第27章 相似 单元测试（含答案）人教版数学九年级下册

人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC与△DEF中，则（　　）
A．∠A=∠D B．∠A=∠E C．∠A=∠F D．∠B=∠F
2．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
3．如图，在8×8网格中，△ABC和△A'B'C'位似，则位似中心为（　　）
A．点O B．点P C．点Q D．点R
4．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，2）或（-1，-2）
C．（2，1）或（-2，-1） D．（-2，-1）
5．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB
=2，BC=4，DE=1.5，则EF的长为（　　）
A．6 B．4.5 C．3 D．2
6．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中相似三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点．若DE∥BC，=，则=（　　）
A． B． C． D．
8．黄金矩形（Golden Rectangle）的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典巴特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形ABCD的宽AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF时，若，则AD的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在矩形的对角线BD上，连接CE．过点C作CF⊥CE，过点D作DF⊥DE，DF与CF相交于点F，连接EF，点H是线段EF的中点，连接CH和BH．下列结论：①△BCE∽△DCF，且相似比为4：3；②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上；③△BCH的面积随线段BE长度的增大而增大；④当△DEF面积大于9时，线段BE长的范围是4＜BE＜6．其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，BE平分∠ABC，交AD于E，CF⊥BE交BE于点N，交AD于点F，作MN∥CD交AD于点M，则MN=（　　）
A． B． C．1 D．
11．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）；延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2024个正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE=3，则DF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．若，则=______．
14．如图，沿MN将正方形ABCD折叠为面积比是3：5的两部分（其中四边形AMNB面积较小），点B落在CD边上的B′处，A′B′与AD相交于点G．若四边形MGB′N面积占正方形面积的，设B′G=m,B′N=n,用含m,n的式子表示MG的长是 ______．
15．（2025 桂阳县校级开学）如图，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，E为BD中点，AD=2，CE=CA，则CD= ______．
16．如图，在正方形ABCD中，把BA绕点B顺时针旋转，把CD绕点C逆时针旋转，它们交于点M，连接BM、CM并延长，分别交AD于点E、F，连接BD交CF相交于点H，连接DM．下列判断中，其中正确结论为 ______．（填序号）
①MF=FE；②△FMD∽△MHB；③S△FMD：S△CMD=；④tan∠BHC=2+．
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F，延长AF交BC于点G．给出下面四个结论：①；②∠CAG=∠B；③当CG=2，BG=5时，；④当∠B=30°时，S△ABC=6S△CFG．上述结论中，所有正确结论的序号是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知a、b、c是△ABC的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若△ABC的周长为60，求各边的长．
19．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CFB；
（2）若CF=2，求AB的长．
20．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，连结AE，F为线段AE上一点，且∠DFE=∠C．
（1）求证：△AFD∽△EBA；
（2）若AB=4，AD=3，DF=2，求DE的长．
21．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，BF⊥AE于点F，连接DF，FG⊥DF交AB于点G．
（1）求证：△ADF∽△BGF；
（2）若E为BC中点，求证：DF=AD．
22．已知在△ABC中，AB=6，AB边上的高为4，如图（1），在△ABC内作正方形EFGH，且E、F在边AB上，G、H分别在边AC、BC上，则该正方形的边长为______；
如图（2），在△ABC内作并排的两个全等的正方形GDKH和HKEF，它们组成的矩形DEFG的顶点D、E在△ABC的边AB上，G、F分别在边AC、BC上，则每个正方形的边长为 ______；
如图（3），按此方法，在△ABC内作并排的n个全等的正方形（其中n为正整数），它们组成的最大矩形的两个顶点在△ABC的边AB上，其它顶点分别在边AC、BC上，则每个正方形的边长可用含n的代数式表示为 ______．
人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、A 3、B 4、B 5、C 6、B 7、A 8、A 9、B 10、D 11、B 12、D
二．填空题（共5小题）
13、； 14、； 15、； 16、①②④； 17、①②④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）设===k,则a=5k,b=4k,c=6k,
所以==；
（2）5k+4k+6k=60，
解得k=4，
所以a=20，b=16，c=24．
19、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E=∠CBF，
∵∠A=∠C，
∴△ABE∽△CFB．
（2）解：∵DE=AD，AD=CB，
∴DE=CB，
∵DE∥CB，
∴△DEF∽△CBF，
∴==，
∴DF=CF=×2=1，
∴AB=CD=CF+DF=2+1=3，
∴AB的长是3．
20、证明：（1）∵在 ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠B=∠AFD，
∴△ADF∽△EAB；
（2）∵△ADF∽△EAB，
∴，
∴，
解得：AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：DE===3．
21、证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AB=BC=AD．
∵BF⊥AE，
∴∠BFG+∠AFG=90°，
∵FG⊥DF，
∴∠AFG+∠AFD=90°，
∴∠BFG=∠AFD．
∵四边形AGFD的内角和为360°，∠BAD=∠GFD=90°，
∴∠AGF+∠ADF=180°．
∵∠AGF+∠BGF=180°，
∴∠BGF=∠ADF，
∴△ADF∽△BGF；
（2）∵E为BC中点，
∴BE=BC=，
∴tan∠BAE=，
由（1）知：△ADF∽△BGF，
∴=2，
∴AD=2BG，DF=2GF，
∴AB=2BG，
∴G为AB的中点，
∵AF⊥BF，
∴GF=，
∴AD=2GF，
∴DF=AD．
22、解：（1）如图1，过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．
∴∠CMB=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GF⊥AB，GH∥AB，GH=GF，
∴∠CNH=∠CMB=90°，∠CGH=∠A．
∵∠ACB=∠GCH，
∴△CGH∽△CAB，
∴，
∵MN=GH=GF，设GH=x,
∴CN=CM-MN=CM-GH=CM-x.
∵CM=4，AB=6，
∴
∴x=2.4，
∴正方形的边长为2.4，
故答案为2.4；
（2）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．可知
△CGF∽△CAB．
∵AB=6，CM=4，
∴=，
解得：x=，
故正方形的边长为，
故答案为：；
（3）根据正方形的性质，
如图3，过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．可知：AB=6，CM=4，
∴，
解得：x=，
如图4，由此，当为n个正方形时，
解得x=．
故答案为：．