程2x2－3mx＋3＝0得2x2－3x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
∴cosB＝，即∠B＝30°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，
即△ABC是直角三角形．
【题型27】根据正切值确定角的大小
【典型例题】若α为锐角，且tan α＝，则有( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
【答案】C
【解析】∵tan45°＝1，tan60°＝，α为锐角，α越大，正切值越大．
又1＜＜，∴45°＜α＜60°.故选C.
【举一反三1】已知锐角A的tan A＜，则锐角A的取值范围是( )
A. 0＜A＜60° B. 60°＜A＜90° C. 0＜A＜30° D. 30°＜A＜90°
【答案】C
【解析】∵锐角A的tanA＜，∴锐角A的取值范围是0＜A＜30°.故选C.
【举一反三2】已知锐角A的tan A＜，则锐角A的取值范围是( )
A. 0＜A＜60° B. 60°＜A＜90° C. 0＜A＜30° D. 30°＜A＜90°
【答案】C
【解析】∵锐角A的tanA＜，∴锐角A的取值范围是0＜A＜30°.故选C.
【举一反三3】已知tan α＝，则锐角α的取值范围是( )
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
【答案】C
【解析】∵tan30°＝≈0.577，tan45°＝1，tan60°＝≈1.732，
又∵tan α＝＝1.2，∴tan45°＜tan α＜tan60°，
∵锐角的正切值随角度的增大而增大，∴45°＜α＜60°，故选C.
【举一反三4】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜，那么∠A的取值范围是________．
【答案】0°＜∠A＜60°
【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，
∵tanA＜，∴0°＜∠A＜60°.
【举一反三5】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)．
【答案】＞
【解析】∵tanA＝0.7，tan30°＝≈0.577，∴∠A＞30°,故答案为∠A＞30°.
【举一反三6】若∠B为锐角，且tan B＜tan 65°，则∠B________65°(填“＜”或“＞”)．
【答案】＜
【解析】∵锐角的正切值随角增大而增大，∴当tan B＜tan65°时，有∠B＜65°.
【举一反三7】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜，那么∠A的取值范围是________．
【答案】0°＜∠A＜60°
【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，
∵tanA＜，∴0°＜∠A＜60°.
【题型28】先求三角函数值再求角的度数
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB∶AC＝2∶1，则∠A的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】C
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB∶AC＝2∶1，
∴sinB＝，∴∠B＝30°.∴∠A＝60°故选C.
【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，下列判断正确的是( )
A. ∠A＝30° B. ∠A＝45° C. cosA＝ D. tanA＝
【答案】D
【解析】∵在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，
∴tanA＝＝＝.故选D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，则∠A的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
【答案】A
【解析】由图可得：tan A＝＝＝，则∠A＝30°.故选A.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，则∠A的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
【答案】A
【解析】由图可得：tan A＝＝＝，则∠A＝30°.故选A.
【举一反三4】在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝BC，则∠C等于( )
A. 45° B. 30° C. 60° D. 50°
【答案】C
【解析】∵∠B＝90°，AB＝BC，∴tan∠C＝＝，∴∠C＝60°.故选C.
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么∠A＝____________.
【答案】45°
【解析】由Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，得tanA＝＝1，∴∠A＝45°.
【举一反三6】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么∠A＝____________.
【答案】45°
【解析】由Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，得tanA＝＝1，∴∠A＝45°.
【举一反三7】在直角△ABC中，∠C＝90°，如果b∶a＝3∶，那么∠A＝____________.
【答案】30°
【解析】在直角△ABC中，∠C＝90°，∵tanA＝a∶b＝，∴∠A＝30°.
【题型29】互余两角的三角函数关系
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式成立的是（ ）
A.sinA＝sinB B.cosA＝cosB C.sinA＝cosB D.tanA＝tanB
【答案】C
【解析】∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝cosB．
故选：C．
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，
∴sinB，
故选：B．
【举一反三2】设0°＜∠A＜∠B＜90°，下列说法中错误的是（ ）
A.sinA＜sinB
B.cosA＜cosB
C.若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB
D.若sinA＝cosB，则∠A+∠B＝90°
【答案】B
【解析】A.∵0°＜∠A＜∠B＜90°，∴sinA＜sinB，故A不符合题意；
B.∵0°＜∠A＜∠B＜90°，∴cosA＞cosB，故B符合题意；
C.∵∠A+∠B＝90°，∴sinA＝cosB，故C不符合题意；
D.∵sinA＝cosB，0°＜∠A＜∠B＜90°，∴∠A+∠B＝90°，故D不符合题意；
故选：B．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°．若tanA，则sinB的值是 ．
【答案】
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，
∴设BC＝3x，则AC＝4x，AB5x．
∴sinB．
故答案为：．
【举一反三4】观察下列等式：
①sin30°，cos60°；
②sin45°，cos45°；
③sin60°，cos30°．
（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝ ．
（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．
【答案】解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；
（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°
＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°
＝1+1+…1
＝44
．
【题型30】正切值的变化情况
【典型例题】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是( )
A. 22＜tanα＜ B. ＜tanα＜ C. ＜tanα＜ D. ＜tanα＜
【答案】C
【解析】∵tan30°＝，tan60°＝，锐角的正切值随着α的增大而增大，
∴＜tan α＜.故选C.
【举一反三1】随着锐角α的增大，tanα的值( )
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 增大还是减小不确定
【答案】A
【解析】当角度在0°～90°间变化时，正切值随着角度的增大而增大，故选A.
【举一反三2】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是( )
A. 22＜tanα＜ B. ＜tanα＜ C. ＜tanα＜ D. ＜tanα＜
【答案】C
【解析】∵tan30°＝，tan60°＝，锐角的正切值随着α的增大而增大，
∴＜tan α＜.故选C.
【举一反三3】若把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角∠A的正切值( )
A. 扩大为原来的5倍 B. 不变 C. 缩小为原来的5倍 D. 不能确定
【答案】B
【解析】因为Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切函数值也不变．故选B.
【举一反三4】已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．
【答案】0＜tan B≤
【解析】根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°.
根据题意，知：0°＜∠B≤60°.又tan60°＝，故0＜tanB≤.
【举一反三5】比较大小：tan 50°________tan48°.
【答案】＞
【解析】根据锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，
∵50°＞48°，∴tan 50°＞tan 48°.
【举一反三6】已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．
【答案】0＜tan B≤
【解析】根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°.
根据题意，知：0°＜∠B≤60°.又tan60°＝，故0＜tanB≤.
【举一反三7】比较大小：tan36°________tan37°.
【答案】＜
【解析】tan36°＜tan37°.故答案为＜.
【题型31】在正方形网格中求正弦值
【典型例题】如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sinC的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接BD，由勾股定理可知， BD＝，BC＝， CD＝2，
∵(2)2＋()2＝()2.∴CD2＋BD2＝BC2.∴∠CDB＝90°，
则sinC＝＝，故选B.
【举一反三1】如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，则的正弦值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过点作于点．，．
，．．
．故选：B．
【举一反三2】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由勾股定理，得AC＝＝＝5，sinA＝＝，故选B.
【举一反三3】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设小正方形的边长为1，作CD⊥AB的延长线于点D.
∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，CD＝3，AC＝＝5，
∴sin∠BAC＝＝，故选A.
【举一反三4】如图，在2×2正方形网格中，则sin∠CAB的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，
设每个小正方形边长为1，由勾股定理，得AB＝AC＝，BC＝2.
由等腰三角形的性质，得BE＝BC＝.
由勾股定理，得AE＝＝，
由三角形的面积，得AB·CD＝BC·AE，·CD=·，
∴CD＝，sin∠CAB＝＝＝，故选B.
【举一反三5】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是____________．
【答案】
【解析】连接AC，由网格特点和勾股定理可知，AC＝2，AB＝22，BC＝，
∵AC2＋AB2＝10，BC2＝10，∴AC2＋AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为.
【举一反三6】如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA＝__________.
【答案】
【解析】过点B作BD⊥AC于D，
∵AB＝＝，BC＝3，AC＝＝2，
∴S△ABC＝×3×2＝×2×BD，解得BD＝，
在Rt△ABD中，sinA＝＝÷＝.
【举一反三7】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是____________．
【答案】
【解析】连接AC，由网格特点和勾股定理可知，AC＝2，AB＝22，BC＝，
∵AC2＋AB2＝10，BC2＝10，∴AC2＋AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为.
