第6章 图形的相似 单元测试（含答案）苏科版数学九年级下册

苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．若线段x是3和6的比例中项，则x的值为（　　）
A． B． C． D．±3
2．如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC、BC交于D、E两点．若DC=2，AD=1．则S△DEC：S四边形ADEB=（　　）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：OA′=1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：9
4．图为一把椅子的侧面示意图，已知DE∥地面AB，DE=20cm,CB=2CE，，则地面上AB两点之间的距离为（　　）
A．30cm B．32cm C．34cm D．36cm
5．若点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB=2，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC=1：2，DF=12，则EF的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC上一点，且BP=1，点D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△DEF：S△BFC=（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
9．如图，平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，BE平分∠ABC，交AD于E，CF⊥BE交BE于点N，交AD于点F，作MN∥CD交AD于点M，则MN=（　　）
A． B． C．1 D．
10．如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE=2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米．
A．9.6 B．10 C．7.2 D．8
11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC、BD交于点O，sin∠COD=，P为AD上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，分别以PE，PF为边向外作正方形PEGH和PFMN，面积分别为S1，S2．则下列结论：
①BD=8；
②点P在运动过程中，PE+PF的值始终保持不变，为2；
③S1+S2的最小值为6；
④当PH：PN=6：5时，则AG：DM=6：5．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内部一点，连接AE、BE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，点F落在BE的延长线上，BE的延长线交AD于点M，连接CF交BD于点N，若AM：AB=1：3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．若，则=______．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，DE=3，则BC的长为 ______．
15．在矩形ABCD中，AB=5，BC=12．点P在矩形ABCD的对角线BD上，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 ______．
16．如图，D是△ABC的边AB上的一点，，AB=3，BC=2．若，则AC的长为 ______．
17．如图，在正方形ABCD中，把BA绕点B顺时针旋转，把CD绕点C逆时针旋转，它们交于点M，连接BM、CM并延长，分别交AD于点E、F，连接BD交CF相交于点H，连接DM．下列判断中，其中正确结论为 ______．（填序号）
①MF=FE；②△FMD∽△MHB；③S△FMD：S△CMD=；④tan∠BHC=2+．
三．解答题（共5小题）
18．如图，在 ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F．
（1）求证：△BEF △DAF；
（2）若=，BD=10，则DF=______．
19．如图，在 ABCD中，E为边BC上一点，连接BD，AE，交于点F，且∠BDA=∠BAE．
（1）求证：BE2=EF AE；
（2）若BE=4，EF=2，且∠ABD=90°，求AD和BD的长．
20．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
特例解析：
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：；
类比探究：
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC=180°，求证：．
21．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”．

（1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等；
（2）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC=90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系．
22．（2025春 武侯区校级月考）某数学小组用三角形纸片对折叠进行了探究．如图，在三角形纸ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD是△ABC的中线，P是BC上的动点（不与点B，C重合），将△BDP沿PD折叠，点B落在点E处，PE交线段CD于点F．
【初步感知】
（1）求证：EF PF=CF DF；
【深入探究】
（2）在折叠过程中，试探究△PCF是否能成为直角三角形．若能，求出PC的长；若不能，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）在折叠过程中，当△PDE的边恰好过AC的中点时，直接写出PC的长．
苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、C 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C 8、C 9、D 10、D 11、D 12、A
二．填空题（共5小题）
13、； 14、9； 15、或； 16、； 17、①②④；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵行四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，AD=BE，
∴△BEF∽△DAF；
（2）解：∵△BEF∽△DAF，
∴，
∵AD=BC，=，BD=10，
∴，
∴DF=6．
故答案为：6．
19、（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DBC=∠ADB，
∴∠ADB=∠BAE，
∴∠DBC=∠BAE，
∴∠EBF=∠BAE，即∠BEF=∠BEA，
∴△EBF∽△EAB，
∴EB：EA=EF：EB，
∴BE2=EF AE；
（2）解：∵BE2=EF AE，
∴AE=8，
∴AF=AE-EF=8-2=6，
由（1）知△EBF∽△EAB，
∴==，
∴AB=2BF，
∵BE∥AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴===，
∴DF=3BF，AD=3BE=12，
∴BD=4BF，
∵∠ABD=90°，
∴AB2+BD2=AD2，即（2BF）2+（4BF）2=122，
解得BF=，
∴BD=4×=．
20、证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，AB=CD，
∵DE⊥CF，
∴∠FGD=90°，
∴∠ADE+∠CFD=∠DCF+∠CFD=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴，
又∵AB=CD，
∴；
（2）证明：如图，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，
∴∠CMF=∠CFM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠A=∠CDM，∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，∠EGF+∠EGC=180°
∴∠EGF+∠A=180°，
∴∠AED+∠AFG=180°，
∵∠CFM+∠AFG=180°，
∴∠AED=∠CFM=∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴，
又∵AB=CD，CM=CF
∴．
21、解：（1）△ABD和△ACE全等，理由：
∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，
∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）DC和BE的位置及大小关系为：DC=BE，DC⊥BE，理由：
∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴DC=BE，∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE+∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠EBC+∠DCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴DC⊥BE．
22、（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵CD是△ABC的中线，
∴CD=BD=AD=AB=5．
∴∠DCB=∠B，
由折叠的性质得：∠E=∠B，
∴∠E=∠DCB．
∵∠EFD=∠CFP，
∴△EFD∽△CFP，
∴，
∴EF PF=CF DF；
（2）解：△PCF能成为直角三角形．PC的长为或1．理由：
①当∠CFP=90°时，如图，
由题意得：PB=PE，DE=DB=5，
由（1）得：∠DCB=∠B，CD=5，
在Rt△ABC中，tanB=，
∴tan∠DCB=．
设PF=3x,则CF=4x,
∴PC==5x,
∴PB=PE=BC-PC=8-5x,EF=PE-PF=8-8x,DF=CD-CF=5-4x,
∵EF2+DF2=DE2，
∴（8-8x）2+（5-4x）2=52，
∴x=或x=（不合题意，舍去），
∴PC=5x=；
②当∠CPF=90°时，过点D作DH⊥BC于点H，如图，
由题意得：∠EPB=∠BPD，
∵∠CPF=90°，
∴∠EPB=∠BPD=45°，
∵DH⊥BC，
∴△DHP为等腰直角三角形，
∴DH=PH．
∵DH⊥BC，AC⊥BC，
∴DH∥AC，
∵D为AB的中点，
∴DH为△BAC的中位线，
∴DH=AC=3，BH=CH=BC=4，
∴PH=DH=3，
∴PC=CH-PH=4-3=1．
综上，△PCF能成为直角三角形．PC的长为或1．
（3）解：当△PDE的边恰好过AC的中点时，PC的长为3或.理由：
①当PE边经过AC的中点G时，连接DG，如图，
∵G为AC的中点，D为AB的中点，
∴DG为中位线，
∴DG∥BC，DG=BC=4，CG=AC=3，
∴∠GDP=∠BPD，
由题意得：∠BPD=∠EPD，
∴∠EPD=∠GDP，
∴GP=GD=4，
∴PC===；
②当DE边经过AC的中点G时，如图，
∵G为AC的中点，D为AB的中点，
∴DG为中位线，
∴DG∥BC，
∴∠EDP=∠BPD，
由题意得：PB=PE，∠BPD=∠EPD，
∴∠EPD=∠EDP，
∴EP=ED=5，
∴PB=PE=5，
∴PC=BC-PB=8-5=3．
综上，当△PDE的边恰好过AC的中点时，PC的长为3或．