(共24张PPT)
第1课时 初探杨辉三角的性质
单元主题：杨辉三角的性质与应用
课时学习目标
1.通过了解河图洛书、杨辉三角的历史等文化史，知道杨辉三角是一种特殊的数阵，确立课题研究定位，渗透民族自豪感，爱国热情等方面的思政课程教育。
2.通过探究杨辉三角恒等式以及杨辉三角的构成规则，洞悉杨辉三角与二项式系数联系的内在原因，进而得到探究数阵的基本方法，体现从特殊到一般的数学思想，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养。
3.以学习为主体，分小组合作，多角度初步探究杨辉三角的性质，获得研究成果（如曲棍球杆定理等），培养发散学习思维，提高合情推理与演绎推理的能力，提升数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养，渗透创新精神、批判精神与实证精神等思政课程教育。
大单元教学内容、特点、课时安排简介
本课时对应的任务： 初探杨辉三角若隐若现性质，掌握探究
数阵的基本方法，形成课题初期研究报告。
逆向设计，评价早于活动
”任务：初探杨辉三角若隐若现性质“评价量规
这是本次课题探究活动的评价量规，已发给大家，请对照评价量规开启探究之旅吧！
评价指标 （权重） 评价标准描述 评价 好（1，0.8] 一般（0.8，0.5] 需要改进(0.5,0] 生评 组评 师评 总分和评语
合作能力 （10分） 在小组内发言次数超过4次，能够积极地帮助同学。 发言次数超过1次，不超过4次，但很少帮助别人。 发言次数不超过1次，也不愿与别人交流。
猜想论证能力 （20分） 不能够全部得出上述探究成果，但能得到至少1项，且能够推理论证。 得不出探究成果，别人的帮助才可能得出探究成果。
数学抽象、逻辑推理 核心素养 （25分）
数学建模核心素养 （10分） 能够建立“数字格式”与“组合数格式”杨辉三角一一对应模型与“曲棍球杆”模型。 上述两种模型仅能建立之一。 不能猜想、论证、建立上述两种模型。
数学运算核心素养 （10分） 能准确计算出探究成果的计算部分，反馈练习、反馈测验准确。 成果的计算部分与反馈练习、反馈测验存在错误。 成果的计算部分与反馈练习、反馈测验存在至少三处错误。
表达、沟通与分享能力 （25分） 能够表述出归纳、猜想、证明杨辉三角性质的完整过程，并能够在小组与班级内分享所得。 对归纳猜想与证明杨辉三角性质过程的表述存在一定错误，能够在小组与班级内分享所得。 很少表述归纳、猜想、证明杨辉三角性质的过程，不能够在小组与班级内分享。
一
DeepSeek+有言Ai创设“数字人”情境导入
问题1：大家认识这两个图案吗？
这是我们华夏传说中的河图、洛书。“河出图，洛出书，圣人则之”。河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。
将数字按照一定顺序组合成的图形就是数阵。
杨辉三角是一个特殊的数阵
二
学科内融合：与二项式系数的关系
问题2：杨辉三角是按照怎样的规则构成的？与二项式系数有何联系？
本环节师生评价标准
掌握杨辉三角的构成规则，发现杨辉三角与二项式系数的关系，实现“数字格式的杨辉三角”与“组合数格式的杨辉三角”一一对应，提高数学抽象、数学建模核心素养。
课前自主学习任务单
二
学科内融合：与二项式系数的关系
反馈练习
杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则=( ) A．5050 B．4851 C．4950 D．5000
B
探究成果（作品）：
1.杨辉三角数字格式与组合数格式对应图
2.杨辉三角的构成规则：两条斜边都由数字1组成，其余的数都等于它肩上的两数之和。
三
洞悉联系，掌握探究数阵的基本方法
问题3：杨辉三角（除了最上面的数）与二项式系数为何一一对应？
追问1：前面我们探究得到杨辉三角的构成规则，此问题即是证明什么？
杨辉三角除了斜边上1之外，其余的数等于它肩上的两数之和。
追问2：如图，观察实验，我们能够得到什么？
1+3=4
4+6=10
转化为组合数形式是什么？
三
洞悉联系，掌握探究数阵的基本方法
追问3：归纳猜想得到的一般性结论是什么？
除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加。
文字语言
符号语言
追问4：以上结论一定正确吗？发现的“规律”成为杨辉三角的“性质”还需要经过哪个环节？
本环节
评价标准
洞悉杨辉三角与二项式系数联系的内在原因，明确杨辉三角的研究内容和研究方法，掌握探究杨辉三角性质的基本方法进而得到探究数阵的基本方法。
推理论证
追问5：回顾刚才的探究过程，探究杨辉三角性质的基本方法是什么？
探究成果（作品）：
（1）探究数阵的基本方法：观察实验，归纳猜想，推理论证。
1+3=4
4+6=10
组合数形式
数学符号化
证明：
文字语言：除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加
观察实验
归纳猜想
推理论证
探究活动
发现问题
提出问题
分析问题
解决问题
（2）杨辉恒等式：
四
小组合作，多角度探究杨辉三角的性质
四
小组合作，多角度探究杨辉三角的性质
问题4：请同学们从不同的角度横看、斜看观察杨辉三角，圈一圈、连一连、算一算，小组合作探究，写出你发现的性质吧！第1至3小组横看，第4至6小组斜看。
四
小组合作，多角度探究杨辉三角的性质
①过程性评价：能够积极参与小组合作探究，发言次数较多，有质疑，乐于助人，有贡献。对照探究中存在的问题，能够及时调整学习行为。
②思政教育评价：能够从不同角度对积极探索杨辉三角的性质，具有创新精神；能够发表自己不同的见解，具有批判精神；能够通过演算、推理论证猜想的正确性，具有实证精神。
③形成性评价：通过横看、斜看杨辉三角，能够得到杨辉三角合理的性质。
④总结性评价：总结探究成果（作品）。主动动脑，动笔做题，能够迁移运用于对杨辉三角的变形形式，“反馈测验”解答正确。
本环节师生评价标准
反馈测验，迁移运用（与“豆包Ai/豆包智能体”互动交流）
如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b= .
22
教学评一体化
”任务一：初探杨辉三角若隐若现性质“评价量规
请依据开始发的评价量规进行自我评价和小组内评价吧！
评价指标 （权重） 评价标准描述 评价 好（1，0.8] 一般（0.8，0.5] 需要改进(0.5,0] 生评 组评 师评 总分和评语
合作能力 （10分） 在小组内发言次数超过4次，能够积极地帮助同学。 发言次数超过1次，不超过4次，但很少帮助别人。 发言次数不超过1次，也不愿与别人交流。
猜想论证能力 （20分） 不能够全部得出上述探究成果，但能得到至少1项，且能够推理论证。 得不出探究成果，别人的帮助才可能得出探究成果。
数学抽象、逻辑推理 核心素养 （25分）
数学建模核心素养 （10分） 能够建立“数字格式”与“组合数格式”杨辉三角一一对应模型与“曲棍球杆”模型。 上述两种模型仅能建立之一。 不能猜想、论证、建立上述两种模型。
数学运算核心素养 （10分） 能准确计算出探究成果的计算部分，反馈练习、反馈测验准确。 成果的计算部分与反馈练习、反馈测验存在错误。 成果的计算部分与反馈练习、反馈测验存在至少三处错误。
表达、沟通与分享能力 （25分） 能够表述出归纳、猜想、证明杨辉三角性质的完整过程，并能够在小组与班级内分享所得。 对归纳猜想与证明杨辉三角性质过程的表述存在一定错误，能够在小组与班级内分享所得。 很少表述归纳、猜想、证明杨辉三角性质的过程，不能够在小组与班级内分享。
回溯梳理，收获总结（用DeepSeek+Xmind画出思维导图）
数学探究活动（探究数阵）的方法是什么？
你还有哪些收获？请分享给大家。
通过本节课你都得到了哪些探究成果（作品）？请画出思维导图。
问题5：
作业与拓展学习设计（时间：第1课时后与第2课时前的两周）
（1）每位学生写出“学后反思”，反思感悟，“悟”清“悟”透，
自我评价，合作咨询。
自我评价要素 课题初期成果 学习收获（态度与方法等） 存在问题（态度与方法等） 今后努力的方向与做法
①发言次数 ②小组参与度 ③掌握程度 ④思想方法
“学后反思”评价表
作业与拓展学习设计（时间：第1课时后与第2课时前的两周）
（2）迁移应用：广义杨辉三角形
当n∈N时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在的展开式中，的系数为75，
则实数的值为 .
作业与拓展学习设计（时间：第1课时后与第2课时前的两周）
（3）撰写课题初期研究报告
1.课题成员
2.发现的数学结论及发现过程概述
3.证明思路及其形成过程描述
4.结论的证明或否定
5.杨辉三角的应用举例
6.收获与体会
“杨辉三角的性质与应用”初期研究报告
_____年级_____班 完成时间_______
作业与拓展学习设计（时间：第1课时后与第2课时前的两周）
（4）探索、拓展学习活动（时间：第1课时后与第2课时前的两周）：
①查阅网上有关杨辉三角性质与应用的资料，或阅读数学家华罗庚的《从杨辉三角说起》，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密，以从中受到启发。
②小组之间协调选题，确定接下来的研究活动与方向：
选题方向：
（i）探究杨辉三角中各横行数字的平方和有哪些规律？
（ii）杨辉三角各斜行的数字构成了一些数列，研究这些数列的性质以及它们的和的性质。
（iii）可以探究杨辉三角的其他性质。
要求：选好课题，小组集体讨论研究方案，确定研究思路，接着小组成员各自开展独立研究，并以专题作业的形式撰写研究报告，然后小组内进行交流讨论，完善研究成果，形成一份小组课题中期研究报告，两个周以后全班交流、评价以及汇报成果（作品）。
同学们，数学的星空浩瀚深邃，莫做静默观星客，当亲手点亮探索的星灯；解题的航程或有风浪，携手共扬帆，方能破浪前行；让AI成为你智慧的罗盘，借其洞见校准航向，助你驶向思维更远的深港！
老师寄语(共26张PPT)
课程名称：第3课时 杨辉三角的应用
单元主题：杨辉三角的性质与应用
课时学习目标
1.解决古算题“三角垛”问题，进一步推广得到三角垛、四方垛的求和公式，掌握“转化与化归”的数学思想，学会应用“对应思维”解决问题的思维方式，提升数学建模的核心素养。
2.基于维果茨基的“最近发展区理论”，应用杨辉三角解决“高尔顿板”问题，实现学科间的融合，学会应用“对应思维”解决问题的方法，提高解决问题的综合能力，提升数学抽象、逻辑推理的核心素养。
3.通过介绍中国古代的开方运算方法，了解“增乘开方法”，感受中国古代别具一格的思维方式，领略中国古代伟大的数学成就，激发学习数学的兴趣与探索欲望，渗透民族自信、探索进取的意志品质等思政课程教育。
大单元教学内容、特点、课时安排简介
第2课时：深究杨辉三角
深藏不露性质
第3课时：杨辉三角性质
与结论的应用
递进关系，具有整体性、连贯性、结构化的特点
大单元教学“杨辉三角的性质与应用”是高中数学人教A版选择性必修第三册第六章的“数学探究”活动，其核心内容是对杨辉三角性质与应用的探究。
本大单元教学以学习为主体，开展指向核心素养落地：大任务统摄下，融合课程思政，教学评一体化、结构化任务驱动的课题式探究活动。
第1课时：初探杨辉三角
若隐若现性质
任务1
任务2
任务3
大单元教学内容、特点、课时安排简介
本课时对应的任务三：运用杨辉三角解决问题，体会在实际问题中的
应用策略，形成结题报告。
出示量规，逆向设计，评价先于活动
评价指标（权重） 评价标准描述 评价 好（1，0.8] 一般（0.8，0.5] 需要改进(0.5,0] 生评 组评 师评 总分和评语
合作能力 （10分） 在小组内发言次数超过4次，能够积极地帮助同学。 发言次数超过1次，不超过4次，但很少帮助别人。 发言次数不超过1次，也不愿与别人交流。
杨辉三角在“三角垛”中的应用 （10分） 能够应用杨辉三角的性质得出三角垛、四方垛的求和公式。 能应用杨辉三角性质得出三角垛求和公式，但不能够推广到四方垛。 得不出三角垛、四方垛的求和公式，需别人的帮助才可。
杨辉三角在“高尔顿板”中的应用 （10分） 能将“高尔顿板”中的小球下落问题与杨辉三角对应，学科间实现融合。 对其中的概率问题、期望问题存在疑惑，需得到别人的帮助才可理解。 不能够将“高尔顿板”中小球下落问题与杨辉三角对应，学科间实现融合需要帮助。
杨辉三角在开方运算中的应用 （10分） 能够理解用杨辉三角开方的方法，会用杨辉三角开平方和开三次方。 会用杨辉三角开平方和开三次方，但是，需别人的帮助才可理解。 不会用杨辉三角开平方和开三次方，需别人的帮助才可学会。
对应思维能力 （20分） 能够运用对应思维解决“三角垛”、“高尔顿板”等问题。 经过别人的帮助才可理解对应思维。 需课后个别辅导才可理解对应思维。
数学建模核心素养 （20分） 能够将“三角垛”、“四方垛”等与杨辉三角数学模型建立联系。 上述两种模型仅能建立之一。 不能建立上述两种模型。
数学抽象、逻辑推理 核心素养 （20分） 能够将“三角垛”、“高尔顿板”等抽象成杨辉三角问题，能运用逻辑推理得出解决上述问题的基本方法。 上述问题只能解决其中之一，数学抽象、逻辑推理核心素养有待进一步提高。 不能够将“三角垛”、“高尔顿板”等抽象成杨辉三角问题，数学抽象、逻辑推理核心素养有待进一步提高。
“任务三：运用杨辉三角解决问题，体会在实际问题中的应用策略，形成结题报告”
评 价 量 规
衔接课时1、2，简要复习
问题13：之前顺利完成了第1课时（任务一）“初探杨辉三角若隐若现性质，形成课题初期研究报告”、第2课时（任务二）“深究杨辉三角深藏不露性质，形成课题中期研究报告”，得到了很多的探究成果（作品），我们只复习一下其中的两个。
衔接课时1、2，简要复习
杨辉三角数字格式与组合数格式对应图：
杨辉三角第n (n∈N+) 行的各数就是 (a + b)n展开式的二项式系数。
衔接课时1、2，回顾初期、中期探究
二阶等差数列的前n项和公式：
.
衔接课时1、2，课题报告
课题初期报告与课题中期报告
一
杨辉三角在“三角垛”中的应用——对应思维
问题14：探究的目的是为了解决问题。我们回到课本上提出的问题：“三角垛”古算题。衔接第2课时的“活动12”，请展示交流探究过程与成果。
“三角垛”古算题：杨辉《详解九章算法》有一个这样的问题：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何。
一
杨辉三角在“三角垛”中的应用——对应思维
问题15（推广1）：若底层是每边堆n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个，顶层是1个，求总数.
三角垛小球总数：
一
杨辉三角在“三角垛”中的应用——对应思维
问题16：推广2（合作探究）如果研究方垛，即逐层堆砌的正方形，如图，若底层是每边堆n个圆球的正方形，向上逐层每边减少一个，顶层是1个，求总数.
四方垛的求和公式：
=
二
杨辉三角在“高尔顿板”中的应用——学科间融合
问题17：在统计学中，为了保证公平性，英国生物统计学家高尔顿设计了如图所示用来研究随机现象的高尔顿钉板模型。每一个黑点表示定在板子上的一颗钉子，它们相邻彼此之间的距离相等，上层的每一颗钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆球，小圆球向下降落时，碰到钉子后会等可能地向左或向右滚下，碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。
（1）求出小球落在第四层第3个缝隙的路径数（有多少种可能）？
二
杨辉三角在“高尔顿板”中的应用——学科间融合
问题17（合作探究）：（2）假设高尔顿板除了底板那一层之外，共有5层，在游乐场，可以看到如图的弹球游戏：小球向容器内跌落，最终小球落在底板的一个格子内，然后根据具体区域玩游戏的人来获得奖品。假设你是老板，为了获得较大的利润，比较贵的奖品放在靠近中间的区域还是靠近两侧的区域？
二
杨辉三角在“高尔顿板”中的应用——学科间融合
问题17：（3）现有16颗小球，放入（2）中的高尔顿板中，问底板中的每一个格子中可能有几颗小球？
二
杨辉三角在“高尔顿板”中的应用——学科间融合
问题18（迁移应用）：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在自由下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中。已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、向右两边下落的概率都是.
（1）求小球落入A袋中的概率；
（2）在容器口依次放入4个小球，记ζ为落入A袋中的小球个数。试求ζ=3的概率和ζ的数学期望。
三
杨辉三角在开方运算中的应用——别具一格的思维
问题19：解决本大单元一开始需要解决的问题“增乘开方法”。
以开平方37为例。
∵(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+(2a+b)b，
∴37=(a+b)2=a2+(2a+b)b，
找一个接近37的a=6，这时的(2a+b)中的b可忽略掉，
∴37-62=1,1除以2×6=12，得到的数值为b，即b≈0.1.
∴≈6.1.
三
杨辉三角在开方运算中的应用——别具一格的思维
反馈练习：类比求，结果保留两位小数。
∵(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+(3a2+3ab+b2)b，
∴586= a3+(3a2+3ab+b2)b，
令a=8，∴586-512=74，
∴74除以3×64=192，
∴b≈0.39.
∴≈8+0.39=8.39.
出示量规，逆向设计，评价先于活动
评价指标（权重） 评价标准描述 评价 好（1，0.8] 一般（0.8，0.5] 需要改进(0.5,0] 生评 组评 师评 总分和评语
合作能力 （10分） 在小组内发言次数超过4次，能够积极地帮助同学。 发言次数超过1次，不超过4次，但很少帮助别人。 发言次数不超过1次，也不愿与别人交流。
杨辉三角在“三角垛”中的应用 （10分） 能够应用杨辉三角的性质得出三角垛、四方垛的求和公式。 能应用杨辉三角性质得出三角垛求和公式，但不能够推广到四方垛。 得不出三角垛、四方垛的求和公式，需别人的帮助才可。
杨辉三角在“高尔顿板”中的应用 （10分） 能将“高尔顿板”中的小球下落问题与杨辉三角对应，学科间实现融合。 对其中的概率问题、期望问题存在疑惑，需得到别人的帮助才可理解。 不能够将“高尔顿板”中小球下落问题与杨辉三角对应，学科间实现融合需要帮助。
杨辉三角在开方运算中的应用 （10分） 能够理解用杨辉三角开方的方法，会用杨辉三角开平方和开三次方。 会用杨辉三角开平方和开三次方，但是，需别人的帮助才可理解。 不会用杨辉三角开平方和开三次方，需别人的帮助才可学会。
对应思维能力 （20分） 能够运用对应思维解决“三角垛”、“高尔顿板”等问题。 经过别人的帮助才可理解对应思维。 需课后个别辅导才可理解对应思维。
数学建模核心素养 （20分） 能够将“三角垛”、“四方垛”等与杨辉三角数学模型建立联系。 上述两种模型仅能建立之一。 不能建立上述两种模型。
数学抽象、逻辑推理 核心素养 （20分） 能够将“三角垛”、“高尔顿板”等抽象成杨辉三角问题，能运用逻辑推理得出解决上述问题的基本方法。 上述问题只能解决其中之一，数学抽象、逻辑推理核心素养有待进一步提高。 不能够将“三角垛”、“高尔顿板”等抽象成杨辉三角问题，数学抽象、逻辑推理核心素养有待进一步提高。
问题20：请对照发的评价量规评价活动。
评 价 量 规
回溯梳理，收获总结
①本课时的思维导图是什么？
②都用了哪些数学思想方法作为探究的方法或工具？
③你还有哪些收获？请分享给大家。
杨辉三角数字格式与组合数格式对应图
（杨辉三角的构成规则）
三角垛、高尔顿板、开方运算
对应思维
第1课时（任务一）
第3课时（任务三）
曲棍球杆定理
二阶等差数列及其求和公式
第2课时（任务二）
三角垛（可拓展为四方垛）
求和问题
2n：第n行所有数的和为2n
“高尔顿板”的拓展问题“概率”
应用同一大单元下课时成果解决问题，形成一个课程化闭环
杨辉三角在“三角垛”中的应用
在“高尔顿板”中的应用
在开方运算中的应用
作业与拓展学习设计（时间：第3课时后一周）
（1）每位学生写出“学后反思”，反思感悟，“悟”清“悟”透，
自我评价，合作咨询。
自我评价要素 课题初期成果 学习收获（态度与方法等） 存在问题（态度与方法等） 今后努力的方向与做法
①发言次数 ②小组参与度 ③掌握程度 ④思想方法
“学后反思”评价表
作业与拓展学习设计（时间：第3课时后一周）
（2）迁移应用：蜜蜂进蜂房
作业与拓展学习设计（时间：第3课时后一周）
（3）撰写课题结题报告
1.课题成员
2.发现的数学结论及发现过程概述
3.证明思路及其形成过程描述
4.结论的证明或否定
5.杨辉三角的应用举例
6.收获与体会
“杨辉三角的性质与应用”结题报告
_____年级_____班 完成时间_______
作业与拓展学习设计（时间：第3课时后一周）
（4）探索、拓展学习活动（活动22）
自主选择一个有关杨辉三角应用的探究性问题（如“杨辉三角在纵横图中的应用”等）探究，运用观察实验，归纳猜想，推理论证（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题）等基本方法获得研究成果（作品），咨询老师或同学之间展示、交流，修改完善，撰写出研究报告或小论文。
杨辉三角和谐美、奇异美、抽象美
1
《竹》 张南史
竹,竹.
披山,连谷.
出东南,殊草木.
叶细枝劲,霜停露宿.
成林处处云,抽笋年年玉.
天风乍起争韵,池水相涵更绿.
却寻庚信小员中,闲对数竿心自足.
2
《诗》 白居易
诗,诗.
绮美,瑰奇.
明月夜,落花时.
能助欢笑,亦伤别离.
调清金石怨,吟苦鬼神悲.
天下只应我爱,世间惟有君知.
自从都尉别苏句,便到司空送白辞.
一
一
一
二
一
一
三
一
三
一
四
一
六
四
一
五
一
十
十
五
六
一
一
六
一
十五
二十
十五(共21张PPT)
课程名称：第2课时 深究杨辉三角的性质
单元主题：杨辉三角的性质与应用
课时学习目标
1.衔接课时1的任务活动，通过课前分小组深究杨辉三角的性质，进一步掌握探究杨辉三角性质的基本方法，明确课题研究的一般思路，提高合作交流的能力，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。
2.以学习为主体，学生当“小老师”，小组展示、交流，分享研究心得与成果（作品），提高教学设计能力、备课能力、讲课能力、语言表达能力与撰写论文能力，提升数学抽象、逻辑推理核心素养。
3.补充从“形”上研究杨辉三角性质的环节，以实现观察角
度从“数阵”到“形状”的跃升，促进思维的升华，感受杨
辉三角在数学、数学思维、数学文化上的魅力与神秘，增强
民族自豪感，渗透孜孜以求的探索精神等科学精神思政教育。
大单元教学内容、特点、课时安排简介
第2课时：深究杨辉三角
深藏不露性质
第3课时：杨辉三角性质
与结论的应用
递进关系，具有整体性、连贯性、结构化的特点
大单元教学“杨辉三角的性质与应用”是高中数学人教A版选择性必修第三册第六章的“数学探究”活动，其核心内容是对杨辉三角性质与应用的探究。
本大单元教学以学习为主体，开展指向核心素养落地：大任务统摄下，融合课程思政，教学评一体化、结构化任务驱动的课题式探究活动。
第1课时：初探杨辉三角
若隐若现性质
任务1
任务2
任务3
大单元教学内容、特点、课时安排简介
本课时对应的任务二：深究杨辉三角深藏不露性质，用基本方法探究
一般数阵，形成课题中期研究报告。
衔接课时1，展示初期研究报告
出示量规，逆向设计，评价先于活动
出示量规，逆向设计，评价先于活动
一
复习基本方法，明确研究环节
问题6：接着第1课时的问题5（活动5）我们延续探究。我们在第1课时初步探究了杨辉三角若隐若现的性质，那么，探究杨辉三角性质的基本方法是什么？开展课题研究的路径是什么？
基本方法：观察实验，归纳猜想，推理论证。
数学研究问题的路径（课题研究）：选题——开题——做题——结题。
一
衔接课时1，选题做题
问题7：第1课时（任务一）之后的“活动5”要求开展为期两周的深入探究杨辉三角性质的活动，要求各小组对照提供的项目任务清单，选好课题，及时开展研究。本节课之前我汇总了选题情况。
课题选题情况如下：6个小组参加选题，共分为三个研究课题。
1.横看：探究杨辉三角中各横行数字的平方和的规律。
2.斜看：探究各斜行数字构成的数列的性质。
3.整体看：探究各斜行的数字和的规律。
二
小组展示交流
问题8：请各小组展示交流课题的研究情况，分享研究成果。
课题选题情况如下：6个小组参加选题，共分为三个研究课题。
1.横看：探究杨辉三角中各横行数字的平方和的规律。
2.斜看：探究各斜行数字构成的数列的性质。
3.整体看：探究各斜行的数字和的规律。
三
从“数”到“形”，思维升华
问题9：我们之前的探究均为对杨辉三角在“数阵”方面的探究，我们还可以从“形”上观察杨辉三角。补充两个。
将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形（莱布尼茨：德国自然科学家、哲学家、数学家）．
莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果 （n为正整数），则第4行第2个数是 .
三
从“数”到“形”，思维升华
把杨辉三角“涂黑”，偶数“聚集区”看作是“倒等边三角形”，只有一个偶数的“聚集区”，也看作一个边长为1的“倒等边三角形”，把这些“倒等边三角形” “涂白”，剩余的部分就是有趣的“谢尔宾斯基三角形”（谢尔宾斯基：波兰数学家）.
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谢尔宾斯基三角形
活动评价，教学评一体化
活动评价，教学评一体化
回溯梳理，收获总结
①作为课题中期的探究，都得到了哪些探究成果（作品）？
②都用了哪些数学思想方法作为探究的方法或工具？
③你还有哪些收获？请分享给大家。
作业与拓展学习设计（时间：第2课时后与第3课时前一周）
（1）每位学生写出“学后反思”，反思感悟，“悟”清“悟”透，
自我评价，合作咨询。
自我评价要素 课题初期成果 学习收获（态度与方法等） 存在问题（态度与方法等） 今后努力的方向与做法
①发言次数 ②小组参与度 ③掌握程度 ④思想方法
“学后反思”评价表
作业与拓展学习设计（时间：第2课时后与第3课时前一周）
（2）迁移应用：仿制杨辉三角
杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．
1 2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 28 …
… … … … … …
该数表的第一行是数列，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为 ，各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n项和= ．
作业与拓展学习设计（时间：第2课时后与第3课时前一周）
（3）撰写课题中期研究报告
1.课题成员
2.发现的数学结论及发现过程概述
3.证明思路及其形成过程描述
4.结论的证明或否定
5.杨辉三角的应用举例
6.收获与体会
“杨辉三角的性质与应用”中期研究报告
_____年级_____班 完成时间_______
作业与拓展学习设计（时间：第2课时后与第3课时前一周）
（4）探索、拓展学习活动
（时间：第1课时后与第2课时前的两周）：
①查阅资料了解分形几何。
②“三角垛”古算题
杨辉《详解九章算法》有一个这样的问题：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何.
探究让我们更加深入地理解事物，
拥有更多的思考和判断力。
